Tam giác ABC có có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O,R). Chứng minh AA’ vuông góc với EF c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm H, I, A’ thẳng hàng d) Gọi G là trọng tâ[r]
Trang 1Chuyên đề Hình học : CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG,
BỐN ĐIỂM CÙNG THUỘC MỘT ĐƯỜNG TRÒN,
BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
I.Phương pháp giải.
1, Chứng minh ba diểm thẳng hàng
- Vận dụng tính chất của hai tia đối nhau
- Vận dụng hai đường thẳng cùng đi qua một điểm song song hoặc vuông góc với một đường thẳng thì trùng nhau
- Vận dụng tính chất các đường đặc biệt trong tam giác
- Vận dụng thêm điểm phụ thứ tư
- Vận dụng tính chất các đường chéo của tứ giác đạc biệt
- Vận dụng hai mút của đường kính và tâm của đường tròn là ba điểm thẳng hàng
- Vận dụng hai tâm của đường tròn tiếp xúc nhau và tiếp điểm là ba điểm thẳng hàng
2/ Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn
Vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
*Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180o
* Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
* Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm ( mà ta có thể xác định được ) Đieenmr đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
* Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α
3/ Chứng minh ba đường thẳng đồng quy
- Giao điểm của hai đường thẳng nằm trên đường thẳng còn lại
- Chỉ ra một điểm thuộc cả ba đường thẳng
- Vận dụng tính chất đồng quy của ba đường cung tên của một tam giác
- Vận dụng tính chất về đường chéo
II / Ví dụ ( có gợi ý )
1 / Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn ( O; R) Gọi H là trực tâm và
và G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh ba điểm H,G ,O thẳng hàng
Gợi ý : (Hs tự vẽ hình)
Vẽ đường kính AD của đường tròn (0) Gọi M là giao điểm của BC và HD
Ta có : ACD = 90 o ( góc nội tiếp chắn nữa đường tròn )
Mà BH AC ( Hlà trực tâm tam giác ABC ) và DC AC ⇒ BH // DC
Chứng minh tương tự cũng có: BD//HC.Tứ giác BHCD có BH // DC,BD // HC nên là hình bình hành
⇒ M là trung điểm của BC và HD
Δ ABC có AM là đường trung tuyến,G là trọng tâm Δ ABC
⇒ G thuộc đoạn thẳng AM và AG = 32 AM
Δ AHD có AM là đường trung tuyến, G thuộc đoạn thẳng AM và AG= 2
3 AM ⇒ G là trọng tâm của tam giác AHD.Mà HO là đường trung tuyến của tam giác AHD
Do đó : HO đi qua G
Vậy H,G,O thẳng hàng
2/Gọi M là một điểm bất kì trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Các điểm P,Q,R lần lượt
là hình chiếu củ M trên các đường thẳng BC,CA và AB
Chứng minh rằng:
a) Các điểm M,P,B,R cùng thuộc một đường tròn
Trang 2b) Các điểm R,P,Q thẳng hàng
Gợi ý : (Hs tự vẽ hình)
a) Tự chứng minh
b)Chứng minh tương tự a) có tứ giác MPQC nội tiếp
⇒ M ^P Q+M C^ Q= 180 °
Xét đường tròn (RBPM) có R ^B M=R ^P M
Xét đường tròn (O)có R ^ B M = M ^ C Q
Do đó: R ^ P M=M ^ C Q ¿❑
Ta có: R ^ P M +M ^ P Q=M ^ C Q+ M ^ P Q=180°
Vậy R,P,Q thẳng hàng
3/Cho đường tròn (O)nội tiếp tam giác ABC Các điểm D,E,F lần lượt là các tiếp điểm của (O)với BC,CA,AB.Vẽ BB1 OA tại B1 , AA1 OB tại A1 .
Chứng minh rằng D, B1, A1, E thẳng hàng
Gợi ý: (Hs tự vẽ hình)
Tứ giác AEA1O nội tiếp đường tròn => OAE❑ +OA1E❑=90 °
Tứ giác AA1B1B nội tiếp đường tròn => BAB❑ 1=BA1B❑1
Mà *BAB1 = *OAE => *BA1B1=*OAE
Ta có : *BA1B1 + *OA1E = 180o => E,A1,B1 thẳng hàng
- Cứng minh tương tự có D,A1,B1 thẳng hàng
Do đó D,B1,A1,E thẳng hàng
4/ Cho hình thang cân ABCD có hai đáy là AB và CD (AB<CD) nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi PQ là một dây cung vuông góc với AB và CD P thuộc cung AB, Q thuộc cung CD ( P không trùng với A và B, Q không trùng với C và D)_ Gọi I và K lần lượt là giao điểm của PQ với
AB và CD Gọi P1 là chân đường vuông góc hạ từ P xuống đường thẳng AD, P2 là chân đường vuông góc hạ từ P xuống AC, Q1 là chân đường vuông góc hạ từ Q xuống AD, Q2 là chân đường vuông góc hạ từ Q xuống AC
a) Chứng minh QKQ2C, QKDQ1 ,PP2KC,AIQ2Q là các tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh rằng Q1, K, Q2 thẳng hàng và P1 K, P2 thẳng hàng
Gợi ý : (Hs tự vẽ hình)
a) Hs tự làm
b) => *Q1KQ = *Q1DQ
=> *QKQ2 + *QKQ1 = 180o
=> Q1 , K, Q2 thẳng hàng
- Tứ giác AP1PP2 nội tiếp => *PP2P1 = *P1AP
*PCK = *P1AP
=> *P1P2P = *PCK
=> *P1P2P + *PP2K = 180o
=> P1 , K, P2 thẳng hàng
5/ Cho đường tròn tâm O và hai điểm B,C thuộc đường tròn ( B,C,O không thẳng hàng), các tiếp tuyến với đường tròn tại B và C cắt nhau tại A Gọi M là một điểm thuộc cung nhỏ BC Tiếp tuyến với đường tròn tại M cắt AB ,AC theo thứ tự tại D,E Gọi giao điểm của OD, OE với BC theo thứ
tự tại I,K Chứng minh rằng : a) OBDK , DIKE là các tứ giác nội tiếp
b) Các đường thẳng OM, DK, EI đồng quy
Gợi ý : (Hs tự vẽ hình)
a) Hs tự làm
b) OBDK là tứ giác nội tiếp => *OBD = *OKD = 90o => DK OE
Tương tự : EI OD Mà OM DE
=> OM, DK, EI là các đường cao của ΔODE => Đpcm
Trang 36/ Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường tũn (O) Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB
Vẽ cỏc đường thẳng Dx, Ey, Fz sao cho Dx // OA, Ey // OB, Fz // OC Cứng minh rằng cỏc đường
Dx, Ey, Fz đồng quy
Gợi ý : (Hs tự vẽ hỡnh)
Chứng minh CH // BM
BH // MC
=> BHCM là hỡnh bỡnh hành
Mà D là trung điểm BC, do đú D là trung điểm HM
Gọi N là trung điểm của OH
Xột tam giỏc HMO Dx // OM, D cũng là trung điểm của HM => Dx đi qua N
Tương tự : Ey đi qua N, Fz đi qua N
=> Cỏc đường thẳng Dx, Ey, Fz đồng quy
III Bài tập tham khảo
1 Cho tam giỏc ABC (AB<AC) cú ba gúc nhọn Đường trũn tõm O đường kớnh BC cắt cỏc cạnh AB,AC theo thứ tự tại E,D
a) CMR AD.AC=AE.AB
b) Gọi H là giao điểm của BD và CE, K là giao điểm của AH và BC CMR AH vuụng gúc với BC
c) Từ A kẻ tiếp tuyến Am,AN đến đường trũn (O) với M,N là cỏc tiếp điểm
CMR gúc ANM bằng gúc AKN
Gợi ý :
a) Chứng minh 2 tam giỏc ABD và ACE đồng dạng => tỉ lệ tương ứng => đpcm
b) Chứng minh H là trực tõm của tam giỏc ABC => AH BC
c) - Chứng minh cỏc điểm A,M,K,O,N cựng thuộc một đường trũn
2 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại
H v à cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P
Chứng minh rằng:
a) Tứ giác CEHD, nội tiếp
b) Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn
c) AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC
Gợi ý :
a) Xét tứ giác CEHD ta có:
CEH = 900 ( Vì BE là đờng cao)
CDH = 900 ( Vì AD là đờng cao)
=> CEH + CDH = 1800
Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp b) BE là đờng cao => BE AC => BEC = 900
CF là đờng cao => CF AB => BFC = 900 => E và F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC
Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn
c)Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: AEH = ADC = 900 ; Â là góc chung
=> AEH ADC => AE
AD=
AH
AC => AE.AC = AH.AD.
* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: BEC = ADC = 900 ; C là góc chung
=> BEC ADC => BE
AD=
BC
AC => AD.BC = BE.AC
3 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lợt ở C và D Các đờng thẳng AD
và BC cắt nhau tại N
a) Chứng minh AC + BD = CD
b) Chứng minh COD = 900
c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính CD
d) Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất
Gợi ý :
Trang 4a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.
Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM, mà AOM và BOM là hai góc kề bù => COD = 900 c) Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác COD đờng kính CD
có IO là bán kính
Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC AB; BD AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình
thang Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đờng trung bình của
hình thang ACDB
IO // AC , mà AC AB => IO AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đờng tròn đờng kính CD d) Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra
chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD
nhỏ nhất , mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và
By Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm của cung AB
4 Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH Gọi HD là đ-ờng kính của đđ-ờng tròn (A; AH) Tiếp tuyến của đđ-ờng tròn tại D cắt CA ở E
a) Chứng minh tam giác BEC cân
b) Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH
c)Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đờng tròn (A; AH)
d)Chứng minh BE = BH + DE
Gợi ý :
a) AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) và AE = AC (2)
Vì AB CE (gt), do đó AB vừa là đờng cao vừa là đờng trung tuyến của BEC => BEC là tam giác cân => B1 = B2
b) Hai tam giác vuông ABI và ABH có cạnh huyền AB chung, B1 = B2 => AHB = AIB => AI = AH
c) AI = AH và BE AI tại I => BE là tiếp tuyến của (A; AH) tại I
d) DE = IE và BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED
5 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đờng tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K
a)) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh rằng: AI2 = IM IB.
c) Chứng minh BAF là tam giác cân
d) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi
Gợi ý :
a) Ta có : AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn )
=> KMF = 900 (vì là hai góc kề bù)
AEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn )
=> KEF = 900 (vì là hai góc kề bù)
=> KMF + KEF = 1800 Mà KMF và KEF là hai góc đối của tứ giác EFMK do đó EFMK là tứ giác nội tiếp
b)Ta có IAB = 900 ( vì AI là tiếp tuyến ) => AIB vuông tại A có AM IB ( theo trên)
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao => AI2 = IM IB.
c)Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lí do )
……
=> ABE =MBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => BE là tia phân giác góc ABF (1)
Theo trên ta có AEB = 900 => BE AF hay BE là đờng cao của tam giác ABF (2)
Từ (1) và (2) => BAF là tam giác cân tại B
d)BAF là tam giác cân tại B có BE là đờng cao nên đồng thời là đơng trung tuyến => E là trung điểm của AF (3)
Từ BE AF => AF HK (4), theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác
HAK (5)
Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân tại A có AE là đờng cao nên đồng thời là đơng trung tuyến
=> E là trung điểm của HK (6)
Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đờng chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đờng)
Trang 56 Cho tam giác đều ABC có đờng cao là AH Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M không trùng B C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuông góc với các cạnh AB AC
a)Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác đó b)Chứng minh rằng MP + MQ = AH
c)Chứng minh OH PQ
Gợi ý :
a) Ta có MP AB (gt) => APM = 900; MQ AC (gt)
=> AQM = 900 nh vậy P và Q cùng nhìn BC dới một góc bằng 900 nên P và Q cùng nằm trên đờng tròn
đờng kính AM => APMQ là tứ giác nội tiếp
* Vì AM là đờng kính của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ tâm O của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ là trung điểm của AM
b) Ta có SABM + SACM = SABC =>
1
2AB.MP +
1
2AC.MQ =
1
2BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH
Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) => MP + MQ = AH
c) Tam giác ABC có AH là đờng cao nên cũng là đờng phân giác => HAP = HAQ => HP HQ ( tính chất góc nội tiếp ) => HOP = HOQ (t/c góc ở tâm) => OH là tia phân giác góc POQ Mà tam giác POQ cân tại O ( vì OP và OQ cùng là bán kính) nên suy ra OH cũng là đờng cao => OH PQ
7 Cho ABC là tam giỏc đều cạnh bằng 1.Trờn AC lấy cỏc điểm D, E sao cho gúc ABD bằng gúc CBE và bằng 20o Gọi M là trung điểm của BE và N là điểm nằm trờn cạnh BC sao cho BN = BM Tớnh tổng diện tớch hai tam giỏc BCE và BEN
Gọi ý :
* Vẽ BH vuụng gúc với AC tại H => HA = HC
* Ta cú gúc DBE = 20o
* chứng minh 2 tam giỏc BAD và BCE bằng nhau => BD = BE => tam giỏc BDE cõn tại B
* Chứng minh 2 tam giỏc BMN và DBE đồng dạng
=> SBMN = 1
4 SBDE
* Ta cú : SBEN = 2 SBMN = ẵ SBDE = SBEH
=> SBCE + SBEN = SBCE + SBEH = ẵ SABC = ………
IV Bài tập tự luyện
1 Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn (O), xy là tiếp tuyến tại A của đường trũn Một đường thẳng song song với xy cắt Â, AC lần lượt tại D, E Chứng minh tứ giỏc BDEC nội tiếp
2 Tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn nội tiếp đường trũn (O) Đường trũn đường kớnh BC cawtsw AB,
AC lần lượt tại E và F BF và CE cắt nhau tại H
a) Chứng minh H là trực tõm của tam giỏc ABC
b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh tứ giỏc ABKC nội tiếp
3 Cho tam giỏc ABC nội tiếp trong đường trũng (O) Từ một điểm bất kỡ trờn đường trũn hạ cỏc đường vuụng gúc xuống cỏc cạnh Chứng minh rằng chõn ba đường vuụng gúc này thẳng hàng
4 Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn (O) đường kớnh BC Tia phõn giỏc của gúc BAC cắt đường trũn tại D
a) Chứng tỏ OD vuụng gúc với BC
b) Gọi I là tõm đường nội tiếp tam giỏc ABC Tớnh gúc BIC
Trang 65 Tam giác ABC có có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O,R) Kẻ đường cao BD, CE của tam giác, hai đường này cắt nhau tại H Đường thẳng DE cắt đường tròn (O) tại M, N và cắt BC tại K
a) Chứng minh 2 góc AED và ACB bằng nhau
b) Chứng minh AM = AN
c) Chứng minh KE.KD = KB.KC
d) Cho góc A bằng 60o Tính diện tích tứ giác ADOE theo R
6 Tam giác ABC có có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O,R) Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC
a) Chứng minh tứ giác ACKB nội tiếp
b) Kẻ đường kính AA’ của (O) Chứng minh AA’ vuông góc với EF
c) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh ba điểm H, I, A’ thẳng hàng
d) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh S AHG = 2S AOG
( Các em cố gắng làm.Bài giảng chi tiết sẽ được up sau)