Chuỗi fourier và ứng dụng giải bài toán truyền nhiệt

Lê Hải Trung, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm- Đại học Đà Nẵng, người thầy đã nhiệt tình hướng dẫn, chỉ bảo và cungcấp đầy đủ các tài liệu để tác giả hoàn thành luận văn này một cách t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

TÔ THỊ THỦY

CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

TÔ THỊ THỦY

CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hải Trung

ĐÀ NẴNG - NĂM 2018

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sựhướng dẫn của thầy TS Lê Hải Trung.

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là chính xác, trung thực và chưatừng được ai công bố trong bất kì công trình nào khác

Tác giả

Tô Thị Thủy

Lời đầu tiên trong luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chânthành đến thầy TS Lê Hải Trung, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm

- Đại học Đà Nẵng, người thầy đã nhiệt tình hướng dẫn, chỉ bảo và cungcấp đầy đủ các tài liệu để tác giả hoàn thành luận văn này một cách tốtnhất

Tác giả xin chân thành cảm ơn Quý thầy trong hội đồng chấm luận văntốt nghiệp đã dành thời gian quý báu để đọc và cho lời nhận xét luận văn.Tác giả xin chân thành cảm ơn Quý thầy trong khoa Toán, Trường Đạihọc Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, Quý thầy công tác tại Đại học Khoa học

Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, những người đã trực tiếp giảng dạy,giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập,nghiên cứu và hoàn thành khóa học

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và Quý thầy cô đangcông tác tại trường THPT Thu Xà, tỉnh Quảng Ngãi đã tạo mọi điều kiệntốt nhất để tác giả được đi học và hoàn thành tốt khóa học

Cuối cùng tác giả cũng xin gởi lời cảm ơn các thành viên trong lớpPhương pháp toán sơ cấp khóa 32 (2016-2018) đã xây dựng một tập thểlớp đoàn kết, gắn bó và giúp đỡ lẫn nhau trong suốt thời gian học tập vàthực hiện đề tài

Xin chân thành cảm ơn!

Tác giả

Tô Thị Thủy

LỜI MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 DẪN NHẬP VỀ CHUỖI FOURIER 3

1.1 CHUỖI LƯỢNG GIÁC 3

1.2 CHUỖI FOURIER 5

1.3 ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ KHAI TRIỂN THÀNH CHUỖI FOURIER 10

1.4 KHAI TRIỂN HÀM SỐ THÀNH CHUỖI FOURIER 15

1.4.1 Chuỗi Fourier của hàm số tuần hoàn chu kỳ 2π 15

1.4.2 Chuỗi Fourier cosine và sine của hàm tuần hoàn chu kì 2π 18

1.4.3 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn chu kì tuỳ ý 22

1.4.4 Khai triển một hàm số bất kỳ thành chuỗi Fourier 26

1.5 DẠNG PHỨC CỦA CHUỖI FOURIER 30

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CHUỖI FOURIER CHO BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT .35

2.1 GIỚI THIỆU PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT 35

2.2 ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU VÀ ĐIỀU KIỆN BIÊN 38

2.3 TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT 38

2.4 NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRONG THANH HỮU HẠN, KHÔNG CÓ NGUỒN NHIỆT 41

2.4.1 Nhiệt độ tại hai đầu mút bằng không 41

2.4.2 Hai đầu mút của thanh được cách nhiệt 47

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO)

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Jean Blaptista Joseph Fourier (1768-1830) là một nhà toán học và nhàvật lý người Pháp Ông được biết đến với việc thiết lập chuỗi Fourier vànhững ứng dụng trong nhiệt học Trong toán học, Joseph Fourier là ngườiđầu tiên biểu diễn thành công một hàm thành chuỗi các hàm lượng giáckhi ông nghiên cứu quá trình truyền nhiệt của vật chất Joseph Fourier đã

áp dụng chuỗi Fourier để giải phương trình truyền nhiệt Năm 1822, ôngcho công bố công trình “Lý thuyết giải tích của nhiệt” và mở ra một thời

kỳ mới về ứng dụng toán học trong các khoa học khác

Ngày nay, những chuyên gia về xử lý tín hiệu số (trên cả hai lĩnh vực

âm thanh và hình ảnh) là những người hiểu hơn ai hết vai trò quan trọngcủa chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier Có thể nói rằng hầu hết cácthiết bị điện tử liên quan đến hình ảnh và âm thanh mà chúng ta dùnghôm nay đều chứa con “chíp” làm nhiệm vụ chuyển đổi các hệ số Fourierthành hàm số (tín hiệu số), và đôi khi cũng kiêm luôn cả chức năng “khửnhiễu” hay “hiệu chỉnh tín hiệu”

Trong giáo trình giải tích hàm số một biến và chương trình đào tạo bậcđại học tôi đã được làm quen với chuỗi Fourier Trong tài liệu “Ứng dụngphần mềm Mathematica cho bài toán truyền nhiệt ” của tác giả TS LêHải Trung đã xét bài toán truyền nhiệt trong thanh dài vô hạn, không cónguồn nhiệt, khi đó không còn điều kiện biên mà chỉ có điều kiện đầu vànghiệm của bài toán được mô tả bằng công thức Poisson Với mong muốnnghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về chuỗi Fourier, hiểu rõ phần nào ứngdụng của chuỗi Fourier, dưới sự hướng dẫn của thầy TS Lê Hải Trung nêntôi chọn đề tài “ Chuỗi Fourier và ứng dụng giải bài toán truyền nhiệt” Đềtài nhằm nghiên cứu việc khai triển hàm số thành chuỗi Fourier và cũngdành phần lớn cho việc nghiên cứu bài toán truyền nhiệt với các trường

hợp khác nhau của điều kiện biên.

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày lý thuyết về chuỗi Fourier và khai triển một số hàm số thànhchuỗi Fourier Từ đó, ứng dụng của chuỗi Fourier vào giải bài toán truyềnnhiệt

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Chuỗi Fourier và cách khai triển một số hàm số thường gặp thành chuỗiFourier

Xét bài toán truyền nhiệt một chiều trong thanh hữu hạn

4 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn có sử dụng các kiến thức thuộc chuyên ngành sau đây:Giải tích hàm một biến; Lý thuyết chuỗi Fourier; Lý thuyết Phương trìnhđạo hàm riêng

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và thực tiễn Chúng ta có thể sử dụngluận văn như là tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành toán và cácđối tượng quan tâm đến việc giải quyết Bài toán truyền nhiệt bằng chuỗiFourier

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, đề tàiđược chia làm hai chương:

Chương 1: Giới thiệu định nghĩa chuỗi Fourier, cách xây dựng công thứctính hệ số Fourier (dạng thực và dạng phức), điều kiện đủ để một hàm

số khai triển thành chuỗi Fourier Khai triển một số hàm số thành chuỗiFourier với chu kỳ 2π hoặc 2l

Chương 2: Giới thiệu bài toán truyền nhiệt Sử dụng phương pháp táchbiến và dùng chuỗi Fourier để xây dựng công thức nghiệm của bài toán vớicác trường hợp khác nhau của điều kiện biên Giải một số bài toán truyềnnhiệt cụ thể

CHƯƠNG1 DẪN NHẬP VỀ CHUỖI FOURIER

Trong chương này các kiến thức được trích dẫn chủ yếu từ các tài liệu[3], [4], [6] Ý nghĩa của chương này nhằm mục đích giới thiệu các kiến thức

về chuỗi Fourier, cách khai triển một hàm số thành chuỗi Fourier trongtrường hợp cụ thể và tổng quát

Trong kỹ thuật cũng như thế giới quanh ta thường xảy ra những quátrình có xu hướng lặp đi lặp lại tuần hoàn (hoặc gần như tuần hoàn),những quá trình như thế được gọi là dao động, được mô tả bởi những hàm

số tuần hoàn Những hàm số tuần hoàn đơn giản nhất là những hàm số

trong đó a0 = 2A0, an = Ansin ϕn, bn = Bncos ϕn

1.1 CHUỖI LƯỢNG GIÁC

Định nghĩa 1.1.1 Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm số có dạng

trong đó a0, an, bn (n = 1, 2, 3, ) là những hằng số.

Mỗi hàm số un(x) = ancos nx + bnsin nx là hàm số tuần hoàn chu kì

2π

n , liên tục và khả vi mọi cấp.

Định lí 1.1.2 Nếu các dãy số {an}, {bn} đơn điệu giảm và dần tới 0 khi

n → ∞ thì chuỗi (1.1) hội tụ tại mọi điểm x 6= k2π, k ∈ Z.

≤ |an| → 0, khi n → ∞.(2)

≤ |bn| → 0, khi n → ∞.(3)

≤ a1 − an → a1, khi n → ∞.(4)



x

≤ b1 − bn → b1, khi n → ∞

Z

−π

Cho q ∈ N∗, nhân vế phải chuỗi (1.2) cho cos qx, ta được

[(akcos kx + bksin kx) cos qx] (1.5)

Lấy tích phân đẳng thức (1.5) trên đoạn [−π; π]

2 Nếu f (x) là hàm lẻ và liên tục trên [−a; a] thì

trong đó a0, an được xác định bởi công thức (1.9)

3 Nếu f (x) là hàm lẻ thì f (x) cos nx là hàm lẻ, còn f (x) sin nx là hàm

trong đó bn được xác định bởi công thức (1.10).

Ví dụ 1.2.4 Khai triển thành chuỗi Fourier của hàm f (x) = x + 1 với

|x| ≤ π và f (x) tuần hoàn chu kì 2π

Giải Hệ số Fourier của hàm f là

−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−2

2 4

O

x y

hội tụ và có tổng bằng f (x) tức là điều kiện nào hàm số f (x) có thể khaitriển thành chuỗi Fourier

1.3 ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ KHAI TRIỂN THÀNH CHUỖIFOURIER

Định nghĩa 1.3.1 Hàm số f xác định trên đoạn [a; b] Nếu có thể chiađoạn [a; b] bởi một số hữu hạn điểm chia a = x0 < x1 < x2 < < xn = b

sao cho trên mỗi khoảng (xi−1; xi), với i = 1, n, hàm số f liên tục và tồntại các giới hạn hữu hạn

thì ta nói hàm f liên tục từng khúc trên đoạn [a; b]

Nếu hàm f liên tục từng khúc trên [a; b] và f có đạo hàm f0 cũng liêntục từng khúc trên[a; b] thì ta nói hàm f khả vi từng khúc trên đoạn[a; b].Nếu f biến thiên đơn điệu trên mỗi khoảng (xi−1; xi), ta nói rằng f đơn

điệu từng khúc.

Nói cách khác, nếu f liên tục từng khúc hay nếu f đơn điệu từng khúc

và bị chặn thì nó liên tục tại mọi điểm của [a; b], trừ một số hữu hạn điểmgián đoạn loại I

Bổ đề 1.3.2 Nếu f : [a; b] → R là một hàm số liên tục từng khúc thì

Ngoài ra,f liên tục đều trên[a; b], tức là với ε > 0cho trước, luôn tìm được

δ > 0 sao cho ∀x0, x” ∈ [a; b] thỏa |x0 − x”| < δ thì |f (x0) − f (x”)| < ε.Chia đoạn [a; b] bởi các điểm chia

1

α (sin αxi − sin αxi−1)

... triển thành chuỗi Fourier thìtổng chuỗi f (x) điểm [a; b], trừ điểmgián đoạn f (x) Ta có nhiều cách để xây dựng hàm số g(x), vậyvới hàm g(x) có chuỗi Fourier tương ứng, có nhiều chuỗiFourier biểu... 41

CHƯƠNG2 ỨNG DỤNG CHUỖI FOURIER CHO BÀI TOÁN

TRUYỀN NHIỆT

Trong chương kiến thức trích dẫn chủ yếu từ tài liệu[1],... biến, sau dùng kiến thức chuỗi Fourier để giải phươngtrình truyền nhiệt Sau phần lý thuyết, luận văn trình bày

ví dụ minh họa

2.1 GIỚI THIỆU PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT

Xét vật