Chuỗi fourier và một số ứng dụng

Hơn nữa, khóa luận cũng đã tổng hợp và nghiên cứu cơ bản một số tính chất của chuỗi Fourier và khai triển một số hàm số thành chuỗiFourier.. Đồng thời nghiên cứu tính hội tụ của chuỗi Fo

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Sinh viên thực hiện: LÊ KHÁNH LINH

Giảng viên hướng dẫn: TS LÊ HOÀNG TRÍ

Chuyên ngành: Sư phạm Toán

Lớp: 15ST

Đà Nẵng 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Sinh viên thực hiện: LÊ KHÁNH LINH

Giảng viên hướng dẫn: TS LÊ HOÀNG TRÍ

Chuyên ngành: Sư phạm Toán

Lớp: 15ST

Đà Nẵng 2019

Lời đầu tiên của khóa luận tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầygiáo hướng dẫn TS Lê Hoàng Trí đã tận tình hướng dẫn tác giả trongsuốt quá trình thực hiện để tác giả có thể hoàn thành được khóa luận này.Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy

cô giáo đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt thời gian học tập tạiKhoa Toán

Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn trong lớp 15ST

đã nhiệt tình giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập tại lớp

Tác giả

Lê Khánh Linh

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 4

1.1 Chuỗi số thực 4

1.1.1 Các định nghĩa 4

1.1.2 Phần dư của một chuỗi số 5

1.1.3 Tính chất 5

1.1.4 Tiêu chuẩn hội tụ 6

1.1.5 Chuỗi số dương 6

1.1.6 Các dấu hiệu hội tụ 7

1.1.7 Chuỗi đan dấu 8

1.1.8 Chuỗi số bất kì 8

1.2 Chuỗi hàm số 10

1.2.1 Dãy hàm số 10

1.2.2 Chuỗi hàm số 12

1.2.3 Chuỗi hàm số hội tụ đều 12

1.2.4 Tính chất của tổng của một chuỗi hàm 13

CHƯƠNG 2 CHUỖI FOURIER VÀ TÍNH CHẤT 15

2.1 Chuỗi lượng giác 15

2.2 Chuỗi Fourier 17

2.3 Công thức Dirichlet 23

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG KHAI TRIỂN MỘT SỐ HÀM

SỐ THÀNH CHUỖI FOURIER 31KẾT LUẬN 44TÀI LIỆU THAM KHẢO 45

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích là một trong những ngành quan trọng của toán học và mangnhiều ứng dụng trong thực tế cuộc sống Trong cuộc sống chúng ta gặp rấtnhiều hiện tượng có tính chất quay vòng, chu kì Toán học gọi đó là cácvấn đề liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn Từ đó xuất hiện kháiniệm chuỗi Fourier của một hàm số và khai triển một số hàm số thànhchuỗi Fourier

Bởi những lý do như trên cùng với sự định hướng của thầy giáo TS

Lê Hoàng Trí, chúng tôi đã quyết định nghiên cứu và chọn đề tài “ChuỗiFourier và Một số ứng dụng” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp

3 Đối tượng nghiên cứu

Chuỗi Fourier và một số hàm số có thể khai triển Fourier

4 Phạm vi nghiên cứu

Trong khuôn khổ của khóa luận chỉ nghiên cứu về chuỗi Fourier và cách

khai triển một số hàm số thường gặp thành chuỗi Fourier.

5 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trìnhthực hiện đề tài Trước tiên, chúng tôi thu thập các bài báo khoa học củanhững tác giả đi trước liên quan đến chuỗi Fourier, đọc và nghiên cứu tàiliệu, phân tích, tổng hợp kiến thức Sau đó chúng tôi trao đổi, thảo luậnvới bạn bè, giáo viên hướng dẫn, qua đó tổng hợp kiến thức và trình bàytheo đề cương nghiên cứu, thực hiện kế hoạch và hoàn thành khóa luận

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Khóa luận trình bày được hệ thống kiến thức: từ kiến thức cơ sở đến

sự mở rộng và chuỗi chuyên sâu về bộ môn giải tích, cụ thể là về chuỗiFourier Hơn nữa, khóa luận cũng đã tổng hợp và nghiên cứu cơ bản một

số tính chất của chuỗi Fourier và khai triển một số hàm số thành chuỗiFourier

7 Cấu trúc khóa luận

Nội dung khóa luận được trình bày trong 3 chương Ngoài ra, khóa luận

có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận vàTài liệu tham khảo

Chương 1 Trình bày, hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản như: Chuỗi

số, chuỗi hàm số, chuỗi lượng giác làm cơ sở cho chương sau Các nội dungkiến thức chỉ phát biểu mà không chứng minh

Chương 2 Chương này trình bày một số khái niệm, định nghĩa về chuỗiFourier

Đồng thời nghiên cứu tính hội tụ của chuỗi Fourier và nghiên cứu một

số điều kiện để khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier

Trên cơ sở đó, chương này sẽ cung cấp định nghĩa khai triển hàm số

thành chuỗi Fourier, và khai triển Fourier tổng quát của một hàm số tuầnhoàn với chu kỳ 2π Dựa vào đó để tính tổng của chuỗi Fourier.

Chương 3 Chương này trình bày một số bài toán có lời giải về khaitriển một số hàm số thành chuỗi Fourier

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Trong chương này, chúng tôi trình bày về các định nghĩa, tính chất cơbản của chuỗi số thực và chuỗi hàm số, tạo tiền đề cho phần trình bàynghiên cứu ở các chương sau

1.1.2 Phần dư của một chuỗi số

Giả sử chuỗi số (1.1) hội tụ và S là tổng của nó Khi đó ta gọi

Rn = S − Sn

là phần dư thứ n của chuỗi số (1.1)

Chú ý Nếu chuỗi số (1.1) hội tụ có tổng là S thì

1.1.4 Tiêu chuẩn hội tụ

Định lí 1.1.4 (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi số

+∞

X

n=1

un phân kì Tuy nhiên, tính chất 1.3 chỉ là điều kiện cần nên một

chuỗi số thỏa mãn điều kiện lim

n→+∞un = 0 thì chưa kết luận được chuỗi đóhội tụ hay phân kỳ

Trong trường hợp s = 1 ta được chuỗi

là chuỗi phân kì Chuỗi số này còn gọi là chuỗi điều hòa

1.1.6 Các dấu hiệu hội tụ

Giả sử f là một hàm số liên tục trên khoảng [1; +∞), f (x) ≥ 0, ∀x ∈[1; +∞) và f giảm với x đủ lớn Đặt

u1 = f (1), u2 = f (2), , un = f (n),

với un ≥ 0, ∀n ∈N∗ gọi là chuỗi số đan dấu.

Sau đây là định lí thường hay sử dụng đối với chuỗi số đan dấu

Định lí 1.1.14 Nếu chuỗi số đan dấu

+∞

X

n=1

(−1)n−1un thỏa mãn các điềukiện sau

Sau đây là một số dấu hiệu về sự hội tụ của chuỗi.

Định lí 1.1.17 (Dấu hiệu D’Alembert)

(i) Nếu k < 1 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối

(ii) Nếu k > 1 thì chuỗi phân kỳ

(iii) Nếu k = 1 thì chưa kết luận được về sự hội tụ của chuỗi số

Định lí 1.1.18 (Dấu hiệu Cauchy.)

|un| = k Khi đó(i) Nếu k < 1 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối

(i) Nếu k > 1 thì chuỗi phân kỳ.

(i) Nếu k = 1 thì chưa kết luận được về sự hội tụ của chuỗi số

Trong trường hợp không sử dụng được Dấu hiệu D’Alembert hoặc Dấuhiệu Cauchy thì có thể sử dụng định lí tổng quát sau

(i) Nếu l < 1 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối

(ii) Nếu l > 1 thì chuỗi phân kỳ

(iii) Nếu l = 1 thì chưa thể nói gì về tính chất của chuỗi số

|un| = l < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối.

(ii) Nếu lim

Nếu dãy hàm số {un(x)} không hội tụ tại điểm x0 ∈ X thì x0 gọi làđiểm phân kì của dãy {un(x)}

b Hội tụ điểm

Định nghĩa 1.2.2 Giả sử u, u1, u2, là những hàm số xác định trên tậphợp X Ta nói rằng dãy hàm số {un} hội tụ điểm (hoặc hội tụ) đến u trên

X nếu với mọi x ∈ X, ta đều có

lim

n→+∞un(x) = u(x)

Như vậy dãy hàm số {un} hội tụ điểm đến hàm số u trên X khi và chỉkhi với mọi x ∈ X và với mọi  > 0, tồn tại một số nguyên dương N saocho

∀n ≥ N : |un(x) − u(x)| < 

Số nguyên dương N phụ thuộc vào  và nói chung phụ thuộc vào x

Nếu với mỗi  > 0 cho trước đều tìm được một số nguyên dương N

chung cho mọi x ∈ X thì ta nói rằng dãy hàm số {un} hội tụ đều đến u

trên tập hợp X

c Hội tụ đều

Định nghĩa 1.2.3 Giả sử u, u1, u2, là những hàm số xác định trên tậphợp X Ta nói rằng dãy hàm số {un} hội tụ đều đến hàm số u trên tậphợp X nếu với một số  > 0 cho trước bất kì, tồn tại một số nguyên dương

d Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều

Định lí 1.2.5 Giả sử {un} là một dãy hàm số xác định trên tập hợp X.Khi đó {un} hội tụ đều trên X nếu và chỉ nếu với một số  > 0 cho trước

bất kì, tồn tại một số nguyên dương N sao cho

được gọi là chuỗi hàm số

Định nghĩa 1.2.7 Cho chuỗi

1.2.3 Chuỗi hàm số hội tụ đều

Định nghĩa 1.2.8 Giả sử chuỗi hàm số

trên tập hợp X Khi đó, chuỗi hàm số

lim

x∈X

|rn(x)| = 0

b Dấu hiệu Weierstrass

Định lí 1.2.11 (Dấu hiệu Weierstrass) Giả sử

+∞

X

n=1

un là một chuỗihàm số xác định trên tập hợp X và

un(x) hội tụ đều trên X

1.2.4 Tính chất của tổng của một chuỗi hàm

Cho chuỗi hàm xác định trên [a; b] là

+∞

X

n=1

un(x) Giả sử(i) Các hàm un liên tục trên [a; b]

(ii) Chuỗi hàm đã cho hội tụ đều trên [a; b] Khi đó, tổng chuỗi là hàmkhả tích trên [a; b] và

CHƯƠNG2 CHUỖI FOURIER VÀ TÍNH CHẤT

2.1 Chuỗi lượng giác

Định nghĩa 2.1.1 Chuỗi hàm số có dạng

a0

2 + a1cos x + b1sin x + + ancos nx + bnsin nx + (x ∈ R),

trong đó {an}, {bn} là hai dãy số thực gọi là chuỗi lượng giác

Với mỗi n, hàm số x 7−→ un(x) = ancos nx + bnsin nx có các đạo hàmmọi cấp trên R và có chu kì 2π Nếu chuỗi lượng giác hội tụ đến hàm số

f (x) thì f là một hàm số có chu kì 2π trên R

Các hằng số an, bn gọi là các hệ số của chuỗi

Ta biết rằng chuỗi lũy thừa

Áp dụng dấu hiệu Dirichlet về sự hội tụ và hội tụ đều của một chuỗihàm số, ta được

Định lí 2.1.3 Giả sử {an} và {bn} là hai dãy số dương giảm đến khôngkhi n → ∞ Khi đó chuỗi lượng giác

n hội tụ tại mọi x ∈ R vì với x = 2kπ, mỗi

số hạng của chuỗi đều bằng 0 Tuy nhiên tổng của chuỗi chỉ liên tục trên

R\2πZ (Ta sẽ thấy rằng tổng của chuỗi đã cho gián đoạn tại các điểm

bằng cách lấy đạo hàm từng khúc hạng tử của chuỗi (2.7)

f0(x) =

+∞

X

n=1

(−nansin nx + nbncos nx)

Chứng minh Từ giả thiết suy ra

∞

X

n=1

(|an|+|bn|) < ∞

Do đó chuỗi (2.7) và chuỗi đạo hàm của nó

− a1sin x + b1cos x + + (nansin nx + nbncos nx) + (2.2)đều hội tụ đều trên R Vậy f có đạo hàm trên R và f0(x) bằng tổng củachuỗi (2.2) với mọi x ∈ R.

Định lí 2.1.7 Nếu hai chuỗi số

hội tụ đều trên đoạn [0, 2π] (do đó hội tụ đều trên R) và có tổng là f (x).Khi đó, ta có

a0 = 1π

(ancos nx + bnsin nx) sin px,

p = 0, 1, 2, hội tụ đều trên R Vì vậy có thể lấy tích phân từng hạng tửcủa các chuỗi hàm đó trên [0, 2π]

Từ đó suy ra các công thức cần chứng minh.

Định lí (2.2) giải đáp một phần tính duy nhất của chuỗi lượng giác ứngvới hàm số f cho trước

Định nghĩa 2.2.2 Hàm số f xác định trên đoạn [a, b] gọi là liên tục từngkhúc nếu tồn tại một phép phân hoạch

π : a = x0 < x1 < < xn = b

của đoạn [a, b] có tính chất sau

Với mỗi i, hàm số f liên tục trên khoảng (xi−1, xi), i = 1, , n có giớihạn phải hữu hạn tại điểm xi−1 và giới hạn trái hữu hạn tại điểm xi

Nói một cách khác f là liên tục từng khúc trên [a, b] nếu nó chỉ có một

số hữu hạn điểm gián đoạn loại I và liên tục tại mọi điểm còn lại của đoạn.Định nghĩa 2.2.3 Giả sử f là một hàm số tuần hoàn xác định trên Rvới chu kì 2π, liên tục từng khúc trên mỗi đoạn bị chặn Chuỗi lượng giác

π

Z

−π

f (x) sin nxdx, n = 1, 2,

Từ định nghĩa (2.2.3), vấn đề tồn tại một chuỗi lượng giác ứng với hàm

f cho trước đã nêu ở trên được đặt ra một cách tự nhiên như sau

Giả sử f là một hàm số tuần hoàn chu kì 2π xác định trên R, liên tụctừng khúc trên mỗi đoạn bị chặn Chuỗi Fourier của f có hội tụ về f haykhông?

Chuỗi Fourier củaf có thể phân kì Trong trường hợp chuỗi Fourier của

f hội tụ, tổng của nó có thể khác f: Người ta có thể xây dựng được nhữnghàm số mà chuỗi Fourier phân kì hoặc hội tụ đến một hàm số khác.Tuynhiên việc lập những hàm số như vậy quá dài, chúng ta sẽ không nêu ra ởđây

Để đảm bảo cho chuỗi Fourier của một hàm số cho trước hội tụ về chính

nó, ta cần một vài điều kiện bổ sung Điều may mắn là các điều kiện nàykhông quá chặt chẽ

Giả sử f là một hàm số tuần hoàn với chu kì 2π Vấn đề đặt ra là trong

những trường hợp nào tồn tại một chuỗi lượng giác hội tụ trên R và cótổng bằng f?

Bổ đề 2.2.5 (Bổ đề Riemann.) Nếu f là một hàm số liên tục từngkhúc trên đoạn [a, b] thì

Chứng minh Không làm giảm tính tổng quát của vấn đề, có thể xem f

liên tục trên [a, b] Hàm số f bị chặn trên [a, b]: tồn tại một số M sao cho

|f (x)|≤ M với mọi x ∈ [a, b] Cho  > 0 bất kì Vì f liên tục đều trên

[a, b] nên tồn tại một số σ > 0 sao cho

x iZ

x

cos λxdx

... luận trình bày rõ định nghĩa chuỗi Fourier định lý

về điều kiện để khai triển hàm số thành chuỗi Fourier Đồng thời cũnglàm sáng tỏ chuỗi Fourier hội tụ chuỗi Fourier hội

tụ hàm ban... chứng minh

Tiếp theo, ta chứng minh

CHƯƠNG3 ỨNG DỤNG KHAI TRIỂN MỘT SỐ HÀM SỐ