Các hàm dung lượng trong không gian Euclid hữu hạn chiều và tích phân Choquet của chúng

Các hàm dung lượng trong không gian Euclid hữu hạn chiều và tích phân Choquet của chúng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

- - - - F

-LÊ XUÂN SƠN

CÁC HÀM DUNG LƯỢNG TRONG KHÔNG GIAN EUCLID HỮU HẠN CHIỀU

VÀ TÍCH PHÂN CHOQUET CỦA CHÚNG

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 62 46 01 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

VINH - 2008

Người hướng dẫn khoa học: 1 PGS.TS Nguyễn Nhụy

2 GS.TSKH Nguyễn Tố Như

Phản biện 1: PGS TSKH Đỗ Hồng Tân

Phản biện 2: GS TS Nguyễn Hữu Dư

Phản biện 3: GS TSKH Lê Mậu Hải

Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp nhà nước họp tại Trường Đại học Vinh

vào hồi giờ ngày tháng năm 2008.

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia

- Thư viện Trường Đại học Vinh.

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết độ đo ra đời với ý nghĩa thực tiễn sâu sắc của nó đã đóngmột vai trò hết sức to lớn trong nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau, đặcbiệt là trong lý thuyết xác suất Tuy nhiên, sự phát triển mạnh mẽ của cáclĩnh vực kinh tế, kỹ thuật đã khiến độ đo cổ điển trong nhiều tình huốngkhông còn phù hợp khi đo các vấn đề mới nảy sinh, nhất là những vấn đềliên quan đến việc xử lí các "đối tượng mờ" Do đó người ta tìm đến mộtthước đo mới Xuất phát điểm để xây dựng thước đo mới này chính là yếu

tố không cộng tính

Các hàm tập không cộng tính đã được các nhà toán học nghiên cứu quanhiều khái niệm khác nhau: nửa độ đo (submeasures), độ đo mờ (fuzzymeasures), độ đo khả năng (possibility measures), hàm lòng tin (belief func-tion), hàm hợp lí (plausibility function), dung lượng (capacity), Các kháiniệm này gắn liền với những công trình của các nhà Toán học như G Cho-quet (1954), L Zadeh (1965), S Graf (1981), D Schmeidler (1987), T.Norberg (1989), Walley (1991) và gần đây là Nguyễn Trung Hưng, Nguyễn

Tố Như, Tonghui Wang, Ding Feng (1997-2002) và A Castaldo, F cheroni, M Marinacci (2004, 2005)

Mac-Một đặc điểm chung của tất cả các khái niệm liên quan đến hàm tậpkhông cộng tính nói trên là sự mở rộng khái niệm độ đo Chính vì thế màcùng với sự mở rộng này, các kết quả có tính truyền thống như Định lýChoquet, đạo hàm Radon-Nikodym, sự hội tụ yếu, luật số lớn, đều được

mở rộng và nghiên cứu theo quan điểm "độ đo" mới này Mặc dù một sốkết quả thú vị trong lý thuyết các hàm không cộng tính đã được thiết lậptrên các không gian Ba Lan (không gian metric khả li, đầy đủ) nhưng cácnghiên cứu cơ bản về chúng chỉ thực sự có ý nghĩa khi được xét trên khônggian Euclid hữu hạn chiều Rd

Trong quá trình đi tìm sự tổng quát hoá khái niệm độ đo trong khônggian Euclid hữu hạn chiều Rd, chúng tôi đã xây dựng một loại hàm dunglượng trên không gian này Các kết quả thu được chỉ ra rằng, khái niệmhàm dung lượng được thừa nhận ở đây thực sự là một mở rộng của kháiniệm độ đo: độ đo trên Rd có các tính chất của hàm dung lượng, và tồn tạinhững hàm dung lượng không phải là độ đo trên Rd Nhiều ví dụ được đưa

ra không chỉ nhằm chứng tỏ sự tồn tại thực sự của các khái niệm mới, màcòn mang ý nghĩa so sánh và chỉ rõ sự khác biệt của các khái niệm khácnhau khi xây dựng một lớp các hàm dung lượng trên Rd Cùng với sự xuấthiện của lớp hàm dung lượng, thì khái niệm tích phân kiểu Choquet chocác hàm dung lượng mới được xây dựng này cũng được đưa vào Khi ta đềcập đến tập hợp tất cả các hàm dung lượng, thì bài toán trang bị tôpô cholớp hàm này để được không gian tôpô tất yếu phải được đặt ra Cấu trúctôpô cho lớp hàm này được chúng tôi trang bị là tôpô yếu Khi đó, khônggian các hàm dung lượng đã trở thành một không gian tôpô khả metric vàkhả li Cấu trúc metric của không gian tôpô cho phép ta xây dựng kháiniệm hội tụ yếu trong không gian các hàm dung lượng thông qua sự hội

tụ của dãy Trong khi tìm một đặc trưng cho khái niệm hội tụ yếu, ta tìmđược một điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ yếu liên quan đến dãy các độ

đo xác suất liên kết với dãy các hàm dung lượng đã cho

Từ năm 1954, G Choquet đã xây dựng cấu trúc về hàm dung lượng trên

họ tất cả các tập compact K của một không gian Ba Lan E, mà sau này

ta thường gọi là hàm dung lượng Choquet Điều lý thú là tồn tại một sựtương ứng 1-1giữa lớp các hàm dung lượng trên K với tập tất cả các độ đoxác suất xác định trên σ-đại số Borel sinh bởi lớp các tập con đóng F củakhông gian E khi F được trang bị tôpô miss-and-hit (Định lý Choquet).Kết quả này giữ vai trò then chốt trong lý thuyết các tập đóng ngẫu nhiên

vì nó đã mô tả được phân phối của các tập đóng ngẫu nhiên, đó chính làdung lượng trên K Như vậy các hàm dung lượng Choquet đối với tập đóngngẫu nhiên giữ vai trò như là phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên

trong lý thuyết xác suất cổ điển Ta biết rằng, việc chứng minh Định lýChoquet là dựa vào Định lý Matheron (Định lý Matheron nói rằng đối vớimột không gian Hausdorff, khả li, compact địa phươngE, không gianF cáctập con đóng của E với tôpô miss-and-hit là Hausdorff, khả li và compact).Trong chứng minh định lý của mình Matheron đã sử dụng triệt để tínhcompact địa phương của không gian E Nhưng do miền tự nhiên của lýthuyết xác suất lại là các không gian Ba Lan, hoặc tổng quát hơn là cáckhông gian metric, nên vấn đề đặt ra là, liệu Định lý Choquet có còn đúngvới các không gian metric không compact địa phương nữa hay không.

Đi tìm câu trả lời cho câu hỏi nói trên, năm 1997 Nguyễn Trung Hưng

và Nguyễn Tố Như đã chỉ ra rằng Định lý Choquet không còn đúng trênkhông gian E là hình cầu đơn vị đóng của không gian Hilbert l2 khi trang

bị cho F tôpô cảm sinh bởi metric Hausdorff

Tuy nhiên, theo P Billingsley một trong những miền quan trọng nhấtcủa lý thuyết xác suất là không gian C[0, 1], không gian các hàm thực liêntục trên đoạn [0, 1] Do đó chúng ta cần biết rằng trên không gian này Định

lý Choquet có còn đúng nữa hay không Luận án của chúng tôi cũng đã đặtvấn đề nghiên cứu bài toán này Trong khi nghiên cứu vấn đề này chúngtôi đã thu được kết quả tương tự với kết quả của Nguyễn Trung Hưng vàNguyễn Tố Như trên không gian l2

Nội dung chính của luận án được trình bày dựa trên các công trình [1],[4], [5], [6] và [7] Luận án được trình bày thành 3 chương

Chương 1 dành cho việc trình bày về hàm dung lượng trong Rd Phầnđầu của chương này trình bày một số kết quả cơ bản về các hàm tập khôngcộng tính trong Rd Trọng tâm của Chương 1 là Mục 1.3 và 1.4, ở đó chúngtôi đưa ra khái niệm về hàm dung lượng trong Rd Một số kết quả và ví

dụ chứng tỏ khái niệm này là một mở rộng thực sự của khái niêm độ đothông thường Tích phân Choquet cho các hàm dung lượng trong Rd đượcđưa vào và tính toán tích phân của một số hàm dung lượng cụ thể với mụcđích là chúng sẽ được sử dụng để nghiên cứu tôpô yếu trong không gian

các hàm dung lượng xác suất ở chương sau.

Chương 2 được dành để trình bày về tôpô yếu trong không gian C e, khônggian các hàm dung lượng xác suất với giá compact trong Rd Trong Mục2.1, sau khi trang bị tôpô yếu cho C echúng tôi đã chỉ ra không gian tôpônày là khả metric và khả li Mục 2.2 trình bày các điều kiện cần, điềukiện đủ cùng với điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ yếu trong C e TrongMục 2.3 chúng tôi chỉ ra rằng không gian C echứa Rd như là một tập conđóng Điều này có nghĩa là không gian Euclid hữu hạn chiều Rd đồng phôivới một tập con đóng của C e

Chương 3 của luận án gồm hai phần Phần đầu trình bày về Định

lý Choquet trong trường hợp không gian Hausdorff khả li, compact địaphương Phần sau chúng tôi trình bày kết quả nghiên cứu về Định lýChoquet trong không gian C[0, 1] Cụ thể là chỉ ra rằng Định lý Choquetkhông còn đúng trong không gian E là hình cầu đơn vị đóng của C[0, 1]khi trang bị cho lớp tất cả các tập con đóng F của E tôpô cảm sinh bởimetric Hausdorff

CHƯƠNG 1

Phần đầu của chương này được dành để trình bày về hàm tập luânphiên, một số tính chất cơ bản của các hàm tập không cộng tính và mốiliên hệ giữa chúng Trên cơ sở đó, chúng ta đi xây dựng một khái niệm cụthể về hàm tập không cộng tính, đó là các dung lượng trong Rd Phần cuốicủa Chương 1 trình bày khái niệm tích phân Choquet cho các dung lượngtrong Rd

1.1.1 Định nghĩa Cho X là một tập hợp, A là một đại số các tập concủa X Hàm tập T : A → R được gọi là luân phiên bậc n (n ∈ N, n ≥ 1)nếu T đơn điệu tăng (nghĩa là A ⊂ B kéo theo T (A) ≤ T (B)) và với bất kì

A1, A2, , An ∈ A bất đẳng thức sau được thoả mãn

Nếu hàm tập đơn điệu tăng T thoả mãn bất đẳng thức (1.1) với mọi số

tự nhiên n thì nó được gọi là luân phiên bậc vô hạn

Giả sử A là một đại số các tập con của X và T là một hàm tập xácđịnh trên A Trên A, ta xác định các đại lượng ∆n, n ∈ N, n ≥ 1 ứng vớicác tham số A, A1, , An ∈ A theo công thức truy hồi sau:

∆1 A; A1
= T A ∪ A1
− T (A)

∆2 A; A1, A2
= ∆1 A; A1
− ∆1 A ∪ A2; A1

.

∆n A; A1, , An

= ∆n−1 A; A1, , An−1
− ∆n−1 A ∪ An; A1, , An−1
.1.1.3 Mệnh đề Với mỗi số tự nhiên n ≥ 1 và A, A1, , An ∈ A,

(ii) T luân phiên bậc n khi và chỉ khi ∆n ≥ 0.

Như vậy hàm tập T là luân phiên bậc vô hạn khi và chỉ khi ∆n ≥ 0, vớimọi n ≥ 1

1.1.4 Định nghĩa Hàm tập T : A → R được gọi là cực đại nếu T (∅) = 0

và T (A ∪ B) = max{T (A), T (B)}, với mọi A, B ∈ A

1.1.5 Mệnh đề Giả sử T là một hàm tập cực đại xác định trên đại

Hàm tập đơn điệu tăng T : B(Rd) → R thoả mãn T (∅) = 0 được gọi là(i) bán cộng nếu

T (A ∪ B) ≤ T (A) + T (B), với bất kì A, B ∈ B(Rd);

(iii) liên tục dưới nếu

(iv) liên tục trên nếu

(v) luân phiên bậc vô hạn nếu

(vi) chính quy nếu

T (A) = sup{T (K) : K ∈ K(Rd), K ⊂ A} với bất kì A ∈ B(Rd)và

1.2.2 Mệnh đề (vi) kéo theo (iii)

G(R d ), ở đây ký hiệu (iii)

G(R d ) cónghĩa là tính chất (iii) được hạn chế trên G(Rd)

Chú ý rằng, nếu xét trên lớp các tập Borel thì Mệnh đề 1.2.2 có thểkhông còn đúng nữa.

1.2.3 Mệnh đề (vi) kéo theo (iv)

K(R d ) Điều này nói chung khôngđúng trên B(Rd)

1.2.4 Nhận xét Nói chung (iii) không suy ra được (v) và ngược lại.1.2.5 Nhận xét Nói chung (v) không suy ra được (vi) và ngược lại

1.3 Hàm dung lượng trong Rd

1.3.1 Định nghĩa Hàm tập T : B(Rd) → [0, +∞) được gọi là một dunglượng trong Rd nếu các điều kiện sau được thoả mãn:

Từ định nghĩa trên ta có chú ý sau đây

1.3.2 Nhận xét (i) Bất kì một dung lượng trong Rd đều là hàm tập đơnđiệu tăng Vì vậy điều kiện 2. trong Định nghĩa 1.3.1 có thể được thay bởi

20: T luân phiên bậc vô hạn trên B(Rd)

(ii) Giả sử T là một dung lượng trong B(Rd) Nếu T (A) = 0, A ∈ B(Rd) thì

T (B) = T (A ∪ B) với mọi B ∈ B(Rd).

Từ các Mệnh đề 1.2.2, 1.2.3 và Định nghĩa 1.3.1 ta có hệ quả trực tiếpsau đây

1.3.3 Hệ quả Bất kì dung lượng trong Rd đều liên tục dưới trên G(Rd)

và liên tục trên trên K(Rd)

Chú ý rằng trong trường hợp tổng quát, dung lượng trong Rd có thểkhông liên tục trên.

1.3.4 Định lý Nếu µ là một độ đo trên B(Rd), thì µ có các tính chất 3.,

4. trong Định nghĩa 1.3.1 và với bất kì các tập A1, , An ∈ B(Rd), n ≥ 2,

Như vậy, theo các Định lý 1.1.6 và 1.3.4, lớp tất cả các dung lượng trong

Rd chứa cả hai lớp: lớp các độ đo và lớp các độ đo cực đại trong Rd

1.3.6 Định nghĩa Giả sử T là một dung lượng trong Rd Tập đóng bénhất F ⊂ Rd thoả mãn T (Rd \ F ) = 0 được gọi là giá của T, và được kíhiệu là supp T

1.3.7 Mệnh đề Giả sử T là một dung lượng trong Rd Khi đó ta có(i) T (supp T ) ≥ T (B) với mọi B ∈ B(Rd);

(ii) supp T = Rd\ ∪{G : G ∈ G(T )}, ở đây

Chúng ta dễ dàng kiểm tra được rằng Tx là một độ đo xác suất trong Rd

Do đó Tx cũng là một dung lượng xác suất trong Rd

b) Giả sử R+ = [0; +∞) Với một tập hữu hạn

A = (x1, t1), , (xk, tk) ⊂ R d

× R+

ta xác định hàm tập TA bởi

TA(B) =

( max {ti : xi ∈ B} nếu B ∩ A0 6= ∅

ở đây A0 = {x1, , xk} ⊂ Rd Khi đó TA là một dung lượng trong Rd

c) Với một tập hữu hạn A = (x1, t1), , (xk, tk) ⊂ Rd × R+, ta xácđịnh dung lượng TA bởi TA(B) = P

x i ∈B∩A0 ti, với B ∈ B(Rd), ở đây

1.4 Tích phân Choquet cho các hàm dung lượng trong Rd

Giả sử T là một dung lượng trong Rd Khi đó với bất kì hàm đo đượcBorel f : Rd → R+ và A ∈ B(Rd), ta xác định tích phân Choquet R

A f dTcủa hàm f ứng với T bởi

1.4.1 Định lý Với x ∈ Rd, giả sử Tx là dung lượng được xác định trong

Ví dụ 1.3.9(a) Khi đó với bất kì hàm đo được f : Rd → R+, ta có

1.4.3 Khẳng định Dưới điều kiện (1.6), ta có supp T = {x}.

1.4.4 Định lý Với mỗi tập compact C ⊂ Rd, xác định

TC(A) =

(

1 nếu A ∩ C 6= ∅

0 nếu A ∩ C = ∅,với A ∈ B(Rd) Khi đó với bất kì hàm đo được f : Rd → R+ ta có

Z

f dTC = sup {f (x) : x ∈ C}.

Ngược lại, nếu T là một dung lượng trong Rd sao cho với tập compact

C nào đó của Rd, mà

Z

f dT = sup {f (x) : x ∈ C} với mỗi f ∈ C0+(Rd), (1.9)thì T = TC.

1.4.5 Khẳng định Dưới điều kiện (1.9), ta có supp T = C.

1.4.6 Định lý Giả sử TA là dung lượng được xác định trong Ví dụ1.3.9(b), ở đây

Ngược lại, nếu T là một dung lượng trong Rd thoả mãn (1.11) vớibất kì hàm đo được f : Rd → R+, thì T = TA, với A được cho bởi (1.10).1.4.7 Định lý Giả sử TA =

CHƯƠNG 2 TÔPÔ YẾU TRÊN KHÔNG GIAN CÁC HÀM DUNG LƯỢNG XÁC SUẤT TRONG Rd

Từ nay trở đi chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu C eđể chỉ họ tất cả các dunglượng xác suất với giá compact trong Rd và C0+(Rd) là ký hiệu cho lớp tất

cả các hàm thực không âm liên tục với giá compact trong Rd Nội dungchính của chương này là chỉ ra không gian C e với tôpô yếu là một khônggian khả metric và khả li

2.1 Tôpô yếu trên e C

Giả sử B là một họ các tập có dạng

B = nU (T ; f1, , fk; ε1, , εk)o, (2.1)với T ∈ e C, fi ∈ C0+(Rd), εi > 0, i = 1, , k, ở đây

2.1.1 Định nghĩa Rõ ràng họ B được xác định bởi (2.1), (2.2) là một

cơ sở của một tôpô trên C e Tôpô này được gọi là tôpô yếu trên C e

2.1.2 Định lý C elà không gian khả metric và khả li

Định lý trên được chứng minh bởi các Mệnh đề 2.1.3 và 2.1.7 sau đây.2.1.3 Mệnh đề C e là không gian chính quy

Giả sử T ∈ e C và f : Rd → R+ là một hàm thực liên tục với giá compact

và giả sử {xi : i = 1, , k} ⊂ supp f là một tập hữu hạn trong supp fsao cho

0 < f (x1) < f (x2) < < f (xk).

Chúng ta lấy x0 ∈ Rd với f (x0) = 0, đặt A = {xi : i = 0, 1, , k} và xácđịnh TfA = P k−1

i=1 (ti− ti+1)δxi + (1 − t1)δx0, ở đây ti = T {x ∈ Rd : f (x) >

f (xi)}
với i = 1, , k và δx được xác định như trong Ví dụ 1.3.9(a).2.1.4 Bổ đề Giả sử D là một tập đếm được trong Rd Khi đó, vớibất kì T ∈ e C, f ∈ C0+(Rd) và với bất kì ε > 0, tồn tại một tập hữu hạn

Z

f dT −

Z gdT ... B(Rd),

1.4 Tích phân Choquet cho hàm dung lượng Rd

Giả sử T dung lượng Rd Khi với hàm đo đượcBorel f : Rd... data-page="15">

CHƯƠNG TÔPÔ YẾU TRÊN KHÔNG GIAN CÁC HÀM DUNG LƯỢNG XÁC SUẤT TRONG Rd

Từ trở sử dụng ký hiệu C eđể họ tất dunglượng xác suất với giá compact Rd... chung (v) không suy (vi) ngược lại

1.3 Hàm dung lượng Rd

1.3.1 Định nghĩa Hàm tập T : B(Rd) → [0, +∞) gọi dunglượng Rd