Chuỗi fourier và tích phân fourier

Nếu một cách hình thức, ta thay việc tínhtổng các số hạng theo chỉ số n bằng việc lấy tích phân theo một tham số y, thì chuỗi Fourier sẽ được thay bởi tích phân Fourier.. F Chương 2: Trì

Chuyên ngành: Cử nhân Toán Tin

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn khoa học

TS TRẦN NHÂN TÂM QUYỀN

Đà Nẵng, 3/2014

Mục lục

Lời cảm ơn 3

Lời nói đầu 4

1 XẤP XỈ VỚI TÍCH CHẬP 6 1.1 Dãy Dirac 6

1.2 Định lý weierstrass 8

2 CHUỖI FOURIER 11 2.1 Tích Hermit và sự trực giao 11

2.2 Chuỗi Fourier và xấp xỉ đều 21

2.3 Hội tụ từng điểm 27

3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 31 3.1 Định nghĩa 31

3.2 Tiêu chuẩn của hội tụ 34

3.3 Tích phân phụ thuộc tham số 37

4 TÍCH PHÂN FOURIER 43 4.1 Không gian Schwartz 43

4.2 Công thức nghịch đảo Fourier 47

Kết luận 50

Tài liệu tham khảo 51

Lời cảm ơn!

Để thực hiện tốt đề tài khóa luận tốt nghiệp này, em đã nhận được sựgiúp đỡ tận tình của các Thầy, Cô khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm

Đà Nẵng và các bạn cùng khóa

Lời đầu tiên, em xin gửi tới Ban lãnh đạo khoa Toán, Trường Đại Học

Sư Phạm Đà Nẵng cùng quý thầy cô lời cảm ơn sâu sắc đối với công laodạy dỗ, giúp đỡ, truyền đạt những kinh nghiệm quý báu và tạo điều kiện

để em được phấn đấu trong suốt quá trình học tập tại trường

Đặc biệt, trong suốt quá trình làm khóa luận vừa qua, em đã nhận đựợc

sự quan tâm, hướng dẫn, giúp đỡ nhiệt tình của thầy TS Trần Nhân TâmQuyền - giảng viên trường Đại Học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng Em xinđược gửi tới thầy lời cảm ơn chân thành về những ý kiến đóng góp quýbáu Em xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến người thầy

đã dìu dắt em trong suốt thời gian qua để em hoàn thành tốt bài khóaluận này

Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã quan tâmgiúp đỡ, là nguồn động viên to lớn tiếp thêm sức mạnh để em có thể hoànthành tốt nhiệm vụ của mình

Em xin chân thành cảm ơn!

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Võ Thị Hồng Lê

Lời nói đầu!

Chuỗi Fourier(được đặt theo tên của nhà toán học Joseph Fourier(1768 -1830)) là một khái niệm quen thuộc trong toán học Chuỗi Fouriercủa một hàm tuần hoàn có dạngeinx, trong đó, elà số Euler và i là đơn vị

ảo Theo công thức Euler, các chuỗi này có thể được biểu diễn một cáchtương đương theo các hàm sin và hàm cos Nói một cách tổng quát, mộtchuỗi hữu hạn của các hàm lũy thừa của số ảo được gọi là một chuỗi lượnggiác Fourier là người đầu tiên nghiên cứu chuỗi lượng giác theo các côngtrình trước đó của Euler và Bernoulli

Fourier khi nghiên cứu sự truyền nhiệt đã tìm ra chuỗi các hàm lượnggiác có thể dùng để biểu diễn các hàm số khác Giả sử cho hàm f khảtích tuyệt đối trên trục số thực Nếu một cách hình thức, ta thay việc tínhtổng các số hạng theo chỉ số n bằng việc lấy tích phân theo một tham số

y, thì chuỗi Fourier sẽ được thay bởi tích phân Fourier

Đây là một lĩnh vực quan trọng trong toán học và có nhiều ứng dụngthiết thực trong vật lý, cơ học, kĩ thuật, công nghệ cho nên đã được quantâm nghiên cứu rất nhiều Các kết quả về lĩnh vực này vô cùng phong phú,

đa dạng và những gì chúng ta biết từ trước mới chỉ là những kiến thứcban đầu

Vì vậy, em đã chọn đề tài: ”Chuỗi Fourier và tích phân Fourier ” là đềtài khóa luận tốt nghiệp của em Mục đích của đề tài nhằm nghiên cứuphương pháp, sự hội tụ của tích phân, hiểu rõ như thế nào là chuỗi Fourier,tích phân Fourier và các biến đổi Fourier

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, khóa luận gồm có bốn chương:

F Chương 1: Tìm hiểu thế nào là dãy Dirac và định lý Weierstrass

F Chương 2: Trình bày về tích Hermit và sự trực giao, chuỗi Fourier vàxấp xỉ đều, hội tụ từng điểm bằng cách phát biểu các định lý, hệ quả, bổ

đề, chứng minh nó cùng với một số ví dụ cụ thể

F Chương 3: Trình bày định nghĩa về tích phân suy rộng, phát biểu, chứngminh các định lý về các tiêu chuẩn hội tụ, tích phân phụ thuộc tham số

và áp dụng giải các bài toán cụ thể.

F Chương 4: Phát biểu định nghĩa về không gian Schwarts, nêu các định

lý liên quan và đưa ra công thức nghịch đảo Fourier

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Võ Thị Hồng Lê

là phương pháp tổng quát, bây giờ ta sẽ mô tả.

Để thuận tiện, ta lấy tích phân cận −∞ đến ∞ Giả sử chúng ta chohàm g và bằng 0 ngoài đoạn [−c, c].Ta viết:

Dãy Dirac là dãy hàm {Kn} có giá trị thực và xác định trên R, thỏamãn các tính chất sau:

Tính chất 2 chính là diện tích của đường cong y = Kn(x) bằng 1 Tínhchất 3 nghĩa là diện tích tập trung gần 0 nếu n là đủ lớn.

Cho hàm Kn có đỉnh cao gần 0 khi n lớn sao cho diện tích đường cong

là 1 Ngoài ra, tất cả các ứng dụng của chương này và chương kế tiếp, hàm

Kn là hàm chẵn, nghĩa là Kn(−x) = Kn(x), ∀x ∈ R Đó là nguyên nhân

mà tại sao ta vẽ đồ thị đối xứng nhau qua trục tung

Như đã đề cập trước, trong ứng dụng của chương này, Kn sẽ bằng 0ngoài khoảng nào đó Nếu f là hàm liên tục từng mảnh và bị chặn Khi

đó chúng ta sẽ xác định được tích chập như sau:

fn(x) = Kn ∗ f (x) =

Z +∞

−∞

f (t)Kn(x − t)dt

Ta thấy dãy {fn} xấp xỉ tới f

Định lý 1.1.1 Cho f là hàm liên tục từng mảnh trong R và f bị chặn.Với mỗi n, đặt fn = Kn ∗ f S là một tập con compact trong R mà f liêntục Khi đó dãy {fn} hội tụ đều đến f trong S

Chứng minh Đổi biến, ta có:

Hàm Kn được sử dụng lấy tích phân như tích chập gọi là hàm nhân.Qua phép biến đổi f làm hàm fn xấp xỉ tới f và có nhiều tính chất hơn

f Ta sẽ thấy rõ hơn trong các bài tập cũng như ở chương tiếp theo

1.2 Định lý weierstrass

Ta ứng dụng Định lý 1.1.1 trong trường hợp đặc biệt

Định lý 1.2.1 Cho f là hàm liên tục trên [a, b] Khi đó f xấp xỉ đều với

đa thức nào đó trên [a, b]

Chứng minh Đầu tiên ta sẽ cắt giảm một số trường hợp mà có thể ápdụng Định lý 1.1.1, đặc biệt là Kn Giả sử a 6= b Cho

u = x − a

b − a, a ≤ x ≤ b.

Thì x = (b − a)u + a và 0 ≤ u ≤ 1 Cho

g(u) = f (b − a)u + a

Nếu ta tìm được một đa thức P trên [0, 1] sao cho:

|P (u) − g(u)| ≤ ε, ∀u ∈ [0, 1],

thì

≤ ε

với a ≤ x ≤ b và P



x−a b−a

Tiếp theo, cho cn là hằng số thích hợp lớn hơn 0, và cho

(1 − t2)ndt =

Z 1 0

(1 + t)n(1 − t)ndt

≥

Z 1 0

(1 − t)ndt = 1

n + 1.

(1 − t2)n

cn dt ≤

Z 1 δ

f (t)gi(t)dt

Định lý Weierstrass được chứng minh

Hàm Kn sử dụng trong chứng minh gọi là nhân Landau

Cho E là không gian vectơ trên C Một tích Hermit trên E là một ánh

xạ E × E → C, ký hiệu bởi:

(v, w) → hv, wi

thỏa mãn các điều kiện sau:

1 Ta có:hv, wi = hw, vi, ∀v, w ∈ E (biểu diễn dạng liên hợp phức)

2 Nếu u, v, w là các phần tử của E thì

hu, v + wi = hu, vi + hu, wi

3 Nếu α ∈ C thì

hαu, vi = αhu, vi và hu, αvi = αhu, vi

Ngoài ra, ta sẽ giả định rằng tích Hermit sẽ thỏa mãn điều kiện

Ví dụ 2.1.1 Đây là ví dụ mà chúng ta quan tâm trong suốt chương này.ChoE là không gian vectơ của hàm giá trị phức trên R liên tục từng mảnh

và tuần hoàn với chu kì 2π Do đó, đây là những điều cơ bản các hàm liêntục từng mảnh trên đường tròn, như chúng ta đã nói Nếu f, g ∈ E, tađịnh nghĩa:

Cho ER là không gian của hàm có giá trị thực trong E Do đó ER làkhông gian của hàm có giá trị thực liên tục từng mảnh với chu kì2π Nếu

f có giá trị phức và f = f1+ if2, được phân thành phần thực và phần ảo,khi đó f ∈ E nếu và chỉ nếu f1, f2 ∈ ER Đây là điều hiển nhiên

einx = cos(nx) + i sin(nx)

Ta quay trở lại với trường hợp chung của không gian vectơ E với tíchHermit Cho E0 gồm tất cả các phần tử v ∈ E sao cho v ∈ E⊥, thì

hv, wi = 0 với ∀w ∈ E Khi đó E0 là một không gian con, sẽ được gọi làkhông gian rỗng của tích Hermit

Ví dụ 2.1.2 Nếu E là không gian của hàm cho trước, và f ∈ E sao cho

Chúng ta biết rằng nếu g là liên tục tại một điểm và khác 0 tại điểm đó,

và nếu g ≥ 0, thì tích phân của nó là lớn hơn 0 Do đó chúng ta kết luậnrằng |f |2 bằng 0 trừ một số điểm hữu hạn Vậy f bằng 0 trừ một số điểmhữu hạn Ngược lại, nếu f có tính chất này thì hf, gi = 0 với ∀g ∈ E Vìvậy E0 gồm tất cả các hàm bằng 0 trừ một số điểm hữu hạn Nói chung

Nếu Rehv, wi 6= 0 thì chúng ta lấy t rất lớn trái dấu với Rehv, wi Thì

hv, vi + 2tRehv, wi là âm, mâu thuẫn Do đó Rehv, wi = 0 Điều đó đúngvới ∀v ∈ E Do đó Rehiv, wi = 0 với ∀v ∈ E, và Imhv, wi = 0 Do đó

Lưu ý: α =k w k2 Thay thế các giá trị của α, β, ta được:

0 ≤k w k4k v k2 −2 k w k2 hv, wihv, wi+ k w k2 hv, wihv, wi

Mặt khác hv, wihv, wi = |hv, wi|2 Do đó

k w k2 |hv, wi|2 ≤k w k4k v k2

Nếu k w k= 0, thì w ∈ E0 do định lý 2.1.1 và bất đẳng thức Schwarz làhiển nhiên Nếu k w k6= 0, thì ta chia cả hai vế cho k w k2, và lấy căn bậchai cả hai vế thì ta sẽ được kết quả của định lý 2.1.2.

Định lý 2.1.3 Cho hàm v 7→k v k là một nửa chuẩn trên E, khi đó:

lấy căn bậc hai ở cả hai vế ta được điều cần chứng minh

Một phần tử của E được gọi là một vectơ đơn vị nếu k v k= 1 Nếu

k v k6= 0 thì kvkv là một vectơ đơn vị

Nhận xét 2.1.1 Trong không gian hàm, chúng ta có thể dùng chuẩn sup,nhưng chúng ta cũng có nửa chuẩn sinh từ tích Hermit Chúng ta sẽ kýhiệu chuẩn sup bởi k k như trước đây, hoặc là k k0, nhưng ta ký hiệu nửachuẩn theo định lý 2.1.3 bởi k k2 Cho hàm f bất kì, ta có:

cho nửa chuẩn của tích Hermit

Cho w là một phần tử thuộc E sao cho k w k 6= 0, và cho v ∈ E Cótồn tại một số c duy nhất sao cho v − cw ⊥ w Thật vậy, v − cw ⊥ w nên

Ngược lại, khi c có giá trị như trên thì v − cw là trực giao với w Ta gọi c

là hệ số Fourier của v tương ứng với w

Ví dụ 2.1.3 Đối với trường hợp không gian hàm, nếu f là một hàm, thì

hệ số Fourier tương ứng với χn là:

cn = 12π

Z π

−π

f (x)e−inxdx

Ta sử dụng a0, an, bn = a−n để ký hiệu hệ số Fourier của f tương ứng với

1, cos nx, và sin nx, vì vậy:

Ví dụ cụ thể, ta xác định hệ số Fourier của hàm f (x) = x tương ứngvới sin nx Ta có:

bn = 1π

Z 2π 0

Ta thấy chuỗi hội tụ khi 0 ≤ x ≤ 2π

Dĩ nhiên, để xác định phép chiếu v theo w là vectơ cw, như hình sau:

Cho v1, , vn là các phần tử của E mà không chứa trong E0, và trực giaotừng đôi một, đó là hvi, vji = 0 nếu i 6= j Cho ci là hệ số Fourier của v

tương ứng với vi Khi đó:

v1, , vn.

Ứng dụng này, chúng ta thử một dạng trực giao tương ứng với một dãy

vô hạn các vectơ {v1, v2, } Sau đó đi nghiên cứu vấn đề hội tụ, và trongthực tế có ba vấn đề hội tụ: tương ứng với chuẩn L2, tương ứng với chuẩnSup, và tương ứng với hội tụ theo từng điểm Nghiên cứu những vấn đềnày, và mối quan hệ của nó và từ đó đưa ra lí thuyết của chuỗi Fourier.Trong mục này ta tiếp tục suy ra một số phát biểu đơn giản mà thỏamãn trong không gian vectơ với tích Hermit của nó

Cho {vn} là dãy các phần tử của E sao cho k vn k6= 0, ∀n Với mỗi n,cho Fn là không gian con của E được sinh bởi {v1, , vn} Cho F là hợpcủa tất cả Fn, đây là tập hợp các phần tử của E được viết dưới dạng:

kvnk 6= 0, ∀n Ta nói rằng nó là một họ trực chuẩn nếu nó trực giao vànếu kvnk = 1, ∀n Ta có thể thu được một họ trực chuẩn từ họ trực giaobằng cách chia mỗi vectơ theo độ dài của nó

Nếu{vn} là một họ trực giao và nếuF là một không gian sinh bởi {vn},thì {vn} là toàn phần trong F Thật vậy, nếu

Định lý tiếp theo khẳng định rằng, nếu ta thử xấp xỉ một phần tử v của

E bởi sự tổ hợp tuyến tính của v1, , vn, sau đó xấp xỉ gần nhất được đưa

ra bởi sự kết hợp với hệ số Fourier, ”gần nhất” là được lấy tương ứng vớichuẩn L2.

Định lý 2.1.4 Cho {vn} là một họ trực giao trong E Cho v ∈ E, và cho

cn là hệ số Fourier của v tương ứng với vn Cho {an} là một họ các số.Khi đó:

Định lí 2.1.4 sẽ được sử dụng để suy ra sự hội tụ trong E Mặc dù k k

chỉ là nửa chuẩn, chúng ta tiếp tục sử dụng cùng một ngôn ngữ mà ta đãlàm rõ ràng với chuẩn, liên quan đến điểm, chuỗi hội tụ,v v [Trên thực

tế, chúng ta cũng có thể xét với các lớp tương đương của các phần tử của

E, nói rằng v tương đương với w nếu tồn tại u ∈ E0 sao cho v = w + u.Chúng ta có thể thực hiện tương đương lớp của các phần tử vào một khônggian vectơ, xác định tích Hermit trong không gian vectơ, và xác định k k

trong không gian vectơ của lớp tương đương Khi đó k k trở thành mộtchuẩn trong không gian vectơ Tuy nhiên, chúng ta sẽ sử dụng ngôn ngữkhác đơn giản và thuận tiện hơn.]

Định lý 2.1.5 Cho {vn} là một họ trực chuẩn Cho v ∈ E, và cho cn là

hệ số Fourier của v tương ứng với vn Khi đó tổng riêng của chuỗi P

Chứng minh Hiển nhiên

Chuỗi Pcnvn được gọi là chuỗi Fourier của v tương ứng với họ {vn}

Ví dụ 2.1.4 Đầu tiên, xét trường hợp của hàm {χn} = einx , với n ∈ Z.

Tổng riêng của chuỗi Fourier

Chúng ta đã biết rằng chuỗi Fourier trên hội tụ tuyệt đối theo L2, nhưngchúng ta muốn nghiên cứu sự hội tụ đó với các chuẩn khác.

Ngay lập tức chúng ta kiểm tra rõ ràng, nếu {an}n∈Z là hệ số Fouriercủa f tương ứng với họ {ϕn}n∈Z, thì

2.2 Chuỗi Fourier và xấp xỉ đều

Chuỗi Fourier của một hàm khả tích tuần hoàn trên đoạn [−π, π] làchuỗi lượng giác:

Bây giờ ta kiểm tra ví dụ 2.1.1 ở bài 2.1 một cách chi tiết hơn Ta cho

E là không gian vectơ của hàm f liên tục từng khoảng trên R mà tuầnhoàn với chu kì2π và cho ER là không gian của hàm giá trị thực trong E

Nhiệm vụ đầu tiên của ta sẽ thực hiện qua định lý Weierstrass ( đa thứclượng giác) Có một hệ quả trực tiếp thực tế rằng họ {ϕn}n∈Z và {χn}n∈Z

là toàn phần Sau đó, ta đưa ra một cách chứng minh độc lập định lý xấp

xỉ với đa thức lượng giác từ đầu, theo phương pháp của dãy Dirac

Định lý 2.2.1 Cho f là một hàm liên tục tuần hoàn với chu kì 2π, có hệ

là không đều và đưa ra các kết luận cụ thể Dựa trên bổ đề dưới đây

Bổ đề 2.2.1 Cho f là hàm liên tục từng mảnh trên [a, b] Cho ε, tồn tạihàm g liên tục trên [a, b] sao cho

Z b a

|f (x) − g(x)|dx < ε

Nếu f (a) = f (b), chúng ta chọn g sao cho g(a) = g(b)

Chứng minh Giả sử f không liên tục tại một điểm

a = a0 < a1 < < am = b

Lấy δ nhỏ, và xét một khoảng δ quanh mỗi ai Ta thay đổi f bởi hàm g

khác bằng cách thay đổi các giá trị của f chỉ trong khoảng δ Giả sử ai

không phải là điểm cuối Cho g là hàm tuyến tính có giá trị f (ai − δ) tại

ai− δ và bằng 0 tại ai trong [ai− δ, ai]

Tương tự, cho g có giá trị bằng 0 tại ai, giá trị f (ai + δ) tại ai + δ vàtuyến tính trên [ai, ai + δ] Tại các điểm cuối, chúng ta xác định g theocách tương tự Trên khoảng δ quanh ai, g giống như:

Khi đó chuẩn Sup kf − gk0 là bị chặn bởi kf k0, và f (x) = g(x) trừ khi x

nằm trong khoảng δ Một phần của tích phân

Z b a

|f − g|

lấy trong khoảng δ

Vậy ta ước tính rằng

Z b a

|f − g| ≤ 2mδkf − gk0

Bổ đề được chứng minh

Giả sử rằng f là hàm thực, liên tục từng mảnh, tuần hoàn và tất cảcác hệ số Fourier đều bằng 0 Do đó hf, ϕni = 0 cho tất cả hàm ϕn Nếu

P là đa thức lượng giác bất kì, P là một tổ hợp tuyến tính của ϕn với hệ

số hằng và hf, P i = 0 Cho g là liên tục và xấp xỉ đến f như trong bổ đề.Cho P là đa thức lượng giác xấp xỉ đều tới g Ta có:

Z π

−π

f (f − g)

Lấy ε, tích phân thứ hai được tính bởi Sup, và tích phân thứ ba bằng 0bởi giả thuyết Do đó

Nếu f, g là tuần hoàn với chu kì 2π, ta định nghĩa

Ta thấy rằng nhân Fejer là trung bình cộng của nhân Dirichlet Nhân Fejer

là dãy Dirac, nhưng nhân Dirichlet thì không

Ta kí hiệu sn là tổng thứ n của chuỗi Fourier của hàm f.(Ta có thể viết

Chứng minh Với nhân Dirichlet, ta có

e−ik(x−t) = e−ikxeikt

và lấy tích phân e−ikx Công thức được rút ra từ định nghĩa Các khẳngđịnh liên quan đến f ∗ Kn tương tự và cũng không kém phần rõ ràng.Bây giờ ta sẽ phân tích nhân Fejer sử dụng lượng giác và chứng minhrằng nó là dãy Dirac

eix/2(e−ix/2 − eix/2) .

Ta nhân cả hai vế với eix/2 và cho phần ảo của hai vế bằng nhau, khi đó

Ta thấy rằng

sin2nx/2sin2x/2 = n +

2.2 Chuỗi Fourier xấp xỉ đều

Chuỗi Fourier hàm khả tích tuần hồn đoạn [−π, π] l? ?chuỗi lượng giác:... e−ikxeikt

và lấy tích phân e−ikx Cơng thức rút từ định nghĩa Các khẳngđịnh liên quan đến f ∗ Kn tương tự không phần rõ ràng.Bây ta phân tích nhân Fejer sử dụng... class="text_page_counter">Trang 24

Lấy ε, tích phân thứ hai tính Sup, tích phân thứ ba 0bởi giả thuyết Do đó

Nếu f, g tuần hồn với chu kì 2π, ta định