Kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của SO và AB; I là trung điểm MN. Hai đường thẳng OI và AB cắt nhau tại E.. a) Chứng minh IHSE là tứ[r]
Trang 1KIỂM TRA HỌC KỲ II
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 90 phút
Bài 1 (1,5điểm).
a) Rút gọn biểu thức P =
a + a a - a
với a 0; a 1 b) Tính giá trị của P khi a = 4 + 2 3
Bài 2 (1,5 điểm) Giải hệ phương trình :
x y
Bài 3 (1,5 điểm)
Tìm m để phương trình x2- 5x - m + 7 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn hệ thức
x12x22 13
Bài 4 (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình :
Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ A để đi đến B Biết vận tốc của
xe du lịch lớn hơn vận tốc xe khách là 20 km/h Do đó đến B trước xe khách là 50 phút Tính vận tốc mỗi xe , biết quãng đường AB dài 100 km
Bài 5 (3,5điểm).
Cho đường tròn (O; R) và một điểm S nằm bên ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến
SA, SB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm) Một đường thẳng đi qua S (không đi qua tâm O) cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm M và N với M nằm giữa S và N Gọi H là giao điểm của SO và AB; I là trung điểm MN Hai đường thẳng OI và AB cắt nhau tại E
a) Chứng minh IHSE là tứ giác nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh OI.OE = R2
c) Cho SO = 2R và MN = R 3 Tính diện tích tam giác ESM theo R
Trang 2
HUỚNG DẪN CHẤM
Bài 1 : (1,5 điểm)
a) Rút gọn biểu thức :
P =
a + a +1 a - a -1
a +1 a -1
a ( a +1) a ( a -1)
= ( a +1)( a -1) = a -1
Vậy P = a - 1
b) Tính giá trị của P khi a = 4 + 2 3
2
a = 4 + 2 3 = 3+ 2 3 +1 = 3 +1 = 3 +1
P = a -1 = 3 +1-1 = 3
0,5 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
Bài 2 : (1,5 điểm) Giải hệ phương trình :
x y
17 4
17 4
2 3(17 4 ) 1
17 4
2 51 12 1
17 4
10 50
x
17 4 5
x
5 3
x y
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là : ( 5 ; -3 )
Bài 3 : (1,5 điểm) Phương trình : x2- 5x - m + 7 = 0 ( 1 )
Ta có = 25 4( m 7) = 25 + 4m 28 = 4m 3
Phương trình (1) có hai nghiệm x x1 2 ; 4m 3 0
3 4
m Với điều kiện
3 4
m , ta có : x + x = x + x12 22 1 22- x x2 1 2 x + x1 22- x x2 1 2
= 13
Theo hệ thức Viet ta có :
1 2
1 2
5
b
x x
a c
a
Do đó ta có : 25 - 2(- m + 7) = 13
2m = 2 m = 1 ( thỏa mãn điều kiện )
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
Trang 3Bài 4 : ( 2 điểm )
Gọi vận tốc của xe khách là x ( km/h) ĐK : x >0
Vận tốc của xe du lịch là : x + 20 (km/h)
Thời gian xe khách đi hết AB là :
100 ( )h x
Thời gian xe du lịch đi hết AB là :
100 ( ) 20 h x
50 phút = 5 6 giờ
Theo đề bài ta có phương trình :
100 100 5 20 6 x x
Giải phương trình ta được : x1 = 40 ( Nhận )
x2 = - 60 ( Loại )
Trả lời : Vận tốc của xe khách là 40 km/h
Vận tốc của xe du lịch là 60 km/h
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
Bài 5 : (3,5 điểm)
Vẽ hình và ghi giả thiết , kết luận đúng
a) Chứng minh tứ giác IHSE nội tiếp trong một đường tròn :
Ta có SA = SB ( tính chất của tiếp tuyến)
Nên SAB cân tại S
Do đó tia phân giác SO cũng là đường cao SOAB
I là trung điểm của MN nên OI MN
Do đó SHE SIE 1V
Hai điểm H và I cùng nhìn đoạn SE dưới 1 góc vuông nên tứ giác IHSE
nội tiếp đường tròn đường kính SE
b) SOI đồng dạng EOH ( g.g)
OI.OE OH.OS
Mà OH.OS = OB2 = R2 ( hệ thức lượng trong tam giác vuông SOB)
Nên OI.OE = R2
0,5 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
E
H
A I M
B
N
Trang 4c) Tính được OI=
2
2 OI
3R
EI OE OI
2
Mặt khác SI =
2 2 R 15
SO OI
2
R 3( 5 1)
SM SI MI
2
Vậy SESM =
2
SM.EI R 3 3( 5 1)
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm