Chuyên đề bất đẳng thức

Chuyên đề Bất đẳng thức Trường THTP số 2 An Nhơn Chuyên đề : BẤT ĐẲNG THỨC SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I.. Chứng minh rằng... Áp dụng 1 ta có ngay điều p

Chuyên đề Bất đẳng thức Trường THTP số 2 An Nhơn

Chuyên đề : BẤT ĐẲNG THỨC

( SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI ĐỂ CHỨNG MINH

BẤT ĐẲNG THỨC )

I Bất đẳng thức côsi (bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân)

- Nếu a b , 0 thì

2

a b

ab



Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi: a b

Chứng minh:

a b

a.b 2





2

2

a b

ab (a b) 0 2



Bđt hiển nhiên đúng

Đẳng thức xảy ra  a  b

- Nếu a b c , , 0 thì 3

3

a b c

abc

 



Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi: abc

- Nếu a a1, 2, ,a  thì n 0 1 2

1 2

n n

n

a a a n

n



Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi: a1a2  a n

II Một số ví dụ và hướng dẫn giải

Ví dụ 1: Cho a,b,c 0  a + b + c  1 1 1 9

a b c

Nhận xét:

Vế trái chứa biểu thức đối xứng với a,b,c 0  và các nghịch đảo của chúng.vì vậy ta nghĩ đến việc dùng

bất dẵng thức côsi

Giải:

Cách 1 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các bộ 3 số a,b,c và 1 1 1

, ,

a b c

ta có:

a b c 3 abc    3 (1)

1 1 1 3 3 1

a    b c abc (2)

Nhân từng vế của (1) và (2)ta đựơc: a b c  1 1 1 9

a b c

Cách 2:

 a b c  1 1 1 3 b a c a b c 3 2 2 2 9

               

Dấu “=”xảy ra   a b c

Tương tự như trên ta có thể chứng minh được bất đẳng thức sau

Cho a, b,c  0 và a    b c d  1 Chứng minh rằng

Ví dụ 2: Cho a, b, c  0 và a   b c  1

Chứng minh rằng

9

a  2bc  b  2ca  c  2ab 

Giải:

 

2

a 2bc b 2ca c 2ab

a b c

a 2bc b 2ca c 2ab

a 2bc b 2ca c 2ab

Chứng minh tương tự như trên ta cĩ thể chứng minh được các bài tốn sau

2.1 Chứng minh rằng với mọi a, b  0 thoả mãn a + b = 1 ta cĩ

6

ab  a b 





2.3 Cho x,y >0, chứng minh 1 1 4

x  y  x y

 ( BĐT cộng mẫu )

Ví dụ 3: Với a, b, c, d >0 Chứng minh rằng: 2 2 2 2   

a  b  c  d  a b c   d

Giải

VT =

2ac + 2bd + 2ad + 2bc = 2 ac + bd + ad + bc 2 dpcm

a b c d

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = d

Ví dụ 4 :(ĐH khối B 2005) Chứng minh rằng: 12 15 20

Giải

Ta cĩ:

2.3 2.4 2.5 2 3 4 5 2

VP

x x x

a b b c a c

Ví dụ 5: Chứng minh a b c, , :   2 2  

4

a b b c  abc a b c

ta ab bc  abac bc b     Đẳng thức xảy ra khi : acb a  b c

Ví dụ 6: Cho

1

a b

a b b



Giải

Chuyên đề Bất đẳng thức Trường THTP số 2 An Nhơn

ĩ: a +

a b b     a b b

Áp dụng BĐT Cơsi cho 3 số

1 , ,

a b b

a b b





Ta được:  

Dấu “=” khi

1

a b b

 



Ví dụ 7: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác

b c ac a ba b c 

Giải

Đặt: b c a  2 ,x c  a b 2 ,y a b c  2y thì a yz b,  z x c,  x yvà x, y, z >

0

Ví dụ 8: Cho a, b, c N* CM:      

 



3

Giải

BĐT tương đương     

 

a b c

Ap dụng BĐT Cơsi cho a + b + c số

  

, , , , , , , , ,

a

Ta được đpcm

Ví dụ 9: Cho 3 số dương a, b, c.Chứng minh:

2

a b b c a c

 

Giải

Áp dụng bất đẳng thức cơsi cho hai số dương:

 2

4

ab a b

a b



 Tương tự:

4

bc b c

b c





ac a c

a c





 Cộng lại 3 bất đẳng thức thì cĩ đpcm

Ví dụ 10: Cho a, b, c >0 a b   Chứng minh: c 1 a b 16abc

Giải

Ta cĩ: 1ab c 24a b c

Dấu “=” xảy ra khi

1 4 1

b c

b c

a b c

a



 







 

Ví dụ 11: Với a, b, c, d >0 Chứng minh rằng:

a

b c c d d a a b

a c b d c a d b b

a b b c c d d a

Giải

a b c d

a b c d









) VT=

a b c d

  

Dấu “=” xảy ra khi ab c d

Ví dụ 12: (ĐH khối D 2005): Cho x, y, z > 0, xyz = 1 Chứng minh rằng:

3 3

Giải

2

3

Tương tự ta có :

3 ; 3

  6 

Dấu “=” xảy ra khi: z2 x2 y2 x2 y2 z2 y2 x2 z2 x y z 1

Ta có thể áp dụng BĐT Côsi một cách đơn giản hơn như sau:

2

2 2 2

x y z

Đẳng thức xảy ra khi

1

1

x y

x z







Chuyên đề Bất đẳng thức Trường THTP số 2 An Nhơn

HỆ QUẢ TỪ BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI

KĨ THUẬT CỘNG MẪU SỐ: ( BĐT cộng mẫu )

Cho a b , 0



Hoặc ta có

2

a b a b

a b ab

  











Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

Tổng quát với n số a a1, 2, ,a  n 0

Ta có:

2

n

a a  a a a  a

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1a2 a n

Ví dụ 1 : Cho ba số dương a, b, c, ta có:

1 1 1 1 1 1 1

2

a  b  b  c  c  a  a  b  c (2)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Áp dụng (1) ta có ngay điều phải chứng minh

* Phát triển: Áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta được:

a  b  c  b  c  a  c  a  b  a  b  b  c  c  a (3)

* Kết hợp (2) và (3) ta có

Ví dụ 2 : Với a, b, c là các số dương:

1 1 1 1 1 1 1

a  b  c  b  c  a  c  a  b  a  b  c (4)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Chú ý: Nếu thêm giả thiết 1 1 1

4

a  b  c  thì bài toán 2 là nội dung câu V, Đề thi Đại học khối A 2005

Ví dụ 3 (ĐH khối A 2005): Cho x, y, z là các số dương thỏa: 1 1 1 4

x y z 

Chứng minh rằng: 1 1 1 1

2xyzx2yz xy2z 

Giải

Ta có thể chứng minh như trên hoặc sau đây cũng là những cách chứng minh

Ta nhận xét đây là một tổng không đổi các số không âm và là biểu thức đối xứng do đó ta có thể sử dụng được BĐT Côsi

Hơn nữa biểu thức cần chứng minh chứa các tổng (lại bé hơn 1) chứ không phải là tích

Vì thế nên cần áp dụng BĐT cộng mẫu

Ta có: Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm a và b:



Từ đó ta có:

 

1 dpcm

VT

Dấu “=” xảy ra khi :

2

x y z

y x z

x y z

z y x

x y z

 







 



  



Hay ta cĩ thể giải như sau:

Từ 1 1 1 4

x yz  mà ta cĩ:

2

4

x y z

x y z xyz    

Từ đó ta có:

9

4

x y z x y y z y

x y z x y z z z

2

Suy ra

x y z x y z x y z

đpcm

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 3

4

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với a, b, c dương:

a  b  c  b  c  a  c  a  b  a  b  b  c  c  a (5)

Giải:

Vận dụng bất đẳng thức (1) ta cĩ:

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta cĩ bất đẳng thức (5)

Đẳng thức xảy ra khi:









Ví dụ 5 : Một ví dụ khác chẳng hạn:

Từ nhận xét :    3

cos cos cos có thể đưa ra bài toán khác là

2

Chuyên đề Bất đẳng thức Trường THTP số 2 An Nhơn

osA+ osB+ osC 3

Từ đĩ ta cĩ bài tốn : Cho tam giác nhọn ABC :    

2

3

2

Ví dụ 6: Cho 3 số dương a, b, c và a + b + c = 1

Chứng minh:           

Giải

 

 

2

3

1 + a 1 1 abc + ab + bc + ca + a + b + c +1 1 1 1 2

a

a

1 abc

27

VT 1 + 9 + 54 = 64

Dấu "=" xảy ra khi a

Ta

Vì

b c a b c

a b c

1

= b = c =

3

Ví dụ 7: Cho a, b > 0 và a + b =1 Chứng minh:      

a +

8

b

Chú ý : Nếu ta áp dụng BĐT Cơsi ta cĩ :

Nhưng ở đây dấu “=” khơng xảy ra

Do đĩ ta giải như sau :





2

2

2

2

4 - 2 4 5

1 2

4

Dấu “=” xảy ra khi a = b = 1

2

Nhận xét: Ta cĩ thể giải dựa vào BĐT:  

 

2

2 , , * 2

a b

a b    ab a b

a b  a b  ab a b   

(*) cịn cĩ thể viết:

   

 

2

2

4 2











Nên từ:  

2

2

a b

a b

Ví dụ 8: Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn thỏa mãn đẳng thức sau:

Giải: Đặt x  tg , ,

ytg ztg thế thì x, y, z dương và xy + yz + zx=1

yz  zx  xy  xyz

Ta có:

xy yz zx yz xy zx yz zx xy yz zx xy

xy yz zx yz xy zx yz zx xy yz zx xy

1 4

yz  xyz

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay tam giác ABC đều

BÀI TẬP TỔNG HỢP:

Bài 1: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 6 Chứng minh rằng:

512

729 1

1 1 1









































c

a b a

Bài 2: Cho a, b, c > 0 và abc = 1 Chứng minh rằng:

3



















c b a c

b a b

a c a

a

b

Bài 3:(BĐT Nesbitt): Cho a,b,c là các số thực dương CMR: 3

2

b c caa b 

Bài 4:( (Prance Pre –MO 2005) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: 2x y2z2  3

CMR: xy yz zx 3

z  x  y 

Bài 5:(Cho x, y, z >0 thoả x y z 1 CMR 1 4 9 36

x yz

Bài 6:(Cho x, y, z là các số thực dương CMR xyz(xyz y)(  z x z)(  x y)

Bài 7:(( IMO 2000) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1

Chuyên đề Bất đẳng thức Trường THTP số 2 An Nhơn Bài 8:(IMO-1995) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1

a b c b ca c a b 

Bài 9:(Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: xyz x y z 2

2

x y  z xyz

Bài 10: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác:

b c a  c a ba b c  

a b c  b c ac a b  abc

Bài 11: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x2y2z22xyz CMR: 1

2

xy z

2, 1 1 1 4(x y z)

x yz  

Gợi ý: từ giả thiết ta có thể đặt x a ,y b ,z c

Bài 12: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a  b c 1

abc

ab  bc  ca   

Bài 13: Cho a b c , , 0 thoả mãn abc  CMR: 1 1 3 6

a b c ab bc ca

Bài 14: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác CMR:

1, a2b2c24 3S với S là diện tich tam giác

2, a b a b2 (  )b c b c2 (  )c a c a2 (  )0

Gợi ý: Đặt axy b,  yz c,  z x

Bài 15: Cho a b c , , là độ dài 3 cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:

p a p b p c a b c

a b c . 2

 

Bài 16: Cho a  0;b 0  , chứng minh rằng 2 a 3 b  5 ab5

Bài 17:( Bộ đề thi TSĐH) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

Chứng minh rằng: a b c 3

b c a  a c b  b a c 

     

Bài 18: Trong bài toán 17 trên chúng ta đã sử dụng ẩn phụ hoặc dùng bất đẳng

thức Côsi để giải Sử dụng cách thức trên, hảy giải bài toán sau:

1) Cho a,b,c 0  và a b c d 1    

Chứng minh rằng

a b c    b c d    b d a    c d a    2 3

2) Cho a,b,c,d 0  , Chứng minh rằng:

a) (1  a )(1  b )(1  c ) (1  3 abc )

b) (a b)(c d)    (a c)(b d)    (a d)(b c)    6 abcd4

Bài 19: Cho 1 2x ,x , , x n 0;1

 , chøng minh r»ng:

(1 x  1  x ) n 2  4(x12 x22  x n2)

Bài 20: Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh các bất đẳng thức:

1)

2)

Bài 21: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = ab + bc + ca thì:

Bài 22:(ĐH BK 1986):Cho a, b > 0 Chứng minh:     

m 1

Bài 23: Chứng minh: bc  ca  ab    

a b c ; a,b,c 0

Bài 24:( Bộ đề thi TSĐH) Chứng minh:      

6 9

2 3

4

Bài 25:( Bộ đề thi TSĐH) Chứng minh:   



2

1

Bài 26: Chứng minh: a1995 1995 a 1    , a > 0

Bài 27: Chứng minh: a 1 b2  2 b 1 c2  2 c21 a  2 6abc

Bài 28: Cho a , b > 0 Chứng minh:       

2 2 2 2 2 2

Bài 29: Cho a , b  1 , chứng minh: ab  a b 1 b a 1   

Bài 30: Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4 Chứng minh: xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1)

Bài 31: Cho a > b > c, Chứng minh: a3 3  a b b c c   

Bài 32:( Bộ đề thi TSĐH) Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1 Chứng minh:

a) b + c  16abc

b) (1 – a)(1 – b)(1 – c)  8abc

c)           

Bài 33:( Bộ đề thi TSĐH) Cho a > b > 0 Chứng minh:



1

Bài 34: Chứng minh:



2

2

2

,x  R b)  



x 8 6

x 1 , x > 1 c)  



2 2

4

; a, b, c 0

4

1 16x 1 16y , x , y  R

b c a c a b 2 ; a , b , c > 0 Bài 38:( Bộ đề thi TSĐH) Cho a , b , c > 0 C/m:   

abc

Bài 39:( Bộ đề thi TSĐH) Cho: a , b > 0 và a + b = 1 Chứng minh:       

Bài 40::( Bộ đề thi TSĐH) Cho ; a, b, c  0Chứng minh: