Phép biến đổi tích phân dạng fourier và ứng dụng giải một số phương trình vi phân và tích phân

11 1.4 Chập suy rộng đối với phép biến đổi tích phân dạng Fourier.. trong đó, cas u := cos u + sin u.Theo công thức Euler thì các biến đổi Fourier, Fourier ngược và Hartleyđược biểu diễn

Chuyên ngành: Cử nhân Toán - Tin.

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn khoa học:

TS PHAN ĐỨC TUẤN

Đà Nẵng, 5/2013

MỤC LỤC

Lời cảm ơn 3

Danh mục các ký hiệu 4

Mở đầu 5

Chương 1 PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER 8 1.1 Biến đổi tích phân Fourier 8

1.1.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản 8

1.2 Biến đổi tích phân Hartley 9

1.2.1 Định nghĩa 9

1.3 Biến đổi tích phân Fourier đối xứng 11

1.3.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản 11

1.4 Chập suy rộng đối với phép biến đổi tích phân dạng Fourier 15 1.5 Tích chập suy rộng với hàm trọng của các biến đổi Hartley và toán tử T 25

Chương 2 ỨNG DỤNG 56 2.1 Giải phương trình vi phân 56

2.1.1 Giải phương trình vi phân thường 56

2.1.2 Giải phương trình đạo hàm riêng 58

2.2 Giải phương trình tích phân 61

2.2.1 Giải phương trình tích phân dạng chập với nhân Hartley và tích chập T 61

KẾT LUẬN 65

Tài liệu tham khảo 66

để em có thể thực hiện và hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp này.

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầyPhan Đức Tuấn, là thầy hướng dẫn, đã giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu

và hướng dẫn tận tình trong suốt quá trình em thực hiện đề tài của mình

Em xin chân thành cảm ơn thầy Tôn Thất Tú đã hướng dẫn tận tình, giúp

em có thể sử dụng phần mềm Maple để hỗ trợ cho việc làm đề tài

Cuối cùng, em rất cảm kích và biết ơn gia đình, bạn bè đã tạo điều kiệnthuận lợi, động viên và giúp đỡ để em có đủ tự tin và nghị lực để thựchiện tốt đề tài

Do giới hạn về thời gian và thiếu kinh nghiệm chuyên môn cũng như kinhnghiệm thực tiễn nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót ngoài ýmuốn Em rất mong được sự thông cảm của Quý Thầy Cô và mong được

sự đóng góp ý kiến của Thầy Cô và các bạn

Một lần nữa em xin trân trọng cảm ơn

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Phạm Thị Thê

C0(R) : không gian các hàm f liên tục trên Rd và triệt tiêu tại vô cùng

với chuẩn kf k∞ = sup

cas x = cos x + sin x

MỞ ĐẦU

1 Lịch sử vấn đề và lí do lựa chọn đề tài

Nhiều vấn đề trong khoa học và công nghệ đưa đến việc giải một phươngtrình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, hoặc phương trình tíchphân

Có rất nhiều cách giải quyết nhưng đáng chú ý là biến đổi Fourier vì (xem[4]): Thứ nhất, các phương trình đó được thay thế bởi các phương trìnhđại số đơn giản, cho phép chúng ta tìm nghiệm là các biến đổi Fourier củahàm Nghiệm của phương trình ban đầu sẽ thu được thông qua biến đổiFourier ngược

Thứ hai, biến đổi Fourier là nguồn gốc ban đầu để xác định nghiệm cơbản, minh họa cho ý tưởng xây dựng hàm Green sau này

Thứ ba, biến đổi Fourier của nghiệm kết hợp với định lý chập cung cấpmột cách biểu diễn nghiệm tường minh cho bài toán biên ban đầu

Các biến đổi Fourier cosine, Fourier sine trên R, Fourier, Fourier ngược vàcác biến đổi Hartley lần lượt được định nghĩa trong không gianL1(R) nhưsau (xem [2, 3, 6, 7]):

trong đó, cas u := cos u + sin u.

Theo công thức Euler thì các biến đổi Fourier, Fourier ngược và Hartleyđược biểu diễn tuyến tính qua hai biến đổi Fourier cosine và Fourier sinetrên R là

số phương trình vi phân và tích phân"

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Mục đích của luận văn là đi nghiên cứu những tính chất toán tử, xâydựng chập suy rộng liên kết với các biến đổi Hartley cùng với hàm trọngHermite và không có hàm trọng Sử dụng chúng để giải một số phươngtrình vi phân và tích phân trên miền hữu hạn

Luận văn còn xét một biến đổi tích phân dạng Fourier mới

(T f )(x) = √1

2π

Z

R

f (y)[2 cos(xy) + sin(xy)]dy,

nghiên cứu các đặc trưng đại số, xây dựng chập liên kết với biến đổi này

3 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các đặc trưng đại số của các biến đổi tích phân Từ đó, tìm rabiến đổi ngược và đi ngược từ đẳng thức nhân tử hóa để xây dựng chập,chập suy rộng liên kết với các biến đổi tích phân Đặc biệt, các tích phân

có dạng

Z

f (±x ± y)g(y)dy,

đều biểu diễn được qua các chập

4 Cấu trúc luận văn và các kết quả

Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và phụ lục:

Chương 1 trình bày một số tích chất cơ bản của biến đổi Fourier trên R.Xây dựng chập, chập suy rộng liên kết với các biến đổi Hartley cùng với

+ T biến một hàm nhận giá trị thực thành một hàm nhận giá trị thực.

+ T là toán tử khả nghịch với toán tử ngược

2cos yξ + sin yξ]dξ.

Xây dựng chập suy rộng liên kết với các biến đổi Hartley, T cùng với hàmtrọng Hermite và không có hàm trọng

Chương 2 sử dụng các kết quả thu được ở Chương 1 vào giải một sốphương trình vi phân và tích phân Đặc biệt, với công cụ là chập suy rộngliên kết với các biến đổi Hartley hữu hạn mà một lớp phương trình tíchphân Toeplitz-Hankel sau (xem [8])

λϕ(x) + 1

π

Z b a

h

p(x − y) + q(x + y)iϕ(y)dy = f (x), (2)

có thể giải và thu được nghiệm ở dạng chuỗi

5 Ý nghĩa của các kết quả

Luận văn dựa vào các đặc trưng đại số của các biến đổi tích phân và phânloại dựa theo đặc trưng đại số của nó Nhờ đó, luận văn đã đưa ra mộtbiến đổi tích phân mới T có một số đặc trưng đại số khác với các biến đổitích phân đã biết Hy vọng, chúng ta sẽ tìm được các ứng dụng mới chobiến đổi này

Chương 1

PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER

1.1 Biến đổi tích phân Fourier

Trong mục này, luận văn trình bày lại một số kết quả liên quan củaphép biến đổi Fourier Các kết quả này đã được chứng minh chi tiết trongcác tài liệu trích dẫn Bởi vậy luận văn chỉ nêu kết quả mà không trìnhbày chứng minh

1.1.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản

Định nghĩa 1.1.1 ([6, 7]) Biến đổi Fourier của hàmf được kí hiệu (F f )

và được xác định như sau:

(F f )(x) = 1

(2π)d2

Z

R

f (y)e−ixydy, (1.1)

trong đó, f là hàm thực hoặc hàm phức xác định trong R Điều kiện đểtích phân (1.1) tồn tại là hàm f ∈ L1 Và khi đó ảnh Fourier của hàm f

được miêu tả thông qua định lý sau:

(ii) Biến đổi Fourier là ánh xạ tuyến tính, liên tục, 1 − 1 từ S vào S,

F4 = I và ánh xạ ngược của nó cũng liên tục

Sau đây là một số tính chất cơ bản của biến đổi Fourier

Tính Chất 1.1.2 ([6, 7]) Biến đổi Fourier của các hàm Hermite Φn(x)

trong đó, f (x) là hàm (thực hoặc phức) xác định trên R và:

cas xy = cos xy + sin xy

Rõ ràng:

(H1f )(x) = (H2f )(−x) và (H1f (−y))(x) = (H2f (y))(x) (1.7)

Vì vậy biến đổi Hartley của một hàm nhận giá trị thực là một hàm nhậngiá trị thực

Bổ đề 1.2.1 (xem [9]) Cho |n|=r(mod 4) khi đó:

Định lý 1.2.1 Các biến đổi Hartley là ánh xạ tuyến tính liên tục , 1-1

từ S vào S và biến đổi ngược của nó là chính nó, nghĩa là:

• Trường hợp r ∈ {1, 3}

(H1Dnxf )(x) =(−1)r+12 xn(H2f )(x),(H2Dnxf )(x) =(−1)r−12 xn(H1f )(x) (1.10)Định lý 1.2.2 (định lý ngược [3, 9]) Nếu f ∈ L1(R), (Hif ) ∈ L1(R),(i = 1, 2) và

1.3 Biến đổi tích phân Fourier đối xứng.

[2 cos xy + sin xy]dy (1.11)

Trong đó, f là hàm thực hoặc hàm phức xác định trong R Điều kiện đểtích phân (1.11) tồn tại là hàm f ∈ L1 Khi đó (T f ) nhận giá trị thực khi

thì f0(x) = f (x) hầu khắp nơi trên R.

Định lý 1.3.2 (Định lí ngược) Biến đổi tích phân T là ánh xạ liên tụctuyến tính, 1-1 từ S vào S , thỏa mãn đẳng thức:

T4 − 5T2 + 4I = 0,

Chứng minh Khi các biến đổiF, F−1 và T cùng xét trên không gian S,và

từ định lý phép biến đổi Fourier là ánh xạ liên tục tuyến tính suy ra T làánh xạ liên tục tuyến tính, 1-1 từ S vào S Ta đi chứng minh:

(f ∗

H1,T,H1g)(x) = 1

2√2π

dyh

Z

R

f (x − y)

dx +

Z

R

dudvdx

f (u)

g(u)

φn(x + u − v)

... chứng minh

1.5 Tích chập suy rộng với hàm trọng biến< /h3>

đổi Hartley toán tử T

Định lý 1.5.1 Giả sử n = r(mod4), f, g ∈ L1(R) biến đổitích... lý chứng minh.

Định lý 1.4.2 Nếu f, g ∈ L1(R) biểu diễn tích phân (1.17),(1.18), (1.19), (1.20) chập, chập suy rộng liên kết với biến đổi Hartley

và T thỏa... 1.5.1 Giả sử n = r(mod4), f, g ∈ L1(R) biến đổitích phân tích chập suy rộng liên kiết với phép biến đổiHart-ley, T với hàm trọng Hermite thỏa mãn đẳng thức nhân tử