ĐA THỨC MA TRẬN sự PHÂN bố GIÁ TRỊ RIÊNG, các ĐỊNH lý BIỂU DIỄN DƯƠNG và một số vấn đề LIÊN QUAN

Doâ, trong to n bë luªn v«n hóng tæi thèng nh§t dòng thuªt ngú Positivstellensatz ành lþ biºu di¹n d÷ìng... Ti¸p theo hóng tæi giîithi»u vai trá ành lþ biºu di¹n d÷ìng trong gi£i quy¸t b

Ph£n bi»n 2:TS Hç Minh To n

Vi»nTo¡n hå - Vi»n H nl¥mKhoa hå v Cæng ngh»Vi»t Nam

Ph£n bi»n 3:TS L¶ Thoang

Tr÷íng ¤i hå Phó Y¶n

BœNH ÀNH - N‹M 2018

Luªn ¡nn y ÷ñ ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn d÷îi sü h÷îng d¨n

TS L¶ Cæng Tr¼nh v TS inh Trung Háa Tæi xin oan ¥y l  tr¼nh nghi¶n

tæi k¸t qu£trong Luªn ¡nl  trung ÷ñ çng gi£ hoph²p sû

döng v h÷a tøng ÷ñ ai bè tr÷î â

Luªn ¡n n y ÷ñ ho n th nh trongqu¡ tr¼nh hå tªp v nghi¶n t¤i KhoaTo¡n,

Tr÷íng ¤ihå Quy Nhìn d÷îisü h÷îngd¨n Ti¸ns¾ L¶Cæng Tr¼nh v Ti¸n s¾inh

Trung Háa Tr÷î ti¶n, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u ¸n Ti¸n s¾ L¶ Cæng Tr¼nh

Thy ¢ h¿b£o tªn t¼nh v h÷îngd¨n tæi tønhúngb÷î u l mnghi¶n Thy t¤o

hotæimët mæitr÷ínghå tªp v nghi¶n mð, th¥nthi»n nh÷ng r§tnghi¶m

Thy luæn ëng vi¶n, gióp ï º tæi tøng b÷î ti¸n bë trong nghi¶n khoa hå

÷ñ hå tªp, l m vîi thy l i·u may m­n v h¤nh ph èi vîi tæi

Tæixin b ytäláng bi¸tìns¥u ¸n Ti¸ns¾inhTrungHáa.Thyluæn ëngvi¶n,

h l», gióp ï v theo s¡t qu¡ tr¼nh nghi¶n tæi dò thy khæng ð trong

n÷î nh÷ng thy v¨n th÷íng xuy¶n trao êi khoa hå vîi tæi hëi th£o do thy tê

¢ gióp tæitr÷ðng th nhr§t nhi·u v· khoa hå l¨n sèng

Tæi xin ìn Ti¸n s¾ Hç Minh To n C£m ìn anh v¼ nhúngbuêi th£o luªn r§t húu

h v· v§n· li¶n quan ¸n ành lþ biºu di¹n d÷ìng v B i to¡n mæmen

Tæi xin gûi líi ìn h¥n th nh ¸n Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn,

Pháng  ot¤o sau ¤ihå ¢ t¤o i·u ki»ntètnh§t º tæihå tªp t¤itr÷íng bi»t,

tæixin gûilíi ìn¸n Ban Chõ nhi»m Khoa To¡n thy gi¡o, gi¡otrong

Khoa ¢ t¤o ra mët mæi tr÷íng hå tªp th¥n thi»n, mð v r§t huy¶n nghi»p i·u

n y gióp tæi ëng º ph¡t triºn b£n th¥n

Tæi xingûilíi ìn¸n BanGi¡m hi»u Tr÷íng Cao ¯ng S÷ ph¤mH  T¥ , Pháng

Tê bë¢ t¤o i·u ki»n tèt nh§t ho tæiihå Tæi xingûi líi ìn ¸n

Ban Chõ nhi»m Khoa Tü nhi¶n v b¤n b± çng nghi»p ¢ luæn õng hë, ëng vi¶n,

hia s´ º tæi thíi gian tªp trung nghi¶n t¤i Tr÷íng ¤i hå Quy

Nhìn

Tæi xin ìn b¤n nghi¶n sinh t¤i Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn ¢ luæn ëng

vi¶n, hia s´gióp ï tæitrong qu¡tr¼nh hå tªp v nghi¶n

Tæi xin gûilíi bi¸t ìn¸n gia ¼nh haib¶n nëingo¤i Nhúng ng÷íi th¥n ¢ luæn õng

hë, ëng vi¶n tæi Hå l  hé düa tinh thn vúng º tæi y¶n t¥m hå tªp v nghi¶n

khixa nh  bi»t, tæixingûilíibi¸t ìns¥u ¸n ng÷íi mµth¥ny¶u m¼nh

C£m ìn sü hy sinh nh÷ t¼nh y¶u v h¤n mµd nh ho T¼nh th÷ìng

bao la mµluæn õ §mtr¡itim

C£m ìn anh v hai ¢ ¸n b¶n íiem, gióp ï, ëng vi¶n em Gia ¼nh luæn l  nìi

b¼nh y¶n em

Mð u 1

1.1 Sü ph¥n bè nghi»m a mët bi¸n 12

1.2 B i to¡nthù 17 Hilbert v mët sèành lþ biºu di¹n d÷ìng hoa 18 1.2.1 B i to¡n thù 17 Hilbert v ành lþ Artin 18

1.2.2 Mëtsè ành lþ biºu di¹n d÷ìng hoa 19

1.3 B i to¡ntèi ÷u a v b i to¡n mæmen 25

1.3.1 B i to¡n tèi÷u a 25

1.3.2 B i to¡n mæmen 26

1.4 H¼nh hå ¤isè hoa ma trªn 28

1.5 T½nh ành d÷ìng a matrªn v thun nh§t hâa hóng 32 1.6 Chu©n matrªn 36

2 Sü ph¥n bè gi¡ trà ri¶ng a ma trªn 38 2.1 D¤ng matrªn ành lþ Enestrom-Kakeya 39

2.2 ành lþ d¤ng hy hoa ma trªn 43

2.3 So s¡nh h°n 55

3.1 D¤ng matrªn ành lþ Putinar-V 58

3.2 D¤ng matrªn ành lþ kinson-Povh 60

3.3 D¤ng matrªn ành lþ Handelman 63

3.3.1 D¤ngma trªn ành lþ Handelman tr¶n n-ìn h¼nh 63

3.3.2 D¤ngma trªn ành lþ Handelman tr¶n a di»n lçi, 66 3.3.3 Mët thuªt to¡n t¼m biºu di¹n d÷ìng ho a ma trªn d÷ìng tr¶n mët adi»n lçi 71

Kþhi»uK[X] := K[X 1 , · · · , X n ]l v nh a nbi¸nX 1 , · · · , X nvîih»sètrong

K Kþ hi»u M t (K), M t (K[X]) lnl÷ñt l  v nh ma trªn vuæng t vîi phn tûtrongKv K[X] Méimatrªn A ∈ M t (K[X]) ÷ñ gåil mët ma trªn a mët

a ma trªn, bði v¼ nâ thº biºu di¹n d÷îi d¤ng mët a n ©n X 1 , · · · , X n vîih» sè tr¶n M t (K)nh÷ sau:

èit÷ñngnghi¶n h½nh Luªn¡nl  a matrªn,v èivîiméitr÷íng

hñp sè bi¸n, hóng tæi quan t¥m ¸n b i to¡n nhau Do â, º thuªn ti»n

ho ng÷íi å hóng tæi h v tr¼nh b y b i to¡n li¶n quan trong hai phn ri¶ng

trong â, z l  bi¸n sè v A i ∈ M t (C), ∀i = 0, , d a ma trªn mët bi¸n l  sü

mðrëng tü nhi¶n a tr÷ngλI t − A mët matrªn A ∈ M t (C), trongâ

Nh÷ v y, méi gi¡ tràri¶ng P (z) l  mët nghi»m a tr÷ng det(P (z))

Tªp hñp gi¡ trà ri¶ng P (z) ÷ñ kþ hi»u bði σ(P (z)) v ÷ñ gåi l  phê a

matrªn P (z)

Chó þ th¶m r¬ng trong tr÷íng hñp P (z) = zI t − A, a tr÷ng ma trªn

A ∈ M t (C), th¼ méigi¡ trà ri¶ng a ma trªn P (z) l  mët gi¡ trà ri¶ng matrªn A.Do â thº nâigi¡trà ri¶ng a matrªn l mët kh¡ini»m mðrënggi¡tràri¶ng mët matrªn

B i to¡n gi¡trà ri¶ng a (PolynomialEigenvalue Problem- PEP) l  t¼m mët gi¡

a matrªn mët bi¸n nhi·u ùng döng trong l¾nh nh÷ ph÷ìngtr¼nh vi

ph¥n, lþ thuy¸t h» thèng, kÿ thuªt Wiener-Hopf, hå v lþ thuy¸t rung, gi£i h sè,

dò tm quan trång a matrªn l  kh¡ rã r ng nh÷ng t ili»u v· ¤i

sè tuy¸n t½nh v lþ thuy¸t ma trªn · v· nâ khæng nhi·u Hai tr¼nh u ti¶n

vi¸t y õ nh§t v· a ma trªn l  Frazer, v Collar [15℄ n«m 1955 v

[26℄ n«m 1966 C£ hai ·u ph¡t triºn lþ thuy¸t a ma trªn thæng qua lþ

thuy¸t h» rung.Chóng ta thº g°pa matrªnkhinghi¶n h» ph÷ìngtr¼nh

B¶n â, b ito¡ngi¡tràri¶ng QEP nhi·uùng döngv okhoahå v kÿ thuªt

Mëttêngquan v·nhúngùngdöng QEP ÷ñ tr¼nhb ytrong h Gohberg,

v Rodman [16℄, Hamarling,Munro v Tisseur [18℄ v Zeng v Su [56℄ ¢ ÷a

ra nhúng thuªt to¡n º gi£i b i to¡n QEP èi vîi b i to¡n PEP, v i nghi¶n v·

h°n hogi¡tràri¶ng a matrªn÷ñ thi¸tlªptheo hu©n h» sè

a matrªn ¢ ho h¯ngh¤n nh÷ tr¼nh Highamv Tisseur[22℄ Tuynhi¶n,

v h÷îng v t¼m nghi»m a mët bi¸n) l mët b ito¡n khâ Câ mët ph÷ìng

ph¡pl°pº t½nh gi¡tràri¶ngn y ÷ñ ÷arabði v Perotti[52℄ Hìnnúa,

t½nh gi£ phê a ma trªn trong [21℄ thæng tin v· phê, l ,

h¿ ra h°n thº º ành óng mët mi·n m°t ph¯ng hùa gi¡trà

ri¶ng â V¼th¸ t¼m h°n hogi¡ tràri¶ng a matrªn mët bi¸n l mët

l mr§t þ ngh¾a

B i to¡n u ti¶n m  hóng tæi tªp trung nghi¶n trong Luªn ¡n nh÷ sau

B i to¡n 1.Cho P (z) = A d z d + · · · + A 1 z + A 0 l  mët a ma trªn Ch¿ ra sè m

v  M "õ tèt" sao

m ≤ |λ| ≤ M, ∀ λ ∈ σ(P (z)),

l  ra "õ tèt" gi¡ tràri¶ng P (z)

Trong tr÷íng hñp t = 1, l  tr÷íng hñp a mët bi¸n vîi h» sè

B i to¡n n y ¢ ÷ñ nghi¶n bði nhi·u nh  to¡n hå thº kº ra ¥y k¸t qu£

hy [31, 33℄, Enestrom v Kakeya [31, 33℄, Joyal, Labelle v Rahman [24℄, Datt

v Govil [8℄,

º þ r¬ng n¸u A d l mët ma trªn suybi¸n, th¼ a z d P

 1 z



mët gi¡ tràri¶ng

b¬ng0,v n¸uA 0 l mëtmatrªnsuybi¸nth¼0l mëtgi¡tràri¶ng P (z).Doâ,trongLuªn ¡nn y hóng tæiluæn x²tnhúnga matrªn vîi h» sèA d v A 0 khæng suybi¸n, º tø ât¼m mët h°n tr¶n v mët h°n d÷îi ho gi¡trà ri¶ngλ

Trong tr÷íng hñp t > 1, t¼m h°n ho gi¡tràri¶ng a matrªn P (z)

theo hu©n (to¡n tû) matrªnh» sè¢÷ñ hi»n v tr¼nh b y trong b ib¡o

Higham v Tisseur [22℄ h h½nh u ti¶n hóng tæitrong Luªn ¡nl  gi£i

quy¸t B i to¡n 1,÷a ra h°n mîi"õ tèt" ho gi¡tràri¶ng a ma trªn,tø

âso s¡nh vîi h°n ÷ñ ÷a ra bði Highamv Tisseur

2 a ma trªn nhi·u bi¸n

Trong phn n y hóng tæitr¼nh b y mët sè v§n· li¶nquan ¸n a matrªn

sèbi¸n lînhìn 1 Tr÷î ti¶n, x²ttr÷íng hñp t = 1, l  x²t a sèbi¸n lînhìn mët

Cho f ∈ R[X] := R[X 1 , , X n ], G = {g 1 , , g m } ⊆ R[X] Kþhi»u

X R[X] 2 =

( n X

i=1

f i 2 |f i ∈ R[X], n ∈ N

) ,

D¹ th§y n¸u f ∈ T G (hay M G ) th¼ f ≥ 0 tr¶n K G Do â, mët häi tünhi¶n°t ra

l  hi·u ng÷ñ l¤i i·u n y óng khæng? l ,

f ≥ 0 tr¶n K G = ⇒ f ∈ T G (hay M G )?

N¸u tr£líil óng, hóng ta ÷ñ mëtànhlþbiºudi¹nd÷ìng (Positivstellensatz),

hay ành lþ biºu di¹n khæng ¥m gativstellensatz) Trong mët sè t i li»u h¯ng

h¤n, [32℄), gi£sûdöng thuªt ngú hung l "Positivstellensatz" Doâ, trong to n

bë luªn v«n hóng tæi thèng nh§t dòng thuªt ngú Positivstellensatz (ành lþ biºu di¹n

d֓ng)

Trong tr÷íng hñp bi»t, G = ∅,ta häi:

f ≥ 0 tr¶n R n = ⇒ f ∈ X R[X] 2 ?

C¥u tr£ líi ho häi n y ÷ñ ÷a ra bði Hilbert (1888), h¿ ra r¬ng häitr¶n h¿

óngtrongbatr÷ínghñp bi»t sèbi¸nv f.Sauâ, t¤i¤i hëiTo¡n håth¸ giîi tê t¤i Paris n«m 1900, Hilbert ¢ ÷a ramët danh h gçm 23 "B i to¡n

th¸ k", trong sèâ, B i to¡n thù 17trong danh hn y ÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau:

B i to¡n thù 17 Hilbert: Cho f ∈ R[X] Kþ hi»u R(X) l  tr÷íng th÷ìng

v nh a R[X] Kþ hi»u

X

R(X) 2 =

( k X

N¸u f ≥ 0 tr¶n R n

, â suy ra ÷ñ hay khæng f ∈ P R(X) 2

?

Mëtsèv§n·li¶nquan ¸n biºudi¹nth nhtêngb¼nhph÷ìng a ph¥n

v B i to¡n thù 17 Hilbert ÷ñ hóng tæitr¼nh b y trong 1.2.1

nghi¶n ành lþ biºu di¹n d÷ìng âng vai trá quan trång trong b i to¡n

tèi÷u a v b ito¡n mæmen.Cö thº hìn, b i to¡n tèi ÷u a l  b ito¡n t¼m

tr¶n ÷ñ gåil  b i to¡n tèi ÷u a khæng r ng buë

B i to¡n tèi ÷u a ÷ñ nhi·u nh  nghi¶n quan t¥m tø l¾nh

nhau nh÷ ¤i sè quy h nûa ành v lþ thuy¸t to¡n tû Shor [51℄ l  ng÷íi

u ti¶n ¡pdöng mët kÿ thuªt tèi ÷u lçiº tiºu mët a nhi·ubi¸n khæng r ng

buë Nesterov [36℄ ¢ h¿ ra t½nh nân mæmen bði r ng buë nûa ành

trong tr÷íng hñp phn tû nân t÷ìng ùng l  a khæng ¥m thº vi¸t

÷ñ th nh têng b¼nh ph÷ìng a Trong né gi£m bît a nhi·u bi¸n,

Lasserre [27℄ l  ng÷íi u ti¶n ¢ ¡p döng k¸t qu£ ¤i sè gn ¥y Putinar

[39℄ º thi¸tlªpmët d¢y nîilänghëitö¸n gi¡tràtèi÷u mët b ito¡ntèi÷u a

Sau ¥y hóng tæi minh håa rã hìn v· ùng döng ành lþ biºu di¹n d÷ìng

trong gi£iquy¸t b ito¡n tèi÷u a (xem, h¯ng h¤n, [28℄)

Biºu (0.1) thº vi¸t l¤id÷îi d¤ng

÷ñ huyºn sang t¼m supremum sè λ sao ho f − λ khæng

¥m d÷ìng) tr¶n K G º gi£i quy¸t b ito¡n khâ n y, mët trong nhúng þ t÷ðng l thayth¸ i·uki»nkhæng¥mbðimët i·uki»nn oâìngi£n hìn,trongâ hùa

têng b¼nhph÷ìng, º thº ti¸p b¬ng h sûdöng Quy hnûa ành(SDP)

Vîiþ t÷ðng â, mët trong nhúng h º nîiläng i·u ki»n "f − λ ≥ 0 tr¶n K G" l  x²tbiºu di¹n f − λ d÷îi d¤ng

khæng d¨n ¸n mët Quy h nûa ành, bði v¼ hóng

takhæng h°n ÷ñ a t i trongbiºu di¹n f − λ º nhªn÷ñ mëtQuy h nûa ành, hóng tax²t sè nguy¶n k vîi

2k ≥ max{deg(f), deg(g 1 ), , deg(g m ) }.

Khi âf k sos,G ÷ñ t½nh qua mët Quy h nûa ành.Hìn núa,

f k sos,G ≤ f k+1 sos,G ≤ f sos,G ≤ f ∗

v lim

k→∞ f k sos,G = f sos,G

Ti¸p theo hóng tæi giîithi»u vai trá ành lþ biºu di¹n d÷ìng trong gi£i

quy¸t b ito¡n mæmen D¤ngthù nh§t b ito¡n mæmen÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau

B ito¡nmæmen(d¤ng1)ChoK l mëttªp onângtrongR n

èi vîi tªp tªp âng trong R n

d¤ng K = K G, vîi G l  mët tªp húuh¤nn o âtrongv nh a R[X],mët d¤ng b ito¡n mæmen÷ñ ph¡t biºunh÷ sau

B i to¡n mæmen (d¤ng 2) Cho G = {g 1 , , g m } ⊆ R[X]; K G , T G ÷ñ ành ngh¾a nh÷tr¶n N¸u L(f ) ≥ 0, ∀ f ∈ T G th¼ â tçn t¤i mët ë o Borel d÷ìng µ â gi¡ trong

vîimåi f ∈ R[X] hay khæng?

Chó þ r¬ng vîi f ∈ T G th¼ f ≥ 0 tr¶n K G Do â b i to¡n mæmen d¤ng 2 y¸u hìn

b i to¡n mæmen d¤ng 1 Tuy nhi¶n, n¸u hóng ta mët ành lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n

K G th¼ hai b ito¡n tr¶n t÷ìng ÷ìngvîi nhau(qua ành lþHaviland) Ng÷íiå thºxemth¶mv·ùng döng ànhlþbiºudi¹n d÷ìngº gi£iquy¸t b ito¡nmæmen

trong t ili»u[28℄, [17℄

ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho a ¢ nhªn ÷ñ nhi·u sü quan t¥m

nh to¡nhå Krivine(1964)v Stengle(1974)[25,54℄¢÷a rabiºudi¹n m¨u

ho a d÷ìng(t÷ìngùng, khæng ¥m, b¬ng khæng)tr¶n mët tªp nûa ¤isèâng

b£n t¼m ành lþ biºu di¹n d÷ìng "khæng m¨u hi»n v¨n ang thu hót

süquan t¥m nhi·u ng÷íi

N«m 1991, vîi t¼m líi gi£i ho B i to¡n mæmen b¬ng Gi£i h h m,

hmudgen [46℄ ¢ ÷a ra mët ành lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n tªp Cö thº,

hmudgen kh¯ng ành r¬ng: N¸u f > 0 tr¶n K G v  K G l tªp omp th¼ f ∈ T G.Mëttr÷ínghñp bi»t ànhlþ hmudgen÷ñ ÷aratr÷î âbðiHandelman

[19℄, biºu di¹n a d÷ìng tr¶n mët a di»n lçi,

÷a ramët i·u ki»nº £m b£o a d÷ìngtr¶n K G thuë v o M G khâhìn so vîi thuë v o T G Mët i·u ki»n nh÷ th¸ ÷ñ Putinar [39℄ ÷a ra n«m 1993, vîi

i·uki»n mæun haiM G l¤i,mëtmæun haiM trong v nha

R[X]÷ñ gåil  n¸utçnt¤isètünhi¶nk ∈ Nsao hok −(X 2

£mb£o ho a khæng¥m l  nghi»m)tr¶n K G thuë v oT G (t÷ìngùng,

M G) vîii·u ki»n K G (t÷ìngùng, M G

Biºu di¹n a d÷ìng (khæng ¥m) tr¶n mët tªp khæng trong R n

khâ hìn nhi·u Trong tr÷íng hñp K G khæng hweighofer (2006, [50℄) kh¯ng

ành r¬ng: Gi£ sû f ∈ R[X] bà tr¶n K G, v  f â húu h¤n gi¡ trà ti»m ªn trong

K G v  to n bë ·u d÷ìng Khi â, n¸u f > 0 tr¶n K G th¼ f ∈ T G

 n P

i=1

X 2 i

 N

f ∈ P R[X] 2

Têng qu¡t ho k¸t qu£ k, Putinar v V [40℄ ¢ ÷a ra mët ành

lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n mët tªp nûa ¤i sè âng b£n trong R n

Gn ¥y, n«m 2015,

kinson v Povh [10℄ ¢ k¸t hñp ành lþ Pâlya v ành lþ Putinar-V º ÷a ra

mët ành lþ biºu di¹n ho a d÷ìng tr¶n mët tªp nûa ¤i sè âng b£n

Kþ hi»u S t (R[X]) l  tªp hñp a ma trªn èi xùng t trong

M t (R[X]) Vîi méiF ∈ S t (R[X]) v G = {G 1 , , G m } ⊆ S t (R[X]), kþ hi»u

K G := {x ∈ R n |G i (x)< 0, i = 1, , m },

tªp nûa ¤isè âng b£n trongR n

ành bði G

¥y,vîiméia matrªn G ∈ S t (R[X])v vîiméix ∈ R n

,G (x)< 0÷ñ dòng

º kþ hi»u ho matrªn G (x)l  nûa ành d÷ìng, l  vîi måiv ∈ R t , v T G (x)v ≥ 0

Kþ hi»u G (x) ≻ 0 ÷ñ hiºu l  ma trªn G (x) l  ành d÷ìng, l  vîi måi v ∈

mæun hainhä nh§t tr¶n M t (R[X]) hùa G

Ti·n thù tü nhä nh§t hùa G s³ ÷ñ kþ hi»u bði T G Trong tr÷íng hñp G = ∅,

P

t R[X] := M ∅ = T ∅ l  tªp hñp têng húu h¤n nhúng phn tû d¤ng A T A,trong âA ∈ M t (R[X]), v nâl  mæun hainhä nh§t trong M t (R[X])

Rã r ng, n¸u F ∈ T G M G th¼ F < 0 tr¶n K G V§n · h½nh ti¸p theo hóng tæiquan t¥m trong Luªn ¡n nh÷ sau

B i to¡n 2 Cho F ∈ S t (R[X]), G = {G 1 , , G m } ⊆ S t (R[X]) Gi£ sû F ≻ 0 tr¶n K G.Vîi i·u ki»n n o th¼ F ∈ T G ho F ∈ M G

Li¶n quan ¸n b i to¡n n y, herer v Hol [44℄ ¢ ÷a ra mët d¤ng ma trªn biºu

Cimpri[6℄ ÷a ra d¤ng matrªn ho ành lþ Krivine-Stengle;Cimpriv Zalar [7℄¢

nghi¶n b i to¡n mæmen ho a to¡n tû v hå¢ ÷a ramët d¤ng ma trªn

hoànhlþ hmudgen;L¶CængTr¼nh [29℄¢÷a ramëtd¤ngmatrªn hoànhlþ biºu

di¹n d÷ìng Krivine-Stengle, hweighofer, heiderer, Chi ti¸t ho k¸t qu£ n y

÷ñ hóng tæitr¼nh b y trong 1.4 Ch÷ìng 1

D¤ngmatrªn hoànhlþ biºudi¹nd÷ìng Pâlya[37℄âng mëtvaitráquan trång

trong lþ thuy¸t i·u khiºn Hu h¸t b i to¡n i·u khiºn tuy¸n t½nh ·u d¨n ¸n

b§t ¯ng ma trªn.R§t nhi·u trong sè b i to¡n n y thº gi£i÷ñ khi b§t

¯ng ma trªn l tuy¸n t½nh.Rã hìn, mët b§t ¯ng ma trªn tuy¸n t½nh (Linear

MatrixInequality - LMI) d¤ng

L(X) := A 0 + A 1 X 1 + + A n X n ≻ 0, (0.4)

trongâX = (X 1 , , X n )l nbi¸n v A 0 , A 1 , , A n ∈ S n (R)l  matrªnèixùng

ho tr÷î B§t ¯ng (0.4) h¿ ra L(x) ành d÷ìng, l , v T L(x)v > 0, ∀ v ∈

R n \ {0} Khi â, mi·n ành LMI l 

G := {x ∈ R n |L(x) ≻ 0}.

ành lþ biºu di¹n d÷ìng Pâlya ho a ma trªn [44℄ kh¯ng ành r¬ng: Gi£ sû F

l  mët a ma trªn èi xùng thun nh§t b d N¸u F ≻ 0 tr¶n △ n th¼ tçn t¤i sè tünhi¶n N sao

h h½nh ti¸p theo hóng tæitrong Luªn¡nl gi£iquy¸t B ito¡n 2,÷ara

d¤ng matrªn ho ành lþ biºu di¹n d÷ìng Putinar-V kinson-Povh v

Handelman

Ngo i Danhm kþ hi»u, Líimðu, Danh h tr¼nh

gi£li¶n quan ¸n Luªn ¡n, T i li»utham kh£o v K¸t luªn, nëidung h½nh Luªn ¡n

÷ñ hóng tæitr¼nh b y trong ba h÷ìng

Trong Ch÷ìng 1 hóng tæi nhúng kh¡ini»m v k¸tqu£ b£n ÷ñ sûdöng

trong Luªn ¡n gçm: Sü ph¥n bè nghi»m a mët bi¸n, B i to¡n thù 17

Hilbert v mët sèành lþ biºu di¹n d÷ìng,B i to¡n mæmenv B i to¡n tèi ÷u a

d¤ng matrªn ho mët sèànhlþ biºu di¹n d÷ìng.Cuèi h÷ìng hóng tæi÷a rak¸tqu£

mîiv·mèi li¶nh» giúa t½nh d÷ìng a ma trªn v thun nh§t hâa nâ

Trong Ch÷ìng 2 hóng tæi÷a ramët sè h°n ho gi¡trà ri¶ng a ma trªn

Cö thº, hóngtæi¢÷a ramëtsèd¤ng matrªn hoành lþEnestrom-Kakeya ành

lþ2.1.2, 2.1.3,2.1.4).Mëtsèd¤ngmatrªn ho ành lþd¤ng hy ÷ñ hóng

tæi ÷a ra trong ành lþ 2.2.2, 2.2.4, 2.2.6, 2.2.8, 2.2.10, 2.2.12, 2.2.14, 2.2.16, 2.2.17

Cuèi h÷ìng,trong 2.3, hóngtæitr¼nhb y b£ngsos¡nh h°n¢¤t÷ñ trong

h÷ìngn y vîi h°n ÷ñ ÷arabðiHighamv Tisseur[22℄ tr¶n v½dö v phn

m·m t½nh to¡n

Trong Ch÷ìng 3 hóng tæi nghi¶n ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho a

ma trªn Cö thº, hóng tæi ÷a ra d¤ng ma trªn ho ành lþ biºu di¹n d÷ìng

Putinar-V k, kinson-Povh v Handelman Ri¶ng èi vîi d¤ng ma trªn

ho ành lþ Handelman, hóng tæi÷a ra mët thõ º t¼m biºu di¹n ho mët a

matrªn ành d÷ìngtr¶n mët adi»n lçitrong R n

§nph©m [13℄ v ¢÷ñ b¡o t¤i:

• Hëith£oTo¡nhå Mi·nTrung-T¥ Nguy¶nlnI,Tr÷íng¤ihå QuyNhìn,B¼nh

ành, 12-14/08/2015;

• Hëith£o què t¸ The 6th International onMatrix Analysisand

Appli-(ICMAA), Tr÷íng ¤i hå Duy T¥n,   N®ng, 15-18/06/2017;

• Hëi th£o què t¸ String-Math 2018, Tr÷íng ¤i hå Tohoku, Sendai, Nhªt B£n,18-22/06/2018;

• Hëith£oquè t¸The7thInternational onMatrixAnalysisand

tions(ICMAA 2018),Tr÷íng ¤ihå Shinshu,Nagano, NhªtB£n,22-25/06/2018;

• SeminarKhoa To¡n, Tr÷íng ¤i hå QuyNhìn, B¼nh ành;

• ¤i hëi To¡n hå Vi»t Nam ln thù IX, Tr÷íng ¤i hå Thæng tin Li¶n 18/08/2018

14-B¼nhành, th¡ng 11 n«m 2018

T gi£

D÷ Thà HáaB¼nh

Mët sè k¸t qu£ hu©n bà

Trong h÷ìng n y hóng tæi tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ hu©n bà ho h÷ìng

l¤i Luªn ¡n Sü ph¥n bè nghi»m a mët bi¸n nh÷ ành lþ hy [31, 33℄

v mët sè ành lþ d¤ng hy, ành lþ Enestrom-Kakeya [53, Corollary 3℄ ÷ñ tr¼nh

b y trong 1.1 Chóng tæi s³ tr¼nh b y mët sè ành ngh¾a b£n trong H¼nh hå ¤i

sè ÷ñ h d¨n tø tr¼nh hmudgen [45, 47, 48℄, Cimpri[5, 6℄ v

Marshall [32℄ trong 1.2  ¥y hóng tæi tr¼nh b y mët sè ành lþ biºu di¹n

d÷ìng hoa Mët sèành lþ biºu di¹n d÷ìng ho a matrªn ÷ñ hóng tæi

tr¼nh b y trong 1.4 Ùng döng ành lþ biºu di¹n d÷ìng trong B i to¡n tèi

÷u a v B i to¡n mæmen s³ ÷ñ hóng tæitr¼nh b y trong 1.3 Cuèi h÷ìng

hóng tæi ÷a ramët sèk¸t qu£mîiv· mèili¶nh» giúa t½nh d÷ìng a matrªn

v thun nh§t hâa nâ

B i to¡n t¼m nghi»m a mët bi¸n l  mët trong nhúng b i to¡n b£n

¤i sè Tuy nhi¶n t¼m h½nh nghi»m a mët bi¸n khæng ph£i

n o d¹ d ng Do â, thay v¼ t¼m nghi»m a hóng ta t¼m mi·n hùa

nghi»m nâ èi vîi a h» sè ta d¤ng t÷ìng ÷ìng sau ¥y

ành lþ Enestrom-Kakeya

ành lþ 1.1.1 (Enestrom-Kakeya, d¤ng 1, [53, Corollary 3℄) Cho f (z) l  mët a

b d

f (z) = a d z d + a d−1 z d−1 + · · · + a 1 z + a 0 , a i ∈ R, ∀i = 0, , d.

Khi â, måi nghi»mz ∈ C f (z) thäa m¢n



Trong tr÷íng hñp a f (z) |a d | > |a i |, ∀i = 0, , d − 1, th¼ M < 1 Khi â,hóng tanhªn ÷ñ mët h» qu£sau

H» qu£ 1.1.4 ([9, Theorem 2.2℄) Cho f (z) =

a a i

d

Khi â, måi nghi»m a f (z) n¬m trong ¾a

K(0, r 1 ) = {z ∈ C| |z| ≤ r 1 },

trong â, r 1 l  nghi»m d÷ìng lîn nh§t ph÷ìng tr¼nh

z d+1 − (1 + M)z d + M = 0.

p döng ànhlþ 1.1.6 hoa (1 − z)f(z), hóng ta nhªn ÷ñ h» qu£sau.H» qu£1.1.7 ([9, Theorem3.3℄) Chof (z) =

a d−i − a a d−i−1

d

, a −1 := 0.

Khi â, måi nghi»m a f (z) n¬m trong ¾a

K(0, r 2 ) = {z ∈ C| |z| ≤ r 2 },

trong â, r 2 l  nghi»m d÷ìng lîn nh§t ph÷ìng tr¼nh

z d+2 − (1 + f M )z d+1 + f M = 0.

H» qu£ sau ¥y l  mët k¸t qu£ t÷ìngtü ànhlþ 1.1.3

H» qu£ 1.1.8 ([9,Theorem 3.4℄) Chof (z) = P d

i=0

a i z i

l mët a b d Khi â,måi nghi»m a f (z) n¬m trong ¾a

K(0, r 3 ) = {z ∈ C| |z| ≤ r 3 },

trong â, r 3 = 1 + f M v  M f÷ñ ành nh÷ trong H» qu£ 1.1.7

Ch°n tr¶n sau ¥y Joyal-Labelle-Rahman [24℄ trong nhi·u tr÷ínghñp l  tèt hìn

sovîi h°n hy

ành lþ 1.1.9 (Joyal, Labelle, Rahman, [24℄) Cho f (z) = P d

a a i

d

.

Khi â, måi nghi»m f (z) thäa m¢n

1.2.1 B i to¡n thù 17 Hilbert v  ành lþ Artin

Cho f ∈ R[X]l mëta theon bi¸nX 1 , , X n.N¸uf biºudi¹n÷ñ th nhtêngb¼nh ph÷ìng húu h¤n a trong R[X] th¼ rã r ng f khæng ¥m tr¶n R n

Khi â, f â thº biºu di¹n ÷ñ th nh têng b¼nh ph÷ìng a trong R[X]

n¸u v  n¸u mët trong i·u ki»n sau thäa m¢n:

n = 1;

d = 2;

n = 2, d = 4

Nh÷ th¸, ngo i batr÷íng hñp ÷ñ Hilbert ÷a ra,èivîi méi sètü nhi¶n n ≥ 2

v d ≥ 4,luæn tçn t¤imëta nbi¸n d,khæng ¥mtr¶nR n

nh÷ng khæng thº biºu di¹n ÷ñ th nh têng b¼nh ph÷ìng a

trongR[X, Y ]([32,Proposition1.2.2℄).Tuynhi¶n, hóng ta thº biºudi¹nM(X, Y ) bðitêng b¼nh ph÷ìng ph¥n nh÷ sau:

T¤i¤ihëiTo¡nhå th¸giîitê t¤iParisn«m 1900,Hilbert¢·nghà mëtdanh

hgçm 23"B i to¡n th¸ k", trong sèâ, B ito¡n thù 17÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau:

B i to¡n thù 17 Hilbert Cho f ∈ R[X] N¸u f ≥ 0 tr¶n R n

N«m 1927,Artin ¢÷a ra tr£líi sau ho B ito¡n thù 17 Hilbert

ành lþ 1.2.2 (Artin, [1℄) Chof ∈ R[X] N¸u f khæng ¥m tr¶n R n

Cho Al mët v nh giaoho¡n ìn và1 Kþhi»u

Chó þ 1.2.4 Cho A l  mët v nh giaoho¡n ìn và 1.Khi â,

(1) Méiti·n thù tütr¶n A l  mët mæun haitr¶n A

÷ñ gåil  mët tªp nûa ¤i sèn¸u nâ l  hñp húu h¤n

tªp nûa ¤isè b£n trong R n

Cho G = {g 1 , , g m } l mët tªp R[X].Khi â,

• Tªphñp K G = {x ∈ R n |g 1 (x) ≥ 0, , g m (x) ≥ 0}l  mët tªp nûa ¤isè, ÷ñ gåil mët tªp nûa ¤i sè âng ì b£n trong R n

N¸u tr£ líi l  óng, hóng ta ÷ñ mët ành lþ biºu di¹n d÷ìng

(Positivstel-lensatz), hay ành lþ biºu di¹n khæng ¥m gativstellensatz) Trong mët sè t i li»u

h¯ng h¤n, [32℄), gi£ sû döng thuªt ngú hung l  "Positivstellensatz" Do â,

trong to n bë luªn v«n hóng tæi thèng nh§t dòng thuªt ngú Positivstellensatz (ành lþ

biºu di¹n d÷ìng)

Mët biºu di¹n m¨u ho a d÷ìng (t÷ìng ùng, khæng ¥m, b¬ng

khæng) tr¶n K G ÷ñ ÷a rabðiKrivine (1964) v Stengle(1974), thº nh÷ sau

ành lþ 1.2.6 (Krivine-Stengle, [25, 54℄) Cho mët tªp on G = {g 1 , , g m } ⊆ R[X] v mët a f ∈ R[X] Khi â:

(i) f > 0 tr¶n K G n¸u v  n¸u tçnt¤i p, q ∈ T G sao pf = 1 + q

(ii) f ≥ 0 tr¶n K G n¸u v  n¸u tçn t¤i mët sè nguy¶n m ≥ 0 v  p, q ∈ T G sao

¥m, b¬ngkhæng) tr¶n tªp K G luæn "m¨u t¼m biºu di¹n "khængm¨u

ho a d÷ìng(t÷ìngùng, khæng ¥m, b¬ng khæng)tr¶n mët tªp nûa ¤isèâng

b£n l mët v§n · quan trång v nhi·u ùng döng trong gi£iquy¸t b ito¡n tèi

÷u a nh÷ b ito¡n mæmen.ànhlþ biºu di¹nd÷ìng khæng m¨u u ti¶n

÷ñ ÷a ra bði hmudgen, thº nh÷ sau

ành lþ 1.2.7 hmudgen, [46,Corollary 3℄) Gi£ sû K G omp N¸u f > 0 tr¶n K G

th¼ f ∈ T G

Mët tr÷íng hñp bi»t ành lþ 1.2.7 ÷ñ ÷a ra bði Handelman (1988, [19℄),

biºu di¹n ho a d÷ìng tr¶n mët adi»n lçi, thº nh÷ sau

Cho P l  mët a di»n lçi, vîi phn trong réng, vîi bi¶n ành bði

a tuy¸n t½nhλ 1 , , λ k ∈ R[X].Khi â, hóng ta thº hån d§u λ i sao ho

P = {x ∈ R n |λ i (x) ≥ 0, ∀i = 1, , k}.

ành lþ 1.2.8 (Handelman, [19℄) Cho a di»n P nh÷ tr¶n v  gi£ sû a f ∈ R[X]

l d÷ìng tr¶n P Khi â, tçn t¤i mët sè tü nhi¶n m ∈ N sao

H» qu£ 1.2.9 Cho mët a f ∈ R[X], n¸u f (x) > 0 vîi måi x ∈ P, th¼ f â thº

÷ñ biºu di¹n nh÷ sau

N«m 1993, Putinar [39℄ ¢ ÷a ra i·u ki»n èi vîi mæun hai M G ºnhªn ÷ñ k¸tqu£ sau.

ành lþ 1.2.10 (Putinar, [39℄) Gi£ sû M G Khi â, n¸u f > 0 tr¶n K G th¼

f ∈ M G

Chó þ r¬ng n¸u M G th¼ T G Hìn núa, T G n¸u v h¿ n¸u

K G ([31, Theorem 6.1.1℄).Do â i·u ki»n M G m¤nh hìn i·u ki»n

thun nh§t ÷ñ hóng tæitr¼nh b y sau ¥y

ành ngh¾a 1.2.12 (Fiedler, [14℄) Cho {v 0 , , v n } l  mët h» ë lªp affine trong R n

ành ngh¾a 1.2.13 (Marshall,[32℄) Mëta f ∈ R[X] ÷ñ gåil  thun nh§t

d n¸u

f (λX 1 , · · · , λX n ) = λ d f (X 1 , · · · , X n ),

vîi måiλ 6= 0

L÷u þ r¬ng méia d khæng f ∈ R[X] thº ph¥n h ÷ñ mët hduynh§t d÷îi d¤ng

N«m 1995, k ¢÷a ramët ành lþ biºu di¹n d÷ìngnh÷ sau

ành lþ 1.2.15 k, [41℄) Cho f ∈ R[X] l  mët a thun nh§t b N¸u

f > 0 tr¶n R n \ {0} th¼ tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m r sao

(X 2

1 + · · · + X 2

n ) r f ∈ P R[X] 2

Têng qu¡t ho ành lþ k, Putinar v V [40, Theorem 4.2℄ ¢nghi¶n

biºu di¹n a thun nh§t d÷ìng tr¶n tªp nûa ¤i sè âng b£n

trong R n

ành lþ 1.2.16 ([40,Theorem 4.2℄) Chof, g 1 , · · · , g m ∈ R[X] l  a thun nh§t

b v  gi£ sû f > 0 tr¶n K G \ {0}, trong â G = {g 1 , · · · , g m } Khi â, tçn t¤i mët

sè nguy¶n r ≥ 0 sao

(X 2

1 + · · · + X 2

n ) r f ∈ M G

ph¡t biºu khæng thun nh§t ho ành lþ tr¶n ÷ñ tr¼nh b y trong 1.5.

Trong phn n y hóng tæi tr¼nh b y ùng döng ành lþ biºu di¹n d÷ìng trong

tèi÷u a v gi£iquy¸tb ito¡nmæmen k¸tqu£÷ñ tr¼nhb y ð¥y ÷ñ h

tø[32℄ v [28℄

1.3.1 B i to¡n tèi ÷u a

B i to¡n tèi ÷u a l  b ito¡n t¼m

÷ñ huyºn sang t¼m supremum sè λ sao ho f − λ khæng

¥m d÷ìng) tr¶n K G º gi£i quy¸t b ito¡n khâ n y, mët trong nhúng þ t÷ðng l 

têng b¼nhph÷ìng, º thº ti¸p b¬ng h sûdöng Quy hnûa ành(SDP).

Vîiþ t÷ðng â, mët trong nhúng h º nîiläng i·u ki»n "f − λ ≥ 0 tr¶n K G" l  x²tbiºu di¹n f − λ d÷îi d¤ng

l ,nîilängi·uki»n"f −λ ≥ 0tr¶nK G"th nh"f −λ ∈ M G"

i·un y d¨n ¸n x²tb i to¡n

döng ànhlþ biºu di¹n d÷ìng Putinar (ành lþ 1.2.10) ta ÷ñ k¸tqu£ sau

H» qu£ 1.3.1 Cho G = {g 1 , , g m } ⊆ R[X] v  f ∈ R[X] Gi£ sû M G Khi â

f ∗

sos,G = f ∗

Tuy nhi¶n t¼m f sos,G

khæng d¨n ¸n mët Quy h nûa ành, bði v¼ hóng

takhæng h°n ÷ñ a t i trongbiºu di¹n f − λ º nhªn÷ñ mëtQuy h nûa ành, hóng tax²t sè nguy¶n k vîi

2k ≥ max{deg(f), deg(g 1 ), , deg(g m ) }.

Khi âf k sos,G ÷ñ t½nh qua mët Quy h nûa ành.Hìn núa,

f k sos,G ≤ f k+1 sos,G ≤ f sos,G ≤ f ∗

v lim

k→∞ f k sos,G = f sos,G

1.3.2 B i to¡n mæmen

D¤ng thù nh§t iºn) b i to¡n mæmen÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau:

B i to¡n mæmen (d¤ng 1) Cho K l  mët tªp on âng trong R n

Cho L : R[X] → R

l mët phi¸mh m tuy¸n t½nh Câtçnt¤i hay khæng mët ëo Boreld÷ìng µvîigi¡trong K sao vîi måi f ∈ R[X],

ành lþ 1.3.2 (Haviland, [20℄) i·u ki»n n v  õ º tçnt¤i mët ë o Boreld÷ìng µ

vîigi¡ trong K sao vîi måi f ∈ R[X] ta â

Mët d¤ng b i to¡n mæmen÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau

B i to¡n mæmen (d¤ng 2) Cho G = {g 1 , , g m } ⊆ R[X] Kþ hi»u K G , T G nh÷ tr¶n.N¸u L(f ) ≥ 0 vîi måi f ∈ T G th¼ â tçn t¤i hay khæng mët ë o Borel d÷ìng µ â gi¡trong K G sao vîimåi f ∈ R[X] ta â

L(f ) =

Z

K G

f dµ?

Chó þ r¬ng, vîi f ∈ T G th¼ f ≥ 0 tr¶n K G Do â b i to¡n mæmen d¤ng 2 y¸u hìn

b i to¡n mæmen d¤ng 1 Tuy nhi¶n, n¸u hóng ta mët ành lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n

K G th¼ haib ito¡ntr¶n t÷ìng÷ìng vîi nhau(quaành lþHaviland).Ng÷íiå thºxemth¶mv·ùng döng ànhlþbiºudi¹n d÷ìngº gi£iquy¸t b ito¡nmæmen

trong t ili»u[28℄, [17℄

Mët h» qu£ ành lþ Haviland, ành lþ hmudgen v ành lþ Putinar èi vîi b i

to¡n mæmen÷ñ honh÷ sau

H» qu£ 1.3.3 Cho G = {g 1 , , g m } ⊆ R[X] Gi£ sû K G omp (t÷ìng ùng, M G

Gåi L : R[X] → R l  mët phi¸m h m tuy¸n t½nh thäa m¢n L(f ) ≥ 0, ∀f ∈ T G

(t÷ìng ùng, ∀f ∈ M G) Khi â tçn t¤i mët ë do d÷ìng µ vîigi¡ trong K G saovîimåi f ∈ R[X] ta â

Trong phn n y hóng tæis³ tr¼nhb y d¤ng matrªn ành lþ biºudi¹n d÷ìng

÷ñ tr¼nhb y trong 1.2.2.Tr÷î h¸t hóng tæi mët sèkþ hi»uv kh¡ini»m li¶n

quan Vîiméisètü nhi¶n khæng t, kþ hi»u M t (R[X]) l v nh a matrªn

Kþ hi»u S t (R[X]) l  v nh M t (R[X]) gçm a matrªn èi xùng Gåi I t

Mæun hainhä nh§t tr¶n M t (R[X]) hùa mët tªp ho tr÷î G S t (R[X])

s³÷ñ kþ hi»u bðiM G D¹ kiºm tra÷ñ

M G =

( X

i,j

A T ij G i A ij |G i ∈ G ∪ {I t }, A ij ∈ M t (R[X])

)

ð ¥y

Q

G ′

l  tªp hñp t§t £ húu h¤n nhúng phn tû trong tªp hñp G ′ := {v T Gv |G ∈ G, v ∈ (R[X]) t }

Trongtr÷ínghñpG = ∅,

P

t R[X] := M ∅ = T ∅ l tªphñp tênghúuh¤n nhúngphn tû d¤ngA T A, trongâ A ∈ M t (R[X]), v nâl  mæun hainhä nh§t trong

M t (R[X])

Vîimët mæun haiM trongR[X], kþ hi»u

M t :=

( X

i

m i A T

i A i |m i ∈ M, A i ∈ M t (R[X])

)

.MatrªnA÷ñ gåil nûa ànhd÷ìngtr¶nK,kþhi»uA < 0

tr¶n K, n¸u vîimåix ∈ K, vîi måiv ∈ R t , v T A (x)v ≥ 0

A ÷ñ gåil  ành d÷ìngtr¶n K, kþ hi»u A ≻ 0 tr¶nK,n¸u vîimåix ∈ K, vîi måi

Chóng ta ¢ bi¸t r¬ng måima trªn èi xùng trong M t (R)·u thº h²o hâa ÷ñbði mët ma trªn giao Tuy nhi¶n i·u n y khæng óng èi vîi a ma

trªnèixùng,bðiv¼matrªn giaot÷ìngùngkhæng thuë M t (R[X]).Tuynhi¶n,n«m2009, hmudgen[48℄¢ h¿rar¬ngmåia matrªnèixùng ·u thº h²o

hâa ÷ñ theo h sau ¥y

Bê · 1.4.5 ([48, Corollary 9℄) Cho A ∈ S t (R[X]) Khi â, tçn t¤i a

khæng b, d j ∈ R[X], j = 1, · · · , r, r ≤ t, v  ma trªn X + , X − ∈ M t (R[X]) sao

X + X − = X − X + = bI t , b 2 A = X + DX T

+ , D = X − AX T

− ,

trong â, D = D(d 1 , · · · , d r ) l  ma trªn ÷íng o trong M t (R[X])

Chó þ 1.4.6 Cho A , D nh÷ trong Bê · 1.4.5 v mët tªp K ⊆ R n

N¸u A ≻ 0

(t÷ìngùng A < 0)tr¶n K th¼ D ≻ 0 (t÷ìng ùng D < 0) tr¶n K

Vîi ànhlþ biºudi¹nd÷ìng hoa ÷ñ tr¼nh b ytrong 1.2.2, hóngta

k¸t qu£ t÷ìng tü ho a matrªn t÷ìng ùng Tr÷î h¸t l d¤ng ma

trªn ho ànhlþ biºu di¹n d÷ìng Artin ÷ñ tr¼nh b y bði hmudgen[48℄ nh÷ sau

ành lþ 1.4.7 ([48,Proposition10℄) ChoA ∈ S t (R[X]) N¸u A (x) < 0 vîimåix ∈ R n

,

th¼ tçnt¤i mëta khæng c ∈ R[X] v  ma trªn A i ∈ M t (R[X]), i = 1, · · · , k,sao

ành lþ 1.4.8 ([29℄) ChoG ⊆ S t (R[X]), G ⊆ R[X], K G , K G , T G v  T G ÷ñ ành nh÷tr¶n Cho a ma trªn F ∈ S t (R[X]) Khi â:

(i) F ≻ 0 tr¶n K G n¸u v  n¸u tçn t¤i mët a ma trªn X − ∈ M t (R[X]) v 

ma trªn ÷íng o S v  T â h» tû thuë T G sao

S (X − FX T

− ) = (X − FX T

− )S = I t + T;

(ii) F < 0 tr¶n K G n¸u v  n¸u â mët sè nguy¶n m ≥ 0, mët ma trªn X − ∈

ành lþ 1.4.11 ([44℄) Cho G ⊆ S t (R[X]) Gi£ sû M G l  Khi â, n¸u F ≻ 0

tr¶n K G th¼ F ∈ M G

º tr¼nh b y ành lþ biºu di¹n d÷ìng Pâlya ho a ma trªn hóng tæi

mët sèkþ hi»u sau ¥y Vîi méitªp a h¿sè α = (α 1 , · · · , α n ) ∈ N n

ành lþ 1.4.12 ([44℄) Cho a ma trªn F ∈ S t (R[X]) Gi£ sû F thun nh§t b d

v  F < λI t tr¶n ∆ n, vîiλ l mët sè d÷ìng N¸u N > d(d − 1)L(F)

2λ − dth¼ måih» sè a ma trªn (X 1 + · · · + X n ) N F ·u ành d÷ìng

D¤ng ma trªn ho ành lþ biºu di¹n d÷ìng k, Putinar v V

kinson v Povh,Handelman l  k¸tqu£ mîi hóng tæi,s³÷ñ tr¼nh b y trong

Ch÷ìng 3 Luªn ¡n

Nh÷ hóng ta ¢ th§y ð 1.2, ành lþ biºu di¹n d÷ìng Pâlya, k,

Putinar-V kinson-Povh ÷ñ ph¡t biºu ho a thun nh§t, v nâi

hung khæng óng ho a b§t ký º ph¡t biºu ành lþ tr¶n ho a

sovợi hn hy

nh lỵ 1.1.9 (Joyal, Labelle, Rahman,