Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Đa thức ma trận - Sự phân bố giá trị riêng, các định lý biển diễn dương và một số vấn đề liên quan

Mục đích chính của luận án là giải quyết bài toán số 2 đưa ra dạng ma trận cho các định lý biển diễn dương của Putinar-Vasilescu, Dick inson-Povh và Handelman

Tr÷íng ¤ihå QuyNhìn

Tªp thºh÷îngd¨n:

TS L¶ Cæng Tr¼nh

TS inhTrung Háa

Ph£n bi»n 1: PGS TS Ph¤m Ti¸n Sìn - Tr÷íng ¤i hå   L¤t

Ph£n bi»n 2: TS Hç Minh To n - Vi»n To¡n hå  Vi»n H n l¥m KHCN Vi»t Nam

Ph£n bi»n 3: TS L¶ Thoang - Tr÷íng ¤i hå Phó Y¶n

Luªn¡n s³÷ñ b£o v» tr÷î Hëi çng¡nhgi¡luªn¡n t¤i

Tr÷íng ¤ihå QuyNhìnv o 14 gií00 ng y19 th¡ng01 n«m2019

Câ thºt¼m hiºuluªn ¡nt¤i:

-Th÷vi»nQuè gia Vi»t Nam

-Trungt¥m thængtin t÷ li»uTr÷íng¤i hå QuyNhìn

Luªn¡n n y ÷ñ ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn d÷îi sü h÷îng d¨n TS L¶ Cæng

Tr¼nh v  TS.inhTrungHáa.Tæixin oan¥yl  tr¼nhnghi¶n tæi k¸tqu£trong

Luªn¡n l trung ÷ñ çng gi£ ho ph²psûdöngv  h÷a tøng÷ñ ai bètr÷î â

T gi£

D÷ Thà Háa B¼nh

Luªn¡nn y÷ñ ho nth nhtrongqu¡tr¼nhhå tªpv nghi¶n t¤iKhoa To¡n,Tr÷íng¤ihå

QuyNhìnd÷îisüh÷îngd¨n Ti¸ns¾ L¶Cæng Tr¼nh v Ti¸ns¾ inh TrungHáa Tr÷î ti¶n,tæi xin

b y tä láng bi¸t ìn s¥u ¸nTi¸n s¾ L¶ Cæng Tr¼nh Thy¢ h¿ b£o tªn t¼nh v  h÷îng d¨n tæi tø

nhúng b÷î u l m nghi¶n Thyt¤o ho tæi mët mæi tr÷íng hå tªp v  nghi¶n mð, th¥n

thi»nnh÷ng r§t nghi¶m Thyluæn ëngvi¶n, gióp ï º tæi tøng b÷î ti¸n bë trong nghi¶n

khoa hå ÷ñ hå tªp, l m vîithyl i·u maym­n v  h¤nhph èi vîitæi

Tæixinb y tä lángbi¸t ìns¥u ¸nTi¸ns¾inh Trung Háa.Thyluænëngvi¶n, hl», gióp

ï v  theo s¡t qu¡ tr¼nh nghi¶n tæi dò thy khæng ð trong n÷î nh÷ng thy v¨n th÷íng

xuy¶n trao êikhoa hå vîi tæi hëi th£odo thytê ¢ gióp tæi tr÷ðng th nh r§tnhi·u v·

khoa hå l¨n sèng

Tæixin ìn Ti¸ns¾ Hç Minh To n C£mìn anh v¼ nhúngbuêi th£oluªn r§t húu h v· v§n

· li¶nquan¸nành lþbiºu di¹nd÷ìngv  B i to¡nmæmen

Tæi xin gûi líi ìn h¥n th nh ¸n Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn, Pháng  o t¤o

sau¤ihå ¢t¤o i·u ki»ntèt nh§tº tæihå tªpt¤i tr÷íng bi»t,tæi xingûilíi ìn¸nBan

Chõ nhi»mKhoa To¡n thy gi¡o, gi¡o trong Khoa ¢ t¤o ra mët mæi tr÷íng hå tªpth¥n

thi»n, mðv r§t huy¶n nghi»p i·un ygióp tæi ëng ºph¡t triºnb£nth¥n

Tæixingûilíi ìn ¸nBanGi¡m hi»uTr÷íngCao¯ngS÷ph¤mH  T¥y,PhángTê bë

¢t¤oi·uki»ntètnh§t hotæi ihå Tæi xingûilíi ìn ¸nBanChõ nhi»mKhoa Tünhi¶n

v  b¤n b±çngnghi»p¢ luænõng hë,ëngvi¶n, hias´ º tæi thíi giantªptrung

nghi¶n t¤iTr÷íng¤i hå QuyNhìn

Tæixin ìn b¤nnghi¶n sinht¤iTr÷íng¤ihå QuyNhìn¢luænëngvi¶n, hias´gióp

ï tæitrong qu¡tr¼nhhå tªpv nghi¶n

Tæixin gûilíi bi¸t ìn ¸ngia ¼nhhai b¶n nëi ngo¤i.Nhúng ng÷íi th¥n¢ luæn õng hë, ëngvi¶n

tæi Hå l  hé düa tinh thn vúng º tæi y¶n t¥m hå tªpv  nghi¶n khixa nh  bi»t, tæi

xingûilíi bi¸tìns¥u ¸nng÷íimµth¥ny¶u m¼nh.C£mìn süh sinh nh÷t¼nhy¶u

væ h¤n mµd nh ho T¼nhth÷ìngbao la mµ luænõ §mtr¡itim

Cuèi tæi xind nht¼nh bi»t ¸n hçngv  hai th¥n y¶u m¼nh C£mìn anh v 

hai ¢ ¸nb¶níi em,gióp ï,ëngvi¶nem Gia¼nhluæn l nìib¼nhy¶n em

Mð u 1

1.1.Sü ph¥nbènghi»m a mët bi¸n 8

1.2.B i to¡nthù17 Hilbertv  mët sèànhlþ biºudi¹n d÷ìng ho a 9

1.2.1.B i to¡nthù17 Hilbertv  ànhlþ Artin 9

1.2.2.Mët sèành lþ biºudi¹nd÷ìng 9

1.3.B i to¡ntèi ÷ua v  b ito¡nmæmen 11

1.3.1.B i to¡ntèi ÷ua 11

1.3.2.B i to¡nmæmen 11

1.4.H¼nh hå ¤i sè ho a ma trªn 12

1.5.T½nh ànhd÷ìng a ma trªnv thun nh§thâa hóng 12

1.6.Chu©n matrªn 13

Ch÷ìng 2.Sü ph¥n bè gi¡ trà ri¶ng a ma trªn 14 2.1.D¤ng matrªn ànhlþEnestrom-Kakeya 14

2.2 ànhlþ d¤ng h ho a matrªn 15

2.3.So s¡nh h°n 16

Ch÷ìng 3 ànhlþ biºu di¹n d÷ìng ho a ma trªn 18 3.1.D¤ng matrªn ànhlþPutinar-V 18

3.2.D¤ng matrªn ànhlþ kinson-Povh 19

3.3.D¤ng matrªn ànhlþHandelman 19

3.3.1.D¤ng matrªn ành lþHandelmantr¶n n-ình¼nh 20

3.3.3.Mët thuªtto¡n t¼m biºudi¹nd÷ìng ho a matrªn d÷ìng

tr¶nmët a di»nlçi 22

Kþ hi»u K [X] := K[X 1 , · · · , X n ] l  v nh a n bi¸n X 1 , · · · , X n vîi h» sè trong K.Kþ hi»u

M t (K), M t (K[X]) ln l÷ñt l  v nh ma trªn vuæng tvîi phntû trong Kv  K [X].Méi matrªn A ∈ M t (K[X]) ÷ñ gåi l  mët ma trªn a mët a ma trªn, bði v¼ nâ thº biºudi¹nd÷îi d¤ngmëta n©nX 1 , · · · , X n vîih» sètr¶nM t (K) nh÷sau:

M t (K[X]) ÷ñ gåi l mët a ma trªn

èi t÷ñng nghi¶n h½nh Luªn ¡n l  a ma trªn, v  èivîiméi tr÷íng hñp sè

bi¸n, hóngtæiquant¥m¸n b ito¡n nhau.Doâ,ºthuªnti»n hong÷íiå hóng tæi h

v tr¼nhb y b i to¡nli¶nquantrong haiphnri¶ngbi»t nh÷sau

1 a ma trªnmët bi¸n

Trong phn n y hóng tæi tr¼nhb y mët sèv§n · li¶nquan ¸n a ma trªn mët bi¸n, l 

x²t a matrªn d¤ng

P (z) = A d z d + · · · + A 1 z + A 0 ,

trongâ,z l bi¸nsèv  A i ∈ M t (C), ∀i = 0, , d a matrªnmët bi¸nl sümðrëngtü nhi¶n

a tr÷ngλI t − A mëtmatrªnA ∈ M t (C),trongâI t l matrªnìnvàtrong M t (C).N¸uA d 6= 0,th¼ P (z) ÷ñ gåi l  mëta matrªn b d KhiA d = I t, P(z) ÷ñ gåil  mët a

B i to¡n gi¡ trà ri¶ng b hai EigenvalueProblem - QEP) t÷ìngùng vîitr÷íng hñp d = 2

a matrªnmët bi¸n nhi·u ùngdöngtrong l¾nh nh÷ph÷ìngtr¼nhvi ph¥n,lþthuy¸t

h» thèng, kÿ thuªt Wiener-Hopf, hå v  lþ thuy¸t rung, gi£i h sè, Hai tr¼nhu ti¶n vi¸t

B¶n â,b ito¡ngi¡trà ri¶ngQEP nhi·uùng döngv okhoahå v kÿthuªt Mëttêngquan

v· nhúngùng döng QEP ÷ñ tr¼nhb y trong h Gohberg, v  Rodman [16 ℄,

Hamarling,Munrov  Tisseur[18℄v Zengv  Su[56 ℄ ¢ ÷a ranhúngthuªtto¡nº gi£ib ito¡nQEP

B ito¡nu ti¶n m  hóngtæi tªptrung nghi¶n trong Luªn¡n nh÷sau

B i to¡n 1.Cho P (z) = A d z d + · · · + A 1 z + A 0 l  mët a matrªn.Ch¿ ra sè m v M "õ tèt"sao

m ≤ |λ| ≤ M, ∀ λ ∈ σ(P (z)),

l  ra "õ tèt" gi¡trà ri¶ng P (z)

Trongtr÷íng hñpt = 1, l tr÷íng hñp a mëtbi¸n vîih» sè B i to¡nn y¢

÷ñ nghi¶n bðinhi·u nh to¡n hå thºkº ra¥y k¸tqu£ h [31 , 33 ℄, Enestromv 

Kakeya [31 , 33 ℄, Joyal, Labellev Rahman [24 ℄,Datt v  Govil[8 ℄,

Trong tr÷íng hñp t > 1, t¼m h°n ho gi¡ trà ri¶ng a ma trªn P (z) theo hu©n(to¡n tû) ma trªn h» sè ¢ ÷ñ hi»n v  tr¼nh b y trong b i b¡o Higham v  Tisseur

[22℄ h h½nhu ti¶n hóng tæi trongLuªn¡n l gi£iquy¸tB ito¡n1,÷a ra h°n mîi

"õ tèt" ho gi¡ trà ri¶ng a ma trªn, tø â so s¡nh vîi h°n ÷ñ ÷a ra bðiHigham v 

i=1

f i 2 |f i ∈ R[X], n ∈ N

) ,

D¹th§yn¸uf ∈ T G (hayM G ) th¼f ≥ 0tr¶n K G.Doâ,mët häi tünhi¶n °tral  hi·u ng÷ñl¤i i·un y óngkhæng? l ,

f ≥ 0tr¶nK G = ⇒ f ∈ T G (hayM G )?

N¸u tr£ líi l óng, hóng ta ÷ñ mët ành lþ biºu di¹n d÷ìng (Positivstellensatz), hayành lþ

biºudi¹n khæng¥m gativstellensatz).Trongmëtsèt i li»u h¯ngh¤n,[32℄), gi£sûdöng

thuªtngú hung l "Positivstellensatz" Doâ,trong to nbë luªnv«n hóng tæithèng nh§tdòngthuªt

ngú Positivstellensatz (ànhlþ biºu di¹n d÷ìng)

Trongtr÷íng hñp bi»t,G = ∅,ta häi:

f ≥ 0 tr¶nR n = ⇒ f ∈ X R [X] 2 ?

C¥u tr£ líi ho häi n y ÷ñ ÷a ra bði Hilbert (1888), h¿ra r¬ng häi tr¶n h¿ óngtrong ba

tr÷ínghñp bi»t sèbi¸nv  f.Sauâ,t¤i¤ihëiTo¡nhå th¸giîitê t¤iParisn«m

1900, Hilbert ¢ ÷a ra mët danh h gçm 23 "B i to¡n th¸ k", trong sè â, B i to¡n thù 17 trong

danh h n y÷ñ ph¡t biºunh÷sau:

B ito¡n thù17 Hilbert:Cho f ∈ R[X].Kþhi»uR (X) l  tr÷íng th÷ìng v nha

R [X] Kþhi»u

X

R (X) 2 =

( k X

N¸uf ≥ 0 tr¶n R n, â suy ra ÷ñ hay khæng f ∈ P R (X) 2?

nghi¶n ành lþ biºudi¹n d÷ìng ângvaitrá quan trång trong b i to¡ntèi ÷u a

v b i to¡nmæmen Cöthºhìn, b i to¡n tèi ÷ua l b ito¡n t¼m

f ∗ = inf

x∈K G

vîif ∈ R[X],Gv  K G ành nh÷tr¶n Trongtr÷íng hñp G = ∅, K G = R n,b ito¡n tr¶n÷ñ gåil 

b i to¡n tèi ÷ua khæng r ng buë

B i to¡ntèi ÷u a ÷ñ nhi·unh  nghi¶n quan t¥m tø l¾nh nhau nh÷¤isè

quy h nûa ành v  lþ thuy¸t to¡ntû Trong né gi£mbît a nhi·u bi¸n,Lasserre

[27℄l ng÷íi u ti¶n ¢¡p döng k¸t qu£¤i sè gn ¥y Putinar[39 ℄ º thi¸tlªp mëtd¢y

nîilänghëitö¸ngi¡tràtèi÷u mëtb ito¡ntèi÷ua Sau ¥y hóng tæiminhhåarãhìn

v· ùng döng ành lþ biºudi¹n d÷ìngtrong gi£i quy¸t b ito¡ntèi ÷u a (xem, h¯ng

Tuy nhi¶n t¼m f sos,G khæng d¨n ¸n mët Quy h nûa ành, bði v¼ hóng ta khæng h°n

÷ñ a t i trongbiºudi¹n f − λ.ºnhªn÷ñ mëtQuy hnûa ành, hóng

Khiâf k sos,G ÷ñ t½nh quamët Quy h nûa ành.Hìnnúa,

f k sos,G ≤ f k+1 sos,G ≤ f sos,G ≤ f ∗

v  lim

k→∞ f k sos,G = f sos,G

Ti¸ptheo hóng tæigiîithi»uvaitrá ành lþbiºu di¹n d÷ìngtrong gi£iquy¸tb ito¡n

mæmen D¤ngthùnh§t b i to¡nmæmen÷ñ ph¡tbiºunh÷sau

B i to¡n mæmen (d¤ng 1) Cho K l  mët tªp on âng trong R n Cho L : R[X 1 , , X n ] → R l  mëtphi¸m h mtuy¸n t½nh.Häili»u â tçn t¤imëtëoBoreld÷ìng µvîi gi¡ trong K sao vîimåi

ành lþ 1 (Haviland,[20 ℄) i·uki»n n v  õ º tçn t¤imët ëo Borel d÷ìng µ vîigi¡ trong

K sao vîi måi f ∈ R[X 1 , , X n ]ta â

èivîi tªptªp ângtrong R n d¤ngK = K G,vîiGl mët tªp húuh¤n n oâ trong

v nh a R [X],mët d¤ng b ito¡nmæmen÷ñ ph¡tbiºunh÷sau

B i to¡n mæmen (d¤ng 2) Cho G = {g 1 , , g m } ⊆ R[X]; K G , T G ÷ñ ành ngh¾a nh÷ tr¶n N¸u

L(f ) ≥ 0, ∀ f ∈ T G th¼ â tçn t¤i mët ëo Boreld÷ìng µ â gi¡ trong K G sao

L(f ) =

Z

K G

f dµ

vîi måif ∈ R[X] hay khæng?

Chó þr¬ng vîi f ∈ T G th¼ f ≥ 0 tr¶n K G Doâ b i to¡n mæmen d¤ng2 y¸u hìn b ito¡n mæmend¤ng 1 Tuy nhi¶n, n¸u hóng ta mët ành lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n K G th¼ hai b i to¡n tr¶n t÷ìng

÷ìngvîi nhau(qua ành lþHaviland)

ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho a ¢ nhªn ÷ñ nhi·u sü quan t¥m nh  to¡n hå

Krivine(1964)v Stengle(1974)[25 ,54 ℄¢÷arabiºudi¹n m¨u ho a d÷ìng(t÷ìng

ùng,khæng¥m, b¬ngkhæng)tr¶n mëttªpnûa¤isèâng b£n t¼m ành lþbiºudi¹nd÷ìng

"khæng m¨u hi»nv¨n angthuhót süquant¥m nhi·ung÷íi

N«m 1991, hmudgen [46 ℄ ¢ ÷a ra mët ành lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n tªp Cö thº,

hmudgenkh¯ngành r¬ng: N¸uf > 0 tr¶n K G v  K G l  tªp omp th¼f ∈ T G

Mëttr÷ínghñp bi»t ànhlþ hmudgen÷ñ ÷aratr÷î âbðiHandelman[19℄,biºudi¹n

a d÷ìngtr¶n mët adi»n lçi,

÷aramëti·uki»nº£mb£o a d÷ìngtr¶nK Gthuë v oM G khâhìnsovîithuë

v oT G.Mët i·uki»nnh÷th¸÷ñ Putinar [39 ℄÷a ran«m1993,vîii·uki»n mæunhaiM G l¤i,mëtmæun haiM trong v nha R [X]÷ñ gåil  n¸utçnt¤i sètünhi¶n k ∈ N sao ho k − (X 2

â, heiderer[42 , 43 ℄ ¢ ÷a ramët ti¶u hu©n Hessian º £m b£o ho a khæng ¥m l 

nghi»m) tr¶nK G thuë v o T G (t÷ìngùng,M G)vîii·uki»nK G (t÷ìngùng,M G

Trongtr÷ínghñpK G khæng hweighofer(2006, [50 ℄)kh¯ngànhr¬ng:Gi£ sû f ∈ R[X]bàtr¶n K G, v  f â húu h¤n gi¡ trà ti»m ªn trong K G v  to n b ·u d÷ìng Khi â,n¸u f > 0

Cho f l  mët a thun nh§t N¸uf > 0 tr¶nR n

+\ {0} th¼tçn t¤imët sè tü nhi¶n N õ lîn sao

ho a thun nh§t d÷ìng tr¶n R n \ {0} ành lþ k nâi r¬ng: Cho f l  mët athun nh§t b vîi f (x) > 0, ∀x ∈ R n \ {0} Khi â, tçn t¤i mët sè tü nhi¶n N õ lîn sao

Têng qu¡t hok¸tqu£ k, Putinarv  V [40℄¢÷a ramëtành lþbiºudi¹nd÷ìng

tr¶n mët tªp nûa ¤i sè âng b£n trong R n Gn ¥y,n«m 2015, kinson v  Povh [10 ℄ ¢ k¸t hñp

ành lþPâlyav  ànhlþ Putinar-V º ÷a ramëtành lþbiºu di¹n ho a d÷ìngtr¶n

mët tªp nûa ¤isèâng b£n trongR n

Tr÷íng hñp t > 1, x²t biºu di¹n a ma trªn ànhd÷ìng (t÷ìng ùng, nûa ànhd÷ìng)tr¶n mëttªp R n.Kþ hi»uS t (R[X]) l tªphñp a matrªnèi xùng ttrong

M t (R[X]).Vîi méiF ∈ S t (R[X]) v  G = {G 1 , , G m } ⊆ S t (R[X]),kþ hi»u

K G := {x ∈ R n |G i (x)< 0, i = 1, , m },

tªpnûa ¤isèâng b£n trong R n ànhbðiG

¥y,vîiméia matrªn G ∈ S t (R[X])v vîiméi x ∈ R n

mæun hainhä nh§ttr¶n M t (R[X]) hùa G

Ti·nthùtü nhänh§t hùa G s³÷ñ kþ hi»u bðiT G.Trongtr÷íng hñp G = ∅,

Cimpri[6℄÷arad¤ngmatrªn hoànhlþKrivine-Stengle;Cimpriv Zalar[7 ℄¢÷aramëtd¤ng

matrªn hoành lþ hmudgen; L¶ Cæng Tr¼nh [29 ℄ ¢ ÷a ramëtd¤ngma trªn ho ành lþ biºudi¹n

d֓ng Krivine-Stengle, hweighofer, heiderer,

D¤ngmatrªn hoànhlþbiºudi¹nd÷ìng Pâlya[37 ℄ângmëtvaitráquantrångtronglþthuy¸t

i·ukhiºn.Huh¸t b ito¡ni·ukhiºntuy¸nt½nh·ud¨n¸n b§t¯ng matrªn.R§tnhi·u

trong sè b ito¡nn y thºgi£i÷ñ khi b§t¯ng matrªn l tuy¸n t½nh.Rã hìn,mëtb§t

¯ng ma trªntuy¸n t½nh(Linear MatrixInequality- LMI) d¤ng

L(X) := A0+ A1X1+ + AnXn≻ 0, (0.4)

trong â X = (X 1 , , X n ) l  n bi¸n v  A 0 , A 1 , , A n ∈ S n (R)l  ma trªn èi xùng ho tr÷îB§t ¯ng (0.4) h¿ raL(x) ành d÷ìng, l , v T L(x)v > 0, ∀ v ∈ R n \ {0} Khiâ,mi·n

ành LMI l 

G := {x ∈ R n |L(x) ≻ 0}.

ành lþ biºu di¹n d÷ìng Pâlya ho a matrªn [44℄kh¯ng ành r¬ng: Gi£ sû F l  mët a

ma trªn èixùng thun nh§t b d N¸uF ≻ 0 tr¶n △ n th¼ tçn t¤isè tü nhi¶n N sao

h h½nhti¸p theo hóng tæi trongLuªn¡n l gi£iquy¸t B i to¡n2,÷a rad¤ngmatrªn

ho ànhlþ biºudi¹n d÷ìng Putinar-V kinson-Povh v Handelman

Ngo i Danh m kþ hi»u, Líi mðu, Danh h tr¼nh gi£ li¶nquan

¸nLuªn¡n,T ili»uthamkh£ov K¸tluªn,nëidung h½nh Luªn¡n÷ñ hóngtæitr¼nhb ytrong

ba h֓ng

TrongCh÷ìng1 hóngtæi nhúngkh¡ini»mv k¸tqu£ b£n÷ñ sûdöngtrong Luªn¡n

TrongCh÷ìng2 hóng tæi ÷aramët sè h°n ho gi¡ tràri¶ng a ma trªn

TrongCh÷ìng3 hóng tæi nghi¶n ành lþ biºudi¹nd÷ìng ho a ma trªn

k¸t qu£ h½nh Luªn¡n ÷ñ hóng tæi bètrong b ib¡o [12 , 30 ℄, ti·n §n ph©m[13 ℄

• Hëith£o què t¸ String-Math2018, Tr÷íng ¤ihå Tohoku,Sendai, NhªtB£n, 18-22/06/2018;

• Hëith£oquè t¸ The7thInternational onMatrixAnalysis and (ICMAA2018), Tr÷íng¤i hå Shinshu,Nagano, NhªtB£n, 22-25/06/2018;

• SeminarKhoaTo¡n,Tr÷íng¤i hå QuyNhìn, B¼nhành;

• ¤i hëiTo¡n hå Vi»t NamlnthùIX, Tr÷íng¤i hå Thængtin Li¶n 14-18/08/2018

B¼nh ành,th¡ng 12 n«m2018

T gi£

D÷ThàHáa B¼nh

ành lþ 1.1.2 (Enestrom-Kakeya, d¤ng2,[3 ℄) Cho f (z) = a d z d + a d−1 z d−1 + · · · + a 1 z + a 0 l  mët a

Khi â,måi nghi»m z ∈ C f(z) thäa m¢n



a a i

d

Khi â,måi nghi»m f (z) thäa m¢n

a d−1 a

d

+

s

1 − ... nthẳ f biudiạnữủ thnh tờng bẳnhphữỡng hm phƠn

1.2.2 Mởt số nh lỵ biu diạn dữỡng

nh lỵ 1.2.6 (Krivine-Stengle, [25 , 54 ℄) Cho mët tªp on G = {g , , g m }... náuv náutỗn tÔimởt số nguyản m 0 v p, q ∈ T G pf = f 2m + q;(iii) f (x) = 0 trản K G náuv náutỗn tÔi mởt số nguyản m 0... f T G

nh lỵ 1.2.8(Handelman, [19 ) Cho adiằn P nhữ trản v giÊ sỷ a f R[X] l dữỡng trảnP.Khi õ,tỗn tÔi mởt số tỹ nhiản m N

trong