Các định lý phân tích vành và môđun

Ở đây, căn Jacobson của một vành R, ký hiệu rad R được định nghĩa là giao của tất cả các iđêan cực đại của R.. Đối với các vành này, các định lý phân tích sử dụng lý thuyết tổng quát của

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐÀO THỊ ANH THƯ

CÁC ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH CỦA VÀNH VÀ MÔĐUN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐÀO THỊ ANH THƯ

CÁC ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH CỦA VÀNH VÀ MÔĐUN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN GIA ĐỊNH

Đà Nẵng - Năm 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

ĐÀO THỊ ANH THƯ

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu 3

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 4

4 Phương pháp nghiên cứu 4

5 Đóng góp của đề tài 4

6 Cấu trúc của luận văn 4

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 5

1.1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC VÍ DỤ 5

1.2 MÔĐUN VÀ ĐỒNG CẤU 23

1.3 CÁC ĐỊNH LÝ ĐẲNG CẤU CỔ ĐIỂN 28

1.4 TỔNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP 31

1.5 MÔĐUN TỰ DO VÀ HỮU HẠN SINH 36

CHƯƠNG 2 CÁC PHÂN TÍCH CỦA VÀNH 40

2.1 PHÂN TÍCH PIERE HAI PHÍA CỦA MỘT VÀNH 40

2.2 ĐỊNH LÍ WEDDERBURN-ARTIN 44

2.3 DÀN, ĐẠI SỐ BOOLE VÀ VÀNH 49

2.4 VÀNH KHẢ PHÂN HỮU HẠN 65

CHƯƠNG 3 VÀNH ARTIN VÀ NOETHER 77

3.1 MÔĐUN VÀ VÀNH ARTIN, NOETHER 77

3.2 ĐỊNH LÍ JORDAN - H ̈LDER 84

3.3 ĐỊNH LÍ CƠ SỞ HILBERT 88

3.4 CĂN CỦA MỘT MÔĐUN VÀ MỘT VÀNH 89

3.5 CĂN CỦA VÀNH ARTIN 94

3.6 MỘT TIÊU CHUẨN CỦA VÀNH LÀ ARTIN HOẶC NOETHER 97

KẾT LUẬN 100

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 101 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao)

ví dụ, cụ thể là các số quaternion được tạo bởi William R Hamilton vào năm

1843 Đây là ví dụ đầu tiên về “hệ thống số” không giao hoán Trong suốt 40 năm kế tiếp, các nhà toán học giới thiệu các ví dụ khác về đại số không giao hoán để chỉ ra các kiểu đại số cho sự chú ý đặc biệt Vì vậy, các đại số có số chiều thấp, các đại số chia và các đại số giao hoán được phân loại và đặc trưng Kết quả đầy đủ đầu tiên trong lý thuyết cấu trúc của đại số kết hợp trên trường thực và phức có được bởi T Molien, E Cartan và G Frobenius

Lý thuyết vành là một chủ đề cực kỳ quan trọng trong đại số Về mặt lịch sử, nhiều khám phá chính trong lý thuyết vành đã làm cho đại số trừu tượng hiện đại phát triển Ngày nay, lý thuyết vành là một mảnh đất màu mỡ đối với lý thuyết nhóm, lý thuyết biểu diễn, giải tích hàm, lý thuyết Lie, hình học đại số, số học, đại số phổ dụng và đại số đồng điều

Lý thuyết vành hiện đại bắt đầu khi J.H.M Wedderburn chứng minh được định lý phân loại nổi tiếng đối với các đại số nửa đơn hữu hạn chiều trên

trường Hai mươi năm sau đó, E Noether và E Artin giới thiệu điều kiện dây

chuyền tăng (ACC) và điều kiện dây chuyền giảm (DCC) để thay thế tính hữu

hạn chiều và Artin đã chứng minh tương tự Định lý Wedderburn cho vành nửa đơn tổng quát Từ đó lý thuyết Wedderburn-Artin trở thành nền tảng cho

lý thuyết vành không giao hoán

Trong một vành, ta có thể cộng, trừ và nhân, nhưng ta không thể “chia” một phần tử cho một phần tử khác Theo một nghĩa rất tự nhiên, các đối tượng

“hoàn hảo” nhất trong lý thuyết vành không giao hoán là các thể (vành chia),

2

nghĩa là vành có đơn vị khác không, trong đó mọi phần tử khác không đều khả nghịch Từ các thể, ta có thể xây dựng các vành ma trận và tạo thành tích trực tiếp hữu hạn của các vành ma trận như thế Theo Định lý phân tích của Wedderburn-Artin, các vành có được theo cách này bao gồm tất cả các lớp vành nửa đơn quan trọng Đây là một trong các định lý phân loại đầy đủ sớm nhất và đẹp nhất trong đại số trừu tượng

Có nhiều cách định nghĩa tính nửa đơn Wedderburn quan tâm chủ yếu

đến đại số hữu hạn chiều trên trường, định nghĩa căn của một đại số R như thế

là iđêan lũy linh lớn nhất của R, và định nghĩa R là nửa đơn nếu căn này bằng

không Vì chúng ta quan tâm đến vành nói chung, và không chỉ đại số hữu hạn chiều, chúng ta sẽ theo một cách tiếp cận khác Ở đây, một vành nửa đơn được định nghĩa là một vành mà tất cả các môđun trên nó là nửa đơn, nghĩa là tổng trực tiếp các môđun đơn Định nghĩa vành nửa đơn theo lý thuyết môđun này không những dễ làm việc mà còn kéo theo Định lý Wedderburn-Artin một cách nhanh chóng và tự nhiên Việc xem xét căn cũng đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết vành, trong đó căn Wedderburn đối với đại số hữu hạn chiều được suy rộng đến căn Jacobson đối với vành bất kỳ Với khái niệm tổng quát hơn về căn này, chúng ta sẽ thấy rằng vành nửa đơn chính là vành

Artin với căn Jacobson bằng không Ở đây, căn Jacobson của một vành R, ký hiệu rad R được định nghĩa là giao của tất cả các iđêan cực đại của R

Xuất phát từ mong muốn nghiên cứu mang tính thời sự của lý thuyết vành và môđun và các ứng dụng của nó, chúng tôi quyết định chọn đề tài với

tên gọi Các định lý phân tích của vành và môđun để tiến hành nghiên cứu

Chúng tôi hy vọng tạo được một tài liệu tham khảo tốt cho những người bắt

đầu tìm hiểu về phân tích các vành và ứng dụng vào vành Artin và Noether,

và chỉ ra được một số ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này

3

2 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu

Mục tiêu của luận văn nhằm nghiên cứu sự phân tích của các vành và môđun qua các định lý cơ bản nổi tiếng và ứng dụng vào lớp vành Artin và Noether, cùng các tính chất của chúng Nội dung của luận văn được chia thành 3 chương:

- Trong Chương 1, các công cụ cơ bản để nghiên cứu vành được giới thiệu, một số định nghĩa cơ sở, nhiều tính chất cơ bản và các ví dụ minh họa được trình bày Một số khái niệm quan trọng đóng vai trò trung tâm trong lý

thuyết vành được nêu ra trong chương này

- Chương 2 nhằm trình bày các định lý phân tích của vành Đặc biệt, nhiều chú ý được cho đối với phân tích Peirce hai phía của vành Tiếp đến là việc nghiên cứu các môđun nửa đơn mà tạo thành một trong các lớp quan trọng nhất của môđun và đóng một vai trò nổi bật trong lý thuyết môđun Đối với vành nửa đơn, giới thiệu Định lý cơ bản Weddeburn-Artin cung cấp sự phân loại đầy đủ của các vành như thế Trong chương này cũng đưa ra một giới thiệu ngắn gọn về lý thuyết dàn và đại số Boole Chương 2 còn giới thiệu các vành khả phân hữu hạn và các tính chất chính của chúng Đối với các vành này, các định lý phân tích sử dụng lý thuyết tổng quát của đại số Boole

và lý thuyết về các phần tử lũy đẳng được trình bày

- Chương 3 dành cho việc nghiên cứu vành và môđun Noether và Artin; đặc biệt là định lý nổi tiếng Jordan-Hölder và định lý cơ sở Hilbert Phần quan trọng nhất của chương này là nghiên cứu căn Jacobson và các tính chất của

nó Chương này cũng trình bày chứng minh Bổ đề Nakayama, đó là một kết quả đơn giản với các ứng dụng mạnh mẽ Cuối cùng là sự trình bày một tiêu chuẩn của vành là Noether hoặc Artin và xét các vành nửa nguyên sơ, chứng minh một định lý nổi tiếng của Hopkin và Levitzki, mà chứng tỏ một vành Artin bất kỳ cũng là vành Noether

4

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là lý thuyết vành và môđun Phạm

vi nghiên cứu của luận văn là sự phân tích của vành và môđun và ứng dụng vào vành Artin và Noether qua các định lý phân tích cơ bản nổi tiếng

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu về các định lý phân tích của vành và môđun, một vấn đề quan trọng trong

lý thuyết vành và môđun, trên cơ sở đó phân tích, tổng hợp và chứng minh chi tiết các kết quả liên quan

4.2 Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết quả đang nghiên cứu Trao đổi qua email, blog, forum với các chuyên gia về

lý thuyết vành và môđun

5 Đóng góp của đề tài

5.1 Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến

Các định lý cơ bản nổi tiếng về sự phân tích của vành và môđun, nhằm xây

dựng một tài liệu tham khảo cho các người bắt đầu nghiên cứu về lý thuyết

vành và môđun

5.2 Chứng minh chi tiết và làm rõ một số mệnh đề, cũng như đưa ra một số ví dụ minh hoạ nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề được

đề cập

6 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo trong luận văn gồm

có các chương như sau:

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

CHƯƠNG 2 CÁC PHÂN TÍCH CỦA VÀNH

CHƯƠNG 3 VÀNH ARTIN VÀ NOETHER

1.1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC VÍ DỤ

Định nghĩa 1.1.1 Một vành là một tập hợp khác rỗng A cùng với hai

phép toán ký hiệu cộng và nhân thỏa mãn các điều kiện sau ∀ , , ∈ ,

(1) + ( + ) = ( + ) + (Tính kết hợp của phép cộng);

(2) + = + (Tính giao hoán của phép cộng);

(3) ∃0 ∈ , + 0 = 0 + = (Tồn tại phần tử không);

(4) ∃ ∈ , + = 0 (Tồn tại phần tử đối);

(5) ( + ) = + (Tính phân phối phải);

(6) ( + ) = + (Tính phân phối trái)

Chúng ta thường ký hiệu thay cho với a,b ∈ Phần tử đối ∈ ở (4) là duy nhất Phần tử đối thường được ký hiệu là –

(A, +) là một nhóm Abel gọi là nhóm cộng của A

Một ví dụ tầm thường của vành là vành chỉ có một phần tử 0 Vành này được gọi là vành tầm thường hay vành không Ta thường xét vành có nhiều hơn một phần tử và vì vậy có ít nhất một phần tử khác phần tử không Các vành như vậy được gọi là vành khác không

Vành được gọi là kết hợp nếu phép nhân thỏa mãn tính kết hợp: ( ) = ( ), ∀ , , ∈

Vành được gọi là giao hoán nếu phép nhân có tính giao hoán, nghĩa

là, = , ∀ , ∈

Phần tử đơn vị của vành được định nghĩa là phần tử trung hòa ∈ đối với phép nhân, tức là = = , ∀ ∈ Chú ý rằng nếu một vành

6

khác không có phần tử đơn vị thì nó được xác định duy nhất và thường được

ký hiệu là 1 Nói chung, một vành không nhất thiết có phần tử đơn vị Một vành có phần tử đơn vị đối với phép nhân thường được gọi là vành có phần tử đơn vị

Một tập con khác rỗng của được gọi là vành con của nếu cùng với phép cộng và phép nhân trong là một vành Đối với vành có đơn vị 1, vành con phải có cùng phần tử đơn vị

Để xác định khi nào tập hợp là vành con của vành có phần tử 1, chỉ cần kiểm tra các điều kiện sau đây:

a 0 ∈ và 1 ∈ ;

b ∀ , ∈ , – ∈ , ∈

Kể từ bây giờ trở đi, nếu không nói khác đi thì một vành được hiểu là vành kết hợp và có phần tử đơn vị 1 ≠ 0

Cho là một vành Phần tử khác không ∈ được gọi là ước phải của

0 nếu tồn tại một phần tử khác không ∈ để = 0 Ước trái của 0 được định nghĩa tương tự Trong trường hợp vành giao hoán, khái niệm ước phải và ước trái của 0 là trùng nhau và ta chỉ nói về ước của 0 Vành được gọi là một miền nếu ≠ 0 đối với mọi phần tử khác không , ∈ Trong vành như vậy không có ước trái (hay phải) của 0

Một phần tử ∈ được gọi là khả nghịch phải nếu tồn tại một phần tử ∈ sao cho = 1 Một phần tử như thế được gọi là nghịch đảo phải của Khả nghịch trái và phần tử nghịch đảo trái cũng định nghĩa tương tự Nếu một phần tử vừa có nghịch đảo phải , vừa có nghịch đảo trái thì = ( ) = ( ) = Trong trường hợp này, ta gọi là khả nghịch và phần tử = là nghịch đảo của Dễ dàng thấy rằng với phần tử khả nghịch

, nghịch đảo của a xác định duy nhất và thường được ký hiệu là Nếu

và là các phần tử khả nghịch trong vành , thì và cũng khả nghịch

7

và ( ) = , ( ) = Các phần tử khả nghịch của vành tạo thành một nhóm với phép nhân, ký hiệu ∗ hoặc ( )

Một phần tử của vành được gọi là lũy đẳng nếu = Hai lũy đẳng

và được gọi là trực giao nếu = = 0 Rõ ràng, phần tử 0 và phần tử đơn vị

1 của vành là lũy đẳng Tuy nhiên cũng tồn tại nhiều lũy đẳng khác

Một vành chia hoặc một thể là một vành khác không trong đó tất cả các phần tử khác không cùng với phép nhân tạo thành một nhóm, tức là, mọi phần tử khác không đều khả nghịch Một vành chia giao hoán được gọi là một trường

Cho một trường chứa trường Trong trường hợp này ta nói trường

là một mở rộng của và trường được gọi là trường con của Rõ ràng, là một không gian vectơ trên Một phần tử ∈ được gọi là đại số trên trường nếu α là nghiệm của một đa thức ( ) ∈ [ ] nào đó

Trường được gọi là một mở rộng đại số của trường nếu mỗi phần tử của là đại số trên Một mở rộng của trường được gọi là hữu hạn nếu là không gian vectơ hữu hạn chiều trên Số chiều của trên được gọi là bậc của mở rộng và ký hiệu [ ∶ ] Nếu [ ∶ ] = thì với bất kỳ ∈ , các phần

tử 1, , … , là phụ thuộc tuyến tính trên , và vì vậy là nghiệm của đa thức ( ) ∈ [ ] nào đó Do đó, mỗi mở rộng hữu hạn đều là mở rộng đại số

Mệnh đề 1.1.1 Cho ⊃ ⊃ là một dãy các mở rộng trường, trong

đó là một mở rộng hữu hạn của trường với một cơ sở , … , và là

một mở rộng hữu hạn của trường với một cơ sở , … , Khi đó ( = 1, … , ; = 1, … , ) là một cơ sở của trường trên Đặc biệt

[ ∶ ] = [ ∶ ][ ∶ ]

Một đại số trên trường (hay – đại số) là một tập hợp mà vừa là vành vừa là không gian vectơ trên trường thỏa mãn:

( ) = ( ) = ( ), ∀ ∈ , ∀ , ∈

8

Một –đại số được gọi là hữu hạn chiều nếu không gian vectơ là hữu hạn chiều trên Số chiều của không gian vectơ trên được gọi là số chiều của đại số và ký hiệu [ : ]

Nếu một trường chứa trường thì là một đại số trên

Định nghĩa 1.1.2 Một ánh xạ φ từ vành vào vành ’ được gọi là một đồng cấu vành hay đơn giản là một đồng cấu nếu thỏa mãn điều kiện sau

Hạt nhân của đồng cấu từ vành đến vành ’ là tập hợp các phần tử ∈ sao cho ( ) = 0 Ký hiệu Tập con của ’ bao gồm các phần tử dạng ( ), ∀ ∈ , được gọi là ảnh đồng cấu của qua và ký hiệu Dễ dàng chứng minh được rằng và đóng đối với phép cộng

và phép nhân Hạt nhân đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết vành Nó chính là một iđêan trong theo định nghĩa sau

Một nhóm con của nhóm cộng của một vành được gọi là iđêan phải (tương ứng trái) của nếu ∈ (tương ứng ∈ ) với mỗi ∈ và ∈ Một nhóm con mà vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải được gọi là một iđêan hai phía của , hoặc đơn giản là một iđêan Dĩ nhiên, nếu là giao hoán thì iđêan phải, iđêan trái là một iđêan

∈ và mọi ngoại trừ một số hữu hạn là bằng 0 với ∈

Ta cũng có thể xác định tích của hai iđêan , của như là tập các phần tử có dạng ∑ với ∈ và ∈ , và chỉ có một số hữu hạn của không bằng không

Dễ dàng kiểm tra được rằng tổng và tích của iđêan phải cũng là các iđêan phải Phát biểu tương tự với iđêan trái và iđêan Thông thường ta ký hiệu bởi ; và với mỗi số nguyên dương > 1 ta viết =

Với bất kỳ họ iđêan phải { : ∈ } của một vành , ta có thể xét giao của chúng ⋂ ∈ là tập hợp các phần tử { ∈ } sao cho ∈ với mỗi ∈ Hiển nhiên nó là một iđêan phải của Lưu ý rằng nếu và là những iđêan hai phía thì ⊆ ∩ Nếu và là những iđêan phải thì ⊂ , nhưng không đúng với ⊂

Hợp của hai iđêan không nhất thiết là một iđêan Tuy nhiên, điều này đúng với một số trường hợp cụ thể

Mệnh đề 1.1.2 Giả sử { : ∈ } là một họ iđêan phải thực sự của một

vành với tính chất Í với mọi ∈ Khi đó = ⋃ ∈ là một iđêan phải thực sự của

Chứng minh Giả sử ∈ , khi đó tồn tại ∈ sao cho ∈ Vì vậy với bất kỳ ∈ ta có ∈ và do đó ∈ Nếu ∈ thì tồn tại ∈ sao cho ∈ Giả sử = ( , ), khi đó Í và Í Vì vậy , ∈ và + ∈ Do đó + ∈ Như vậy là một iđêan của Nếu không thực sự thì = Đặc biệt, 1 ∈ Khi đó 1 ∈ với ∈ nào đó

Vì là iđêan thực sự, điều này là vô lí

10

Một iđêan thực sự của một vành chứa trong một iđêan lớn hơn, chẳng hạn Một iđêan phải của một vành được gọi là cực đại trong nếu nó không có iđêan phải , khác với và , mà ⊂ ⊂ Iđêan cực đại là rất quan trọng trong lý thuyết vành, nhưng không may ta không có phương pháp xây dựng nào để thu được iđêan cực đại của vành được cho Chỉ có bổ đề Zorn chỉ ra rằng, với một số điều kiện thích hợp, tồn tại iđêan cực đại

Định nghĩa 1.1.3 Một tập hợp được gọi là được sắp thứ tự bộ phận nếu có quan hệ ≤ giữa các phần tử của nó thỏa mãn:

P1 ≤ , ∀ ∈ (tính phản xạ);

P2 ≤ , ≤ kéo theo ≤ , ∀ , , ∈ (tính bắc cầu);

P3 ≤ , ≤ kéo theo = , ∀ , ∈ (tính phản đối xứng);

Quan hệ ≤ như thế gọi là một quan hệ thứ tự bộ phận

Ví dụ 1.1.1 Quan hệ ≤ thông thường là một quan hệ thứ tự bộ phận trên tập hợp các số nguyên dương

Ví dụ 1.1.2 Cho là một tập hợp Tập lũy thừa ( ) là tập tất cả các tập con của Khi đó ( ) là một tập được sắp thứ tự bộ phận đối với quan

11

Định nghĩa 1.1.4 Một tập được sắp thứ tự bộ phận là thứ tự tuyến tính (hay là một dây chuyền) nếu với hai phần tử bất kỳ , ∈ kéo theo hoặc ≤ hoặc ≤

Bổ đề Zorn cho ta điều kiện đủ để tồn tại phần tử cực đại

Bổ đề Zorn Nếu mỗi dây chuyền chứa trong một tập được sắp thứ tự

bộ phận có một chặn trên thì tập hợp có ít nhất một phần tử cực đại

Như ta đã biết, bổ đề Zorn là tương đương với tiên đề chọn

Tiên đề chọn Cho là một tập chỉ số và cho là một tập khác rỗng với mọi ∈ Khi đó tồn tại một ánh xạ từ đến ⋃ ∈ sao cho ( ) ∈

với mọi ∈ (Ánh xạ này được gọi là hàm chọn) Nói cách khác tích

Decartes của một họ khác rỗng các tập hợp khác rỗng là khác rỗng

Ta sử dụng bổ đề Zorn để chứng minh mệnh đề sau

Mệnh đề 1.1.3 Các iđêan phải thực sự bất kỳ của vành có đơn vị

được chứa trong một iđêan phải cực đại

Chứng minh Xét một tập được sắp thứ tự bộ phận gồm tất cả các iđêan phải thực sự chứa Vì vành có đơn vị, theo Mệnh đề 1.1.2, hợp của dây chuyền bất kỳ của các iđêan phải thực sự cũng là iđêan phải thực sự, đó là một chặn trên của dây chuyền này Mệnh đề này có ngay từ bổ đề Zorn

Lưu ý rằng tất cả các lập luận trên đối với iđêan phải thì tương tự đối với iđêan trái và iđêan hai phía

Một iđêan phải của một vành được gọi là lũy linh nếu = 0 với số nguyên dương > 1 Trong trường hợp này … = 0 với mọi phần tử , , … , của

Nếu là một vành và ∈ thì = (tương ứng = ) là một iđêan phải (tương ứng trái) và được gọi là iđêan chính phải (tương ứng trái) xác định bởi Một vành mà tất cả các iđêan phải (tương ứng trái) của nó là chính, được gọi là vành iđêan phải (tương ứng trái) chính Tương tự, =

12

được gọi là iđêan chính hai phía xác định bởi phần tử và ký hiệu là ( ) Mỗi phần tử của iđêan này có dạng ∑ , với , ∈ Một vành mà tất cả các iđêan phải và iđêan trái là chính được gọi là vành iđêan chính Một miền mà tất cả các iđêan phải và iđêan trái là chính, được gọi là miền iđêan chính hoặc viết tắt là

Mệnh đề 1.1.4 Cho là một vành iđêan chính Khi đó một họ các

iđêan phải (tương ứng trái) { : ∈ } của vành với tính chất ⊂ ,

Chứng minh Giả sử ta có một họ các iđêan phải { : ∈ } của vành sao cho ⊂ với mọi ∈ Theo Mệnh đề 1.1.2, = ⋃ ∈ là một iđêan phải của Vì là một vành iđêan chính, là iđêan chính phải có phần

tử sinh ∈ Vì ∈ ⋃ ∈ , tồn tại một số ∈ sao cho ∈ Khi đó

= , với mọi ≥ , vì nếu ngược lại thì tồn tại > sao cho ⊂ , và

( + ) + ( + ) = ( + ) + , ( + )( + ) = ( ) + Phần tử 0 của vành này là lớp kề 0 + , và phần tử đơn vị là lớp kề 1 + Ánh xạ : → / xác định bởi ( ) = + , là một toàn cấu của lên / và được gọi là phép chiếu tự nhiên của lên /

Ví dụ 1.1.4 Tập hợp tất cả các số nguyên tạo thành một vành giao hoán với các phép cộng và phép nhân thông thường Ta sẽ chứng tỏ rằng các

13

iđêan trong là iđêan chính Cho là một iđêan của Nếu là iđêan không thì = (0) là iđêan chính sinh bởi phần tử 0 Nếu ≠ 0 thì chứa các số nguyên dương khác không Gọi n là số nguyên dương nhỏ nhất thuộc Rõ ràng, ( ) ⊆

Cho ∈ Theo thuật toán chia tồn tại số nguyên và sao cho = + và 0 ≤ < Vì , ∈ và = − , kéo theo ∈ Nếu ≠ 0 thì ta có một số nguyên dương trong nhỏ hơn Điều mâu thuẫn này chứng tỏ rằng = 0 và = Từ đẳng thức này cho ta ∈ ( ), vì vậy ⊆ ( ) Như thế, = ( ) là một iđêan chính sinh bởi phần tử Do đó vành

là miền iđêan chính giao hoán

Ví dụ 1.1.5 Tập hợp , , các số hữu tỉ, số thực và số phức là các trường

Ví dụ 1.1.6 Cho là một vành Khi đó tập hợp

( ) = { ∈ ∶ = , ∀ ∈ } được gọi là tâm của vành A Dễ dàng kiểm tra được rằng ( ) là một vành con của A Rõ ràng, ( ) là một vành giao hoán

Ví dụ 1.1.7 Các đa thức một biến trên trường tạo thành một vành giao hoán [ ] Trường có thể xem như là một vành con của [ ] Ta sẽ chứng tỏ rằng một iđêan bất kỳ trong [ ] cũng là iđêan chính Cho ≠ 0 là một iđêan trong [ ] Ta chọn trong một đa thức ( ) = + + … + ( ≠ 0) với bậc nhỏ nhất ( ) = Rõ ràng, ( ) ⊆ Cho ( ) là đa thức tùy ý trong Khi đó bằng thuật toán chia tồn tại các đa thức ( ), ( ) ∈ [ ] sao cho ( ) = ( ) ( ) + ( ) và 0 ≤ ( ) < Vì ( ), ( ) ∈ và ( ) = ( ) − ( ) ( ) kéo theo ( ) ∈ Nếu ( ) ≠ 0 thì ta có một phần tử trong sao cho bậc của nó nhỏ hơn Điều mâu thuẫn này chứng tỏ rằng ( ) = 0 và ( ) = ( ) ( ) Vì vậy ( ) ∈ ( ) và ⊆ ( ( )) Do đó, = ( ( )) là iđêan chính và [ ]

là miền iđêan chính giao hoán

14

Ta có thể tổng quát hóa ví dụ này Cho là một vành bất kì Xét [ ]

là một tập tất cả các đa thức một biến trên (với hệ số trong ) Nếu vành

là giao hoán thì [ ] cũng giao hoán Đơn vị của cũng là đơn vị của [ ] Tuy nhiên, tồn tại vành sao cho không phải tất cả các iđêan trong [ ] là iđêan chính Chẳng hạn, cho = là vành các số nguyên và là tập hợp của tất cả các đa thức với số hạng hằng là chẵn Dễ dàng thấy rằng là một iđêan trong ( ) nhưng nó không phải là iđêan chính

Tương tự ta có thể xét vành [ , ] các đa thức hai biến , với hệ số

=

, = 0, 1, 2, …

15

Một cách tự nhiên, = nếu và chỉ nếu = với mọi Dễ dàng kiểm tra được tập [[ ]] tạo thành một vành giao hoán với phép cộng và phép nhân được thiết lập như trên, và nó được gọi là vành các chuỗi lũy thừa hình thức trên trường Các phần tử của và [ ] có thể được xem như là các phần tử của [[ ]] Vì vậy, trường và vành đa thức [ ] có thể được xem như là vành con của [ ] Đặc biệt, đơn vị của là đơn vị của [ ]

Bây giờ ta sẽ chứng tỏ rằng phần tử ∈ [ ] là khả nghịch trong [ ] nếu và chỉ nếu ≠ 0 Cho ∈ [ ] là khả nghịch, khi đó tồn tại phần tử ∈ [ ] sao cho = = 1 Từ định nghĩa của phép nhân cho thấy rằng = = 1, tức là, ≠ 0

Ngược lại, giả sử rằng ∈ [ ] và ≠ 0 Ta sẽ chứng tỏ rằng tồn tại phần tử ∈ [[ ]] sao cho = = 1 Xét hệ phương trình sau:

ï

ïí

ï

ïïî

M

LLM

với , , … , … là ẩn số

Vì là một trường và ≠ 0, từ phương trình đầu tiên cho ta =

∈ Phương trình thứ hai xác định theo công thức: = − Bằng qui nạp, nếu , , … , đã xác định thì được xác định bằng phương trình cuối cùng Vì vậy phần tử = ∑ là phần tử nghịch đảo của

Bây giờ ta sẽ chứng tỏ rằng iđêan của [ ] là iđêan chính Cho ≠ 0 và = ∑ là phần tử trong với là số nguyên nhỏ nhất sao

16

cho ≠ 0 Khi đó phần tử này có thể được viết dưới dạng = , với = ∑

Từ những điều trên dẫn đến phần tử là khả nghịch Vì vậy ∈ và ( ) ⊆ Cho = ∑ ∈ và ≠ 0 Khi đó = với là phần tử khả nghịch và ≥ , vì vậy = ∈( ), tức là ⊆ ( ) Do đó = ( ) Vì vậy [[ ]] là vành iđêan chính và tất cả các iđêan trong [[ ]] tạo thành một dây chuyền giảm

[ ] ⊃ ( ) ⊃ ( ) ⊃ ( ) ⊃ … ⊃ ( ) ⊃ … Viết = ( ) và = ⋂ Ta sẽ chứng tỏ rằng = 0 Giả sử rằng ≠ 0 Vì là một iđêan trong [ ] và iđêan khác không trong [ ] có dạng , tồn tại số nguyên dương > 0 sao cho = Do đó = ⊂ với bất kỳ và đặc biệt với > Một mâu thuẫn Vì vậy = 0

Ví dụ 1.1.9 Ký hiệu ( )( là một số nguyên tố) tập các phân số tối giản trong sao cho ( , ) = 1 Tập hợp ( ) tạo thành vành với phép cộng và phép nhân thông thường và nó được gọi là vành các số -nguyên Ta

sẽ chứng tỏ rằng phần tử = ∈ ( ) là khả nghịch nếu và chỉ nếu ( , ) =

1 Rõ ràng, nếu ( , ) = 1 thì = ∈ ( ) và = = 1, tức là là khả nghịch và là phần tử nghịch đảo của Ngược lại, cho = là một phần tử khả nghịch trong ( ) thì tồn tại phần tử = sao cho = = 1 Do đó = Vì ( , ) = 1 và ( , ) = 1, ta có ( , ) = 1 Do đó ( , ) = 1 và ( , ) = 1

Ta sẽ chứng tỏ rằng một iđêan bất kỳ trong ( )là chính Cho ≠ 0

và = là phần tử trong với là số dương nhỏ nhất sao cho ( , ) = 1 Khi đó phần tử này có thể được viết dưới dạng = , với = và

ℤ( ) ⊃ ( ) ⊃ ( ) ⊃ ( ) ⊃ … ⊃ ( ) ⊃ … Như trong trường hợp của ví dụ trước ⋂ ( )= 0

Ví dụ 1.1.10 Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp trên vành chia với các phép cộng và phép nhân ma trận thông thường tạo thành vành không giao hoán ( ) Vành này thường được gọi là vành ma trận đầy đủ Một phần tử của ( ) có dạng

,

Các phần tử nhân theo quy tắc:

= (1.1.1) với

= 1 nếu =

0 nếu ≠

18

là ký hiệu Kronecker Ma trận = + + … + , có đường chéo chính là 1 và 0 ở các vị trí khác, là ma trận đơn vị của ( ) và thường ký hiệu đơn giản là nếu ta biết số chiều Rõ ràng, phần tử ( = 1, 2, … , )

là các lũy đẳng trực giao

Cho ∈ , khi đó một ma trận có dạng thường được gọi là ma trận

vô hướng Theo (1.1.1), thật dễ để kiểm tra rằng = với ∈ và , = 1, 2, … ,

Theo cách tương tự như vậy, ta có thể xét vành ma trận ( )

Ví dụ 1.1.11 Cho là vành kết hợp và là nhóm nhân Xét tập các tổng hữu hạn hình thức ∑ ∈ với ∈ Các phép toán trong được định nghĩa bởi công thức:

∈

,

khi = ∑ với tổng tất cả ( , ) ∈ × sao cho = ℎ Dễ dàng kiểm tra là một vành kết hợp Vành này được gọi là vành nhóm của nhóm trên vành Rõ ràng, là giao hoán nếu và chỉ nếu cả và là giao hoán Hơn nữa, nếu là một trường thì là một -đại số được gọi

là đại số nhóm của nhóm trên trường Nếu là một vành giao hoán có đơn vị 1, vành nhóm thường được gọi là đại số nhóm của nhóm trên trường

Ví dụ 1.1.12 Xét một không gian vectơ bốn chiều trên trường các

số thực với cơ sở {1, , , } Phép nhân trong được định nghĩa bởi bảng

nhân sau:

Khi đó tính kết hợp của phép nhân của các phần tử của được cho bởi:

( + + + )( + + + ) =

= ( − − − ) 1 + +( + + − ) + +( − + + ) + +( + − + )

Dễ dàng kiểm tra được rằng tập hợp các phần tử của với phép cộng và phép nhân được định nghĩa như trên tạo thành vành không giao hoán Phần

tử đơn vị của vành này là 1 + 0 + 0 + 0 Nếu = + + + ∈ , với , , , ∈ , khi đó ta định nghĩa = − − − Dễ dàng có được:

= = + + + ∈ Nếu ≠ 0 thì là một số thực khác 0 Vì vậy, nếu ≠ 0 thì có phần tử nghịch đảo:

= ( + + + ) ∈ Như vậy, là một vành chia (chính xác hơn đây là một đại số chia trên trường ) và nó được gọi là đại số các quaternion thực Đại số này đã được giới thiệu vào năm 1843 bởi William Rowan Hamilton như là ví dụ đầu tiên của hệ thống các số không giao hoán Ví dụ này có thể xem như khởi nguồn

Nói cách khác đây là không gian vectơ 8-chiều trên với cơ sở {1, , , , , , , } và bảng nhân sau:

Ví dụ 1.1.14 Đại số chia và phép hoán vị trực giao.

Cho là không gian vectơ thực n-chiều và gọi

= (0, … ,1, … , 0), = 1, … , , là cơ sở chính tắc của nó Một ánh xạ tuyến tính : → được gọi là một phép hoán vị tuyến tính (hay phép hoán vị) nếu với bất kỳ a = ( , … , ) ∈ , a = ( ) ( ), … , ( ) ( ) , với ∈ là một hoán vị và ( ) ∈ {+1, −1} Hai phép hoán vị tuyến tính

và được gọi là trực giao nếu ( a, a) = 0 với mỗi a ∈ ; (a, b) là tích

vô hướng chính tắc của a, b ∈ Một tập hợp P = ( , … , ) các hoán vị (tuyến tính) được gọi là một hệ các phép hoán vị trực giao nếu và là trực

21

giao với bất kỳ , ∈ {1, … , }, ≠ Rõ ràng ≤ Nếu = thì hệ các phép hoán vị trực giao này được gọi là đầy đủ

Rõ ràng, hệ các phép hoán vị trực giao P = ( , … , ) và phép hoán vị

bất kỳ có thể xây dựng một hệ trực giao mới PP = ( , … , ) Đó là lý

do tại sao ta chỉ xét hệ sao cho = (ánh xạ đồng nhất)

Cho hệ các phép hoán vị trực giao P = ( , … , ), đặt = và

= ∑ Khi đó = , … , với = , = ( ) và

= Rõ ràng hệ ( , … , ) xác định hệ các phép hoán vị trực giao P

Lưu ý rằng là hoán vị đồng nhất vì =

Với mỗi hệ các phép hoán vị trực giao đầy đủ P = ( , … , ), ta có

một R-đại số (không nhất thiết kết hợp) AP với một cơ sở e ( = 1, … , ) và phép nhân được cho bởi quy tắc e a = a Lưu ý rằng nếu = thì vectơ

e là đơn vị trái của đại số này

Định lí 1.1.5 Với mỗi hệ các phép hoán vị trực giao đầy đủ P, đại số A P

là một đại số chia, tức là với bất kỳ a, b ∈ A P ,a ≠ 0, mỗi phương trình (1) xa = b và (2) ay = b có một nghiệm duy nhất

Chứng minh Khi AP là hữu hạn chiều, chỉ cần chứng minh rằng một trong các phương trình (1) hoặc (2) có nghiệm với mỗi ≠ 0, có nghĩa là, vectơ e a ( = 1, … , ) tạo thành một cơ sở của AP Nhưng trong trường hợp này, các vectơ e a = a là khác không và trực giao từng đôi một Như vậy

chúng tạo thành một cơ sở trực giao của AP.

Đại số chia được gọi là thay phiên nếu tất cả các đại số con được sinh bởi hai phần tử là kết hợp Các đại số hữu hạn chiều trên trường các số thực sau đây là rất nổi tiếng:

0) Trường các số thực

1) Trường các số phức

Lặp lại, nhân quaternion + + + tương ứng với vectơ

a = ( , , , ) ∈ bởi phần tử cơ sở 1, , , , ta có hoán vị trong như sau:

23

Định lí 1.1.6 (J.F Adams (1960)) Nếu A là đại số chia hữu hạn chiều

trên thì = 2 với =0, 1, 2, 3

Lưu ý: Kết quả của John Frank Adams không nên nhầm lẫn với kết quả

nổi tiếng của A Ostrowski (1917) Định lí Ostrowski nói rằng: Nếu là một chuẩn Archimede trên trường kết hợp (nhưng không nhất thiết giao hoán) thì tồn tại một đẳng cấu của trên trường con trù mật của , hoặc sao cho là tương đương với chuẩn cảm sinh bởi , hay

Đặc biệt nếu là đầy đủ, nó đẳng cấu với , hoặc Có một mở rộng đến trường không nhất thiết kết hợp và khi đó các số Cayley chuyển thành như khả năng thứ tư và là khả năng cuối cùng

Hệ quả 1.1.7 Tồn tại hệ các phép hoán vị trực giao đầy đủ các vectơ

và các điều kiện sau được thỏa mãn:

24

nghĩa = với ∈ và ∈ Như vậy đối với vành giao hoán ta có thể viết các phần tử của vành ở phía khác Nếu là không giao hoán, nói chung không phải mọi -môđun phải cũng là -môđun trái Theo cách đó, khi nói một -môđun ta sẽ hiểu là -môđun phải

Lưu ý rằng nếu là một trường thì -môđun phải chính là một không gian vectơ phải Khái niệm của môđun là một tổng quát hóa khái niệm của không gian vectơ Nói chung, tính chất của môđun có thể hơi khác với tính chất của không gian vectơ

Ví dụ 1.2.1 Cho = và ánh xạ : × → với phép nhân thông thường, tức là, ( , ) = ∈ Khi đó ta có một môđun phải và được gọi là môđun chính quy phải Tương tự, ta có thể xây dựng môđun chính quy trái A A Vì vậy vành có thể xem như là một môđun trên chính nó và các iđêan phải (trái) trong rõ ràng là các -môđun phải (trái)

Ví dụ 1.2.2 Cho = là vành các số nguyên Khi đó nhóm Abel bất kỳ là -môđun, nếu ta định nghĩa ánh xạ : × → là ( , ) = = + … + ∈

Ví dụ 1.2.3 Cho là một nhóm Abel nguyên sơ, tức là, mỗi phần tử ∈ có cấp với là số nguyên tố cố định và là số nguyên Cho là một phần tử của ( ) Vì ( , ) = 1, ta có: ( , ) = 1 Vì vậy tồn tại các số nguyên , sao cho + = 1 Do đó, với bất kỳ phần tử ∈ ta có 1 = + = Vì vậy, = = ( ) , tức là, phép toán = cũng xác định trong Vì thế ta có thể định nghĩa một ánh xạ × ( ) → bởi công thức:

=( )

và nhóm Abel nguyên sơ có thể xem như là một ( )-môđun

Tập tất cả các đồng cấu như vậy được ký hiệu là ( , )

Nếu , ∈ ( , ) thì + ∶ → được định nghĩa bởi ( + )( ) = ( ) + ( ) với mọi ∈ Ta có + cũng là đồng cấu

và tập ( , ) tạo thành một nhóm cộng Abel

Nếu đồng cấu : → là đơn ánh thì nó được gọi là một đơn cấu Để kiểm tra là một đơn cấu của -môđun chỉ cần chứng tỏ ( ) = 0 kéo theo = 0 Nếu một đồng cấu : → là một toàn ánh thì được gọi là một toàn cấu

Nếu đồng cấu : → là song ánh, tức là, vừa đơn ánh vừa toàn ánh, thì nó được gọi là một đẳng cấu môđun Trong trường hợp này ta nói rằng

và là đẳng cấu và ta viết ≃ Các môđun đẳng cấu có cùng tính chất và chúng có thể được đồng nhất Dễ dàng kiểm tra được rằng ánh xạ ngược

: → cũng là một đẳng cấu của môđun

Một tập con khác rỗng của -môđun được gọi là một -môđun con nếu là nhóm con của nhóm cộng mà đóng với phép nhân các phần tử của Lưu ý rằng chính là một -môđun phải, các môđun con của môđun chính quy chính là các iđêan phải của

Cho là một môđun con của -môđun Ta nói rằng hai phần tử , ∈ là tương đương nếu − ∈ Xét tập / các lớp tương đương + với ∈ Ta có thể giới thiệu một cấu trúc môđun trên / nếu định nghĩa phép cộng và phép nhân bởi phần tử ∈ như sau:

( + ) + ( + ) = ( + ) + , ( + ) = + , ∀ , ∈

26

-môđun / được gọi là môđun thương của bởi

Lưu ý rằng môđun thương có ánh xạ tự nhiên : → / biến ∈ thành lớp + ∈ / Hơn nữa, dễ dàng thấy rằng là một toàn cấu -môđun Toàn cấu này được gọi là phép chiếu tự nhiên của lên môđun thương /

Cho : → là một đồng cấu của -môđun Tập

( ) = { ∈ ∶ ( ) = 0}

là một môđun con của , nó được gọi là hạt nhân của đồng cấu Rõ ràng, ( ) = ( ) nếu và chỉ nếu − ∈ ( ) Dễ dàng chứng minh được rằng phép chiếu tự nhiên ∶ → / có ( ) =

Ảnh của một đồng cấu là tập ( ) tất cả các phần tử của có dạng ( ) Dễ dàng kiểm tra được ( ) là một môđun con trong N Tập hợp

( ) = / ( ) được gọi là đối hạt nhân của đồng cấu

Mệnh đề 1.2.1 Cho : → là một đồng cấu -môđun

là giao hoán, tức là, = , với là phép chiếu tự nhiên

Chứng minh

1 Cho + là phần tử tùy ý của / Vì ⊆ , ta có thể định nghĩa ánh xạ ∶ / → bởi ( + ) = ( ) Dễ dàng thấy rằng là

27

một đồng cấu -môđun Thật vậy, ( + + + ) = ( + + ) = ( + ) = ( ) + ( ) = ( + ) + ( + ) và ( + ) = ( ) = ( ) = ( + ) Hơn nữa, nếu là phép chiếu tự nhiên thì ( ) = ( + ) = ( ) ∀ ∈ Vì vậy = và là đồng cấu duy nhất như thế

2 Với mỗi ∈ , ( ) ∈ ⊆ Khi là đơn cấu, tồn tại duy nhất ∈ sao cho ( ) = ( ) Do đó, có một ánh xạ được định nghĩa bởi ℎ( ) = sao cho = ℎ và ℎ là một đồng cấu môđun

Mệnh đề 1.2.2 Cho và là các -môđun và : → là một đồng

cấu -môđun Khi đó:

(1) là toàn cấu nếu và chỉ nếu = ;

(2) là đơn cấu nếu và chỉ nếu = 0

Giả sử là một -môđun, là một tập chỉ số, và với mỗi ∈ , là một môđun con của Ký hiệu ∑ ∈ là tập tất cả các tổng hữu hạn có dạng + + … + , với mỗi thuộc Khi đó ∑ ∈ là môđun con của ,

và nó được gọi là tổng của họ các môđun con { : ∈ } Đặc biệt, nếu = {1, 2, … , } thì tổng của các môđun con có thể viết:

28

sinh hữu hạn thì nó được gọi là hữu hạn sinh Trong trường hợp này tồn tại tập các phần tử = { , , … , } ⊂ sao cho mỗi phần tử ∈ có thể biểu diễn = ∑ với ∈

Một -môđun được gọi là nếu nó sinh bởi một phần tử, tức

là, có một phần tử sao cho mỗi phần tử của có dạng , với ∈ Vì vậy trong trường hợp này = Phần tử được gọi là phần tử sinh của môđun Rõ ràng, khái niệm này là tương tự khái niệm iđêan chính

1.3 CÁC ĐỊNH LÝ ĐẲNG CẤU CỔ ĐIỂN

Trong phần này ta sẽ chứng minh các định lí đẳng cấu Noether cơ bản

Định lí 1.3.1 (Định lí đồng cấu) Nếu và là các -môđun và : → là một – đồng cấu thì

/ ( ) ≃ ( )

đề 1.2.1, tồn tại duy nhất A-đồng cấu ∶ / ( ) → ( ), với + ( ) = ( ) Ta chỉ cần chứng tỏ rằng là một đẳng cấu Vì mỗi phần

tử của ( ) có dạng ( ) = + ( ) , là toàn cấu Giả sử rằng + ( ) = 0, khi đó ( ) = 0, tức là, ∈ ( ) Vì vậy + ( ) = 0 + ( ) là lớp không của / ( ) Do đó, là đơn cấu Như vậy, là một đẳng cấu

Ký hiệu ( ) = { ∈ ∶ = 0} Đây là một iđêan phải của

và nó được gọi là linh hóa tử phải của phần tử Nếu ( ) ≠ 0, thì phần tử được gọi là phần tử xoắn, ngược lại nó được gọi là phần tử không xoắn Nếu tất cả các phần tử của -môđun là xoắn thì được gọi là một môđun xoắn

Từ Định lí 1.3.1 dễ dàng có được kết quả sau:

29

Hệ quả 1.3.2 Mỗi môđun cyclic đẳng cấu với một môđun thương của

môđun chính quy bởi iđêan phải nào đó

tức là, = Ta định nghĩa một ánh xạ : → bằng cách đặt ( ) = Từ các tiên đề môđun kéo theo là một đồng cấu môđun và vì là phần tử sinh của , ta có ( ) = Bây giờ Định lí 1.3.1 cho ta ≃ / , với = ( ) là một iđêan phải trong Dễ dàng thấy rằng ( ) = ( ) và vì vậy ≃ / ( )

Định lí 1.3.3 (Định lí tự đẳng cấu thứ nhất) Nếu và là các môđun

( + )/ ≃ /( ∩ )

( + )/ = ( + ) = ( ) Vì vậy ta có thể xét thu hẹp ′ ∶ → ( + ) mà nó là một toàn cấu Hơn nữa, hạt nhân của ánh xạ này là tập các phần

tử của mà ánh xạ đến 0 và thuộc về , do đó ( ) = ∩ Từ định lí đồng cấu, ta có

( + )/ ≃ /( ∩ )

Định lí này có hình minh họa đơn giản bởi hình bình hành:

trong đó môđun thương ( + )/ và /( ∩ ) là các cạnh đối diện của hình bình hành Vì vậy định lí này đôi khi được sử dụng thuật ngữ “luật hình bình hành”

Xét đồng cấu tự nhiên ∶ → / có hạt nhân ( ) = Với một môđun con của ta đặt ( ) = { ( ): ∈ } Vì là một môđun con và

30

là một đồng cấu, ( ) + ( ) = ( + ) ∈ ( ) và ( ) = ( ) ∈ ∀ , ∈ , ∈ Vì vậy ( ) là một môđun con của / Nếu là một môđun con của / , ta định nghĩa ( ) = { ∈ : ( ) ∈ } Vì ( ) = 0 ∈ ∀ ∈ , ta có ⊂ Cho , ∈

( ) và ∈ thì ( + ) = ( ) + ( ) ∈ và ( ) = ( ) ∈ Do đó ( ) là một môđun con của chứa Hơn nữa, mỗi phần tử ∈ có dạng ( ), với ∈ và ∈ ( ) bởi vì ( ) = ∈ Vì vậy ta có = ( ) Cho ⊂ Xét ánh xạ thu hẹp của lên Ta có một đồng cấu : → / với hạt nhân ( ) =

và ảnh ( ) = ( ) Rõ ràng, ⊂ ( / ) Bây giờ ta chứng minh bao hàm ngược lại Cho ∈ ( ( )), khi đó ( ) = ( ), với ∈ Vì vậy ( − ) = 0, tức là, − = ∈ ( ) = Vì ⊂ , ta có = + ∈ , suy ra ( ( )) = và theo Định lí 1.3.1, ( ) = ( ) ≃ / ( ) = / Vì vậy ta chứng minh được bổ đề sau

Bổ đề 1.3.4 Cho là một môđun con của và : → / là phép

ta có

1) ( ) là một môđun con của / ;

2) ( ′) là một môđun con của ;

3) ( ) = ′;

Xem như hệ quả của bổ đề này, ta có định lí sau:

Định lí 1.3.5 (Định lí đẳng cấu thứ hai) Cho là một môđun con của -môđun Khi đó môđun con bất kỳ của -môđun / có dạng / với ⊂ ⊂ và

( / )/( / ) ≃ /

31

/ Xét một môđun con ′ của ( ) và viết = ( ′), đó là môđun con của Khi đó = ( ) = / theo bổ đề trước Cho : / →( / )/( / ) là phép chiếu tự nhiên, khi đó ta có thể xét đồng cấu : →( / )/( / ) Vì và là các toàn cấu, cũng toàn cấu Hạt nhân của toàn cấu là bằng ( ( )) = theo Bổ đề 1.3.4 Bây giờ Định lí đồng cấu 1.3.1 cho ta ( / )/( / ) ≃ /

Định lí 1.3.6 (Luật môđula) Cho , và là các môđun con của

1.4 TỔNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP

Cho , , … , là các môđun trên vành Xét tập các n-bộ

( , , … , ), với ∈ , và định nghĩa phép toán:

32

(⊕ ) + (⊕ ) =⊕ ( + ) và (⊕ ) =⊕ ( ) ∀ ∈ , ∈ Nếu không có giả thiết nào về số các thành phần khác không thì ta thu được tổng trực tiếp mạnh ngoài Nó được ký hiệu i

i I

M

Î

Õ và được gọi là tích trực tiếp của các môđun Tổng trực tiếp ngoài trùng với tích trực tiếp của các môđun , ∈ nếu tập là hữu hạn Trong trường hợp hữu hạn, ta cũng

có thể ký hiệu tích hoặc tổng, tức là, ⊕ ⊕ … ⊕ = × × … ×

Tổng trực tiếp ngoài có thể được mô tả theo các tập đồng cấu Cho = i I M i

Î

Å là tổng trực tiếp ngoài của họ các môđun con ( ∈ ) Khi đó với mỗi ∈ , tồn tại phép nhúng tự nhiên : → được cho bởi ( ) =(… ,0, , 0, … ) và phép chiếu tự nhiên : → được cho bởi … , , … , , … = Rõ ràng, = 1 và = 0 với ≠ Ở đây, 1 là ánh xạ đồng nhất của môđun Ngoài ra, nếu tập là hữu hạn, = {1, 2, … , } và = ⊕ ⊕ … ⊕ thì + + … +

= 1 Nếu tập là vô hạn thì ∀ ∈ , ta có = + + … +

1) = 1 và = 0 với ≠

2) Nếu ta có tập các phần tử { } mà chỉ có một phần tử ∈ với mỗi ∈ , thì tồn tại duy nhất một phần tử ∈ i

33

Cho , , … , là các vành Xét tập các phần tử = ( , , … , ) với ∈ , = 1, 2, … , Cho = ( , , … , ) ∈ Phép cộng và phép nhân trong được định nghĩa như sau

+ = ( + , + , … , + ), = ( , , … , )

Ta sẽ xét = nếu và chỉ nếu = với = 1, 2, … , Dễ dàng kiểm tra được rằng tập tạo thành một vành với phép cộng và phép nhân ở trên và có phần tử đơn vị (1, 1, … ,1) Vành này được gọi là tích trực tiếp hữu hạn các vành , , … , và được ký hiệu × × … ×

Đặt = (0, … ,1, … ,0), với đơn vị của vành là tại vị trí thứ và các

vị trí khác bằng 0 Hiển nhiên, các phần tử , , … , là các lũy đẳng trực giao từng đôi một và + + … + là phần tử đơn vị của Nhưng trong trường hợp đặc biệt này lũy đẳng có thêm tính chất: = (0, … , , … ,0) = với = ( , , … , ) ∈ , tức là lũy đẳng thuộc tâm của vành Lũy đẳng như vậy được gọi là lũy đẳng tâm

Nếu = với = 1, 2, … , thì ta ký hiệu tích trực tiếp = × × … ×

Giả sử vành là tích trực tiếp của các vành ( = 1, 2, … , ) =

phân tích của vành thành tổng trực tiếp các iđêan, khi đó ≃

1

( / )

n

i i

34

Định nghĩa 1.4.1 Một môđun mà đẳng cấu với tổng trực tiếp ⊕, với và là các môđun khác không, được gọi là khả phân, ngược lại được gọi là bất khả phân

Mệnh đề 1.4.1 Cho và là các môđun con của môđun và

: ⊕ → là đồng cấu được định nghĩa bởi ( , ) = + Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

2) ⇒ 1) Ngược lại, cho = + và ∩ = 0, khi đó rõ ràng

là một toàn cấu Nếu ( , ) ∈ ( ), khi đó + = 0, tức là, = −

Do đó ∈ ∩ = 0, tức là, ( ) = 0 Vì vậy, vừa là toàn cấu, vừa

là đơn cấu, tức là là đẳng cấu

Một môđun được gọi là tổng trực tiếp trong của môđun con và nếu các điều kiện tương đương của 1.4.1 được thỏa mãn Các môđun con

và được gọi là hạng tử trực tiếp của môđun

Tổng trực tiếp trong của nhiều môđun có thể được định nghĩa theo cách tương tự

Định lí 1.4.2 Cho ( ∈ ) là một họ các môđun con của môđun ,

và :⊕ → là đồng cấu được xác định bởi (⊕ ) = ∑ Khi đó những điều kiện sau là tương đương:

1) là một đẳng cấu;

å ), và do đó = 0 Mâu thuẫn này chứng tỏ rằng

= 0 với mọi Vì vậy là đơn cấu và do đó nó là một đẳng cấu

Ta nói rằng môđun là tổng trực tiếp trong của một họ các môđun con ( ∈ ) nếu các điều kiện tương đương của Định lí 1.4.2 được thỏa mãn

Ta đã giới thiệu 2 định nghĩa của tổng trực tiếp Thật vậy, có mối liên quan giữa hai khái niệm này Các định nghĩa tổng trực tiếp ngoài và trong là tương đương Cho = i I M i