tóm tắt luận án tiến sĩ một số vấn đề về phép tính vi phân và tích phân trong giải tích không trơn và lý thuyết tối ưu

Viện khoa học và công nghệ Việt namViện Toán học ---nguyễn huy chiêu Một số vấn đề về phép tính vi phân và tích phân trong giải tích không trơn và lý thuyết tối ưu Chuyên ngành: Lý thuy

Viện khoa học và công nghệ Việt nam

Viện Toán học

-nguyễn huy chiêu

Một số vấn đề về phép tính vi phân và tích phân trong giải tích không trơn

và lý thuyết tối ưu

Chuyên ngành: Lý thuyết tối ưu Mã số: 62 46 20 01

Tóm tắt luận án tiến sĩ toán học

Hà Nội - 2011

Công trình này được hoàn thành tại Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệViệt Nam

Luận án được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Viện

họp tại Hội trường Viện Toán học

vào hồi 8 giờ 30 ngày 07 tháng 04 năm 2011

Có thể tìm hiểu luận án tại: Thư viện Viện Toán học,

Thư Viện Quốc gia Việt Nam

R T Rockafellar và các nhà toán học khác, quy hoạch lồi - dựa trên giải tíchlồi - đã trở thành một phần quan trọng và đẹp đẽ của lý thuyết tối ưu.

Năm 1973, F H Clarke đưa ra những khái niệm cơ bản dẫn đến lý thuyết viphân suy rộng cho hàm số Lipschitz địa phương Đây là một bước tiến quan trọngcủa giải tích không trơn Lý thuyết này bao hàm được lý thuyết vi phân cổ điển

và lý thuyết vi phân suy rộng cho hàm lồi Lipschitz địa phương Cuối thập niên

70 đầu thập niên 80, lý thuyết vi phân suy rộng Clarke đã được R T Rockafellar,J.-B Hiriart-Urruty, J.-P Aubin và một số nhà toán học khác phát triển cho cáchàm nhận giá trị thực suy rộng Chỉ sau 10 năm (1973-1983), lý thuyết vi phânsuy rộng Clarke đã đạt được nhiều thành tựu quan trọng cả về mặt lý thuyết cũngnhư về ứng dụng

Trong nỗ lực để thu được các điều kiện cần cực trị của bài toán điều khiển tối

ưu có tập ràng buộc điểm cuối được cho dưới dạng hình học, năm 1976 B S dukhovich đã đưa ra định nghĩa nón pháp tuyến và dưới vi phân qua giới hạn Đây

Mor-là mốc quan trọng đánh dấu sự ra đời của một lý thuyết vi phân suy rộng mới: lýthuyết vi phân suy rộng Mordukhovich Giai đoạn 1993-1996, có nhiều kết quảquan trọng của lý thuyết này được công bố Tiêu chuẩn Mordukhovich cho tínhliên tục Aubin của các ánh xạ đa trị trở thành một công cụ hữu hiệu để nghiêncứu tính ổn định nghiệm của các phương trình suy rộng Ngày nay lý thuyết viphân suy rộng Mordukhovich vẫn tiếp tục phát triển và đóng một vai trò trungtâm trong giải tích đa trị và biến phân

Năm 1965, R J Aumann định nghĩa tích phân của ánh xạ đa trị như là tập hợpcác giá trị tích phân của các lát cắt khả tích của ánh xạ đa trị đó Dưới vi phâncủa một hàm số là một ánh xạ đa trị đặc biệt, có vai trò tương tự như đạo hàm

ở trong lý thuyết vi phân cổ điển Trong lý thuyết tích phân Lebesgue, người ta

đã chứng minh rằng nếu f : [a, b] → R là hàm số Lipschitz (hoặc, tổng quát hơn,

là hàm liên tục tuyệt đối) xác định trên đoạn [a, b] ⊂ R, thì công thức Leibniz Rb

Newton-a f0(t)dt = f (b) − f (a) nghiệm đúng Vấn đề được đặt ra ở đây là: Vếphải của công thức này sẽ như thế nào nếu đạo hàm Fréchet f0(ã) và tích phânLebesgue tương ứng được thay bởi dưới vi phân Clarke ∂Clf (ã) (hoặc dưới vi phânMordukhovich ∂f(ã)) và tích phân Aumann?

Phiếm hàm tích phân là một khái niệm cơ bản xuất hiện trong nhiều hướngnghiên cứu lý thuyết và ứng dụng toán học (như phương trình vi phân, bao hàmthức vi phân, giải tích hàm cơ sở, lý thuyết toán tử, quy hoạch toán học, bài toánbiến phân, điều khiển tối ưu) Đó là hàm số có dạng

tụ của các thuật toán, Chính vì vậy, việc nghiên cứu các tính chất vi phân củaphiếm hàm tích phân là một đề tài thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toánhọc

Để làm rõ hơn ý nghĩa của việc nghiên cứu các tính chất vi phân của phiếmhàm tích phân, chúng ta cần nhắc lại một kết quả cơ bản trong lý thuyết tối ưu,

đó là qui tắc nhân tử Lagrange Xét bài toán qui hoạch toán học

(P) min{f (x) | x ∈ X, gi(x) ≤ 0 ∀i ∈ I, hj(x) = 0 ∀j ∈ J },

ở đó X là không gian Banach, I và J là các tập hữu hạn các chỉ số, f, gi, hj làcác hàm xác định trên X, nhận giá trị trong tập số thực suy rộng

Qui tắc nhân tử Lagrange 1 Nếu ¯x là nghiệm địa phương của (P) và nếu

f, gi (i ∈ I), hj (j ∈ J ) là Lipschitz địa phương tại ¯x, thì tồn tại các nhân tửLagrange λ0 ≥ 0, λi ≥ 0 (i ∈ I), àj ∈ R (j ∈ J) không đồng thời bằng 0 saocho

và λigi(¯x) = 0 ∀i ∈ I, ở đó ∂Cl ký hiệu dưới vi phân Clarke (Xem Chương 6,

tr 228, trong cuốn sách "Optimization and Nonsmooth Analysis", Wiley-Interscience,

1983, của F H Clarke)

Qui tắc nhân tử Lagrange 2 Nếu X là không gian Asplund, ¯x là nghiệm địaphương của (P), và nếu f, gi (i ∈ I), hj (j ∈ J ) là Lipschitz địa phương tại ¯x,

với ∂ ký hiệu dưới vi phân Mordukhovich, và điều kiện λigi(¯x) = 0 ∀i ∈ I,

được thoả mãn (Xem Chương 5, tr 33, trong cuốn sách "Variational sis and Generalized Differentiation, Vol II: Applications", Springer, 2006, của

Analy-B S Mordukhovich)

Rõ ràng rằng, khi một hoặc một số hàm xác định bài toán (P) là phiếm hàmtích phân thì chúng ta chỉ có thể sử dụng được qui tắc nhân tử Lagrange 1 (tươngứng, qui tắc nhân tử Lagrange 2) nếu ta biết cách tính toán chính xác hoặc ướclượng trên các dưới vi phân Clarke (tương ứng, dưới vi phân Mordukhovich) củacác phiếm hàm tích phân

Bài toán ước lượng dưới vi phân Clarke của phiếm hàm tích phân đã đượcnghiên cứu ở Mục 2.7 trong cuốn sách "Optimization and Nonsmooth Analysis"(1983) của F H Clarke Vấn đề được đặt ra tiếp theo là: Tính toán hoặc ướclượng dưới vi phân Mordukhovich của G(ã) Trong trường hợp tổng quát, bài toánnày cho đến nay vẫn chưa có lời giải

Mục đích chính của luận án này là khảo sát mối quan hệ giữa phép tính tíchphân và phép tính vi phân trong giải tích không trơn và lý thuyết tối ưu trên cơ sởnghiên cứu hai bài toán đặt ra ở trên Việc nghiên cứu theo đề tài luận án đượcthực hiện bằng cách sử dụng một số kiến thức và kỹ thuật của lý thuyết tối ưu,giải tích hàm, giải tích không trơn, giải tích đa trị và biến phân

Ngoài phần mở đầu, luận án gồm 4 chương, phần kết luận, và danh sách 63 tàiliệu tham khảo

Chương 1 nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản trong lý thuyết vi phânsuy rộng và lý thuyết tích phân của các ánh xạ đa trị Các kiến thức này là cơ sởcho việc khảo sát được trình bày ở những chương tiếp theo

Chương 2 nghiên cứu bài toán tính toán hoặc ước lượng tích phân của các ánhxạ dưới vi phân Mục 2.1 được dành cho tích phân của ánh xạ dưới vi phân Clarke.Mục 2.2 xét tích phân Aumann của ánh xạ dưới vi phân Mordukhovich

Chương 3 nghiên cứu bài toán tính dưới vi phân Mordukhovich của phiếmhàm tích phân Mục 3.1 khảo sát dưới vi phân Mordukhovich của tích phân bất

định Mục 3.2 giới thiệu các công thức tính dưới vi phân Fréchet và dưới vi phânMordukhovich của các phiếm hàm tích phân trên L1(Ω; E) Các kết quả đó dẫn

đến một tiêu chuẩn tồn tại nghiệm địa phương của bài toán tối ưu không ràngbuộc, với hàm mục tiêu là phiếm hàm tích phân

Chương 4 nghiên cứu miền giá trị của ánh xạ dưới vi phân Fréchet Mục 4.1

được dành cho trường hợp không gian Banach phản xạ, ở đây các đặc trưng củakhông gian phản xạ sẽ được đưa ra Mục 4.2 khảo sát miền giá trị của ánh xạdưới vi phân Fréchet cho trường hợp không gian Asplund Mục 4.3 trình bày một

số kết quả về sự tồn tại điểm dừng và sự tồn tại nghiệm của bài toán nhiễu củamột bài toán tối ưu phi tuyến trong không gian vô hạn chiều dưới tác động củanhiễu tuyến tính

Việc đánh số của các chương, mục, định lý, công thức, trong bản tóm tắt này

được giữ nguyên như ở trong luận án

Cho f : X → ¯R := [−∞, +∞] là một hàm trên không gian Banach thực X Ta

ký hiệu không gian đối ngẫu tôpô của X bởi X∗ và cặp đối ngẫu giữa X∗ và X bởi

hx∗, xi Hình cầu đơn vị đóng trong không gian X và trong không gian đối ngẫu

X∗ được ký hiệu tương ứng bởi BX và BX ∗ Đối với ánh xạ đa trị G: X ⇒ X∗,

Dưới vi phân Clarke của f tại x là tập hợp

∂Clf (x) :=

n

ξ∗ ∈ X∗ | hξ∗, vi 6 f0(x; v) ∀v ∈ X

o

Đạo hàm theo hướng của f tại x theo hướng v ∈ X, ký hiệu là f0(x; v), đượcxác định bởi

f0(x; v) := lim

t→0 +

f (x + tv) − f (x)

nếu giới hạn ở vế phải tồn tại

Định nghĩa 1.1.2 Cho f là một hàm số Lipschitz địa phương tại x ∈ X Ta nóirằng f là chính qui Clarke tại x nếu với mọi v ∈ X đạo hàm theo hướng f0(x; v)tồn tại và f0(x; v) = f0(x; v)

Định nghĩa 1.1.3 Với mỗi ε ≥ 0, ε-dưới vi phân Fréchet của f tại x ∈ X mà

Nếu |f(x)| = ∞ thì đặt b∂εf (x) = ∅ Khi ε = 0, tập b∂0f (x) được ký hiệu bởib

∂f (x) và được gọi là dưới vi phân Fréchet của f tại x Tập hợp

∂f (x) := Lim sup

u−→f x ε↓0

b

∂εf (u)

được gọi là dưới vi phân Mordukhovich (hay dưới vi phân qua giới hạn) của hàm

f tại x

Hàm chỉ của một tập Ω ⊂ X được cho bởi công thức δ(x; Ω) = 0 nếu x ∈ Ω

và δ(x; Ω) = +∞ nếu x ∈ X\Ω Nón pháp tuyến Fréchet và nón pháp tuyến quagiới hạn (nón pháp tuyến Mordukhovich) của Ω tại x ∈ X tương ứng được địnhnghĩa bởi N (x; Ω) := bb ∂δ(x; Ω) và N(x; Ω) := ∂δ(x; Ω)

Dưới vi phân Fenchel của f tại x ∈ X với f(x) ∈ R là tập hợp

∂F enf (x) := {x∗ ∈ X∗ | f (u) − f (x) ≥ hx∗, u − xi ∀u ∈ X}

Hàm số f : X → ¯R được gọi là nửa liên tục dưới tại điểm x ∈ X nếu

f (x) 6 lim inf

u→x f (u), ở đây lim inf

u→x f (u) := sup

U ∈N (x)

inf

u∈Uf (u) với N (x) là họ tất cảcác tập mở của X có chứa x Ta nói f nửa liên tục dưới địa phương tại x nếu tồntại U ∈ N (x) sao cho f nửa liên tục dưới tại mọi điểm u ∈ U

Nếu tôpô sinh bởi chuẩn của X được thay bằng tôpô yếu của X thì tương ứng

ta có các khái niệm nửa liên tục dưới yếu tại một điểm và nửa liên tục dưới yếu

Cho (Ω, A, à) là một không gian có độ đo σ−hữu hạn đầy đủ và G : Ω ⇒ Rn

là một ánh xạ đa trị từ Ω vào Rn có giá trị đóng khác rỗng Ta nói rằng G là đo

được nếu G−1(W ) := {ω ∈ Ω | G(ω) ∩ W 6= ∅} ∈ A với mọi tập mở W ⊂ Rn;

G là giới nội khả tích nếu tồn tại một hàm không âm k(ã) ∈ L1(Ω) sao choG(ω) ⊂ k(ω)BRn hầu khắp nơi trên Ω, ở đây L1(Ω) là không gian các hàm khảtích từ Ω vào R

2.1 Tích phân của ánh xạ dưới vi phân Clarke

Mục này giới thiệu công thức biểu diễn tích phân Aumann-Gelfand của ánh xạdưới vi phân Clarke, các điều kiện cần và đủ để tích phân này là đơn trị, và mộtdạng tương tự của công thức Newton-Leibniz cổ điển cho trường hợp tích phân

đa trị Công thức dạng Newton-Leibniz ở đây cho phép đưa ra một chứng minhmới cho kết quả đã biết về khả năng đặc trưng hàm số của ánh xạ dưới vi phânClarke

Định lý 2.1.1 Cho X là một không gian Banach khả ly, (X, A, à) là một khônggian có độ đo, ở đây A là một σ-đại số chứa tất cả các tập mở của X Giả sử

(2.1)

ở đó F (v) := RΩf0(x; v)dà(x)

Tích phân RΩ∂Clf (x)dà(x) ở trong công thức (2.1) được hiểu là tích phânAumann-Gelfand; nghĩa là ξ∗ ∈ R

Ω∂Clf (x)dà(x) nếu và chỉ nếu ξ∗ ∈ X∗ và tồntại ánh xạ x 7→ ξ∗

x từ Ω vào X∗ sao cho ξ∗

x ∈ ∂Clf (x) hầu khắp nơi, và với mỗi

(iii) f được gọi là khả vi chặt Fréchet tại x0 nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tínhliên tục f0(x0) : X → Y sao cho

lim

x,x 0x6=x −→ x0 0

kf (x) − f (x0) − f0(x0)(x − x0)k

kx − x0k = 0.

Khi đó f0(x0) được gọi là đạo hàm chặt Fréchet của f tại x0

Nhận xét 2.1.1 Nếu f là khả vi chặt Fréchet tại x0 thì f khả vi chặt Hadamardtại x0 và f0(x0) = Dsf (x0) Chiều ngược lại cũng đúng nếu X là không gian hữuhạn chiều

Nếu X là một không gian hữu hạn chiều, thì chúng ta sử dụng thuật ngữ "khả

vi chặt" thay cho các thuật ngữ "khả vi chặt Fréchet" và "khả vi chặt Hadamard"

(ii) với mỗi v ∈ Rn, hf0(x), vi = f0(x; v) hầu khắp nơi trên Ω;

(iii) f là chính qui Clarke hầu khắp nơi trên Ω;

(iv) f là khả vi chặt hầu khắp nơi trên Ω

Nếu một trong các tính chất (i)-(iv) nghiệm đúng, thì

Kết quả tiếp theo là một dạng tương tự công thức Newton-Leibniz cổ điển

Rb

a f0(t)dt = f (b) − f (a) Chúng ta thu được ở đây cho trường hợp đạo hàmFréchet f0(x) và tích phân Lebesgue tương ứng được thay bằng dưới vi phânClarke ∂Clf (x) và tích phân Aumann

Định lý 2.1.3 Nếu f : [a, b] → R (a, b ∈ R, a < b) là một hàm Lipschitz, thì

nghiệm đúng khi và chỉ khi f là khả vi chặt hầu khắp nơi trên [a, b]

Tập hợp ở vế phải của công thức (2.6) có thể chứa vô hạn phần tử

Ví dụ 2.1.1 Giả sử {rk}k∈N là tập tất cả các số hữu tỷ trong khoảng (a, b) ⊂ R,

a < b Với mỗi k ∈ N, lấy δk > 0 sao cho (rk − δk, rk + δk) ⊂ (a, b) và δk <

2−(k+3)(b − a) Đặt A = ∪∞

k=1(rk− δk, rk+ δk) và P = [a, b]\A Vì A là một tập

mở trong R nên P là một tập đóng và A = ∪∞

j=1(aj, bj), với {(aj, bj)}j∈N là một

dãy các khoảng mở đôi một rời nhau Xét hàm số f : [a, b] → R được cho bởicông thức

Định lý 2.1.4 Giả sử X là một không gian Banach và f, g : X → R là các hàmLipschitz địa phương Khi đó, nếu f là chính qui Clarke và ∂Clg(x) ⊂ ∂Clf (x)với mọi x ∈ X, thì tồn tại α ∈ R sao cho f(x) = g(x) + α với mọi x ∈ X.Nếu X là không gian hữu hạn chiều thì các giả thiết f là "chính qui Clarke"

và "∂Clg(x) ⊂ ∂Clf (x) với mọi x ∈ X" ở Định lý 2.1.4 có thể giảm nhẹ được

Định lý 2.1.5 Giả sử f, g : Rn

→ R là các hàm Lipschitz địa phương Nếu f làchính qui Clarke và ∂Clg(x) ⊂ ∂Clf (x) hầu khắp nơi trên Rn, thì tồn tại α ∈ Rsao cho f(x) = g(x) + α với mọi x ∈ Rn

2.2 Tích phân của ánh xạ dưới vi phân Mordukhovich

Ví dụ 2.2.1 Xét hàm số f : [a, b] → R ở trong Ví dụ 2.1.1 Ta có

Hệ quả 2.2.1 Nếu f : [a, b] → R (a, b ∈ R, a < b) là một hàm Lipschitz, thì

Dưới vi phân của phiếm hàm tích phân

Một số công thức tính dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich củacác phiếm hàm tích phân được thiết lập Các kết quả đó dẫn đến một tiêu chuẩntồn tại nghiệm địa phương của bài toán tối ưu không ràng buộc với hàm mục tiêu

là phiếm hàm tích phân

3.1 Dưới vi phân của tích phân bất định

Kết quả chính của mục này là công thức tính dưới vi phân Mordukhovich củatích phân bất định

Dễ thấy rằng

f−(x) 6 f−−(x) 6 f+(x) và f−

(x) 6 f++(x) 6 f+(x)

Theo §Þnh lý 3.1.2, ∂F (x) = [0, 1] víi mäi x ∈ (0, 1).

VÝ dô 3.1.2 LÊy tËp E nh­ trong VÝ dô 3.1.1 Gi¶ sö x0 ∈ E ∩ (0, 1) vµ

Hệ quả 3.1.2 Giả sử ϕ : I → R là một hàm số Lipschitz địa phương trên mộtkhoảng mở I của R, x ∈ I, và b∂ϕ(x) 6= ∅ Khi đó ∂ϕ(x) = ∂Clϕ(x).

Ký hiệu dưới vi phân đối xứng (symmetric subdifferential) của hàm số ϕ tại xbởi ∂0ϕ(x) := ∂ϕ(x)∪[−∂(−ϕ)(x)] Vì ∂ϕ(x) ⊂ ∂0ϕ(x) ⊂ ∂Clϕ(x)và nếu ϕ làkhả vi Fréchet tại x thì b∂ϕ(x) = {ϕ0(x)} 6= ∅, nên từ Hệ quả 3.1.2 ta thu lại đượckết quả sau đây của J M Borwein và X Wang [Borwein J M., Wang X (1997),

"Distinct differentiable functions may share the same Clarke subdifferential at allpoints", Proc Amer Math Soc., 125, pp 807 - 813]

Hệ quả 3.1.3 Cho I là một khảng mở của R và ϕ : I → R là một hàm khả vi vàLipschitz địa phương Khi đó ∂ϕ(x) = ∂Clϕ(x) = ∂0ϕ(x)

3.2 Dưới vi phân của phiếm hàm tích phân trên không gian L1(Ω; E)

Cho (Ω, A, à) là một không gian có độ đo không nguyên tử σ−hữu hạn đầy đủ,

E là một không gian Banach khả ly và f : ΩìE → ¯R là một hàm A⊗B(E)−đo

được

Kết quả chính của mục này là các công thức tính chính xác dưới vi phân Fréchet

và dưới vi phân Mordukhovich của phiếm hàm tích phân có dạng

χA(ω) = 1 nếu ω ∈ A và χA(ω) = 0 nếu ω ∈ X\A

(ii) Hàm u : Ω → E được gọi là đo được mạnh nếu tồn tại một dãy các hàm

đơn giản sk : Ω → E sao cho

ở đây m ∈ N, ci ∈ E, Ai ∈ A (i = 1, 2, , m) đôi một rời nhau, Ω = Sm

ở đó à(A ∩ Ai)ci := 0 nếu ci = 0 và à(A ∩ Ai) = ∞

(iv) Hàm đo được mạnh u : Ω → E được gọi là khả tích Bochner nếu tồn tạimột dãy các hàm đơn giản sk : Ω → E khả tích Bochner thoả mãn

Ωv(ω)dà | v ∈ L1(Ω; R), v(ω) ≥ f (ω, u(ω)) h.k.n

o.(3.18)

Nếu ω 7→ f(ω, u(ω)) là một hàm khả tích trên Ω thì hiển nhiên If(u) = F (u),

ở đó F (u) được cho bởi (3.16)

Hàm v : Ω → E∗ được gọi là đo được yếu∗ nếu với mỗi e ∈ E, hàm số

Ω 3 ω 7→ hv(ω), ei là đo được Ký hiệu bởi Lw

∞(Ω; E∗) không gian tất cả cáchàm đo được yếu∗ v : Ω → E∗ sao cho hàm Ω 3 ω 7→ kv(ω)k thuộc L∞(Ω; R).Không gian Lw

∞(Ω; E∗) được trang bị chuẩn kvkL w

∞ (Ω;E ∗ ) = ess sup

ω∈Ω

kv(ω)k,ở đâyess sup

ω∈Ω

kv(ω)k = inf{α > 0 | kv(ω)k < α h.k.n.}