LTDH_ Chuyen De Bat Dang Thuc

Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki1... Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki1... Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz... CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000 Chứng minh BĐT sau

III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1 Chứng minh: (ab + cd)2  (a2 + c2)(b2 + d2) BĐT Bunhiacopxki

III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1 Chứng minh: (ab + cd)2  (a2 + c2)(b2 + d2) () BĐT Bunhiacopxki

PHẦN II ĐỀ THI ĐẠI HỌC

1 (CĐGT II 2003 dự bị)

Cho 3 số bất kì x, y, z CMR:

2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)

Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3  x + y + z

9 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz

14 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)

Cho 3 số x, y, z > 0 Chứng minh rằng:

15 (ĐH PCCC khối A 2001)

Ch minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì:

16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)

Ch minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi  > 1 ta luôn có: x +  – 1 ≥ x

Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:

17 (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)

23 (ĐHSP TP HCM khối DE 2000)

Cho 3 số a, b, c bất kì Chứng minh các BĐT:

a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c)

24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất củabiểu thức: P =

Cho các số a, b, c ≥ 0 Chứng minh: ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1)

28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)

CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx >

31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kìkhác không:

BĐT cuối cùng luôn đúng  BĐT cần chứng minh đúng

39 (Đại học khối A 2003)

Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z  1 Chứng minh rằng:

23

Chứng minh rằng với mọi x  R, ta có:

Khi nào đẳng thức xảy ra?

44 (Đại học khối D 2005)

Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1 Chứng minh rằng:

Khi nào đẳng thức xảy ra?

45 (Đại học khối A 2005 dự bị 1)

46 (Đại học khối A 2005 dự bị 2)

Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có:  256Đẳng thức xảy ra khi nào?

47 (Đại học khối B 2005 dự bị 1)

Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = Chứng minh rằng:

Khi nào đẳng thức xảy ra?



2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)

x3 + y3 + z3  3  2(x3 + y3 + z3)  6

x3 + 1 + 1  3  x3 + 2  3x (1)Tương tự: y3 + 1 + 1  3  y3 + 2  3y (2)

f(t) = 3 – = < 0, t  Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta suy ra: A  10 Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z =

Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được đpcm.

Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10)

9 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Ta có: x + y + z  3  xyz  3  (xyz)2  27  xyz  3

Dấu "=" xảy ra  x = y = z =

10 (Học viện BCVT 2001)

Áp dụng (1) ta được:

Cộng 3 BĐT trên vế theo vế, ta được:

 đpcm

14 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x3, y2 ta có:

 Tương tự ta cũng có:

; Suy ra:

Vì a, b, c ≥ 2 nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b

Do đó VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 1

16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)

 Xét f(x) = x – x +  – 1 (x ≥ 0)

f(x) = (x – 1 – 1); f(x) = 0  x = 1

Vậy với x ≥ 0 và  > 1 thì f(x) ≥ 0 hay x +  – 1 ≥ x

31

(3 – 2a)(3 – 2b)(3 – 2c) ≤ = 1

 27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 1

 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 1

 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14

 3(a2 + b2 + c2) + 4abc ≥ 3(a2 + b2 + c2) + 6(ab + bc + ca) – 14

= 3(a + b +c)2 – 14 = 13Đẳng thức xảy ra  3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c  a = b = c = 1

 (a + b) [4(a2 + b2 – ab) – (a2 + b2 + 2ab)] ≥ 0

 (a + b)(3a2 + 3b2 – 6ab) ≥ 0  (a + b)(a – b)2 ≥ 0

BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng

b) (ab + bc + ca)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 + 2(abbc + bcca + caab) ≥

≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c)

24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

Ta có:

Đặt x = ; y = ; z = thì

Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:

28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)

Áp dụng BĐT Côsi cho 6 số dương ta có:

Nhân các BĐT (1) và (2) vế theo vế ta được:

35

Vậy maxA = khi a = b =

31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

 (1 – cosx) – sin4x ≥ 0  (1 – cosx) – (1 – cos2x)2 ≥ 0

Theo BĐT Côsi ta có:

(1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) = (2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤

≤ Vậy BĐT (3) đúng  (2) đúng  y ≤ , x Dấu “=” xảy ra khi cosx = 1

 x = k2 Vậy maxy =

 Tìm min: Ta có y = sin5x + cosx ≥ – sin4x + cosx

Tương tự như trên, ta được miny = – , đạt được khi x =  + k2

dấu "=" xảy ra khi a = b

Áp dụng với a = , b = , ta có:

Dấu "=" xảy ra khi Vậy Max A = 16

 Cách 4:

49