Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier

Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐÀO QUANG HƯNG

Ck− KHẢ TỔNG VÀ ÁP DỤNG ĐỐI VỚI LÝ THUYẾT CHUỖI FOURIER

LUẬN VĂN THẠC SĨ

HÀ NỘI - 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐÀO QUANG HƯNG

Ck− KHẢ TỔNG VÀ ÁP DỤNG ĐỐI VỚI LÝ THUYẾT CHUỖI FOURIER

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HÀO

HÀ NỘI - 2014

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của TS NGUYỄN VĂN HÀO Thầy đã hướng dẫn vàtruyền đạt cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập cũngnhư trong nghiên cứu khoa học Thầy luôn quan tâm và giúp đỡ tác giảtrong suốt quá trình hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đối với Thầy

Tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, phòng Sau đại học, cácthầy,cô trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức và tạođiều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình đào tạoCao học, hoàn thiện luận văn bảo vệ tốt nghiệp Tác giả xin cảm ơn Banlãnh đạo Tỉnh Vĩnh Phúc,Lãnh đạo UBND Huyện Tam Đảo Phòng GD

& ĐT Huyện Tam Đảo đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâmhọc tập và hoàn thành tốt khóa học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tớigia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên tinh thần để tác giả hoànthiện khóa học và hoàn thành luận văn này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả

ĐÀO QUANG HƯNG

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn của TS NGUYỄN VĂN HÀO

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành tựu của cácnhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn sâu sắc Các kết quả trích dẫntrong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả

ĐÀO QUANG HƯNG

Mục lục

1.1 Chuỗi số 6

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản 6

1.1.2 Điều kiện để chuỗi hội tụ 8

1.1.3 Một số tính chất của chuỗi hội tụ 10

1.1.4 Chuỗi số dương 12

1.1.5 Chuỗi với số hạng có dấu tùy ý 17

1.1.6 Chuỗi hội tụ tuyệt đối 18

1.2 Dãy hàm và chuỗi hàm 20

1.2.1 Một số khái niệm cơ bản về dãy hàm 20

1.2.2 Điều kiện hội tụ đều của dãy hàm 22

1.2.3 Tính chất của hàm giới hạn của dãy hàm 23

1.2.4 Một số khái niệm cơ bản về chuỗi hàm 24

1.2.5 Các tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm 25

1.2.6 Tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều 29

1.3 Chuỗi lũy thừa 30

1.3.1 Khái niệm về chuỗi lũy thừa 30

1.3.2 Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa 31

1.3.3 Chuỗi Taylor của hàm số 34

1.3.4 Khai triển một số hàm sơ cấp 36

2 Chuỗi phân kì và vấn để Ck-khả tổng 38 2.1 Lời dẫn về việc nghiên cứu chuỗi phân kỳ 38

2.2 Quá trình Cesáro hay Ck−quá trình 40

2.3 Một số ví dụ về Ck-khả tổng 41

2.4 Một số điều kiện để chuỗi Ck−khả tổng 45

3 Áp dụng của Ck-khả tổng đối với chuỗi Fourier 50 3.1 Chuỗi lượng giác 50

3.2 Chuỗi Fourier 52

3.3 Áp dụng của Ck-khả tổng đối với chuỗi Fourier 53 3.4 Tính tổng một số chuỗi qua ứng dụng của chuỗi Fourier 60

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết chuỗi số cũng như lý thuyết chuỗi hàm đã được nghiêncứu từ rất sớm và gần như đã mang tính hoàn thiện một cách chuẩnmực Các kết quả đẹp nhất trong lĩnh vực này phải nói đến các côngtrình tính toán của nhà toán học L Euler cùng một số nhà Toánhọc đương thời Tuy nhiên các kết quả trước đó về lĩnh vực nàyphải kể đến một số nhà Toán học như Leibniz, Newton và các cộng

sự của họ Lý thuyết chuỗi được hình thành một cách khá tự nhiênxuất phát từ các công trình tính toán của các nhà toán học thời đó

từ nhiều lĩnh vực thực tế Về lĩnh vực này, theo tiến trình lịch sử

có lẽ phải kể đến sự quan tâm của các nhà Toán học về chuỗi hìnhhọc

1 + x + x2 + x3 + · · · Chuỗi hình học xuất hiện như một kết quả không kết thúc trongphép chia 1

1 − x Vấn đề hội tụ của chuỗi theo nghĩa hiện đại đãđược xuất hiện từ rất sớm trong ý nghĩ của các nhà Toán học Điều

đó không ngạc nhiên khi nhà Toán học L Euler sử dụng biểu diễncủa chuỗi hình học

Đương thời lúc đó, người ta vẫn nghi ngờ các khẳng định ở trên Đểthấy được điều đó ta có thể xét chuỗi

1 − 1 + 1 − 1 + ,

theo cách suy luận trên đây có kết quả bằng 1

2 Thế nhưng, từ biểudiễn

1 + x

1 + x + x2 = 1 − x

2

1 − x3 = 1 − x2 + x3 − x5 + x6 − x8 + ,với x = 1 ta lại nhận được quả

1 − 1 + 1 − 1 + = 2

3.Chỉ đơn giản như thế cũng đã chỉ ra rằng những suy luận của Euler

là chưa có cơ sở

Cauchy và Abel là những người đầu tiên đưa ra khái niệm hội tụcủa chuỗi số theo quan điểm hiện đại như ngày nay Quan điểm củacác nhà Toán học này chỉ xét sự hội tụ của một chuỗi số thông qua

sự hội tụ của một dãy tổng riêng (sn) Trở lại vấn đề này ta xétchuỗi

Theo nghĩa này dãy s0n hội tụ tới giá trị 1

2 và như thế dẫn đến đẳngthức nghịch lý của Euler

hội tụ đến s Tính thích hợp của khái niệm này minh chứng rằngchuỗi

số dạng khái niệm hội tụ Việc áp dụng C1−quá trình vào nghiêncứu chuỗi Fourier được nghiên cứu bởi Fejér, trong việc nghiên cứuđiều kiện để chuỗi Fourier của hàm f (x) hội tụ tại điểm x0 Vớimong muốn tìm hiểu về lý thuyết chuỗi phân kỳ và lý thuyết chuỗiFourier, nên tác giả đã chọn đề tài “ Ck−khả tổng và áp dụngđối với lý thuyết chuỗi Fourier”

2 Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về lý thuyết chuỗi phân kỳ và áp dụng Ck-quá trình vàoviệc nghiên cứu chuỗi Fourier

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết chuỗi phân kỳ và lý thuyết chuỗi Fourier.

4 Phương pháp nghiên cứu

Tra mạng tìm tài liệu, phân tích và tổng hợp kiến thức, xin ý kiếnđịnh hướng của người hướng dẫn

5 Dự kiến đóng góp của đề tài

Trình bày một cách có hệ thống về lý thuyết chuỗi phân kỳ, chuỗiFourier, các Ck−quá trình và ứng dụng của Ck−quá trình trongviệc nghiên cứu lý thuyết chuỗi Fourier

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản

Cho dãy số {an} Ta gọi tổng vô hạn

thì ta nói rằng chuỗi (1.1) hội tụ và viết là

(iii) Trường hợp q = −1 dãy tổng riêng được xác định như sau

Ta có

sn = 1

1.2 +

12.3 +

13.4 + +

1n(n + 1)

=



1 − 12

+ 1

2 − 13

+ 1

3 − 14

+ + 1

Từ đó, suy ra lim sn = 1 Vậy chuỗi đã cho hội tụ với tổng bằng 1

1.1.2 Điều kiện để chuỗi hội tụ

Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy) Để chuỗi (1.1) hội tụ điều kiện cần

và đủ là với ε > 0 tồn tại số nguyên dương n0 = n0(ε) sao cho với mọi

n ≥ n0(ε) và với mọi số nguyên dương p, ta có

|an+1+ an+2+ + an+p| < ε (1.3)Chứng minh Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng {sn} cógiới hạn hữu hạn Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số, với

mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương n0 = n0(ε) sao cho với mọi n ≥ n0

và với mọi số nguyên dương p, ta có

|sn+p − sn| < ε

Điều này tương đương với

|an+1+ an+2+ + an+p| < ε

Vậy định lý đã được chứng minh

Hệ quả 1.1 (Điều kiện cần đối với sự hội tụ của chuỗi) Nếu chuỗi(1.1) hội tụ thì lim

Vậy ta có điều phải chứng minh

Chú ý Điều kiện trên chỉ là điều kiện cần chứ không phải là điều kiện

đủ Điều đó được minh họa qua ví dụ dưới đây

n2n + 1 =

1

2.b) Chuỗi

> 12n +

12n + +

12n =

n2n =

1

2.Nếu chuỗi số là hội tụ thì các dãy tổng riêng sn và s2n phải cùng dần tớimột giới hạn khi n → ∞ tức là lim

n→∞(s2n− sn) = 0 Tuy nhiên, điều nàymâu thuẫn với đánh giá trên

Hệ quả 1.2 Chuỗi (1.1) và chuỗi nhận được từ chuỗi này bằng cáchthêm vào hay bỏ bớt đi một số hữu hạn các số hạng cùng hội tụ hoặccùng phân kỳ.

1.1.3 Một số tính chất của chuỗi hội tụ

Tính chất 1.1 (Các phép toán tuyến tính trên các chuỗi hội tụ) Nếuhai chuỗi

∞

P

n=1

(an± bn) và {λsn} là tổngriêng của chuỗi

Vậy ta có điều cần phải chứng minh

Tính chất 1.2 (Việc nhóm tùy ý các số hạng của chuỗi) Nếu chuỗi

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Định lý 1.2 (Dấu hiệu Dirichlet) Nếu chuỗi (1.1) có dãy các tổngriêng bị chặn và bn là dãy số giảm dần đến 0 thì chuỗi

Hiển nhiên, dãy tổng riêng của chuỗi số dương sn ≥ 0; với mọi n =

0, 1, 2, và là dãy tăng Do đó ta có định lý sau

Định lý 1.3 Điều kiện cần và đủ để chuỗi số dương

∞

P

n=1

an hội tụ là dãytổng riêng sn của nó bị chặn trên

với mọi n đủ lớn Khi đó

(i) Nếu chuỗi

(ii) Suy ra từ (i)

Định lý 1.5 (Dấu hiệu so sánh thứ hai) Giả sử lim

Chứng minh (i) Bởi vì lim

n→∞

an

bn = k và 0 ≤ k < ∞, nên tồn tại sốnguyên dương n0 để với mọi n ≥ n0, ta có

an

bn

≤ k + 1 ⇔ an ≤ (k + 1)bn.Theo định lý (1.4), thì chuỗi

1(n − 1)n

Dễ dàng kiểm tra rằng nếu x ∈ [0,π

4] thì tan x ≤ 2x, do đó với mọi n ≥ 1

n→∞

n

√

an = c Khi đó, ta có các khẳng định sau

(i) nếu c < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ,

(i) nếu c > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ

Chứng minh (i) Nếu c < 1 thì tồn tại số q để c < q < 1 Lại vìlim

Vậy ta có điều cần phải chứng minh

Định lý 1.7 (Dấu hiệu D’Alembert) Cho chỗi số

(ii) Nếu d > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ

Chứng minh (i) Nếu d < 1 thì tồn tại p để d < p < 1 Vì lim

n→∞

an+1

an = dnên tồn tại số nguyên dương n0 để mọi n ≥ n0 và

an0+k < an0qk

Vậy không có lim

n→∞an = 0 nên chuỗi đã cho phân kỳĐịnh lý 1.8 (Dấu hiệu tích phân) Cho chuỗi số dương

R

1

f (x)dx cùng bị chặn hoặckhông cùng bị chặn Điều đó, cho ta khẳng định của định lý

Chú ý Khi áp dụng dấu hiệu D’Alembert hay dấu hiệu Cauchy nếulim

1.1.5 Chuỗi với số hạng có dấu tùy ý

Định nghĩa 1.3 (Chuỗi đan dấu) Một chuỗi có dạng

∞

X

n=1

với an > 0, gọi là chuỗi đan dấu

Định lý 1.9 (Dấu hiệu Leibniz) Giả sử dãy {an} đơn điệu giảm vàlim

n→∞an = 0, thì chuỗi đan dấu (1.6) hội tụ

Chứng minh Gọi sn là dãy tổng riêng của chuỗi Bởi vì

s2m = (a1 − a2) + (a3 − a4) + + (a2m−1− a2m)

và các số hạng trong ngoặc đều không âm nên dãy {s2m} đơn điệu tăng.Mặt khác, khi viết

s2m = a1 − [(a2 − a3) + (a4 − a5) + + (a2m−2− a2m−1) + a2m,

ta thấy rằng s2m ≤ a1 với mọi m Do đó, dãy {s2m} đơn điệu theo tiêuchuẩn hội tụ Như vậy, nếu lim

m→∞s2m = s thì với mọi ε > 0 tồn tại sốnguyên dương N1 để với mọi m ≥ N1

2 , ta đều có

|s2m− s| < ε

2.Lại vì lim

n→∞an = 0 nên với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương N2 để vớimọi n ≥ N2, ta cũng có

|an| < ε

2.Đặt N = max{N1, N2} thì với mọi n ≥ N , ta có

|sn − s| < ε

Vậy lim

n→∞sn = s, tức là chuỗi đã cho hội tụ và có tổng bằng s

Chuỗi đan dấu thỏa mãn điều kiện của định lý (1.1) gọi là chuỗi Leibniz.Vậy chuỗi Leibniz là hội tụ

1.1.6 Chuỗi hội tụ tuyệt đối

Định lý 1.10 (Liên hệ giữa tính chất hội tụ và hội tụ tuyệt đối) Mọichuỗi hội tụ tuyệt đối là chuỗi hội tụ.

Chứng minh Giả sử chuỗi

n2 hội tụ tuyệt đối

Tính chất 1.3 (Tính chất giao hoán của chuỗi hội tụ tuyệt đối) Nếuchuỗi

∞

P

n=1

an cũng hội tụ và cótổng là s

Do đó theo định lý Cauchy với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương n1 để

X

i∈F

|ai| < ε

2;với mọi tập con hữu hạn F ⊂ {n ∈ N∗ : n > n1}

Gọi sn và tn lần lượt là tổng riêng thứ n của chuỗi

n→∞sn = s Khi đó, tồn tại n2 ≥ n1 sao cho với mọi n ≥ n2

|sn − s| < ε

2.Chọn n3 ≥ n2 sao cho các số hạng a1, a2, , an2 đều có mặt trong các sốhạng b1, b2, , bn3 Khi đó, với mọi n ≥ n3, ta có:

|tn− s| = |tn− sn0 + sn0 − s| ≤ |tn− sn0| + |sn0 − s| < ε

2 +

ε

2 = ε.Vậy ta cũng có lim

1.2.1 Một số khái niệm cơ bản về dãy hàm

Cho dãy hàm số

f1(x) , f2(x) , , fn(x) , , (1.7)xác định trên tập A Điểm x ∈ A gọi là điểm hội tụ hay phân kỳ củadãy (1.7) nếu dãy hàm {fn(x)} hội tụ hay phân kỳ tại đó Tập A0 các

điểm hội tụ của dãy hàm (1.7) gọi là miền hội tụ của dãy hàm trên Khi

đó, dãy hàm được gọi là hội tụ điểm trên A0 và khi đó ta xác định đượchàm f (x) bởi hàm

f (x) = lim

n→∞fn(x) ; với mọi x ∈ A0

và hàm f (x) được gọi là giới hạn của dãy hàm {fn(x)}

Như vậy, bằng ngôn ngữ Cauchy ta có thể định nghĩa sự hội tụ điểmnhư sau

Định nghĩa 1.5 Dãy hàm {fn(x)} được gọi là hội tụ điểm về hàm f (x)trên tập A0 nếu với mọi x ∈ A0 và mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương

n0 = n0(ε, x) sao cho ta có

|fn(x) − f (x)| < ε; với mọi n ≥ n0.Khi dãy hàm (1.7) hội tụ điểm trên A0 về hàm f (x) ta viết là

fn(x) −→ f (x)

và đọc là "{fn(x)} hội tụ điểm về f (x)"

Nếu trong định nghĩa trên số n0 chỉ phụ thuộc ε mà không phụ thuộcvào x thì ta nói rằng dãy hàm (1.7) hội tụ đều trên A0 về hàm f (x) vàviết là

fn(x) ⇒ f (x)

Như vậy, theo ngôn ngữ Cauchy, ta nói dãy hàm {fn(x)} hội tụ đều

về hàm f (x) trên tập A0 nếu với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương

n0 = n0(ε) để ta có

|fn(x) − f (x)| < ε; (1.8)với mọi n ≥ n0 và mọi x ∈ A0

1.2.2 Điều kiện hội tụ đều của dãy hàm

Định lý 1.11 (Tiêu chuẩn Cauchy) Điều kiện cần và đủ để dãy hàm{fn(x)} hội tụ đều về hàm f (x) trên tập A là với mọi ε > 0 tồn tại sốnguyên dương n0 = n0(ε) sao cho ta có

|fm(x) − fn(x)| < ε; (1.9)với mọi m, n ≥ n0 và với mọi x ∈ A

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử fn(x) ⇒ f (x) Khi đó, với ε > 0tồn tại số nguyên dương n0 = n0(ε) sao cho

|fn(x) − f (x)| < ε

2;với mọi n ≥ n0 và với mọi x ∈ A

Khi đó, ta cũng có

|fm(x) − f (x)| < ε

2;với mọi m ≥ n0 và với mọi x ∈ A

Từ hai bất đẳng thức trên, ta nhận được

|fm(x) − fn(x)| ≤ |fm(x) − f (x)| + |f (x) − fn(x)| < ε

2 +

ε

2 = ε;với mọi m, n ≥ n0 và với mọi x ∈ A

Điều kiện đủ Ngược lại, nếu xảy ra bất đẳng thức (1.10) Khi đó, vớimọi x ∈ A thì {fn(x)} là dãy Cauchy và do đó tồn tại

f (x) = lim

n→∞fn(x) Trong bất đẳng thức (1.10) cố định n ≥ n0 và cho m → ∞, ta nhậnđược

|f (x) − fn(x)| < ε; với mọi ∈ A

Do đó fn(x) → f (x) Vậy ta có điều phải chứng minh.

1.2.3 Tính chất của hàm giới hạn của dãy hàm

Định lý 1.12 (Tính liên tục) Giả sử {fn(x)} là dãy các hàm liên tụctại a ∈ A, hội tụ đều trên A về hàm f (x) Khi đó f (x) liên tục tại a.Chứng minh Trước hết, do dãy hàm {fn(x)} hội tụ đều về hàm f (x)trên tập A nên với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương n0 sao cho

|f (x) − f (a)| = |f (x) − fn(x) + fn(x) − fn(a) + fn(a) − f (a)|

≤ |f (x) − fn(x)| + |fn(x) − fn(a)| + |fn(a) − f (a)|

Định lý 1.13 (Qua giới hạn dưới dấu tích phân) Giả sử dãy hàm{fn(x)} gồm các hàm liên tục hội tụ đều về hàm f (x) trên đoạn [a, b].Khi đó, hàm f (x) liên tục trên đoạn [a, b] và ta có

f0(x) = lim

n→∞fn(x) 1.2.4 Một số khái niệm cơ bản về chuỗi hàm

Định nghĩa 1.6 Cho dãy hàm {fn(x)} xác định trên tập A ⊂ R Tagọi tổng vô hạn

Điểm x ∈ A gọi là điểm hội tụ hay phân kỳ của chuỗi (1.13) nếu dãytổng riêng {sn(x)} của nó hội tụ hay phân kỳ tại điểm này Nếu A0 làmiền hội tụ của dãy {sn(x)} thì ta cũng gọi A0 là miền hội tụ của chuỗi

và gọi f (x) là tổng của chuỗi hàm.

Chuỗi hàm (1.13) gọi là hội tụ tuyệt đối tại a ∈ A nếu chuỗi số

∞

P

n=1

|fn(a)|hội tụ

Định nghĩa 1.7 (Sự hội tụ điểm và sự hội tụ đều) Ta nói chuỗi hàm(1.13) hội tụ điểm trên A tới hàm f (x), nếu dãy tổng riêng {sn(x)} hội

tụ điểm trên A tới f (x) Điều đó, có nghĩa là với mọi x ∈ A và mọi ε > 0tồn tại số nguyên dương n0 = n0(ε, x) sao cho

|sn(x) − f (x)| < ε; với mọi n ≥ n0.Trong trường hợp dãy hàm {sn(x)} hội tụ đều tới hàm f (x) trên A, thì

fn(x) được gọi là hội tụ đều về hàm

f (x) nếu với mọi ε > 0 cho trước tồn tại số nguyên dương n0 = n0(ε)sao cho

|sn(x) − f (x)| < ε;

với mọi n ≥ n0 và mọi x ∈ A

1.2.5 Các tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm

Định lý 1.15 (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi hàm

sao cho

|fn+1(x) + + fn+p(x)| < ε; (1.14)với mọi n ≥ n0, mọi p ∈ N∗ và mọi x ∈ A

Chứng minh Thật vậy, chuỗi

với mọi x ∈ A, n ≥ n0 và p ∈ N∗ Vậy chuỗi hàm

∞

P

n=1

fn(x) hội tụ tuyệtđối và đều trên A

n2 hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối

Định lý 1.17 (Dấu hiệu Dirichlet) Cho hai dãy hàm {an(x)} và {bn(x)}cùng xác định trên tập A Giả sử

(i) Dãy tổng riêng sn(x) của chuỗi hàm

≤ M ; với mọi n ∈ N∗ và mọi x ∈ A

(ii) Dãy hàm {bn(x)} hội tụ đều về 0 trên A

Khi đó, chuỗi hàm

∞

P

n=1

an(x)bn(x) hội tụ đều trên A

Chứng minh Theo giả thiết {bn(x)} là dãy đơn điệu gảm và bn ⇒ 0.Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương n0 = n0(ε) sao cho

|bn(x)| < ε

2M;với mọi n ≥ n0 và với mọi x ∈ A Từ bất đẳng thức này kết hợp với giả

= |−bn(x)sn−1(x) + [bn(x) − bn−1(x)]sn(x)| + + [bn+m−1(x) − bn+m(x)]sn+m−1(x) + bn+(x)sn+m(x)

Định lý 1.18 (Dấu hiệu Abel) Cho hai dãy hàm {an(x)} và {bn(x)}cùng xác định trên tập A Giả sử

(i) Chuỗi hàm

∞

P

n=1

an(x) hội tụ đều trên A;

(ii) Dãy hàm {bn(x)} đơn điệu với mọi x ∈ A và bị chặn đều cónghĩa là với mọi x ∈ A, dãy hàm {bn(x)} là dãy đơn điệu và tồn tại số

an(x)bn(x) hội tụ đều trên A

Chứng minh Từ giả thiết, với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương

n0 = n0(ε) để với mọi n ≥ n0, ta có

|sn+m(x) − sn(x)| =

... {bn(x)} đơn điệu với x ∈ A bị chặn cónghĩa với x ∈ A, dãy hàm {bn(x)} dãy đơn điệu tồn số

an(x)bn(x) hội tụ A

Chứng minh Từ giả thiết, với ε >... hội tụ chuỗi hàm

Định lý 1.19 Cho A ⊂ R mà thông thường A = [a, b] A = (a, b).Nếu chuỗi< /p>

1.3.1... class="page_container" data-page="35">

với x ∈ A số nguyên dương m Đặt

≤ ε3M

an(x)bn(x) hội tụ A

1.2.6 Tính chất chuỗi hàm số hội tụ

Từ tính