Cho tam giác ∆ABC, a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác... Cho n,k là các số nguyên dương..[r]
Trang 1
100 BÀI BẤT ĐẲNG THỨC
1 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh:
3 2
b c c a a b
2 Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x2 y2 z2 3
Chứng minh :
3
xy yz zx
z x y
3 Cho x, y, z >0 thoả x y z 1 Chứng minh:
36
x y z
4 Cho x, y, z là các số thực dương Chứng minh: xyz(xy z y z x z )( )( x y)
5 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1
Chứng minh :
6 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1
Chứng minh : 3 3 3
a b c b c a c a b
7 Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: xyz x y z 2
Chứng minh :
3 2
8 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a2+b2+1 ab+a+b
b) a2+b2+c2+d2+e2 a(b+c+d+e)
c) a3+b3 ab(a+b)
d) a4+b4 a3b+ab3
9 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) (a+b+c)2 3(ab+bc+ca)
b) a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2) 6abc
10 a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b=2
Chứng minh rằng: a4+b4 a3+b3
b) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b+c=3
Chứng minh rằng: a4+b4+c4 a3+b3+ c3
Trang 211.Cho a,b,c là các số dương,
Chứng minh rằng:
12 Cho 4 số dương a,b, c Chứng minh :
13 Chứng minh rằng với a,b,c > 0 thì:
a)
bc ac ab
a b c
b)
c)
ab bc ca
14.Chứng minh rằng với a,b,c > 0 thì:
a)
b)
a b c
c)
15 Cho x y z , , 0 và xyz 1 Chứng minh:
16 Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa ab bc cd da 1 Chứng minh:
3
b c d c d a a b d a b c
17 Cho ba số dương a, b, c Chứng minh:
a a b b b c c c a a b c d
18 Cho ba số dương x, y, z thỏa x2 y2 z2 3. Chứng minh:
3
xy yz zx
z x y
Trang 319 Cho cỏc số dương x, y, x thỏa xyz = 1 Chứng minh:
5 5 5 5 5 5
1
x xy y y yz z z zx x
20 Cho a b c, , 0. Chứng minh:
a b c abcd b c d abcd c d a abcd d a b abcd abcd
21 Cho x, y, z là cỏc số dương Chứng minh:
3
22 Cho ba số dương x ,y, z Chứng minh:
x y z
x y z
yz zx zx
23.Cho ba số dương a, b, c Chứng minh a2 b2c2 2(ab ac )
24.Cho ba số dương a, b, c thỏa a + b + c = 3 Chứng minh:
2 2 2
3 2
25 Chứng minh rằng :
a)
2
2 2
b)
2
26 Chứng minh m,n,p,q ta đều có
m ❑2 + n ❑2 + p ❑2 + q ❑2 +1 m(n + p + q + 1)
27 Cho a, b, c, d,e là các số thực,
Chứng minh rằng
a)
2
2 b
4
b)a2 b2 1 ab a b
c)a2b2c2d2e2 a b c d e
28 Chứng minh rằng: a10 b10a2b2 a8b8a4b4
29 Cho x.y =1 và x.y = 1 Chứng minh
2 2
x y
Trang 430 Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng
(a+b)(b+c)(c+a) 8abc
31 Cho a>b>c>0 vµ a2b2 c2 1 Chøng minh r»ng:
2
b c a c a b
32 Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 Chøng minh r»ng:
33 Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng:
34 Cho 0 <a,b,c <1 Chøng minh r»ng:
2a32b32c3 3 a b b c c a2 2 2
35 Cho a,b,c,d > 0 Chøng minh r»ng
36 Cho
a
b<
c
d vµ b,d > 0 Chøng minh r»ng:
a
d
37 Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng
38 Chøng minh r»ng:
1 1 1 1 2 n 1 1
( Víi n lµ sè nguyªn dương)
39 Cho a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c,chøng minh r»ng:
a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)
40 Cho a,b,c > 0 vµ a+b+c <1
Chøng minh r»ng
2 2 2
9
41 Chøng minh r»ng
2 2 2
n
1 2 n ( ∀ n∈ N ;n>1 )
42 Cho n ∈ N vµ a+b> 0
Trang 5Chøng minh r»ng
n
a b 2
n n
2
(1)
43 Cho abc = 1 vµ a336 Chøng minh r»ng:
2
a
3 b2+c2> ab + bc + ac
44 Chøng minh r»ng
a) x4 y4z2 1 2x.(xy2 x z 1)
b) a25b2 4ab 2a 6b 3 0
c) a2 2b2 2ab 2a 4b 2 0
45 Cho x > y vµ xy =1 Chøng minh r»ng
2
2 2 2
8
x y
46 Cho xy 1 Chøng minh r»ng
2 2
1 xy
47 Cho a , b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b +c =1
Chøng minh r»ng
2 2 2 1
3
48 Cho 0 < a, b,c <1 Chøng minh r»ng:
2a32b32c3 3 a b b c c a2 2 2
49 Cho a ,b ,c ,d > 0 Chøng minh r»ng:
a b c b c d c d a d a b
50 Cho a ,b,c lµ sè ®o ba c¹nh tam gi¸c
Chøng minh r»ng:
b c c a a b
51.Chøng minh:
a)
b)
n
52.Chứng minh rằng: bc ca ab a b c a b c , , 0
Trang 653.Chứng minh rằng:
54 Cho tam giác ∆ABC, a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác CMR:
a) p a p b p c 18abc
; b)
1 1 1 2 1 1 1
55 Cho ∆ ABC, a, b, c là số đo ba cạnh của tam giác
Chứng minh rằng:b c a c a b a b c abc
56 Cho a>0, b>0 Chứng minh:
57.Chứng minh rằng:
2
c a b a b c a b c
a b b c c a
58 Cho x y z , , (0;1) và xy yz zx 1 Chứng minh:
2 2 2
3 3 2
59 Cho ∆ABC Chứng minh rằng:
b c a c a b a b c
60.Cho ∆ ABC Chứng minh : ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) ≤ abc
61 Cho ∆ABC Chứng minh :
2 2 2
p a p b p c
p a p b p c
62 Chứng minh rằng nếu a, b, c > 0 va abc = 1 thì:
63 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh
64.Cho a>0, b>0, c>0
Chứng minh:
Trang 765 Cho a>0, b>0, c>0
Chứng minh: 3 3 3 2 2 2
a b c a b b c c a
66.Cho a>0, b>0, c>0
Chứng minh: 4 4 4 3 3 3
a b c
67.Cho a>0, b>0, c>0
Chứng minh:
5 5 5 4 4 4
68.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:
69.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:
2 2 2
1 1 1
a b c
b c a a b c
70.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:
71.Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác Chứng minh
a a b c b b c a c c a b
72.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: 3 3 3 2 2 2
73.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: 4 4 4 3 3 3
74.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: a5b5c5a b3 2b c3 2c a3 2
75.Cho a>0, b>0, c>0 Cho n,k là các số nguyên dương Chứng minh:
n k n k n k n k n k n k
76.Cho a>0, b>0
Chứng minh:
4
Trang 877.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:
2
78.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: 3 3
n
n n n
79 Cho a, b, c là ba số dương Chứng minh rằng
80 Cho x, y, z lµ 3 sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1 Chøng minh r»ng:
1
x y y z z x
81 Cho x, y, z là ba số thỏa x + y + z = 0 Chứng minh rằng :
3 4 x 3 4 y 3 4 z 6
82 Cho a, b, c là các số thực khơng âm thỏa mãn a b c 1 Chứng minh rằng:
7 2
27
ab bc ca abc
83 Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 5-x + 5-y +5-z = 1 Chứng minh rằng:
4
84 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:
3
a b b c c a
85 Cho a,b,c là ba số thực dương Chứng minh:
3 3 3
2
b c c a a b
a b c
86 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng:
3
87 Cho các số thực dương x y z, , Chứng minh rằng:
2 2 2
x y z
x y z
88 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a b c, , thỏa mãn a2b2c2 1, ta cĩ:
Trang 9
3
a a a b b b c c c
89 Cho a, b, c l các sà ố thực dương thoả mãn abc = 1 Chứng minh rằng :
90 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa món ab + bc + ca = 3.
Chứng minh rằng:
3
b c a
91 Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng: 3 2 3 2 3 2 2 2 2
2
2 x y 2 z 1 1 1
x y y z z x x y z
92 Cho a, b,c là cỏc số khụng õm Chứng minh rằng
93 Cho cỏc số dương a b c ab bc ca, , : 3.
Chứng minh rằng: 2 2 2
1a b c( ) 1 b c a( ) 1 c a b( ) abc
94 Cho các số thực dơng a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1
Chứng minh rằng :
2
b c c a a b
95 Cho 3 số dương a,b,c thoả món: ab + bc + ca = abc Chứng minh:
a a b b c c
96 Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng:
3 2 3 2 3 2 2 2 2
2
y
x y y z z x x y z
97.Cho ba số thực dương a, b, c thỏa món abc = 1 Chứng minh rằng:
98 Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 2-x + 2-y +2-z = 1.Chứng minh rằng :
Trang 10
x y z y z x z x y
4
99 Cho a, b, c lµ nh÷ng sè d¬ng tho¶ m·n a + b + c = 1
Chøng minh r»ng
100 Cho ba số dương x y z, , Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
9
x y z x y y z x z