Tài liệu chuyên đề ôn toán luyện thi vào 10 (2)

Do tính đa dạng và phong phú của các bài tập về bất đẳng thức nên tôi chỉ trình bày một số dạng thông qua các phơng pháp giải cơ bản.. Đối với học sinh : Giúp học sinh học tập môn toán n

A Đặt vấn đề

I Lí do chọn đề tài :

Bất đẳng thức đại số là một chuyên đề cơ bản và tơng đối khó trong

ch-ơng trình đại số phổ thông Các bài toán về bất đẳng thức đại số rất phong phú ,

đa dạng Đòi hỏi cần vận dụng các phơng pháp giải vào từng bài một cách hợp

lí , để đem lại kết quả bài toán một cách nhanh gọn , dễ hiểu hay nhiều khi khá

độc đáo và bất ngờ

Việc giải bài toán này giúp chúng ta tiếp cận và làm quen dần với các bài toán thực tế nh :So sánh các biểu thức ,tìm giá trị lớn nhất , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đối với tôi - là một giáo viên THCS , việc tập dợt nghiên cứu khoa học là rất cần thiết để củng cố và đào sâu kiến thức Từ đó có thể truyền đạt cho học sinh một cách linh hoạt và có hệ thống hơn

Đặc biệt qua thực tế giảng dạy môn toán tôi nhận thấy giải toán bất đẳng thức là tơng đối khó với học sinh ,chứng minh bất đẳng thức , giải bất phơng trình là mới lạ ,là khó và thực tế cho thấy :

- Học sinh lúng túng trớc vấn đề cần chứng minh mà không biết bắt đầu

từ đâu và đi theo hớng nào

-Học sinh có suy luận kém , dùng lập luận thiếu căn cứ , không chính xác , lập luận dài dòng , thậm chí có mâu thuẫn , t duy suy luận cha cao

-Học sinh còn mắc lỗi khi dùng kí hiệu , câu chữ lủng củng ; nhân hai vế của bất đẳng thức, bất phơng trình với số âm mà không đổi chiều bất đẳng thức ,bất phơng trình

-Với những bài chỉ sử dụng giả thiết nếu không tìm ra lời giải thì học sinh thờng bế tắc , ít sáng tạo dẫn đến các em ngại khó và bỏ qua

Hơn nữa , trong chơng trình đại số THCS cha đi sâu vào phần này Vì vậy , tôi chọn chuyên đề " Một số phơng pháp giải bài toán bất đẳng thức

ở trờng thcs " làm đề tài nghiên cứu

Nội dung chính của đề tài là tìm tòi , hệ thống các bài toán hay ; phân loại

và tìm phơng pháp giải các bài toán đó

Do tính đa dạng và phong phú của các bài tập về bất đẳng thức nên tôi chỉ trình bày một số dạng thông qua các phơng pháp giải cơ bản trong mỗi phơng pháp giải là một số bài tập tiêu biểu kèm theo lời giải chi tiết

II Mục đích nghiên cứu :

1 Đối với giáo viên :

- Nâng cao trình độ chuyên môn , phục vụ cho quá trình giảng dạy

- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học , nâng cao kiến thức

2 Đối với học sinh :

Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải các bài tập về chứng minh bất đẳng thức nói riêng Trang bị cho học sinh một số kiến thức nhằm nâng cao năng lực môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động , sáng tạo và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến bất đẳng thức

Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phơng pháp cơ bản và vận dụng thành thạo các phơng pháp đó để giải bài tập

Gây đợc hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong sách giáo khoa , sách tham khảo , giúp học sinh tự giải đợc một số bài tập

Thông qua việc giải bài toán về bất đẳng thức, giúp học sinh thấy rõ mục

đích của việc học toán và học tốt hơn các bài tập về bất đẳng thức

III Nhiệm vụ nghiên cứu :

- Tìm hiểu thực tiễn ở trờng THCS

1 Phạm vi đề tài :

Phát triển năng lực t duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức

đối với học sinh Lớp 8 , lớp 9

2 Đối t ợng nghiên cứu :

- Học sinh ở lứa tuổi 14 -15 ở trờng THCS vì đa số các em thích học toán

và bớc đầu thể hiện năng lực tiếp thu một cách ổn định

- Đối tợng khảo sát : học sinh lớp 8 ,9 và trong các giờ luyện tập, ôn tập Luyện thi học sinh giỏi, tốt nghiệp THCS

3 Ph ơng pháp tiến hành :

- Học sinh có kiến thức cơ bản , đa ra phơng pháp giải, vận dụng các bài tập áp dụng , chỉ ra đợc các sai lầm hay gặp

- Học sinh về nhà làm bài tập

4 Dự kiến kết quả của đề tài :

- Khi cha thực hiện đề tài này : Học sinh chỉ giải một số bài tập về bất

đẳng thức đơn giản , hay mắc những sai lầm, hay gặp khó khăn, ngại làm bài tập

- Nghiên cứu tài liệu về lí luận

- Tham khảo , thu thập tài liệu, phân tích, tổng hợp

B Giải quyết vấn đề

Chơng i : Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn

I Cơ sở lí luận

Trong điều kiện hiện nay , cùng với sự phát triển chung của đất ớc,ngành giáo dục đã từng bớc thay đổi chơng trình , sách giáo khoa , phơng pháp giảng dạy để phù hợp với thực tế Việc đổi mới phơng pháp dạy học là vấn

n-đề cần thiết đối với mỗi giáo viên

Ngời thầy đóng vai trò chủ đạo , hớng dẫn học sinh tìm tòi kiến thức Việc phát huy tính chủ động , sáng tạo , t duy lô gic của học sinh trong học tập

và cuộc sống là điều rất cần thiết , đó là điều mà trong dạy học Toán dễ dàng thực hiện đợc

Việc trang bị cho học sinh những kiến thức Toán không chỉ gồm khái niệm, tính chất, định lí , qui tắc mà cả những kĩ năng , phơng pháp giải bài tập và vận dụng vào thực tế cuộc sống Vì thế trong quá trình giảng dạy ngoài việc hớng dẫn học sinh tìm tòi tri thức còn phải suy luận , đúc rút kinh nghiệm Khi giải bài toán không chỉ đòi hỏi học sinh linh hoạt trong việc áp dụng lí thuyết mà còn khai thác , phát triển bài toán theo chiều hớng thuận lợi nhất cho việc giải nó

Mỗi giáo viên trong quá trình giảng dạy đều muốn đem tâm huyết và vốn kiến thức của mình truyền thụ cho học sinh mong các em hiểu bài và yêu thích môn Toán hơn Việc giảng bài và tìm ra phơng pháp giải sao cho phù hợp với đối t-ợng học sinh đã kích thích lòng ham mê ở các em, từ đó tìm ra những học sinh

có năng khiếu và bồi dỡng trở thành học sinh giỏi

Giải bài toán bất đẳng thức, bất phơng trình rèn cho học sinh t duy phân tích, tổng hợp, phát huy đợc tính tích cực chủ động trong t duy

II Cơ sở thực tiễn

Bài toán về bất đẳng thức có mặt hầu hết trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi tuyển sinh vào lớp chọn của THCS, THPT

Qua thực tế giảng dạy môn toán tôi nhận thấy giải toán bất đẳng thức là tơng đối khó với học sinh ,chứng minh bất đẳng thức , giải bất phơng trình là mới lạ và khó và thực tế cho thấy :

- Học sinh lúng túng trớc vấn đề cần chứng minh mà không biết bắt đầu

từ đâu và đi theo hớng nào

-Học sinh có suy luận kém , dùng lập luận thiếu căn cứ , không chính xác , lập luận dài dòng , thậm chí có mâu thuẫn , t duy suy luận cha cao

-Học sinh còn mắc lỗi khi dùng kí hiệu , câu chữ lủng củng ; nhân hai vế của bất đẳng thức, bất phơng trình với số âm mà không đổi chiều bất đẳng thức ,bất phơng trình

-Với những bài chỉ sử dụng giả thiết nếu không tìm ra lời giải thì học sinh thờng bế tắc , ít sáng tạo dẫn đến các em ngại khó và bỏ qua

- Tài liệu dùng cho học sinh còn ít dẫn đến việclựa chọn và giải bài tập còn nhiều hạn chế

CHƯƠNG II : GIảI QUYếT VấN Đề

I Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức

Hai biểu thức A và B của các số hoặc chữ thay số , liên hệ với nhau bởi một trong các quan hệ lớn hơn ( > ) ; bé hơn ( < ) ; lớn hơn hoặc bằng ( ≥ ) ; bé hơn hoặc bằng (≤ ) ; khác (≠ ) gọi là bất đẳng thức Viết là :

10.Tính chất 10: Nếu a > b > 0 và n là một số nguyên dơng thì n a > n b.

II.Những bài toán về bất đẳng thức và ph ơng pháp giải

* Ph ơng pháp : A ≥ B ⇔ A - B ≥ 0

Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức

đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh đúng

b

1) ≥ 9

Giải : Ta có : ( 1 +

a

1) ( 1 +

b

1) ≥ 9 ( 1 )

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b

Bài 2 : Cho a , b , c , d , e là các số thực Chứng minh rằng :

a , a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b

⇔ 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae ≥ 0

⇔(a2 - 4ab + 4b2) + ( a2 - 4ac + 4c2) + (a2 - 4ad + 4d2) + (a2 - 4ae + 4e2) ≥ 0 ⇔ ( a - 2b )2 + ( a - 2c )2 + ( a - 2d )2 + ( a - 2e )2 ≥ 0

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi a , b , c , d , e Nên ta có

điều phải chứng minh Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = 2b = 2c = 2d = 2e

Bài 3 : Cho ab ≥ 1 Chứng minh rằng :

1

b

1) ≥ 0

⇔

) 1 )(

1 ( 2

2

ab a

a ab

+ +

−

+

) 1 )(

1 ( 2

2

ab b

b ab

+ +

0

⇔

) 1 )(

1 (

) (

2 ab a

a b a

+ +

−

+ (1 b(2)(1 )ab)

b a b

+ +

−

≥ 0

ab) (1 ) b (1 ) a (1

) a (1 - a b 1 ) (

2 2

2 2

+ +

+

+ +

1 )(

1 (

) )(

(

2 2

2 2

2

ab b

a

b a b ab a a b

+ +

+

−

− +

0

⇔

) 1 )(

1 )(

1 (

) 1 )(

+ +

⇔

) 1 )(

1 )(

1 (

) 1 ( ) (

2 2

2

ab b

a

ab a b

+ +

+

−

−

≥ 0 ( 2 )Bất đẳng thức ( 2 ) luôn đúng với mọi ab≥ 0 Do đó bất đẳng thức ( 1 ) đ-

Giả sử cần phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng Ta hãy giả sử bất

đẳng thức đó sai và kết hợp với giả thiết để suy ra điều vô lí

Điều vô lí có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái với một điều

đúng ,cũng có thể là sai hay vô lí vì hai điều trái ngợc nhau Từ đó suy ra bất

đẳng thức cần chứng minh là đúng

* Ví dụ :

Bài 1 : Cho a2 + b2 ≤ 2 Chứng minh rằng : a + b ≤ 2

Giải : Giả sử a + b > 2, bình phơng hai vế (hai vế đều dơng ) ta đợc :

Giải : Giả sử cả hai phơng trình đã cho vô nghiệm

Vậy ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm

Bài 3 : Chứng minh rằng trong ba bất đẳng thức sau ít nhất có một bất

đẳng thức đúng : a2 + b2 ≥

2

) (b+c 2

b2 + c2 ≥

2

) (c+a 2

c2 + a2 ≥

2

) (a+b 2

Giải : Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều sai Ta có :

a2 + b2 <

2

) (b+c 2 (1)

b2 + c2 <

2

) (c+a 2 (2)

c2 + a2 <

2

) (a+b 2 (3)

Cộng vế với vế (1) , (2) ,(3) ta đợc :

a2+ b2 + b2 + c2 + a2 + c2 <

2

) ( ) ( ) (b+c 2 + c+a 2 + a+b 2

⇔ 4( a2+ b2 + c2 ) < 2( a2+ b2 + c2 ) + 2ab + 2bc + 2ca

⇔ 2a2+ 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca < 0

⇔( a2 -2ab + b2 ) + (b2 -2bc + c2 ) + ( a2 -2ac + c2 ) < 0

⇔( a - b )2 + ( b - c )2 + ( a - c ) 2 < 0 ( vô lí )

Vậy trong ba bất đẳng thức trên có ít nhất một bất đẳng thức đúng

* Bài tập vận dụng :

Bài 1 : Cho a3 + b3 = 2 chứng minh rằng a + b ≤ 2

Bài 2 : Cho ba số a , b ,c khác nhau đôi một Chứng minh rằng tồn tại một

trong các số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ hơn ( a + b + c )2

Bài 3 : Chứng minh rằng nếu a + b + c > 0, abc > 0, ab + bc + ca > 0 thì

đại lợng đó và ta có thể vận dụng các bất đẳng thức trên để chứng minh

Gi¶i : Gi¶ sö a ≥ b ≥ c > 0 th× a + b ≥ a + c ≥ b + c

Ta cã

c b

+

+ +

Hay

c b

a3 + b3 + c3 + 3abc > ab( a + b ) + bc( b + c ) + ac( a+ c )

a1+ 2 + + n ≥ n

n

a a

a1 2

Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an

Trong trờng hợp này ta thờng đề cập đến một số bài toán mà chỉ sử dụng trờng hợp đặc biệt của bất đẳng thức Cauchy :

Cho hai hoặc ba số không âm ta có :

1 a a

3 2

1a a a

a

+

2 +

a c

b

+

2 +

b a

a+ +

Giải : áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số

c b

a

+

2 , b4+ckhông âm

ta có :

c b

a

+

2 + 4

c

b+ ≥ 2

4

2 b c c b

+ = 2 2

a

= a

Suy ra

c b

b

+

2 +

b a

a+ + =

2

c b

a+ +

VËy

c b

a

+

2 +

a c

b

+

2 +

b a

c

1 =

b

2

Chøng minh r»ng :

b a

b a

−

+

2 +

b c

b c

c

1 =

b

2 => b =

c a

b a

−

+

2 =

c a

ac a

c a

ac a

+

− +

+

2 2

2 =

c

a c

b c

−

+

2 =

c a

ac c

c a

ac c

+

− +

+

2 2

2 =

c

a c

b c

2

3

+

= 2

1 + 2

3

a

c

+ 2

1 + 2

3

b a

−

+

2 +

b c

b c

− +

2 ≥ 4 (®pcm)

Bài 4 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 Chứng minh rằng :

( 1 +

a

1 )( 1 +

b

1 )( 1 +

c

1 ) ≥ 64

Giải : Theo bất đẳng thức Cauchy :

1 +

a

1 =

1 +

c

1 ≥ 44

2

c ab

Nhân vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta đợc :

( 1 + a

1 )( 1 + b

1 )( 1 + c

1 ) ≥ 43

4

2 2 2

2 ) (

c b a abc

( 1 +

a

1 )( 1 +

b

1 )( 1 +

c

1 ) ≥ 64

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =

3

1 ( đpcm)

HoÆc x =

13

2 ; y =

13

3 hoÆc x =

Bài 4 : Chứng minh bất đẳng thức : a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca

Giải : Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :

ab + bc + ca ≤ a2 +b2 +c2 b2 +c2 +a2

⇔ ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 (đpcm)

Bài 1 : Cho x 1 y− 2 + y 1 x− 2 = 1 Chứng minh rằng : x2 + y2 = 1

Bài 2 : Chứng minh mọi số nguyên dơng n :

Bài 4 : Cho a, b, c > 0 và abc = 1 Chứng minh rằng :

) (

c a

+ +

c a

+ +

- Giá trị tuyệt đối : | x | < 1 ⇔ -1 < x < 1

Nếu | x | ≤ 1 thì x2 ≤ | x|

* Ví dụ :

Bài 1: Cho a+ b > 1 Chứng minh rằng a4 + b4 >

8 1

Bình phơng hai vế của (4) : a4 + 2a2b2 + b4 >

4

1 (5)Mặt khác : ( a2 - b2)2 ≥ 0 ⇒ a4 - 2a2b2 + b4 ≥ 0 (6)

Bài 2 : Cho a , b, c là số đo ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :

|

b a

b a

+

−

+

c b

c b

+

−

+

a c

a c

b a

+

− < 1

Theo tính chất của dãy tỉ số ta có :

b a

b a

+

− <

c b a

c b a

+ +

+

−

Tơng tự :

c b

c b

+

−

<

a c b

a c b

+ +

+

−

a c

a c

+

−

<

b a c

b a c

+ +

+

−

Cộng vế thao vế ba bất đẳng thức trên ta đợc :

c b

+

−

+

a c

a c

+

−

<

c b a

c b a

+ +

+ +

= 1

Từ đó suy ra : |

b a

b a

+

−

+

c b

c b

+

−

+

a c

a c

Giải :

Ta luôn có :

d c b a

a

+ + + < a b c

a

+ + < 1 ( 1 )

áp dụng tính chất của tỉ số ta có :

c b a

a

+ + < a b c d

d a

+ + +

a

+ + + < a b c

a

+ + < a b c d

d a

+ + + +

Tơng tự ta có :

d c b

a

b

+ +

+ < b c d

b

+ + < a b c d

b a

+ + + +

d c b

a

c

+ +

c

+ + < a b c d

b c

+ + + +

d c b

a

d

+ +

d

+ + < a b c d

c d

+ + + +

Cộng vế theo vế của 4 bất đẳng thức kép trên ta đợc :

d c b a

+ + +

+ +

( 2

Vậy 1 <

c b a

Bài 2 : Cho x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 Chứng minh rằng :

( x + y )( y + z )(z + x ) ≥ 8xyz

1 + 49

1 + +( 2 1 ) 2

1

+

n <

4 1

Giải : Ta biến đổi số hạng tổng quát :

2 ) 1

k

1

- 1

4

1( 1 - 2

1)

Với k = 2 ta có :

25

1 <

4

1(2

1

- 3

1)

Với k = 3 ta có :

49

1 <

4

1( 3

1

- 4

1)

n

1

- 1

1 + +( 2 1 ) 2

Vậy

9

1 + 25

1 + 49

1 + +( 2 1 ) 2

Bài 2 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng ta có :

1

+ 1 + +

n

n 1 ) ( 1

+ < 2

Giải :

Ta biến đổi số hạng tổng quát :

k k)

2

1)

Với k = 2 ta có :

2 3

1 < 2(

2

1

- 3

1)

Với k = n ta có :

n

n 1 ) (

1 + +

n

n 1 ) (

1 + +

n

n 1 ) (

1 + +

n

1 < 2 n - 2

Bài 2 : Chứng minh mọi số nguyên dơng n :

1 + 3 4

1 + +

n

n 1 ) (

1

+ < 2 n

* Sử dụng bất đẳng thức tam giác :

Với ba điểm A ,B ,C bất kì ta có : AB + BC ≥ AC

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi B nằm giữa B và C

B

A

C H

a

b c

Giải : Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với :

5 1 3) - (b 1 b) - (a 2

Theo giả thiết a , b, c > và đồng thời a > c , b > c

nên tồn tại tam giác ABC có các cạnh AB = a ,

Từ đó suy ra : c( a−c + b−c) ≤ ab

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi ∆ABC vuông tại A tức là khi

1

= 1 + 1 ⇔ 1 = 1 + 1 (đpcm)

(a2 +c2 b2 +c2 + (a2 +d2 )(b2 +d2 ) ≥ ( a + b)( c + d ) trong đó a, b, c, d là những số thực dơng

CHƯƠNG III : THựC NGHIệM SƯ PHạM

1 Mục đích thử nghiệm

Tôi muốn thử nghiệm đề tài của mình để kiểm tra tính khả thi của nó , kiểm tra xem khả năng giải bất phơng trình , bất đẳng thức của học sinh có tiến bộ không.Từ đó cần điều chỉnh để đề tài đợc hoàn thiện hơn Nếu có hiệu quả tốt tôi sẽ nhân rộng cho các giáo viên khác

2 Nội dung thử nghiệm

Trong quá trình giảng dạy , bồi dỡng học sinh giỏi tôi đã đa ra các bài toán trong đề tài , hớng dẫn học sinh giải sau đó cho học sinh áp dụng giải các bài tiếp theo dựa vào từng phơng pháp cụ thể

3 Ph ơng pháp thử nghiệm

- Hớng dẫn học sinh cách áp dụng đối với từng trờng hợp

- Cho học sinh áp dụng làm bài cụ thể đối với từng trờng hợp

- Ra bài tập về nhà và yêu cầu học sinh tìm tòi thêm các bài tập tơng tự

- Kiểm tra mức độ tiếp thu , vận dụng của học sinh

4 Kết quả thử nghiệm

Trớc khi áp dụng đề tài : 15% HS tiếp cận và giải khá khoa học