Chuyên đề Bất Đẳng Thức

KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1.. Bất đẳng thức Bunhiaxcopky... CHUYÊN DỀ: CHỨNG MINH BẤT DẲNG THỨC2 H D: Làm tuơng tự bài 1... Phương pháp sử dụng b

CHUYÊN ĐỀ: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

ú

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Khái niệm:

A > B A — B > 0 ; A < B A — B < 0

A ≥ B A — B ≥ 0 ; A ≤ B A — B ≤ 0

2 Tính chất:

1) A > B và B > C A > C

2) A > B A + C > B + C

3) A > B AC > BC nếu C > 0 và AC < BC nếu C < 0

4) A > B, C > D A + C > B + D

5) A > B > 0 và C > D > 0 A.C > B.D

6) A > B > 0 và n N* An > Bn

7) A > B > 0 và n N n A n B

8) A > B 1 1

A B nếu AB > 0 Hoặc:

1 1

A B nếu AB < 0.

B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

1 Phương pháp biến đổi tương đương

Bài 1: Chứng minh: a + b ≥ ab (1) a, b > 0.(Bất đẳng thức Côsi)

2 H

D: (1) a + b — ab = a b 0 (dúng)

4ab H D: Biến dôi dưa về (a — b)2

≥ 0 Bài 3: Chứng minh: a2 + b2

≥ 2ab H D: Xét hiệu, dưa về (a —

b)2 ≥ 0

Bài 4: Chứng minh: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) (Bất đẳng thức

Bunhiaxcopky) H D: Biến dôi hiệu (ac + bd)2 — (a2 + b2)(c2 + d2) thành (ay — bx)2

HD: Biến dôi hiệu a2 + b2 + c2 — ab + bc + ca thành (a — b)2 + (b — c)2 + (c — a)2

Bài 6: Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + 1 ≥ a + b + c + d

HD: Biến dôi a2 + b2 + c2 + d2 + 1 — a + b + c + d thành: a 1 b 1 c 1 d 1

Bài 7: Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 ≥ a(b + c + d +

e)

HD: Biến dôi về dạng: a — + a —( c ( ö d

+ a —

( e ö + a — 0

2 ø èç 2 ø

Bài 8: Chứng minh: (ax + by + cz)2 ≤ (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 +

z2) H D: Biến dôi về dạng: (ay — bx)2 + (az — cx)2 + (bz — cy)2 ≥

0

é( ö2 2 ù HD: Biến dôi, phân tIch thành: (a — b)2(a2 + ab + b2) = (a — b)2 êça + b ÷ + 3b ú 0, Va,b

a 3 + b3 ( a + b

ö3

ëêê 2 4 úû

Bài 10: Chứng

çè 2 ø÷

HD: Xét hiệu, phân tIch thành nhân tử dpcm

CHUYÊN DỀ: CHỨNG MINH BẤT DẲNG THỨC

HD: Quy dồng mẫu, xét hiệu dưa về dạng: (a — b)2 ≥ 0

HD: Xét hiệu, dưa về dạng: (a — b)2 + (b — c)2 + (c — a)2 ≥ 0

Trang 2

DỖ TRUNG THÀNH — GIÁO VIÊN THCS

xy x y x, y > 0

Trang 3

DỖ TRUNG THÀNH — GIÁO VIÊN THCS

H

D: Biên dôi vê (x + y)2 ) 4xy tuơng tự bài 2

Bài 14: Trong hai số sau số nào lớn hơn? Vì sao? A = 2005 +

H

D: Chứng minh A2 ) B2 dpcm

Bài 15: Chứng minh: a2 + b2 ) a + b — 1

2

2007 và B = 2 2006

( 1 ö HD: Biên dôi dua vê ça — ÷2 ø + çb — ÷ 0( 1 ö2 ø

Bài 16: Chứng

minh:

a 2 + a + 1 3

a 2 + 1 2 HD: Quy dồng: 2a2 + 2a + 2 ≤ 3a2 + 3 (a — 1)2

HD: a) Vì a > 0 nên: a2 — 2a + 1 ) 0 (a — 1)2 ) 0 b) Vì a < 0: a2 + 2a + 1 ) 0 (a + 1)2 ) 0

H

D: a) Từ (a — b)2 ) 0 a2 + b2 ) 2ab Chia cả hai vê của a2 + b2 ) 2ab cho ab > 0 dpcm b) Chia cả hai vê của a2 + b2 ) —2ab cho ab < 0 dpcm

HD: Biên dôi, dua vê: (a — b)(x — y) ) 0 (dúng)

1ö 2ç + + ÷

HD: Do a, b, c > 0 Thực hiện quy dồng, biên dôi vê: (a + b + c)2 ) 0 (dúng)

Bài 21: Cho ab ) 1 Chứng

minh:

2 + a 2 + b2

1

1 + a 2 2

+ 1

1 +

b2

2

1 + ab (*)

H

D: (*)

1 + a 2 + b2 + a 2

b2

1 + ab

(a — b)2(1 — ab) ≤ 0 (dúng)

x 2 y2 ( x y

Bài 22: Cho x, y ≠ 0 Chứng

y2 x 2 y x H

D: Dãt x + y = t

y x ( | t | ) 2 ) Bất dẳng thức viêt lại: t

2

— 3t + 2 ) 0 (t — 1)(t — 2) ) 0, | t | ) 2

Bài 23: Chứng minh: (a — 1)(a — 3)(a — 5)(a — 7) + 15 ) 0, a.

H

D: BDT t(t + 6) + 15 ) 0 (t + 3)2 + 6 > 0, a

Bài 24: Chứng minh: (x — 1)(x — 3)(x — 4)(x — 6) + 10 > 0, x.

H

D: Làm tuơng tự bài 23

HD: Xét hiệu dua vê bất dẳng thức: (x + y)(x — y)2 ) 0

2 Phương pháp làm trội, ước lượng

12 22 + 1 + +

32

1 (n 2)

n 2 HD: Dễ thấy A > 1 Mãt khác: A < 1 + 1 + 1 + 1 + + 1 = 2 — 1 < 2 Vậy: 1<A<2

Trang 4

DỖ TRUNG THÀNH — GIÁO VIÊN THCS

1

< 3 .(Vn e N* ) 1.3 2.4 n(n + 2) 4

CHUYÊN DỀ: CHỨNG MINH BẤT DẲNG THỨC

2

H

D: Làm tuơng tự bài 1

Bài 28: Chứng minh: A

=

1 + 1 + + 1 < 1 .(Vn e N* ) HD: Làm tuơng tự bài 1

2.5 5.8 (3n —1)(3n + 2) 6

1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n + 2)

n(n + 1)(n + 2) 2 ê[ n(n + 1) (n + 1)(n + 2) ú]

n+ 1 n+ 2 n+ 3 2 n 2 HD: Thay mỗi số hạng của tông bởi số nhỏ nhất là 1

2n A >

1 .n = 1 (dpcm)

n n+ 1 n+ 2 n 2 HD: Thay mỗi số hạng của tông bởi số nhỏ nhất là 1 B > 1 .(n2 — n) = 1— 1 > 1(dpcm)

2! 3! 4! n!

HD: A < 1 + 1 + 1 + + 1 = 1— 1 < 1.

2! 3! 4! n!

HD: D = 2 —1 + 3 —1 + + n —1

=

2

— 1 + 3 — 1 + + n — 1

= 1— 1 + 1 — 1 +

+

1

— 1 = 1— 1 < 1

Bài 34: Chứng minh: A

=

1 + 1

22 42 + 1 + +

62

1 (2 n)2 < 1 (n N, n ) 1)

2

( ö HD: C1: A = 1 ç1 +

1 + 1 + +1 ÷ < ç1 +1 1 + 1 + + 1 ÷ = ç2 — ÷ < 1 1

4 èç 22

32 n 2 ø÷ 4 1.2 2.3 (n —1)n èç n

ø÷

(

2 ö÷ C2: A < 1 + 1 + + 1 = 1 + 1 + + 1 = 1 ç1— 1 ÷ < 1

22 —1 42 —1 (2n 2 ) —1 1.3 3.5 (2n —1)(2n + 1) 2

Bài 35: Chứng

minh:

1 + 1

32 52 + 1 + +

72

1

< 1 (2n + 1)2 4 (n N, n ) 1).

HD: Làm tuơng tự cách 2 của bài 6 dpcm

Bài 36: Chứng

minh:

1 + 1

22 32 + 1 + + 1

42 n 2< 2 (n N, n ) 2)

3 HD: Nhân xét: 1 < 4 = 2( 1

+

A = 2 — 1 ö< 2

n 2 4n 2 —1 çè 2n —1 2n +

CHUYÊN DỀ: CHỨNG MINH BẤT DẲNG THỨC

Bài 37: Chứng minh:

1

1 2

2 22 23 2n

HD: 2A = 2 + 1 + 1 +

1 + + 1 A = 2A — A = 2 — 1 < 2

2 22

2 22 23 2100

CHUYÊN DỀ: CHỨNG MINH BẤT DẲNG THỨC

Trang 4

DỖ TRUNG THÀNH — GIÁO VIÊN THCS

HD: Làm tuơng tự bài 9, áp dụng kêt quả của bài 9 với n = 99 ta duợc: B = A — 100 < A < 2

2100

Trang 5

DỖ TRUNG THÀNH — GIÁO VIÊN THCS

CHUYÊN DỀ: CHỨNG MINH BẤT DẲNG THỨC

Bài 39: Chứng minh: B

=

1 1

33 HD: Ta có: 1 < 1 =

43 53 1

n3

= 1 (

12

1

— 1 B < 1 1 = 1

n3 n3 —1 (n —1)n(n + 1) 2 çè n(n —1) n(n + 1)

3 32 33 3100 4 HD: Ta có: 3A = 1 + 2 +3 + + 100 Þ 2D = 1 + 1 +

1

— 100

399 3100 Dãt: S = 1 + 1 + 1

3 32 +

+

1

399 3S — S = 2S = 3 — 1 < 3

399 2D < S 4D < 2S D < 3

4

HD: Ta có: n(n + 1) —1 = 1 — 1 A = 1 + 1 + 1 — 1 — 1 < 1 + 1 + 1 = 2

(n + 1)! (n —1)! (n + 1)! 2 1! 2! 99 100 2 1! 2!

1 (n + 1)2 HD: Nhân xét: 1 + = B = 22 32 (n +

n + 1 2 < 2 n(n + 2) n(n + 2) 1.3 2.4 n.(n + 2) 1 n + 2

HD: Nhân xét: 1— 2

= (n —1)(n + 2) Thay vào và rút gọn: A = 1 n + 2 > 1 n(n + 1) n(n + 1)

5 13 n 2 + (n + 1)2 2 HD: Si dụng: 1 = 1 < 1 ( 1 — 1 dpcm

n 2 + (n +

2 + 2n + 1

2 çè n n + 1÷ø

) 1.3 1.2.4 1.2.3.5 1.2.3 n(n + 2) 2!

1.2.3 n(n + 2) 1.2.3 n(n + 1)(n + 2) 1.2.3 n(n + 1)(n + 2)

1.2.3 n(n + 1) 1.2.3 n(n + 1)(n + 2) (k +1)! (k + 2)!

Bài 46: Chứng

minh:

1 + 1 + + 1 < 1

n 2 + 1 n 2 + 2 n 2 + 2005 HD: Si dụng: 1 < 1 = 1 (k = 1, 2, , 2005) dpcm

n 2 + k n 2 n

Trang 6

DỖ TRUNG THÀNH — GIÁO VIÊN THCS

CHUYÊN DỀ: CHỨNG MINH BẤT DẲNG THỨC

1

2 1 3 2 (n + 1) n

HD: 1 ( n + 1 + n )( n + 1 — n ) 2 n + 1.( n + 1 — n ) ( 1 2 1

ç

èç n — n + 1÷ø .

( 1 1

ö2

çè 3(1 + 2 ) 5( 2 + 3) 4011( 2005 + 2006) 2007 HD: Vâi n ) 1: 2 = 2( n + 1 — n ) < 2( n + 1

—

n )

= 1 — 1

(2n + 1)( n

2 + 4n + 1

2 n(n + 1) n n + 1

S < 1— 2 < 1— 2 = 1— 2 = n Cho n = 2005.

4n + 4 n 2 + 4n + 4

Bài 49: Cho số A gồm 2007 số hạng sau:

n + 2 n + 2

2007 1 20072

H

D: Vâi các số tự nhiên m, k lân hơn 1 ta có:

k 1 k 1 k 2 1 k 2 1 k 1 k 1 k 2 1

1003 200722007 1 1003

3 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức phụ

Bài 50: Cho a, b, c là dộ dài của ba cạnh tam giác Chứng minh:

a) ab + bc + ac ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac)

b) abc > (a — b + c)(a + c — b)(b + c — a)

c) 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 — a4 — b4 — c4 > 0

d) a2(b + c — a) + b2(c + a — b) + c2(a + b — c) ) 3abc

H

D: Biên dôi, dua vê bất dẳng thức tam giác

Bài 51: Cho a, b, c là các số duơng Chứng minh: (a2 + b2)c + (b2 + c2)a + (c2 + a2)c ) 6abc

HD: Ap dung bất dẳng thức: x2 + y2 ) 2xy dpcm

a + b b + c a + c 2 HD: Ap dung: (x + y)2 ) 4xy, chia hai vê cho số duơng 4(x + y): xy x + y Thay x, y bang 3

x + y 4 cãp số (a, b), (b, c), (c, a) Cộng vê vâi vê của 3 bất dẳng thức dpcm

a 2 b2 c2

c b a

Bài 53: Chứng

b2 c2 a 2 b a c HD: Ap dung x2 + y2 ) 2xy Nhân 2 vê vâi 2, làm tuơng tự bài 3 vâi 3 cãp ( a

, b ö÷,( b , c ö÷,( c , a

èç b c ø÷ çè

c a ÷ø çè

a b ÷ø

HD: Ap dung bô dê: 4 1 + 1

a + b b + c a + c a b c cho các cãp số (a, b), (b, c), (c, a) dpcm

x + y x y

Bài 55: Cho a, b, c > 0 Chứng minh: 2(a3 + b3 + c3) ) a2(b + c) + b2(b + c) + c2(a +

b) H D: Ap dung bất dẳng thức: x3 + y3 ) xy(x + y) cho 3 cãp giao hoán a, b, c

dpcm

èç a ÷ø çè

2

b

÷ø 2(

ç1 + 1 ÷

÷ 2

HD: Ap dung: x 2 + y2 (x +

y) vâi x = a + 1 1 , y = b + VT ) ab ø 4) (1 + = 25 .

2

Cần chú ý là 1 ( a + b

ö

4 vi ab ç ÷ =

1

CHUYÊN DỀ: CHỨNG MINH BẤT DẲNG THỨC

Trang 6

DỖ TRUNG THÀNH — GIAO VIÊN THCS

(

Bài 57: Cho a, b > 0 Chrng minh: (a + b)ç 1 + 1 ÷ 4

a b HD: Ap dung bấth dãng thhrc Côsi: a + b 2 ab , 1 + 1 2

÷ ÷

Trang 7

DỖ TRUNG THÀNH — GIAO VIÊN THCS

CHUYÊN DỀ: CHỨNG MINH BẤT DẲNG THỨC

( 1 1 1ö

Bài 58: a, b, c > 0 Chrng minh: (a + b + c) ç + + ÷ 9 a b c ø

H

D: Ap dung bấth dãng thhrc Côsi cho 3 số Làm thuơng thự bài 8

Bài 59: Cho a, b, c > 0 Chrng minh: (a + b)(b +c)(c + a) ) 8abc.

H

D: Ap dung Bấth dãng thhrc Côsi suy ra dpcm

Bài 60: Cho a, b, c > 0 Chrng minh: bc + ca + ab a + b +

c a b c HD: Viêth lại Bấth dãng thhrc: a2b2 + b2c2 + c2a2 ) abc(a + b + c) Ap dung Côsi dpcm

b + c a + c b + a 2 HD: Biên dôi vê thrái, Ap dung bấth dãng thhrc Côsi cho 3 số Ta duợc:

+1÷ + ç +1÷ + ç c +1÷ — 3 = 1 [(a +b) + (b+c) + (c+a)]ç

1 + 1 ÷ — 3 3

a 2 b2 c2 a + b + c

b + c a + c b + a

2 ( a 2

HD: Ap dung Côsi: ç b + c ÷ö

( b2

+ a + c

ö ( c2

÷ + ç + b a +

ö

÷ ) a + b + c dpcm

b + c 4

729 ( a + b + c ö3 ( a + b + b + c + c + a ö3 8

ø÷

729

8 (a, b, c là dộ dài 3 cạnh tham giác, p là nia chu vi ). H

D: Ap dung Côsi cho 3 cãp số: (p — a, p — b), (p — b, p — c), (p — c, p — a) dpcm

a 2 + b2

Bài 65: Cho a > b và ab = 1 chrng minh:

a — b 2 2

(a — b)2 + 2ab 2 H

D: Biên dôi vê thrái, áp dung bấth dãng thhrc Côsi: VT = = (a — b) + 2

Bài 66: Cho 4 số duơng a, b, c, d Chrng minh rang: 3 bấth dãng thhrc sau không dồng thhời xảy ra:

a) a + b < c + d (1)

b) (a + b)(c + d) < ab + cd (2)

c) (a + b)cd < (c + d)ab (3)

(Đề thi HSG cấp tỉnh năm 2005 – 2006)

C1: Dãth A = c + d — a — b > 0, B = ab — ac — ad — bc — bd + cd > 0, C = abc + abd — acd — bcd > 0 Xéth phuơng thrinh P(x) = (x — a)(x — b)(x — c)(x — d) = 0 x4 + Ax3 + Bx2 + Cx + abcd = 0

Phuơng thrinh P(x) = 0 có các hệ số duơng, do dó không thhể có nghiệm duơng Theo cách dãth thhi phuơng thrinh P(x) = 0 lại có 2 nghiệm duơng a và b (vô lI) dpcm

C2: Giả si 3 bấth dãng thhrc thrên là dúng Từ (1) và (2) (a + b)2 < ab + cd (*)

Từ (2) và (3) (a + b)2cd < (ab + cd)ab (**)

Trang 8

DỖ TRUNG THÀNH — GIAO VIÊN THCS

CHUYÊN DỀ: CHỨNG MINH BẤT DẲNG THỨC

Từ (*) 4ab < ab + cd cd > 3ab (4)

Từ (**) 4abcd < (ab + cd)ab 4cd < ab + cd ab < 3cd (5) Từ (4) và (5) dpcm