DE THI HSG TOAN 9 5

- Các cách giải khác đúng (trong phạm vi chương trình THCS) vẫn cho điểm..[r]

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009

- -

Ngày thi: 04 tháng 3 năm 2009

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài 150 phút

Bài 1 (6 điểm)

1) Giải phương trình: x 1 2x1 5

2) Tìm x, y để biểu thức F đạt giá trị nhỏ nhất:

F 5x22y2 2xy 4x2y3

Bài 2 (4 điểm)

Tìm số tự nhiên có 3 chữ số abc thỏa:

2 2

1 ( 2)

abc n cba n





 

 (n N n ; 2)

Bài 3 (4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H thuộc BC) Đường tròn đường kính

AH cắt AB, AC lần lượt tại E, F Chứng minh rằng: EF3EB BC CF. .

Bài 4 (3 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và M là một điểm thay đổi trên nửa đường tròn (khác A và B) Tiếp tuyến của (O) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) tại các điểm C và D Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM

Bài 5 ( 3 điểm)

Cho 100 số tự nhiên a a1, , ,2 a100 thỏa mãn điều kiện:

1 2 100

a  a   a 

Chứng minh rằng trong 100 số tự nhiên đó, tồn tại hai số bằng nhau

- HẾT

-Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2:

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

TỈNH BÀ RỊA VŨNG – TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009

- -

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC

(Hướng dẫn này gồm có 02 trang) Bài 1 (6 điểm)

Câu 1 (3 điểm):

1 1

3 2 2 ( 1)(2 1) 25 2 2 3 1 27 3

x x



5

x

Cách 2: +/ Nếu x>5: VT = x1 2x1 5 1  2.5 1 5  VP

+/ Nếu 1 x 5: Tương tự VT < VP

+/ Khi x = 5 thì VT = VP, nên x = 5 là nghiệm của pt

Câu 2 (3 điểm)

F = (x2y22 ) (4xy  x2y212 4xy 4x2 ) 2y  = (x y )2(2x y 1)22

Ta thấy với mọi x, y thì F 2 Nên

min

1

2

3

x

x y F

x y

y







 

  

Bài 2 (4 điểm)

Ta có: abc100a10b c n  21 (1)

cba100c10b a n  2 4n4 (2)

Từ (1) và (2) ta có 99(a-c)=4n – 5  4n 5 99 (3)

Mặt khác: 100n2 1 999101n2100011 n 31

39 4 n 5 119 (4) Từ (3) và (4) suy ra n = 26

Vậy abc 675

Bài 3 (4 điểm)

Trong tam giác vuông ABC ta có: AB.AC = AH.BC và AH2 BH HC. (1)

Trong tam giác vuông ABH ta có: BH2 BE BA. (2)

Trong tam giác vuông ACH ta có: CH2 CF CA. (3)

Từ (2) và (3) ta có:  

2

BH CH BE BA CF CA

Kết hợp (1) và (4) ta được: AH4 EB BC CF AH. . .

Tứ giác AEHF là hình chữ nhật nên AH = EF nên suy ra EF3 EB BC CF. . Bài 4 (3 điểm)

Ta có:

2 2

2

ABDC

AC BD AB CD AB AB

(1)

Kẻ MH vuông góc với AB thì:

2

AMB

S  AB MH  MO AB R

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: S ACM S BDM S ABDC  S AMB2R2 R2 R2

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM là R2, đạt được khi

M là điểm chính giữa của cung AB

Bài 5 (3 điểm)

Ta có kết qủa quen thuộc sau đây:

n

k  k  k  k    , suy ra:

A       n n   n  n

Gỉa sử trong 100 số tự nhiện đã cho không có hai số nào bằng nhau Không mất tính tổng quát, giả sử: a1a2 a100 a11,a2 2, a n 100

Thế thì: 1 2 100

a  a   a     2 100 1 19  (áp dụng (*))

Kết qủa này trái với giả thiết Vậy tồn tại bằng nhau trong 100 số đã cho

LƯU Ý:

- Trên đây là hướng dẫn tóm tắt cách giải Tổ chấm cần thống nhất thang điểm chi tiết đến 0,25 hoặc 0,5

- Các cách giải khác đúng (trong phạm vi chương trình THCS) vẫn cho điểm