Mođun đối cốt yếu đơn và các trường hợp tổng quát của mođun nâng

Vì vậy mục đích của khóa luận này là nghiên cứu môđun đối cốt yếuđơn và các áp dụng của chúng vào lớp môđun mở rộng của lớp môđunnâng; đó là lớp môđun nâng đơn.. - Phần 1: Chúng tôi phát

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

Khoa Toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

MÔĐUN ĐỐI CỐT YẾU ĐƠN VÀ CÁC TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT CỦA

MÔĐUN NÂNG

Nguyễn Thị Thu Sương

Đà Nẵng - 2014

Mục lục

1.1 Các khái niệm 5

1.2 Một số kết quả liên quan 9

2 Môđun đối cốt yếu đơn, môđun GS, WGS và môđun nâng đơn 14 2.1 Môđun đối cốt yếu đơn 14

2.2 Môđun GS 20

2.3 Môđun W GS 23

2.4 Môđun nâng đơn 26

Lời cảm ơn

Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ của thầygiáo, TS Trương Công Quỳnh, em xin gửi đến thầy sự kính trọng và lòngbiết ơn sâu sắc

Em cũng muốn bày tỏ sự biết ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu trườngĐại Học Sư Phạm-Đại Học Đà Nẵng, Ban Chủ nhiệm khoa Toán đã tạođiều kiện cho em được làm khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, em xin bày tỏlòng biết ơn tới các thầy cô giáo trong Khoa Toán vì sự giảng dạy tận tình

và sự quan tâm, động viên em trong suốt quá trình học tập và thực hiênkhóa luận

Tuy đã có nhiều cố gắng song vẫn còn nhiều thiếu sót khó tránh khỏinhững lý do chủ quan và khách quan nên em rất mong nhận được sự đónggóp của quý thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn!

Đà Nẵng, ngày 07 tháng 05 năm 2014

Sinh viênNguyễn Thị Thu Sương

Đặt vấn đề

Như chúng ta đã biết môđun là một cấu trúc đại số liên kết giữa mộtnhóm aben với một vành nhờ phép toán ngoài Nó mở rộng khái niệm khônggian vectơ bằng cách thay trường cơ sở bởi một vành có đơn vị Trong đólớp môđun đối cốt yếu có vai trò quan trọng trong lớp vành cổ điển Chẳnghạn lớp vành hoàn chỉnh và nửa hoàn chỉnh Cụ thể người ta đã chứng minhđược một vành là hoàn chỉnh phải nếu mọi môđun phải M , thì tồn tại toàncấu ϕ : P → M với P xạ ảnh và Ker(ϕ)  P Đồng thời một vành Rđược gọi là nửa hoàn chỉnh nếu mọi môđun phải (trái) đơn M , thì tồn tạitoàn cấu ϕ : P → M với P xạ ảnh và Ker(ϕ)  P Từ các tính chất quantrọng đó, chúng tôi sẽ mở rộng khái niệm môđun con đối cốt yếu và nghiêncứu chúng Đó là môđun đối cốt yếu đơn và nó được định nghĩa như sau:

“Một môđun con N của môđun M được gọi là đối cốt yếu đơn trong M , kýhiệu N m M , nếu với mọi n ∈ N , M 6= nR + K với K là môđun con thực

sự của M ” Cũng dựa trên cơ sở đó, từ định nghĩa môđun nâng: “Môđun

M được gọi là nâng nếu với mọi môđun con N của M , tồn tại sự phântích M = M1 ⊕ M2 : M1 ≤ N, M2 ∩ N  M ” chúng tôi đi đến định nghĩacho môđun nâng đơn “Một môđun M được gọi là nâng đơn nếu với mọi

N ≤ M , tồn tại sự phân tích M = M1 ⊕ M2 : M1 ≤ N, M2 ∩ N m M ”.Hơn nữa trong khóa luận chúng tôi đề cập đến khái niệm môđun GS vàmôđun W GS (xem trong [8]) “Môđun M được gọi là GS nếu mỗi môđuncon U đều có phần phụ tổng quát U0" “Môđun M được gọi là W GS

nếu với mọi môđun con N ≤ M , tồn tại L ≤ M sao cho M = N + L và

N ∩ L ≤ Rad(M )" Lớp môđun GS và W GS là những mở rộng của môđunphần phụ

Vì vậy mục đích của khóa luận này là nghiên cứu môđun đối cốt yếuđơn và các áp dụng của chúng vào lớp môđun mở rộng của lớp môđunnâng; đó là lớp môđun nâng đơn Các kết quả của phần này đều đượcchúng tôi đưa ra và chứng minh chúng

Về nội dung nghiên cứu, ngoài phần mở đầu và kết luận, khóa luậnđược trình bày hai chương:

Chương 1 Chương này trình bày lại những kiến thức cơ bản dùnglàm cơ sở cho việc chứng minh ở chương thứ 2

Chương 2 Chương này trình bày nội dung trọng tâm

- Phần 1: Chúng tôi phát biểu định nghĩa, tìm một vài ví dụ và chứngminh một số tính chất của môđun đối cốt yếu đơn Cụ thể chúng tôi đãchứng minh được mọi môđun con của môđun hổng, không địa phương M

là đối cốt yếu đơn trong M Hơn nữa một môđun là một Z-môđun tự dothì căn của môđun đó bằng không

- Phần 2: Chúng tôi khảo sát lại một số tính chất của môđun GS vàmôđun W GS Các kết quả này đã được nghiên cứu bởi Y ongduoW ang và

N anqingDing năm 2006

- Phần 3: Chúng tôi phát biểu định nghĩa và chứng minh một số kết quảcủa môđun nâng đơn Cụ thể chúng tôi đã chứng minh được các lớp môđunnâng đơn là đóng dưới tổng trực tiếp Đối với một môđun M khác không,không phân tích được thì một môđun là nâng đơn nếu và chỉ nếu mọimôđun con thực sự là đối cốt yếu đơn trong M , điều này cũng tươngđương với việc môđun M là nửa hổng Hơn nữa chúng tôi còn chứng minhđược một môđun M là đối ngẫu và M = M1⊕ M2 thì khi đó M là môđunnâng đơn nếu và chỉ nếu M1 và M2 là các môđun nâng đơn

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong toàn khóa luận, vành R đã cho luôn được giả thiết là vành kếthợp có đơn vị 1 6= 0 và mọi R-môđun được xét là môđun phải unita.Trong chương này chúng tôi giới thiệu những khái niệm, những tính chấtđược sử dụng trong khóa luận Một số khái niệm khác liên quan đến khóaluận chúng ta có thể tham khảo trong [6] và [9]

i Quy tắc kết hợp: (mr1)r2 = m(r1r2)

ii Quy tắc tắc phân phối:

(m1 + m2)r = m1r + m2r,m(r1 + r2) = mr1 + mr2

iii Quy tắc unita: m1 = m, trong đó m, m1, m2 là các phần tử tùy

ý của M , r1, r2 ∈ R

Lúc đó R được gọi là vành cơ sở Nếu M là một R-môđun phải tathường ký hiệu M = MR Một cách hoàn toàn tương tự ta cũng có thểđịnh nghĩa khái niệm R-môđun trái

Định nghĩa 1.1.2 Tập con A của M được gọi là môđun con của M (Kýhiệu là A ≤ M hay AR ≤ MR), nếu A là R- môđun phải với phép toáncộng và nhân môđun hạn chế trên A

Ngoài ra nếu ta viết A < M có nghĩa là A là môđun con thực sự của

M

Định nghĩa 1.1.3 Môđun con A ≤ M được gọi là môđun con cực đạicủa môđun M nếu như A 6= M và ∀ B ≤ M : A < B, suy ra B = M Định nghĩa 1.1.4 Một môđun khác không MR được gọi là đơn nếu nókhông có môđun con không tầm thường nào Có nghĩa là môđun MR đượcgọi là đơn nếu M 6= 0 và mọi A là môđun con của M thì A = 0 hoặc

Từ định nghĩa trên suy ra ngay: N là hạng tử trực tiếp của M ⇔

Dựa trên tính chất đó ta định nghĩa các loại môđun con mà nó trởthành công cụ rất hữu ích cho công việc của chúng ta.

Định nghĩa 1.1.8 Một môđun con N của M được gọi là đối cốt yếutrong M , ký hiệu N  M , trong trường hợp với mọi môđun con L ≤ M :

N + L = M suy ra L = M

Định nghĩa này tương đương với mọi môđun con thực sự L của M suy

ra N + L 6= M

Nhận xét 1.1.1 Nếu N  M thì N 6= M

Thật vậy, giả sử phản chứng rằng N = M thì mọi L ≤ M, L 6= M ta có

L + N = L + M = M Điều này mâu thuẫn vì L + N 6= M Mâu thuẫnnày chứng tỏ rằng N 6= M

Định nghĩa 1.1.9 Một R-môđun phải được gọi là hữu hạn sinh nếu nó

có một tập sinh gồm hữu hạn phần tử Nói cách khác, M là hữu hạnsinh nếu có các phần tử nào đó s1, s2, , sn thuộc M sao cho: M =

s1R + s2R + + snR

Định nghĩa 1.1.10 M 6= 0 được gọi là môđun địa phương nếu tồn tạimột môđun con lớn nhất khác M Nghĩa là cho N ≤ M, N 6= M N đượcgọi là môđun con lớn nhất nếu với mọi A ≤ M, A 6= M thì A ≤ N

Định nghĩa 1.1.11 M được gọi là môđun hổng nếu mọi môđun con thực

sự của M là đối cốt yếu trong M

Định nghĩa 1.1.12 Môđun M được gọi là nâng nếu với mọi môđun con

N của M , tồn tại sự phân tích M = M1 ⊕ M2 : M1 ≤ N, M2 ∩ N  M Định nghĩa 1.1.13 Môđun M được gọi là phân phối nếu với mọi A, B, C

là các môđun con của môđun M thì (A + B) ∩ C = (A ∩ C) + (B ∩ C)

Định nghĩa 1.1.14 Môđun M được gọi là đối ngẫu nếu mọi môđun concủa môđun M là bất biến hoàn toàn.

Định nghĩa 1.1.15 Cho M là một môđun, môđun con N của M đượcgọi là bất biến hoàn toàn nếu f (N ) ⊆ N với mọi f ∈ EndR(M )

Định nghĩa 1.1.16 Một môđun M gọi là không phân tích được nếu Mkhác không và không thể viết được dưới dạng tổng trực tiếp của hai môđuncon khác không

Định nghĩa 1.1.17 Cho M là một môđun Nếu U, U0 ≤ M , M = U + U0

và U ∩ U0 ≤ Rad(U0) thì U0 là phần phụ tổng quát của U

Định nghĩa 1.1.18 Giao của tất cả các iđêan phải cực đại của R là mộtiđêan phải (trái) của R và được gọi là căn phải (trái) của vành R Ký hiệu:Rad(RR)

"⇐" Giả sử H  M và K  M Phải chứng minh H + K  M

Với mọi L ≤ M : (H + K) + L = M , suy ra H + (K + L) = M Do H  Mnên (K + L) = M Do K  M nên L = M Vậy ta đã chứng minh được

H + K  M

Bổ đề 1.2.1 Nếu I  M và f : M → N là một đồng cấu thì f (I)  N Đặc biệt, nếu I  M ≤ N thì I  N

Chứng minh Giả sử với mọi L ≤ N , L 6= N thỏa f (I) + L = N Suy ra

f (I) không là con của L Thật vậy nếu f (I) ⊆ L thì do f (I) + L = N , suy

ra L = N Điều này mâu thuẫn

Bây giờ ta chỉ ra I + f−1(L) = M Đầu tiên ta có nhận xét: f−1(L) ≤ M ,

f−1(L) 6= M Thật vậy nếu f−1(L) = M , do đó f (M ) ⊆ L, suy ra f (I) ⊆

f (M ) ⊆ L Điều này mâu thuẫn

Rõ ràng I + f−1(L) ⊆ M Do đó ta chỉ cần chứng minh: M ⊆ (I + f−1(L)).Điều này là dễ thấy; với mọi m ∈ M thì f (m) ∈ N nên f (m) = f (i) + l,

i ∈ I, l ∈ L Suy ra f (m − i) = f (m) − f (i) = l ∈ L Do đó m − i ∈ f−1(L)

Ta suy được m = i + (m − i) ∈ I + f−1(L), vì thế mà M ⊆ I + f−1(L).Vậy M = I + f−1(L) Điều này là không thể xảy ra vì I  M Vậy

f (I)  N

Bây giờ ta sẽ nêu lên đặc trưng sau của hạng tử trực tiếp của RR và sựphân tích của vành Phần tử e ∈ R được gọi là lũy đẳng của R nếu e2 = e.Mệnh đề 1.2.2 Iđêan phải của vành R là một hạng tử trực tiếp của RRnếu và chỉ nếu tồn tại một lũy đẳng e ∈ R sao có I = eR Hơn nữa, nếu

e ∈ R là một lũy đẳng thì 1 − e cũng vậy, và (1 − e)R là phần phụ của eR,nghĩa là

RR = eR ⊕ (1 − e)R

Chứng minh Ta giả sử rằng RR = I ⊕ K, K ≤ RR, khi đó 1 = e + f với

e ∈ I, f ∈ K Tác động e vào, khi đó ta có e = e2+ ef Suy ra e − e2 = ef Mặt khác e = e2 + f e, suy ra e − e2 = f e Vậy e − e2 = ef = f e ∈ I ∩ K,

mà I ∩ K = 0 Suy ra e = e2 Từ đó ta có f = f e + f2 mà f e = Suy ra

f = f2

Với mọi x ∈ I ta có x = ex + x − ex = ex + (1 − e)x ∈ I ⊕ K Ngoài ta

ta còn có x = x + 0 Do sự biểu diễn là duy nhất nên suy ra x = ex ∈ eR

Vì vậy I ≤ eR Suy ra I = eR (1 − e)R ∩ eR = 0 và (1 − e)R là phần phụcủa eR nên RR = eR ⊕ (1 − e)R

Bổ đề 1.2.2 Luật modular: Cho I, J, K ≤ M sao cho I ≤ J Khi đó(I + K) ∩ J = I + (K ∩ J )

Chứng minh Ta sẽ chứng minh hai chiều:

"⇒" Với mọi y ∈ (I + K) ∩ J ta có y = a + b, với a ∈ I ≤ J , b ∈ K

và y ∈ J Bây giờ ta cần chứng minh b ∈ (K ∩ J ) Thật vậy, y = a + b,suy ra b = y − a ∈ (K ∩ J ) Từ đó suy ra y = a + b ∈ I + (K ∩ J ) Vậy((I + K) ∩ J ) ⊂ (I + (K ∩ J ))

"⇐" Với mọi y ∈ I + (K ∩ J ) Ta sẽ phải chứng minh rằng y ∈ (I + K) ∩ J )

Từ y ∈ I + (K ∩ J ) ta có y = a + b với a ∈ I ≤ J , b ∈ (K ∩ J ) Suy rađược y ∈ (I + K) ∩ J Vậy I + (K ∩ J ) ⊂ (I + K) ∩ J

Bổ đề 1.2.3 aR không đối cốt yếu trong R khi và chỉ khi tồn tại mộtiđêan phải cực đại I của R với a không thuộc I

Chứng minh "⇐" Ta có I ≤ I + aR Do I cực đại nên I + aR = R, I 6= R.Suy ra aR không đối cốt yếu trong R

"⇒" Giả sử aR không đối cốt yếu trong R Khi đó tồn tại L ≤ R sao cho

L 6= R: aR + L = E Đặt F = {I ≤ R : I 6= R, I + aR = R} Suy ra F 6= ∅

vì L ∈ F

Với mọi I1, I2 ∈ F , I1 ≤ I2 ⇔ I1 ⊂ I2 Suy ra "≤" là một quan hệ thứ tự.Lấy Λ ⊂ F , Λ 6= ∅, λ sắp thứ tự toàn phần Đặt J = S

I∈λ

I vì Λ là một tậpsắp thứ tự toàn phần nên J là một iđêan phải của R

Bây giờ ta sẽ chứng minh J ∈ F Điều này tương đương với việc chứng tỏrằng J 6= R và aR + J = R

Giả sử ngược lại J = R, thì R = S

I∈Λ

I Khi đó Λ ∈ S

I∈Λ

I = R Suy ra

Λ ∈ R, suy ra tồn tại I ∈ Λ: 1 ∈ I Do đó I = R, điều này mâu thuẫn

vì I 6= R Vậy J 6= R Lại có I ∈ Λ, nên aR + I = R ≤ aR + J , suy ra

aR + J = R Suy ra J ∈ F

Mặt khác với mọi I ∈ Λ, I ≤ J , suy ra J là cận trên của Λ Theo bổ đềZorn: Tồn tại I ∈ F , I cực đại Bây giờ ta chứng minh I là iđêan phải cựcđại của R

Với mọi I ≤ H Giả sử rằng H 6= R Ta có I + aR = R, suy ra H + aR = R

vì I ≤ H

Suy ra H ∈ F Mặt khác I ⊂ H nên theo tính chất cực đại ở trên thì

I = H Vậy I là iđêan phải cực đại của R

I Ta phải chứng minh Rad(R) = A

Đầu tiên ta sẽ chứng minh A ≤ Rad(RR) = T

HR R

H

Lấy I  RR Gọi H là iđêan phải cực đại của R (bất kỳ), H 6= R Ta

có H ≤ I + H Do H cực đại nên I + H = R hoặc I + H = H Từ

I + H = R, do I  RR suy ra H = R Điều này mâu thuẫn vì H 6= R Do

đó I + H = H, suy ra I ≤ H, với H là iđêan phải cực đại của R Do đó

I ≤ Rad(RR) Vậy A ≤ Rad(RR).

Ta chỉ còn phải chứng minh Rad(RR) ≤ A

Với mọi a ∈ Rad(RR), suy ra a ∈ I, với I là iđêan phải cực đại của R Cầnphải chứng minh aR  RR Giả sử phản chứng rằng aR không đối cốt yếutrong RR Khi đó theo Bổ đề (1.5) thì tồn tại iđêan phải cực đại I của Rvới a không thuộc I Điều này mâu thuẫn vì a ∈ I Do vậy a ∈ A Suy raRad(RR) ≤ A

Chương 2

Môđun đối cốt yếu đơn, môđun GS, WGS và

môđun nâng đơn.

Trong mục này chúng tôi nêu định nghĩa, tìm một vài ví dụ và đã chứngminh được một số tính chất của môđun đối cốt yếu đơn dựa trên cơ sở đãbiết ở môđun đối cốt yếu

Định nghĩa 2.1.1 Một môđun con N của M được gọi là đối cốt yếu đơntrong M , ký hiệu là N m M , nếu với mọi n ∈ N, M 6= nR + K, với mọi

K là môđun con thực sự của M ; tức là với mọi n ∈ N, nR  M

Mệnh đề 2.1.1 Cho N là môđun con của môđun M Khi đó N m Mkhi và chỉ khi N ⊆ Rad(M )

Chứng minh "⇒" Với mọi n ∈ N Ta có N m M nên nR  M Khi đó

n ∈ nR ⊆ Rad(M ) Vậy N ⊆ Rad(M )

"⇐" Với mọi n ∈ N Do N ⊆ Rad(M ) nên n ∈ Rad(M ), suy ra n ∈ I1 +

(I1 + I2 + Ik)  M (2.2)

Từ (2.1) và (2.2) ta có K = M Điều này mâu thuẫn vì K 6= M Do đó

nR + K 6= M Suy ra nR  M , với n ∈ N Vậy N m M

Ví dụ 2.1.1 Với mọi môđun M thì Rad(M ) m M

Chứng minh Ta có Rad(M ) ⊆ Rad(M ) Theo Mệnh đề 2.1, suy ra Rad(M ) m

Chứng minh Với mọi C ≤ M, C 6= M Ta phải chứng minh C m M

Thật vậy gọi I là môđun con cực đại của M (I bất kỳ) Do M là môđun địaphương nên tồn tại một môđun lớn nhất là N , N 6= M Ta có I ≤ N , với I

là môđun con cực đại của M Nên I = N = Rad(M ), ∀I ≤max M Khi đó

nếu C là môđun con thực sự của M thì C là môđun con của N = Rad(M ).Vậy C ⊆ Rad(M ) và theo Mệnh đề 2.1 thì C m M

Ví dụ 2.1.4 Mọi môđun con của môđun hổng, không địa phương M làđối cốt yếu đơn trong M

Chứng minh Với mọi N ≤ M , M hổng, không địa phương Ta phải chứngminh N m M Điều phải chứng minh này tương đương với việc chứngminh ∀n ∈ N : nR  M

Trường hợp 1: Nếu với mọi n ∈ N , nR 6= M Do M là hổng nên mọi môđuncon thực sự của M đều đối cốt yếu trong M Lúc đó nR  M

Trường hợp 2: Nếu tồn tại n0 ∈ N , n0R = M Khi đó M là xyclic Mặtkhác do M là hổng nên ta suy ra M là môđun địa phương (theo [9, 41.4]).Nhưng theo giả thiết ban đầu M không phải là môđun địa phương nêntrường hợp này không thể xảy ra

Vậy với mọi n ∈ N : nR ≤ M, nR 6= M Do M là hổng nên mọi môđun conthực sự của M là đối cốt yếu trong M , do đó nR  M Vậy N m M

Ví dụ 2.1.5 M là Z-môđun tự do Từ Rad(Z) = 0 ta có Rad(M ) = 0.Khi đó 0 là môđun con đối cốt yếu đơn duy nhất của M

Chứng minh Đầu tiên ta sẽ chứng minh Rad(Z) = 0

Ta có Rad(Z) = P

IZ

I Gọi I là môđun con của Z, mà I  Z, suy ra I 6= Z.Thật vậy vì nếu I = Z, với mọi K ≤ Z, K 6= Z; khi đó I +K = Z+K = M Điều này mâu thuẫn vì A + K 6= M

Ta phải chứng minh I = 0 Giả sử ngược lại I 6= 0, I ≤ Z do đó I =

nZ, n 6= ±1 Mọi K ≤ Z, tồn tại m ∈ Z : (m, n) = 1, m 6= ±1 Khi đó

K + I = Z Suy ra mZ + nZ = Z Suy ra mZ = Z Điều này mâu thuẫn vì

m 6= ±1 Mâu thuẫn này chứng tỏ rằng I = 0 Vậy Rad(Z) = 0

Tiếp theo ta sẽ chứng minh Rad(M ) = 0.

Do M là Z-môđun tự do, suy ra tồn tại S là cơ sở của M Gọi |S| là lựclượng của S (có thể là hữu hạn hoặc vô hạn) Do M là Z- môđun nên

M ∼= Z|S| Ta có Rad(Z|S|) = Rad(Z) = 0 Do đó Rad(M ) = 0

Cuối cùng ta chứng minh 0 là môđun con đối cốt yếu đơn duy nhất của

M Giả sử A m M Khi đó A ⊆ Rad(M ) = 0 Suy ra A = 0 Vậy ta cóđiều phải chứng minh

Chúng ta bắt đầu với một vài tính chất về môđun con đối cốt yếu đơn,

và các tính chất này thường được sử dụng cho các kết quả về sau

Bổ đề 2.1.1 Cho A, B và C là các môđun con của R-môđun M

(1) Nếu A m B và B ⊆ C thì A m C

(2) Nếu A m M , A ⊆ B và B ≤d M thì A m B

(3) Nếu A m M và f : M → N là một đồng cấu thì f (A) m f (M ).(4) Cho A ⊆ B Khi đó B m M nếu và chỉ nếu A m M và B/A mM/A

(5) Cho A1, A2, , An là các môđun con đối cốt yếu đơn của M Khi đó

A1 + A2 + + An m M

(6) A + B m M nếu và chỉ nếu A m M và B m M

(7) Cho N là một môđun con của môđun M , Rad(M )  M Khi đó

N m M nếu và chỉ nếu N  M

Chứng minh Ta chứng minh lần lượt các bổ đề trên

(1) Giả sử A m B và B ⊆ C, ta phải chứng minh A m C Điều nàytương đương việc chúng ta phải chỉ ra A ⊆ Rad(C) Do A m B, nên

A ⊆ Rad(B) Từ B ⊆ C suy ra Rad(B) ⊆ Rad(C).

Thật vậy: Xét đơn cấu chính tắc: f : B → C Ta có f là một đồng cấu, thì

f (Rad(B)) ≤ Rad(C) ([6]) Suy ra Rad(B) ≤ Rad(C)

Do đó A ⊆ Rad(B) ⊆ Rad(C), suy ra A ⊆ Rad(C) Vậy A m C

(2) Giả sử A m M , A ⊆ B và B d M , cần chứng minh A m B

Từ A m M và A ⊆ B ≤d M Ta có A ⊆ (Rad(M ) ∩ B) Ta phải chứngminh rằng A ⊆ Rad(B); điều này tương đương với việc phải chỉ ra rằng(Rad(M ) ∩ B) ⊆ Rad(B)

Thật vậy, ta có M = B ⊕ B0, nên Rad(M ) = Rad(B) ⊕ Rad(B0)

và vì vậy Rad(M ) ∩ B = Rad(B) ⊕ Rad(B0) ∩ B ⊆ Rad(B) Do đó(Rad(M ) ∩ B) ⊆ Rad(B) Suy ra A ⊆ Rad(B) Vậy A m B

(3) Giả sử A m M , f : M → N là một đồng cấu, cần chứngminh f (A) m f (M ) Từ A m M , ta có A ⊆ Rad(M ), do f là mộtđồng cấu nên f (A) ⊆ f (Rad(M )) Mà f (Rad(M )) ≤ Rad(f (M )) Do đó

f (A) ⊆ Rad(f (M )) Vậy f (A) m f (M )

(4) "⇒" Giả sử B m M , A ⊆ B, ta phải chứng minh A m M vàB/A m M/A Từ A ⊆ B và B m M , ta có A ⊆ B ⊆ Rad(M ) Do đó

A ⊆ Rad(M ) hay A m M

Xét toàn cấu chính tắc f : M → M/A Ta có B m M Suy ra f (B) m

f (M ) hay B/A m M/A

"⇐" Giả sử A m M và B/A m M/A, phải chứng minh B m M

Từ A m M , ta có A ⊆ Rad(M ) Từ B/A m M/A, ta cũng có B/A ⊆Rad(M/A) Lại có Rad(M/A) ⊆ Rad(M )/A

Thật vậy, Rad(M/A) = T

I/A≤ max M/A

I/A Suy ra (M/A)/(I/A) đơn, theo