CÁC ĐỊNH lý PHÂN TÍCH của VÀNH và MÔĐUN

CÁC ĐỊNH lý PHÂN TÍCH của VÀNH và MÔĐUN

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận văn Đà nẵng 2013

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vành và đại số kết hợp là các cấu trúc đại số rất thú vị Theo một nghĩachặt chẽ, lý thuyết đại số (đặc biệt đại số không giao hoán) bắt nguồn từ một

ví dụ, cụ thể là các số quaternion được tạo bởi William R Hamilton vào năm

1843 Đây là ví dụ đầu tiên về “hệ thống số” không giao hoán Trong suốt 40năm kế tiếp, các nhà toán học giới thiệu các ví dụ khác về đại số không giaohoán để chỉ ra các kiểu đại số cho sự chú ý đặc biệt Vì vậy, các đại số có sốchiều thấp, các đại số chia và các đại số giao hoán được phân loại và đặctrưng Kết quả đầy đủ đầu tiên trong lý thuyết cấu trúc của đại số kết hợp trêntrường thực và phức có được bởi T Molien, E Cartan và G Frobenius

Lý thuyết vành là một chủ đề cực kỳ quan trọng trong đại số Về mặtlịch sử, nhiều khám phá chính trong lý thuyết vành đã làm cho đại số trừutượng hiện đại phát triển Ngày nay, lý thuyết vành là một mảnh đất màu mỡđối với lý thuyết nhóm, lý thuyết biểu diễn, giải tích hàm, lý thuyết Lie, hìnhhọc đại số, số học, đại số phổ dụng và đại số đồng điều

Lý thuyết vành hiện đại bắt đầu khi J.H.M Wedderburn chứng minhđược định lý phân loại nổi tiếng đối với các đại số nửa đơn hữu hạn chiều trên

trường Hai mươi năm sau đó, E Noether và E Artin giới thiệu điều kiện dây

chuyền tăng (ACC) và điều kiện dây chuyền giảm (DCC) để thay thế tính hữu

hạn chiều và Artin đã chứng minh tương tự Định lý Wedderburn cho vànhnửa đơn tổng quát Từ đó lý thuyết Wedderburn-Artin trở thành nền tảng cho

lý thuyết vành không giao hoán

Trong một vành, ta có thể cộng, trừ và nhân, nhưng ta không thể “chia”một phần tử cho một phần tử khác Theo một nghĩa rất tự nhiên, các đối tượng

“hoàn hảo” nhất trong lý thuyết vành không giao hoán là các thể (vành chia),

nghĩa là vành có đơn vị khác không, trong đó mọi phần tử khác không đềukhả nghịch Từ các thể, ta có thể xây dựng các vành ma trận và tạo thành tíchtrực tiếp hữu hạn của các vành ma trận như thế Theo Định lý phân tích củaWedderburn-Artin, các vành có được theo cách này bao gồm tất cả các lớpvành nửa đơn quan trọng Đây là một trong các định lý phân loại đầy đủ sớmnhất và đẹp nhất trong đại số trừu tượng.

Có nhiều cách định nghĩa tính nửa đơn Wedderburn quan tâm chủ yếu

đến đại số hữu hạn chiều trên trường, định nghĩa căn của một đại số R như thế

là iđêan lũy linh lớn nhất của R, và định nghĩa R là nửa đơn nếu căn này bằng

không Vì chúng ta quan tâm đến vành nói chung, và không chỉ đại số hữuhạn chiều, chúng ta sẽ theo một cách tiếp cận khác Ở đây, một vành nửa đơnđược định nghĩa là một vành mà tất cả các môđun trên nó là nửa đơn, nghĩa làtổng trực tiếp các môđun đơn Định nghĩa vành nửa đơn theo lý thuyết môđunnày không những dễ làm việc mà còn kéo theo Định lý Wedderburn-Artinmột cách nhanh chóng và tự nhiên Việc xem xét căn cũng đóng một vai tròquan trọng trong lý thuyết vành, trong đó căn Wedderburn đối với đại số hữuhạn chiều được suy rộng đến căn Jacobson đối với vành bất kỳ Với khái niệmtổng quát hơn về căn này, chúng ta sẽ thấy rằng vành nửa đơn chính là vành

Artin với căn Jacobson bằng không Ở đây, căn Jacobson của một vành R, ký hiệu rad R được định nghĩa là giao của tất cả các iđêan cực đại của R.

Xuất phát từ mong muốn nghiên cứu mang tính thời sự của lý thuyếtvành và môđun và các ứng dụng của nó, chúng tôi quyết định chọn đề tài với

tên gọi Các định lý phân tích của vành và môđun để tiến hành nghiên cứu.

Chúng tôi hy vọng tạo được một tài liệu tham khảo tốt cho những người bắt

đầu tìm hiểu về phân tích các vành và ứng dụng vào vành Artin và Noether, và

chỉ ra được một số ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm góp phần làm phong phúthêm các kết quả trong lĩnh vực này

2 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu

Mục tiêu của luận văn nhằm nghiên cứu sự phân tích của các vành vàmôđun qua các định lý cơ bản nổi tiếng và ứng dụng vào lớp vành Artin vàNoether, cùng các tính chất của chúng Nội dung của luận văn được chiathành 3 chương:

- Trong Chương 1, các công cụ cơ bản để nghiên cứu vành được giớithiệu, một số định nghĩa cơ sở, nhiều tính chất cơ bản và các ví dụ minh họađược trình bày Một số khái niệm quan trọng đóng vai trò trung tâm trong lýthuyết vành được nêu ra trong chương này

- Chương 2 nhằm trình bày các định lý phân tích của vành Đặc biệt,nhiều chú ý được cho đối với phân tích Peirce hai phía của vành Tiếp đến làviệc nghiên cứu các môđun nửa đơn mà tạo thành một trong các lớp quantrọng nhất của môđun và đóng một vai trò nổi bật trong lý thuyết môđun Đốivới vành nửa đơn, giới thiệu Định lý cơ bản Weddeburn-Artin cung cấp sựphân loại đầy đủ của các vành như thế Trong chương này cũng đưa ra mộtgiới thiệu ngắn gọn về lý thuyết dàn và đại số Boole Chương 2 còn giới thiệucác vành khả phân hữu hạn và các tính chất chính của chúng Đối với cácvành này, các định lý phân tích sử dụng lý thuyết tổng quát của đại số Boole

và lý thuyết về các phần tử lũy đẳng được trình bày

- Chương 3 dành cho việc nghiên cứu vành và môđun Noether và Artin;đặc biệt là định lý nổi tiếng Jordan-Hölder và định lý cơ sở Hilbert Phầnquan trọng nhất của chương này là nghiên cứu căn Jacobson và các tính chấtcủa nó Chương này cũng trình bày chứng minh Bổ đề Nakayama, đó là mộtkết quả đơn giản với các ứng dụng mạnh mẽ Cuối cùng là sự trình bày mộttiêu chuẩn của vành là Noether hoặc Artin và xét các vành nửa nguyên sơ,chứng minh một định lý nổi tiếng của Hopkin và Levitzki, mà chứng tỏ mộtvành Artin bất kỳ cũng là vành Noether

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là lý thuyết vành và môđun Phạm

vi nghiên cứu của luận văn là sự phân tích của vành và môđun và ứng dụngvào vành Artin và Noether qua các định lý phân tích cơ bản nổi tiếng

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiêncứu về các định lý phân tích của vành và môđun, một vấn đề quan trọng trong

lý thuyết vành và môđun, trên cơ sở đó phân tích, tổng hợp và chứng minh chitiết các kết quả liên quan

4.2 Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kếtquả đang nghiên cứu Trao đổi qua email, blog, forum với các chuyên gia về

lý thuyết vành và môđun

5 Đóng góp của đề tài

5.1 Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến

Các định lý cơ bản nổi tiếng về sự phân tích của vành và môđun, nhằm xây

dựng một tài liệu tham khảo cho các người bắt đầu nghiên cứu về lý thuyết

vành và môđun.

5.2 Chứng minh chi tiết và làm rõ một số mệnh đề, cũng như đưa ramột số ví dụ minh hoạ nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề được

đề cập

6 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo trong luận văn gồm

có các chương như sau:

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

CHƯƠNG 2 CÁC PHÂN TÍCH CỦA VÀNH

CHƯƠNG 3 VÀNH ARTIN VÀ NOETHER

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Toàn bộ các khái niệm và kết quả trong chương này có thể tìm thấytrong các tài liệu [1], [2] và [3]

1.1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC VÍ DỤ

Định nghĩa 1.1.1 Một vành là một tập hợp khác rỗng A cùng với hai

(3) ∃0∈A,a+0=0+a=a (Tồn tại phần tử không);

(4) ∃x∈A,a+x=0 (Tồn tại phần tử đối);

(6) a. ( b+c ) = a.b+a.c (Tính phân phối trái)

Chúng ta thường ký hiệu ab thay cho a.b với a,b ∈A. Phần

(A, +) là một nhóm Abel gọi là nhóm cộng của A.

Một ví dụ tầm thường của vành là vành chỉ có một phần tử 0 Vành nàyđược gọi là vành tầm thường hay vành không Ta thường xét vành có nhiềuhơn một phần tử và vì vậy có ít nhất một phần tử khác phần tử không Cácvành như vậy được gọi là vành khác không

( a1a2) a3= a1( a2a3) ,∀a1,a2,a3∈A .

nghĩa là, a1a2= a2a1,∀a1,a2∈A .

không có phần tử đơn vị thì nó được xác định duy nhất và thường được kýhiệu là 1 Nói chung, một vành không nhất thiết có phần tử đơn vị Một vành

có phần tử đơn vị đối với phép nhân thường được gọi là vành có phần tử đơnvị

Một tập con khác rỗng S của A được gọi là vành con của

vành Đối với vành có đơn vị 1, vành con phải có cùng phần tử đơn vị

phần tử 1, chỉ cần kiểm tra các điều kiện sau đây:

b ∀x,y∈S,x–y∈S,xy∈S

Kể từ bây giờ trở đi, nếu không nói khác đi thì một vành được hiểu là

0 được định nghĩa tương tự Trong trường hợp vành giao hoán, khái niệm ước

Trong vành như vậy không có ước trái (hay phải) của 0

Một phần tử a ∈A được gọi là khả nghịch phải nếu tồn tại một phần

Một phần tử e của vành A được gọi là lũy đẳng nếu e2= e

tử 0 và phần tử đơn vị 1 của vành là lũy đẳng Tuy nhiên cũng tồn tại nhiều lũyđẳng khác

cả các phần tử khác không cùng với phép nhân tạo thành một nhóm, tức là, mọiphần tử khác không đều khả nghịch Một vành chia giao hoán được gọi là mộttrường

k được gọi là hữu hạn nếu L là không gian vectơ hữu hạn chiều trên

[ L:k ] = [ L:K ][ K:k ]

( λa ) b=a ( λb ) = λ ( ab ) , ∀λ∈k,∀a,b∈A.

Một k –đại số A được gọi là hữu hạn chiều nếu không gian

được gọi là một đồng cấu vành hay đơn giản là một đồng cấu nếu thỏa mãn

(1) φ(a+b)=φ(a)+φ(b) ;

(2) φ(ab)=φ(a)φ(b) ;

toàn cấu

Nếu đồng cấu φ : A→A’ là một song ánh thì φ được gọi là

một tự đẳng cấu

nghĩa sau

là iđêan phải (tương ứng trái) của A nếu ia∈I (tương ứng ai∈I ¿ với

iđêan

Các iđêan phải (trái, hai phía) khác được gọi là iđêan thực sự phải (trái, haiphía)

i

x i y i

Dễ dàng kiểm tra được rằng tổng và tích của iđêan phải cũng là cáciđêan phải Phát biểu tương tự với iđêan trái và iđêan Thông thường ta ký

Hợp của hai iđêan không nhất thiết là một iđêan Tuy nhiên, điều nàyđúng với một số trường hợp cụ thể

m∈N sao cho y ∈Im Giả sử k=max ( n,m ) , khi đó InIk và ImIk Vì vậy

nhưng không may ta không có phương pháp xây dựng nào để thu được iđêancực đại của vành được cho Chỉ có bổ đề Zorn chỉ ra rằng, với một số điềukiện thích hợp, tồn tại iđêan cực đại

P2 a≤b,b≤c kéo theo a≤c,∀a,b,c∈S (tính bắc cầu);

phận trên tập hợp các số nguyên dương

đối với quan hệ bao hàm

bộ phận Tương tự cũng có thể xét các tập được sắp thứ tự bộ phận gồm cáciđêan trái và iđêan hai phía

m≤a kéo theo m=a với mọi a ∈S có tính chất này Nói chung, không

Bổ đề Zorn cho ta điều kiện đủ để tồn tại phần tử cực đại

Bổ đề Zorn Nếu mỗi dây chuyền chứa trong một tập được sắp thứ tự bộ

đại.

Như ta đã biết, bổ đề Zorn là tương đương với tiên đề chọn

Nói cách khác tích Decartes của một họ khác rỗng các tập hợp khác rỗng là khác rỗng.

Ta sử dụng bổ đề Zorn để chứng minh mệnh đề sau

Mệnh đề 1.1.3 Các iđêan phải thực sự bất kỳ I của vành A

có đơn vị được chứa trong một iđêan phải cực đại.

1.1.2, hợp của dây chuyền bất kỳ của các iđêan phải thực sự cũng là iđêanphải thực sự, đó là một chặn trên của dây chuyền này Mệnh đề này có ngay

từ bổ đề Zorn

Lưu ý rằng tất cả các lập luận trên đối với iđêan phải thì tương tự đốivới iđêan trái và iđêan hai phía

một iđêan phải (tương ứng trái) và được gọi là iđêan chính phải (tương ứng

của nó là chính, được gọi là vành iđêan phải (tương ứng trái) chính Tương tự,

hiệu là ( a) Mỗi phần tử của iđêan này có dạng ∑ xiayi , với xi,yi∈A Một

vành mà tất cả các iđêan phải và iđêan trái là chính được gọi là vành iđêanchính Một miền mà tất cả các iđêan phải và iđêan trái là chính, được gọi là

cho Ik⊂In, và Ik≠In , tức là, tập X=In∖Ik là khác rỗng Cho x∈X Vì

( a+I ) + ( b+I ) = ( a+b ) + I,

( a+I )( b+I ) = ( ab ) + I

1+I

giao hoán với các phép cộng và phép nhân thông thường Ta sẽ chứng tỏ rằng

các iđêan trong Z là iđêan chính Cho I là một iđêan của Z

các trường

Cen ( A ) ={ x∈A:xa=ax,∀a∈A}

thức p ( x ) = a0xn+ a1xn−1+ …+an( a0≠0 ) với bậc nhỏ nhất deg ( p ( x ) ) = n Rõ ràng, ( p ( x ) ) ⊆I Cho f ( x ) là đa thức

Ta có thể tổng quát hóa ví dụ này Cho A là một vành bất kì Xét

nhưng nó không phải là iđêan chính

số trong vành A.

và phép nhân được thiết lập như trên, và nó được gọi là vành các chuỗi lũy

Bây giờ ta sẽ chứng tỏ rằng phần tử f ∈K [ [ x ] ] là khả nghịch trong K [ [ x ] ]

qui nạp, nếu b0,b1,…,bn đã xác định thì bn+1 được xác định bằng phương trình

với ε=∑n=k

∞

a n x n−k

∞

b n x n

Mn , tồn tại số nguyên dương k>0 sao cho N=Mk Do đó N=Mk⊂Mn với

vành với phép cộng và phép nhân thông thường và nó được gọi là vành các số

ab=ba=1 Do đó mm1= nn1. Vì ( n,p ) =1 và ( n1,p ) =1, ta có ( mm1,p ) =1. Do đó ( m,p ) =1 và( m1,p ) =1.

sao cho ( m,p ) =1 Khi đó phần tử này có thể được viết dưới dạng a=pkε, với

s m

là miền iđêan chính và tất cả các iđêan tạo thành dây chuyền giảm

Z(p)⊃(p)⊃ ( p2) ⊃ ( p3) ⊃…⊃ ( pn) ⊃…

(a11a12…a1n

a21a22…a2n

…………),∀a ij ∈ D

Các phần tử của Mn( D) cũng có thể được biểu diễn dưới dạng khác Với

giao

Cho α ∈D , khi đó một ma trận có dạng αE thường được gọi là ma

Nếu K là một vành giao hoán có đơn vị 1, vành nhóm KG thường

bởi bảng nhân sau:

Tích này có thể mở rộng tuyến tính đối với tất cả các phần tử của

+ ( a0b2− a1b3+ a2b0+ a3b1) j+ ¿

+ ( a0b3+ a1b2− a2b1+ a3b0) k.

và phép nhân được định nghĩa như trên tạo thành vành không giao hoán

được giới thiệu vào năm 1843 bởi William Rowan Hamilton như là ví dụ đầutiên của hệ thống các số không giao hoán Ví dụ này có thể xem như khởinguồn của đại số không giao hoán Tuy nhiên, Hamilton đưa ra nó với lý dokhác Đó là từ cơ học

các số thực (không kết hợp) Đại số Cayley bao gồm tất cả các tổng hình thức

α+βe, với α,β là các quaternion và e là một ký hiệu mới e2=−1 ,với phép cộng và phép nhân các số thực.

{1,i,j,k,e,ie,je,ke} và bảng nhân sau:

Ví dụ 1.1.14 Đại số chia và phép hoán vị trực giao.

p(1),…,εn( P ) απ

p(n)) , với

chính tắc của a,b∈Rn Một tập hợp P ¿ ( P1,…,Pm) các hoán vị (tuyến tính) được gọi

này được gọi là đầy đủ

cho bởi quy tắc eia=Pia Lưu ý rằng nếu P1= E thì vectơ e1 là đơn vị trái

của đại số này

được sinh bởi hai phần tử là kết hợp Các đại số hữu hạn chiều trên trường

Đây là cấu trúc của phép hoán vị trực giao tương ứng với trường số

Theo cách như vậy, ta tìm được phép hoán vị trong R8 như sau

P3a= ( − a3,a4,a1,−a2,−a7,−a8,a5,a6) ,

P4a= ( − a4,−a3,a2,a1,−a8,a7,−a6,a5) ,

P5a=(−a5,a6,a7,a8,a1,−a2,−a3,−a4) ,

P6a= ( − a6,−a5,a8,−a7,a2,a1,a4,−a3) ,

P7a= ( − a7,−a8,−a5,a6,a3,−a4,a1,a2) ,

P8a=(−a8,a7,−a6,−a5,a4,a3,−a2,a1) .

Định lí 1.1.6 (J.F Adams (1960)) Nếu A là đại số chia hữu hạn chiều

Lưu ý: Kết quả của John Frank Adams không nên nhầm lẫn với kết quả

giao hoán) thì tồn tại một đẳng cấu của K trên trường con trù mật của

Có một mở rộng đến trường không nhất thiết kết hợp và khi đó các số Cayleychuyển thành như khả năng thứ tư và là khả năng cuối cùng

Hệ quả 1.1.7 Tồn tại hệ các phép hoán vị trực giao đầy đủ các vectơ

1.2 MÔĐUN VÀ ĐỒNG CẤU

Một trong các khái niệm quan trọng nhất của đại số hiện đại là kháiniệm về môđun, có thể xem như là sự tổng quát hóa của không gian vectơ

các điều kiện sau được thỏa mãn:

1 m ( a1+ a2) = ma1+ ma2

2 ( m1+ m2) a=m1a+m2a

3 m ( a1a2) =( ma1) a2

một không gian vectơ phải Khái niệm của môđun là một tổng quát hóa khái

niệm của không gian vectơ Nói chung, tính chất của môđun có thể hơi khácvới tính chất của không gian vectơ.

A

Vì

g ∈G ta có g.1=g.nx+g.pky=g.nx. Vì vậy, g=g.nx= ( gx ) n, tức là, phép toán g.1n=gx cũng xác định

g. m

n=(gm)x

kiện sau:

1 f ( m1+ m2) = f ( m1) + f ( m2) với mọi m1,m2∈M ;