Một số công thức lượng giác - Chuyên đề đại số 10 - Hoc360.net

Sử dụng công thức lượng giác một cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác nhằm triệt tiêu các giá trị lượng giác của góc không đặc biệt và đưa về giá trị lượng giác đặc biệt.. Cá[r]

Trang 1

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

§3 MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Công thức cộng:

sin( ) sin cos sin cossin( ) sin cos sin coscos( ) cos cos sin sincos( ) cos cos sin sin

2 Công thức nhân đôi, hạ bậc:

a) Công thức nhân đôi

sin 2 2 sin cos

2

1 cos 2cos

2

1 cos 2tan

21

2

4 Công thức biển đổi tổng thành tích

cos cos 2 cos cos

Trang 2

cos cos 2 sin sin

sin sin

b a

Trang 3

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 DẠNG TOÁN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Phương pháp giải

Sử dụng công thức lượng giác một cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác nhằm triệt tiêu các giá trị lượng giác của góc không đặc biệt và đưa về giá trị lượng giác đặc biệt

2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính các giá trị lượng giác sau: 0 0 7 5

cos 795 , sin18 , tan , cot

• Vì 540 360 90 nên 0 sin 540 cos 360

Màcos 360 cos 2.180 1 2 sin 18 2 0

Trang 4

Ta lại có

2

2 tan8

1 tan

8 suy ra

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:

a) A sin 22 30 ' cos 202 30 '0 0 b) 4 sin4 2 cos

B

c)

2sin sin

Trang 5

c) C tan 90 tan270 tan 630 tan 810 d) 2 22 2

sin sin sin sin

Trang 6

1 tan 20 tan 25Suy ra

sin 9 cos 81 sin 81 cos 9 sin 27 cos 63 sin 63 cos 27

cos 9 cos 81 cos 27 cos 63

Trang 7

Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:

a) sin cos cos cos

4 sin 40 cos 40 cos 80

2 sin 80 cos 80 sin160

Trang 8

c)

sin sin cos cos 2 sin sin 2 cos cos 2

2 2 sin sin cos cos 2 2 cos 0

Trang 9

• Từ giả thiết ta có sin sin cos cos 2 6

3sin cos sin cos sin cos sin cos

Bài 6.26: Tính các giá trị lượng giác sau 11

sin , sin , cot

Bài 6.27: Tính giá trị của biểu thức sau:

a) A 4 sin 45 cos12 cos 30 0 0 sin 540 sin 360 b) B 1 cot230 1 cot220

c) cos 360 cos 72 d) 0 sin10 sin 50 sin 70 0 0 0

Bài 6.29: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A cos 732 0 cos 472 0 cos 73 cos 470 0 b) B sin 6 sin 42 sin 66 sin 780 0 0 0

D

Bài 6.30: Cho , thoả mãn sin sin m và cos cos n, mn 0

Trang 10

Bài 6.31: Tính giá trị của các biểu thức sau:

b) B cos10 cos 50 cos 700 0 0

c) C sin 6 sin 42 sin 66 sin 78o o o o

cos cos cos cos cos

E

e) F sin 5 sin15 sin 25 sin 75 sin 85o o o o o

Bài 6.33: Tính A 1 tan10 1 tan2 10 tan 450

Bài 6.34: Tính A cos cos 2 cos 3 cos 999 với 2

1999

Trang 11

 DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU

Trang 12

9Vậy cos 4 7

9

Ví dụ 4: Cho sin cos cot

2 với 0 Tính

2013tan

Trang 13

Ví dụ 5: Cho sin 1, tan 2 tan

Trang 14

4 x ) Tính sin , cos , tanx x x 4

Bài 6.36: Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:

a) sin(a b), cos(a b), tan(a b khi ) sin a 8 , tan 5

2 sin 3 cos 2 sin 3 cos

Bài 6.38: a) Cho tan m

n Tính A msin2 ncos2

Trang 15

4

Trang 16

 DẠNG TOÁN 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

VÀ CHỨNG MINH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN

Để chứng minh đẳng thức lượng giác ta có các cách biển đổi: vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lương trung gian Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt các

công thức lượng giác

Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái có đại lượng nào

để từ đó liên tưởng đến kiến thức đã có để làm sao xuất hiện các đại lượng ở vế trái Và ta thường biến đổi

vế phức tạp về vế đơn giản hơn

Trang 17

2

2 2

Trang 18

c) sin sin cos

tancos sin sin

Trang 19

2 sin sin cos cos

Trang 20

a) cos 2 cos 2 cos 3

sin sin 2 sin 3

Trang 21

Ví dụ 6: Cho sin(a b+ )=2 cos(a b− Chứng minh rằng biểu thức ) 1 1

2 sin 2 2 sin 2 4 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2

2 sin cos cos 2 sin

Trang 22

Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM

sin 3 3 sin 4 sin sin

Bài 6.42: Chứng minh các hệ thức sau:

a) 4 cos3 sin sin3 cos sin 4

Trang 23

c) cos cos 3 cos 5 cos 7

sin sin 3 sin 5 sin 7

Bài 6.45: Chứng minh các hệ thức sau:

a) Nếu 2 tana tan(a b) thì sinb sin cos(a a b)

b) Nếu 2 tana tan(a b) thì 3 sinb sin(2a b)

c) Nếu tan(a b) tanb 3 thì cos(a 2 )b 2 cosa 0

d) Nếu 3sin(a b+ )=cos(a b− thì ) 2( )

8sin a b+ =cos 2 cos 2a b

Bài 6.46: Chứng minh rằng sin sin2 sin4 cos cos5 cos7 3

n n n

Trang 24

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Bài 6.51: Cho n là số nguyên dương Chứng minh rằng

Bài 6.52: Chứng minh rằng 2 sin20 4 sin 40 178 sin1780 90 cot1 0

Trang 25

 DẠNG TOÁN 4: BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

- Sử dụng phương pháp chứng minh đại số quen biết

- Sử dụng các tính chất về dấu của giá trị lượng giác một góc

- Sử dụng kết quả sin 1, cos 1 với mọi số thực

2 Các ví dụ điển hình

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với 0

2 thì a) 2 cot2 1 cos 2 b) cot 1 cot2

sin 1 0 (đúng) ĐPCM

b) Bất đẳng thức tương đương với

cos sin 2 cos 2 cos sin 2 cos 2

sin sin 2 sin 2 sin cos (*)

Trang 26

Lời giải

Vì 0

2 nên sin cos 0

Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có

Trang 27

+ Nếu 1 t 2: (*) t t5 3 1 t t 1 1 0 đúng vì t t5 3 1 0,t t 1 0 Vậy bất đẳng thức (*) đúng suy ra ĐPCM

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức sau:

a) A sinx cosx b) B sin4x cos4x

Lời giải

a) Ta có A2 sinx cosx 2 sin2x cos2x 2 sin cosx x 1 sin2x

Vì sin 2x 1 nên A2 1 sin 2x 1 1 2 suy ra 2 A 2

Ta có A 2 2 sinx 1 2 sin2x 2 sin2x 2 sinx 1

Đặt t sin ,x t 1 khi đó biểu thức trở thành A 2t2 2t 1

Xét hàm số y 2t2 2t 1 với t 1

Bảng biến thiên:

Trang 28

Từ bảng biến thiên suy ra maxA 5 khi t 1 hay sinx 1

  Chứng minh rằng tanx+cotx 2

Bài 6.54: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức B cos 2x 1 2 sin2x

Bài 6.55: Chứng minh rằng + 2 + 

cos (sinx x sin x 2) 3

Bài 6.56: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2sinx sin2x

Bài 6.57: Cho tam giác ABC Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sin sin sin

Ví dụ 1: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:

a) sin sin sin 4 cos cos cos

b) sin2A sin2B sin2C 2(1 cos cos cos )A B C

c) sin2A sin2B sin2C 4sin sin sinA B C

Trang 29

Suy ra sin cos , sin cos

2 cos A B cos A B cos C

Vì A B C cos A B cosC nên

2 cos 2 cos cosC A B 2(1 cos cos cos )A B C VP ĐPCM

c) VT 2 sin A B cos A B 2 sin cosC C

2 sin C 2 sin sinA B 4 sin sin sinA B C VP ĐPCM

Ví dụ 2: Chứng minh trong mọi tam giác ABC không vuông ta đều có:

a) tanA tanB tanC tan tan tanA B C

b) cot cotA B cot cotB C cot cotC A 1

Lời giải

a) Đẳng thức tương đương với tanA tanB tan tan tanA B C tanC

tanA tanB tanC tan tanA B 1 *

Do tam giác ABC không vuông nên

tan tan 1 1 tan tan

Trang 30

11

Suy ra cot cot 1

Hay cot cotA B cot cotB C cot cotC A 1 ĐPCM

Trang 31

1 3cos cos cos 1

2 2

b) Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:

Nếu 0 x , 0 y thì sin sin

sin cos sin

c) Vì ABC là tam giác nhọn nên tanA 0, tanB 0, tanC 0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có tanA tanB tanC 3 tan tan tan3 A B C

Theo ví dụ 2 ta có tanA tanB tanC tan tan tanA B C nên

2

tan tan tanA B C 3 tan tan tanA B C tan tan tanA B C tan tan tanA B C 3 0

2

3 tan tan tanA B C 3 tan tan tanA B C 3 3 ĐPCM

Trang 32

b) cos cos cos sin sin sin

Công vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta được

sin sin sin cos cos cos

cosA 0, cosB 0, cosC 0

cos cos cosA B C 0 Mà sin sin sin 0

do đó bất đẳng thức luôn đúng

+ TH2: Nếu tam giác ABC nhọn: 1

cos cos cos cos

2

cos cos 1 cos sin

Trang 33

cos cos cos sin sin sin

2 sin2

Công vế với vế và rút gọn ta được

tan tan tan cot cot cot

Nhận xét:

+ Để chứng minh x y z a b c ta có thể đi chứng minh x y 2a (hoặc 2 , 2b c ) rồi xây

dựng bất đẳng thức tương tự Cộng vế với vế suy ra đpcm

+ Để chứng minh xyz abc với x y z a b c, , , , , không âm ta đi chứng minh xy a (hoặc 2 b c2, 2) rồi xây dựng bất đẳng thức tương tự nhân vế với vế suy ra đpcm

Trang 34

Trang 35

Nhận xét: Cho tam giác ABC và hàm số f

Trang 36

3

f A f B f C f Ta đi chứng minh

22

Trang 37

Trang 38

sin cos sin cos sin cos sin cos

Bài 6.58: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

a) sinC sin cosA B sin cosB A

tan tan ( , 90 )cos cos

Bài 6.59: Cho tam giác ABC Chứng minh:

a) tanA tanB tanC 3 3, ABC nhọn

Trang 39

b) tan2A tan2B tan2C 9, ABC nhọn

c) tan6A tan6B tan6C 81, ABC nhọn

d) tan2 tan2 tan2 1

Bài 6.70: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có

1 cos cos cosA B C 3 sin sin sinA B C

Bài 6.71: Cho ABC Chứng minh rằng 2 sin 3 sin 4 sin 5 cos 3 cos cos

Bài 6.72: Cho ABC Chứng minh rằng x2 2(cosB cos )C x 2 2cosA 0 x

Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Bài 6.73: Cho ABC nhọn Chứng minh bất đẳng thức sau:

Định dạng
Số trang	39
Dung lượng	1,69 MB