Môđun suy yếu và môđun đối suy yếu

Hướng thứnhất sử dụng nội tại các tính chất của nó thông qua lớp các iđêan và hướngthứ hai là đặc trưng vành qua tính chất của một lớp xác định nào đó các môđun trên chúng.. Trong các lớ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

_

VŨ VĂN NGUYÊN

MÔĐUN SUY BIẾN

VÀ MÔĐUN ĐỐI SUY BIẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH _

VŨ VĂN NGUYÊN

MÔĐUN SUY BIẾN

VÀ MÔĐUN ĐỐI SUY BIẾN

CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

MÃ SỐ: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGÔ SỸ TÙNG

NGHỆ AN - 2015

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU

Trong sự phát triển chung của toán học, lý thuyết môđun đã có sự pháttriển và có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu các lĩnh vựckhác của toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực lý thuyết vành Như chúng ta đãbiết việc nghiên cứu lý thuyết vành có hai hướng để nghiên cứu Hướng thứnhất sử dụng nội tại các tính chất của nó thông qua lớp các iđêan và hướngthứ hai là đặc trưng vành qua tính chất của một lớp xác định nào đó các

môđun trên chúng Mặt khác ta cũng biết rằng một vành R là R - môđun

(phải) trên chính nó, nên hiển nhiên một số kết quả trên môđun có thể chuyểnsang vành

Trong các lớp môđun, lớp môđun suy biến và đối suy biến là những lớpmôđun hiện nay được nhiều người quan tâm nghiên cứu Để nghiên cứu cáclớp môđun và đặc trưng vành, người ta thường xét các lớp môđun với tínhchất của nó như: môđun suy biến, môđun đối suy biến…

Chính vì vậy đề tài của luận văn chúng tôi chọn là “Môđun suy biến và đối suy biến” Mục đích của luận văn tập trung nghiên cứu môđun suy biến

và môđun đối suy biến, trình bày hệ thống lại về khái niệm và tính chất củamôđun suy biến và đối suy biến

Luận văn được chia làm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận.Chương 1 Các khái niệm cơ bản Trình bày các khái niệm cơ bảnchuẩn bị cho chương 2 Các khái niệm cơ bản được đề cập chủ yếu trongchương này là: Môđun con cốt yếu, Các điều kiện của ( )C i của môđun,môđun con bé, môđun nội xạ

Chương 2 Một số tính chất của môđun suy biến, môđun đối suy biếnLuận văn này được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn tận tình của PGS TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin được bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, thầy đã dành cho tôi sự chỉ bảo tận tình,nghiêm khắc và đầy lòng nhân ái Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các quýthầy cô giáo trong chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số - Khoa Toán -Trường Đại học Vinh đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợicho tôi trong quá trình học tập tại lớp Cao học khoá 21 chuyên ngành Đại số

và Lý thuyết số

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán vàPhòng Sau đại học trường Đại học Vinh và tất cả các bạn đồng nghiệp, đãgiúp đỡ và tạo điều kiện học tập, nghiên cứu cho tôi trong thời gian qua

Trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu mặc dù đã cố gắng, nỗ lựchết mình do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn này không tránhkhỏi những thiếu sót Kính mong nhận được sự chỉ bảo góp ý của quý thầy cô

và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 10 năm 2015

CHƯƠNG 1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Trong suốt luận văn này vành luôn được hiểu là vành có đơn vị (ký

hiệu 1) và các môđun là môđun phải unita trên vành R nào đó.

1.1 Môđun con cốt yếu

1.1.1 Định nghĩa Cho M là R-môđun phải và N là môđun con của M.

(1) Môđun con N được gọi là môđun con cốt yếu của M, Ký hiệu

*

N ⊆ M nếu với mọi môđun con khác không K ⊆M ta đều có K∩ ≠N 0

Khi đó ta cũng nói M là mở rộng cốt yếu của N

(2) Môđun con N của M được gọi là đóng trong M nếu N không có một

mở rộng cốt yếu thực sự trong M Nói cách khác N được gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con K khác không của M mà N ⊆*M thì K N=

(3) Môđun K của M được gọi là bao đóng của môđun con N trong M nếu K là môđun con tối đại trong M sao cho N⊆*K

(4) Nếu mọi môđun con khác không của môđun M là môđun con cốt yếu trong M thì M được gọi là môđun đều (uniform).

1.1.2 Ví dụ a) Cho M là R - môđun Ta luôn có M ⊆*M

b) Ta xét ¢ là ¢- môđun Mỗi môđun khác không của ¢ đều cốt yếu vì với

a¢, b¢ khác không đều có 0 ab a≠ ∈ ¢∩b¢, hay ¢ là môđun đều (trênvành ¢)

1.1.3 Mệnh đề i) Cho A M⊆ thì A⊆*M ⇔ ≠x 0, x M∈ thì A Rx∩ ≠0

ii) Cho A K⊆ ⊆M, khi đó A⊆*M ⇔ ⊆A *K và K ⊆*M.

iii) Cho f M: →N là một đồng cấu R-môđun và B M⊆ Nếu

*

B⊆ M thì f−1( )B ⊆*M Điều ngược lại không đúng.

iv) Giả sử , A B i i là các môđun con của M và A i ⊆*B i i, =1, n Khi đó

Chứng minh i) Điều kiện cần: Hiển nhiên.

Điều kiện đủ: Với mọi môđun B M⊆ ta cần chứng minh A B∩ ≠φ.Lấy x B x∈ , ≠0, xét < >= =x R {rx r R/ ∈ ⊂} B

Theo giả thiết ta có: A Rx∩ ≠0 nên với mọi B⊆M ta chứng minh

A B∩ ≠φ

ii) Giả sử A⊆* ,M lấy môđun con X bất kỳ của K mà A X∩ =0 Do

X ⊆K nên X ⊆M và A⊆*M nên X =0 Vậy A⊆* K

Ngược lại, nếu A⊆*K và K ⊆*M thì với môđun con X bất kỳ của

y≠ ) và x f∈ −1( )B , suy ra C∩ f−1( )B ≠0

Trường hợp 2: f C( ) ⊆M suy ra C∈f−1( )B Vì với mọi x C∈ nên ta

suy ra 0⊆*¢ Điều này vô lí..

Vậy trường hợp giao vô hạn không đúng Wv) Lấy X ⊆*M sao cho K∩ =X 0 Khi đó K∩ ⊕(A X) =A nên

K A∩ ⊕A X A= Mà K A/ ⊆*M A/ nên (A X⊕ )/A=0 hay A X⊕ = A.Vậy X =0 hay K ⊆*M. W

vi) Ta chứng minh 2 trường hợp

Trường hợp 1: I =n hữu hạn Sử dụng quy nạp ta cần chứng minhvới n=2

Cho A1⊆*M A1 2, ⊆*M2 và tồn tại A1⊕A2. Ta cần chứng minh

giao hai vế ta được A1⊕A2⊆*M1⊕M2.

Trường hợp 2: Với I bất kì, điều đầu tiên ta chứng minh ⊕I Mi Lấy

x∈∑I Mi suy ra x x= +1 x2+ + x k, x i∈M i, =1,k ( )* là hữu hạn Theo

trường hợp 1 suy ra tồn tại 1 2 ,

1.1.5 Mệnh đề Với mọi môđun con của môđun M luôn tồn tại môđun con B

của M sao cho A B⊕ cốt yếu trong M.

Chứng minh Đặt S={X ⊆M X: ∩ =A 0} Vì 0 S∈ nên S ≠φ

Ta sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm Lấy tập con sắp thứ tự tuyến tính

của S sao cho X1⊆X2⊆ ⊆ Xn⊆ * ( ) Khi đó

1

C Xi i

∞

=

U là môđun con của

M và là lân cận trên của ( )*

Lấy x A C∈ ∩ suy ra có một số k nào đó sao cho x Xk∈ Từ đây ta có

x A Xk∈ ∩ Vậy X =0 hay C∩ =A 0 Theo bổ đề Zorn S có phần tử tối đại

là B Ta cần chứng minh A B⊕ ⊆*M.

Thật vậy, Y∀ ⊆M thỏa mãn A B Y⊕ ∩ =0 Ta có A Y∩ =0 và0

B Y∩ =

Nếu có a A∈ và b B∈ , y Y∈ sao cho a b y= + thì y a b A B= ∈ ⊕ Suy

ra y=0 và a b= =0 Như vậy A⊕ ∩ =(B Y) 0 suy ra B Y S⊕ ∈ Do tính tối

đại của B nên Y =0 Vậy

c) Nếu :Mϕ →N là đồng cấu môđun và B⊂*N thì ϕ−1( )B ⊂* M

Chứng minh a) Giả sử E là môđun con khác không của C, thế thì E cũng là

môđun con của M và

E AI ≠ ⇒E BI ≠

Điều này chứng tỏ B⊆* C Wb) Ta tiến hành chứng minh bằng quy nạp theo n Với n=1 mệnh đề

đúng theo giả thiết Giả sử mệnh đề đúng với n−1, tức là 1 *

1

n

A A i M i

−

=

IGiả sử E≠0 là môđun con của M Do An cốt yếu trong M nên0

A nI E= Lại do A cốt yếu trong M nên

AI A nI E ≠ ⇒ A AI n⊂ M c) Giả sử E là một môđun con của M và

Điều này chứng tỏ ϕ−1 B( ) là cốt yếu trong M

1.1.7 Bổ đề Cho : Nϕ →M là một đẳng cấu môđun trên R khi đó môđun con L của N cốt yếu trong N ⇔ϕ( )L cốt yếu trong M.

Chứng minh Điều kiện cần Cho L⊆*N thì X∀ ⊆M sao cho ϕ( )L ∩ =X 0suy ra L∩ϕ−1( )X =ϕ−1( X∩ϕ( )L ) =ϕ−1( )0 =0 Do L⊆*N

Mặt khác ϕ đẳng cấu nên X =0 Vậy ϕ( )L ⊆*M

Điều kiện đủ Cho ϕ( )L ⊆*M thì ∀ ⊆X M sao cho L Y∩ =0 ϕ đẳng

1.2.1 Định nghĩa các điều kiện ( )C i của môđun

Cho M là một R-môđun Ta xét các điều kiện sau đối với môđun M.

( )C1 Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M, hay nói cách khác mọi môđun con đóng trong M là hạng tử trực tiếp của M

( )C2 Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M.

( )C3 Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và A B∩ =0 thì

A B⊕ cũng là hạng tử trực tiếp của M.

(1 −C1) Mỗi môđun con đều của M là cốt yếu trong một hạng tử trực

tiếp của M

Ta có các định nghĩa sau:

( )1 Một môđun M được gọi là CS-môđun (hay môđun extending), nếu

M thỏa mãn điều kiện ( )C1

( )2 Môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện ( )C1

1.2.3 Ví dụ 1 Xét ¢-môđun ¢ thì ta có

b) ¢không có điều kiện ( )C Thật vậy, ta có: 2 2¢ ¢≅ mà ¢⊆⊕¢

nhưng 2¢ không là hạng tử trực tiếp của ¢

2 ¢-môđun ¤ thỏa mãn tất cả các điều kiện ( )Ci ở trên Bởi vì ¤ là

môđun nội xạ Mà môđun nội xạ thì có đầy đủ các điều kiện ( )Ci

1.3 Môđun nội xạ

1.3.1 Định nghĩa Môđun M được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu

:

f X →M và với mỗi đơn cấu i: X →A của những R - môđun, tồn tại một

đồng cấu ':f A→M sao cho 'f i= f , nghĩa là biểu đồ sau giao hoán

1.3.2 Định lí Nếu Q= ∏I Qi thì Q là môđun nội xạ khi và chỉ khi Qi là nội

xạ với i I∈

Chứng minh ( )⇒ Giả sử Q là môđun nội xạ Giả sử : g A→B là một đơncấu và :f A→Qi là một đồng cấu với i I∈

Gọi µi :Q i→Q là phép nhúng chính tắc ta có µi f A: →Q là mộtđồng cấu Do Q nội xạ nên tồn tại một đồng cấu : k B→Q sao cho biểu

đồ sau giao hoán

0 A g B f

i Q

Điều này chứng tỏ Qi là nội xạ

( )⇐ Giả sử Qi là môđun nội xạ với i I∈ Xét biểu đồ giao hoán

0 A g B f

i Qi

Trong đó g đơn cấu, f là đồng cấu, iπ là phép chiếu chính tắc, còn hi

là đồng cấu có được do tính nội xạ của Qi, π =i f h g i . Khi đó theo tính chất

phổ dụng, tồn tại đồng cấu :h B→Q sao cho h hπ =i i , cụ thể b B∈

( ) ( ),

h b i =h b i ∀ ∈i I

Ta khẳng định rằng f =hg Thật vậy, với mọi a A∈ ta có

f a( )i =πi( f a( ) ) =h g a i ( ) =πi(hg a( ) ) =hg a( )i, ∀ ∈i I

⇒ f a( ) =hg a( )⇒ =f hg W

1.3.3 Hệ quả Mọi hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ là nội xạ.

1.3.4 Định lí Đối với một môđun QR có các điều kiện sau tương đương.

một phát biểu tương đương của mệnh đề ( )a

( )a ⇒( )b Do Q là nội xạ nên tồn tại đồng cấu : Bβ →Q sao cho biểu

đồ sau giao hoán

 →

→

↓

Nghĩa là βϕ =1Q Bởi vậy ϕ là chẻ ra.

( )b ⇒( )a Xét biểu đồ các đồng cấu môđun

f Q

 → →

↓

trong đó g là đơn cấu Gọi K là môđun con của Q B⊕ gồm tất cả các tập códạng ( f a( ), −g a( ) ), với mọi a A∈

Đặt N =(Q B K⊕ )/ ta có các đồng cấu : Bβ →N và γ :Q→N saocho hình vuông sau giao hoán

→

→

trong đó β ( ) ( )b = 0, ,b γ ( )q =( )q,0

Do g đơn cấu nên γ cũng đơn cấu khi đó theo giả thiết γ chẻ ra, tức là

tồn tại đồng cấu v N: →Q sao cho vγ =1Q Đặt h v= β :B→Q ta có

f =v fγ =v g hgβ = ,

Điều này chứng tỏ Q là nội xạ W

Theo định nghĩa, để xác định tính nội xạ của môđun Q ta cần chứng tỏ

sự tồn tại của đồng cấu h B: →Q, sao cho f =hg

1.3.5 Định lí (Tiêu chuẩn Baer) Môđun Q là nội xạ khi và chỉ khi đối với

mỗi iđêan phải U ⊂RR và mỗi đồng cấu : f U →Q đều tồn tại đồng cấu

: R

h R →Q sao cho hi= f, trong đó i là phép nhúng U vào R.

Chứng minh Hiển nhiên điều kiện đã nêu là điều kiện cần cho tính nội xạ của

môđun Ta cần chứng minh điều kiện đủ theo hai bước sau

Bước 1: Xét biểu đồ

Q

α ϕ

 → →

↓

trong đó α là đơn cấu Giả thiết rằng trong B tồn tại môđun con thực sự C

của B sao cho Imα ⊂C và tồn tại đồng cấu :Cγ →Q sao cho Ta khẳng

định rằng khi đó tồn tại môđun 1C của B, thực sự chứa C và tồn tại đồng cấu

ρ

→ →

↓ZBây giờ ta định nghĩa γ1 1:C →Q bởi quy tắc

Bước 2 Giả sử Co=Imα và αo là đẳng cấu của A lên Co , cảm sinh

bởi α Đặt γo=ϕα−01, ta có thể kéo dài lên B nhờ bước 1 và Bổ đề Zorn Cụ

Rõ ràng C o ⊂ ⊂D B. Hơn nữa, giã sử : Dδ →Q đặt tương ứng d a γ ( )d

với d C∈ , trong đó (C,γ )∈A Do ( )2 δ là đồng cấu mở rộng của γo Điều

này chứng tỏ (D,δ) là lân cận trên của A trong τ Bởi vậy theo Bổ đề Zorn,trong τ tồn tại phần tử tối đại, và do bước 1 phần tử tối đại phải bằng (B,ψ )

trong đó ϕ ψα= W

1.4 Môđun con bé

1.4.1 Định nghĩa Một môđun con B của môđun M được gọi là bé (hay là đối

cốt yếu) trong M và ký hiệu B<<M , Nếu với mọi môđun con L của M ,

3) Mỗi môđun con hữu hạn sinh trong ¤Z là đối cốt yếu trong ¤Z

Thật vậy, giả sử A là môđun con của ¤ , sinh bởi tập

1.4.3 Chú ý A<<M khi và chỉ khi với mọi E là môđun con thực sự của M,

A E+ cũng là môđun con thực sự của M

1.4.4 Bổ đề 1) Nếu trong M có dãy những môđun con A B C⊆ ⊆

3) Nếu : Mϕ →N là đồng cấu các môđun và A<<M thì ϕ( )A <<N

Chứng minh 1) Giả sử D là môđun con trong M sao cho A D M+ = Khi đó

B D M+ = và theo luật môđula ta có

3) Giả sử ϕ ( )A + =D N Với D là môđun con của N Ta chứng tỏ

Do A<<M nên ( )1 suy ra ϕ−1( )D =M. Bởi vậy

( )A ( )M D

Do đó N =ϕ ( )A + =D D, và ta có điều phải chứng minh W

1.4.5 Mệnh đề Đối với a MR∈ môđun con aR không là môđun con bé trong M khi và chỉ khi tồn tại môđun con tối đại K sao cho a K∉

Chứng minh.( )⇐ Nếu K là môđun con tối đại trong M và a K∉ thì

aR K M+ = Bởi vậy aR không là môđun con bé trong M

( )⇒ Để chứng minh phép kéo theo này ta sử dụng Bổ đề Zorn.

Đặt Γ là tập tất cả các môđun con B của M, B M≠ sao cho

aR B M+ =

Tập Γ ≠φ do aR không là môđun con bé Giả sử A là một dây chuyền

trong Γ (Theo quan hệ bao hàm) Khi đó dễ thấy

,

B o =UB B A∈

là lân cận trên của A Ta chứng tỏ B o ≠M Muốn vậy ta chứng minh a Bo∉ Thật vậy, nếu a Bo∈ thì a B∈ với B nào đó thuộc A Khi đó aR B⊆ và vìvậy

,

M aR B B= + =trái với giả thiết B M≠ Bởi vậy a Bo∉

Mặt khác, hiển nhiên B o+aR M= , nghĩa là Bo∈Γ Khi đó theo Bổ

đề Zorn trong Γ có phần tử tối đại K

Ta chứng tỏ K là môđun con tối đại trong M Thật vậy, giả sử có môđun con E của M sao cho K ⊆E và K E≠ Khi đó E∉Γ Đồng thời

M aR K= + ⊆aR E+ ⊆M ⇒aR E M+ =

Bởi vậy E M= , chứng tỏ K là tối đại trong M. W

CHƯƠNG 2 MÔĐUN SUY BIẾN VÀ MÔĐUN ĐỐI SUY BIẾN

2.1 Môđun suy biến

2.1.1 Bổ đề Cho môđun M Ký hiệu

Z( )M = {x M xI∈ / =0 với I là iđêan phải cốt yếu nào đó của R}.

Khi đó Z( )M là môđun con của M.

Dễ kiểm tra K RR∆ (K là iđêan phải của R) Xét đồng cấu:

Mặt khác xrK=0 Bởi vì lấy bất kỳ a K∈ ta có xra x ra= ( )∈ =xI 0.Vậy xr∈ Z( )M Hay Z( )M là môđun của M W

2.1.2 Định nghĩa : Đối với một môđun M

i) Ta gọi Z( )M là môđun con suy biến của M

ii) Nếu Z( )M =0 ta gọi M là môđun không suy biến

iii) Nếu Z( )M =M ta gọi M là môđun đối suy biến.

iv) 0 Z M≠ ( ) ≠M ta nói rằng M không phải là môđun không suy biến

và không phải là môđun suy biến.

vi) Vành R gọi là vành không suy biến phải (trái) nếu R - môđun phải

(trái) không suy biến

vii) Vành R gọi là suy biến phải (trái) nếu R - môđun phải (trái) suy

biến

viii) Vành R gọi là suy biến (không suy biến) là vành suy biến (không

suy biến) phải và suy biến (không suy biến) trái

Tổng quát ¢ - môđun ¢n thì Z( )¢n =¢n nghĩa là ¢n là môđun suybiến (trên vành ¢).

3) Xét ¢6 - môđun ¢6 (môđun ¢6 trên vành ¢6).

Do ¢6là vành chỉ có ¢6 cốt yếu trong ¢6 nên Z( )¢6 =0 (trong vành6

¢ ) Hay ¢6 không suy biến trên vành ¢6.

2.1.4 Mệnh đề a) M là môđun suy biến khi và chỉ khi M ≅ A B với A là

môđun nào đó và B là môđun cốt yếu trong A.

b) Nếu A là môđun suy biến, / A B là môđun suy biến thì B cốt yếu trong A.

Chứng minh a) Giả sử M là môđun suy biến Ta có M ≅F A , trong đó F là

môđun tự do và K là một môđun con của F Gọi { }xi i∈Τ là cơ sở của F hay

F x R i

i

= ⊕

∈Τ Do M suy biến nên F K là suy biến Vì thế với mỗi x i+ ∈K F K ,

tồn tại iđêan I i⊆*R R để (x i+K I) i =0,hay x I i i+ ⊆K K, với mọi i∈Τ Do

B⊆ A Ngược lại, giả sử M ≅ A B với A là môđun nào đó và B là môđun con

cốt yếu trong A Lấy bất kỳ a A∈ và gọi I = ∈{λ R a/ λ∈B}