Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với CD, đường thẳng này cắt các đường thẳng CD và CA theo thứ tự ở H và K.. a/ Chứng minh rằng BHAC là tứ giác nội tiếp.. Vì vậy tứ giác BHAC nội tiếp tron
Trang 1Bài 1
Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với CD, đường thẳng này cắt các đường thẳng CD và CA theo thứ tự ở H và K.
a/ Chứng minh rằng BHAC là tứ giác nội tiếp.
b/ So sánh hai góc ACB và KHA.
c/ Đường tròn ngoại tiếp tam giác BHD cắt BC tại E (E ≠ B) Chứng minh ba điểm K, D, E thẳng hàng.
Gi
ải
a/ BHAC là tứ giác nội tiếp:
Theo giả thiết ta có: BHC = 1 v và BAC = 1 v
Suy ra H và A ở trên đường tròn đường kính BC.
Vì vậy tứ giác BHAC nội tiếp trong đường tròn đường kính BC.
b/ So sánh hai góc ACB và KHA :
Tứ giác BHAC nội tiếp được đường tròn nên ta có:
v 2 ACB
Mà: BHA + KHA = 2 v (hai góc kề bù)
Suy ra: ACB = KHA
c/ Ba điểm K, D, E thẳng hàng:
Trong tam giác BKC hai đường cao CH và BA giao nhau tại D nên D là trực tâm của tam giác KBC.
Suy ra: KD ⊥ BC (1)
Mặt khác tứ giác BHDE nội tiếp nên ta có: BHD + BED = 2 v
Mà: BHD = 1 v (gt)
Nên: BED = 1 v Hay là: DE ⊥ BC (2)
Từ (1) và (2) ta kết luận: K, D, E thẳng hàng.
K A
C E
B
H D
Trang 2Bài 2: Cho đờng tròn (o) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi vị trí trên cung lớn BC sao cho AC>AB và AC > BC Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau tại E Gọi P, Q lần lợt là giao điểm của các cặp đờng thẳng AB với CD; AD và CE
a Chứng minh rằng DE// BC
b Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp
c Gọi giao điểm của các dây AD và BC là F
Chứng minh hệ thức:
CE
1
= CQ1 +
CE
1
Bài 4: Vẽ hình đúng – viết giả thiết – kết luận
a Sđ∠CDE =
2
1
Sđ DC =
2
1
=> DE// BC (2 góc vị trí so le)
b ∠APC =
2
1
sđ (AC - DC) = ∠ AQC
=> APQC nội tiếp (vì ∠ APC = ∠ AQC
cùng nhìn đoan AC)
c.Tứ giác APQC nội tiếp
Suy ra ∠ CPQ = ∠ CDE => DE// PQ
Ta có: PQ DE = CQ CE (vì DE//PQ) (1)
FC
DE
= QC QE (vì DE// BC) (2)
CQ
CQ CQ
QE CE FC
DE PQ DE
ED = EC (t/c tiếp tuyến) từ (1) suy ra PQ = CQ
Thay vào (3) : CQ1 +CF1 = CE1
Trang 3Bài 3: Cho hình vuông ABCD Kẻ tia Ax, Ay sao cho x ˆ A y = 450
Tia Ax cắt CB và BD lần lợt tại E và P, tia Ay cắt CD và BD lần lợt tại F và Q
a Chứng minh 5 điểm E; P; Q; F; C cùng nằm trên một đờng tròn
Kẻ đờng trung trực của CD cắt AE tại M Tính số đo góc MAB biết C ˆ P D =
D
M
C ˆ
Bài 3a EBQ EAQ) = ) = 45 0 ⇒ YEBAQ) nội tiếp; ˆB = 900 à góc AQE = 900 à
à Tứ giác FDAP nội tiếp góc D = 900 à góc APF = 900 à góc EPF = 900 Các điểm Q, P,C luôn nhìn dới 1góc900 nên 5 điểm E, P, Q, F, C cùng nằm trên 1 đờng tròn đờng kính EF
b Ta có góc APQ + góc QPE = 1800 (2 góc kề bù) ⇒góc APQ = góc
AFE
Góc AFE + góc EPQ = 1800 àTam giác APQ đồng dạng với tam giác AEF (g.g)
à
2
2 1 1
2 2 2
APQ
APQ AEE AEF
S
S
∆
∆
= = ữ = ⇒ =
a góc CPD = góc CMD à tứ giác MPCD nội tiếp à góc MCD = góc CPD (cùng chắn cung MD)
Lại có góc MPD = góc CPD (do BD là trung trực của AC)
góc MCD = góc MDC (do M thuộc trung trực của DC)
à góc CPD = gócMDC = góc CMD = gócMCD à tam giác MDC đều à
à tam giác DMA cân tại D (vì AD = DC = DM)
à góc MAD = góc AMD (1800 - 300) : 2 = 750
Trang 41 1
Q
P M
F
E
B A
à gócMAB = 900 – 750 = 150
BÀI 4: Từ một đỉnh A của hình vuông ABCD kẻ hai tia tạo với nhau một góc 450 Một tia cắt cạnh BC tại E cắt đờng chéo BD tại P Tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đờng chéo BD tại Q
a/ Chứng minh rằng 5 điểm E, P, Q, F và C cùng nằm trên một đờng tròn b/ Chứng minh rằng: SAEF=2SAQP
c/ Kẻ trung trực của cạnh CD cắt AE tại M tính số đo góc MAB biết CPD=CM
Giải
a/ ∠A1 và∠ B1 cùng nhìn đoạn QE dới một góc 450
⇒ tứ giác ABEQ nội tiếp đợc
chứng minh tơng tự ta có ∠FBE = 1v
kinh EF
b/ Từ câu a suy ra AQE vuông cân ∆
⇒AQ AE = 2 (1)
tơng tự APF cũng vuông cân ∆
⇒AF AB = 2 (2)
từ (1) và (2) ⇒ AQP ~ AEF (c.g.c)
AEF
AQP
S
S = ( 2 )2 hay SAEF = 2SAQP
mà ∠MPD là góc ngoài của ∆ABM ta có ∠APB=450 vậy ∠MAB=600
-450=150
Trang 51 2
1
2 1
F
I
Q P
N
M
B A
Bài 5 : Cho tam giác ABC Phân giác AD (D ∈ BC) vẽ đờng tròn tâm O
qua A và D đồng thời tiếp xúc với BC tại D Đờng tròn này cắt AB và AC lần
lợt tại E và F Chứng minh
a) EF // BC
b) Các tam giác AED và ADC; àD và ABD là các tam giác đồng dạng
Bài 4:
2
2
mà EDA FADã = ã ⇒EFD FDCã = ã (0,25)
⇒ EF // BC (2 góc so le trong bằng nhau)
b) AD là phân giác góc BAC nên DE DFằ = ằ
2
2sđằAE = sđãADE
do đó ãACD ADE= ã và EAD DACã = ã
do đó AFD ~ (g.g
c) Theo trên:
+ AED ~ DB
⇒ AD AE = AD AC hay AD2 = AE.AC (1)
⇒ AD2 = AB.AF (2)
Từ (1) và (2) ta có AD2 = AE.AC = AB.AF
một điểm N di động trên một nửa đờng tròn sao
cho N A ≤N B.Vễ vào trong đờng tròn hình vuông
ANMP
F E
A
B
C D
Trang 6a) Chứng minh rằng đờng thẳng NP luôn đi qua điểm cố định Q.
b) Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác NAB Chứng minh tứ giác ABMI nội tiếp
c) Chứng minh đờng thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định
Câu 4: a) Nˆ1 = Nˆ2Gọi Q = NP ∩(O)
QA QB
⇒ ) = ) Suy ra Q cố định
b) Aˆ1 =Mˆ1( = Aˆ2)
c) Trên tia đối của QB lấy điểm F sao cho QF = QB, F cố định
Tam giác ABF có: AQ = QB = QF
⇒ ∆ABF vuông tại A ⇒ Bˆ = 45 0 ⇒ A FˆB= 45 0
1 45 ˆ
⇒ A PˆF = A QˆF = 90 0
Ta có: A PˆF+A PˆM = 90 0 + 90 0 = 180 0
⇒M1,P,F Thẳng hàng
đờng tròn, từM kẻ MH ⊥ AB (H ∈ AB) Gọi E và F lần lợt là hình chiếu vuông góc của H trên MA và MB Qua M kẻ đờng thẳng vuông góc với è cắt dây AB tại D
1 Chứng minh rằng đờng thẳng MD luôn đi qua 1 điểm cố định khi M thay đổi trên đờng tròn
2 Chứng minh
BH
AD BD
AH
MB
MA
.
2
2
=
Câu 4: a
- Kẻ thêm đờng phụ
- Chứng minh MD là đờng kính của (o)
=>
b
Gọi E', F' lần lợt là hình chiếu của D trên MA và MB
Đặt HE = H1
HF = H2
( )1
.
.
2
2 1
MB h HF
MA h HE BH
AD
BD
⇒
HEF
∆
⇔ ∞ ∆DF'E'
⇒HF.h2 =HE.h
M
o E'
E A
F F' B I
D H
Trang 7Thay vµo (1) ta cã:
BH
AD BD
AH MB
MA
.
2 2
=