Chuỗi fourier và ứng dụng

Từtrước tới nay, mỗi khi nhắc đến chuỗi Fourier ta sẽ liên tưởng ngay đến các định nghĩa về phép biến đổi Fourier, tích phân Fourier, …mà chưa nghe nhiều về sự hội tụ trong chuỗi Fourier

SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 1

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 2

MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN 4

MỞ ĐẦU 5

Chương 1.KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7

1.1 Không gian Hilbert .7

1.1.1 Tích vô hướng .7

1.1.2 Không gian Hilbert .8

1.1.3 Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz .10

1.2 Không gian L .10 p. 1.3 Không gian 2  ; L   14

1.4 Hệ hàm trực giao .16

1.5 Hàm khả tích Lebesgue .17

1.5.1 Tích phân hàm đơn giản .17

1.5.2 Tích phân các hàm đo được bất kỳ .17

1.6 Hàm liên tục từng khúc .18

1.7 Hàm trơn từng khúc .18

1.8 Các bổ đề và định lý .19

1.8.1 Các bổ đề về giới hạn .19

1.8.2 Đẳng thức Parseval .22

1.8.3 Định lý Fubini .23

1.8.4 Bất đẳng thức Bessel .23

1.8.5 Bổ đề Riemann- Lebesgue .24

1.9 Nhân Dirichlet và nhân Fejer .25

1.9.1 Định lý Fejer 28

SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 3

1.9.2 Định lý Weierstrass .29

Chương 2.SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI FOURIER 31

2.1 Chuỗi Fourier .31

2.2 Một số ví dụ .33

2.3 Phép biến đổi Fourier trong 1 ( , ). L    36

2.4 Định lý xấp xỉ tốt nhất .38

2.5 Hội tụ trung bình phương .39

2.6 Hội tụ điểm .41

2.7 Sự hội tụ đều của chuỗi Fourier .44

2.8 Sự hội tụ trong 1  , L   45

2.9 Sự hội tụ trong L2 , . 48

2.10 Tích phân Fourier .50

Chương 3.ỨNG DỤNG CỦA CHUỖI FOURIER 53

3.1 Ứng dụng của chuỗi Fourier để giải toán .53

3.1.1 Sự truyền nhiệt trong thanh kim loại .53

3.1.2 Nghiệm của phương trình điện báo trên cáp truyền vô hạn .54

3.1.3 Nghiệm của bài toán Dirichlet 61

3.1.4 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền sóng .63

3.2 Bộ lọc điện .64

KẾT LUẬN 67

TÀI LIỆU THAM KHẢO 68

SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 4

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy Phan Đức Tuấn, là thầy hướng dẫn, đã giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu và hướng dẫn tận tình trong suốt quá trình em thực hiện đề tài của mình Trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn, em nhận được sự quan tâm giúp đỡ rất nhiều từ khoa Toán, trường đại học Sư Phạm Đà Nẵng Em xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ quý báu

đó Đồng thời em cũng xin gởi lời cảm ơn đến bạn bè cùng khóa đã giúp đỡ em trong quá trình thực hiện luận văn

Cuối cùng, một lần nữa em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô khoa Toán, trường Đại học Sư phạm- ĐHĐN, bạn bè đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình nghiên cứu và học tập để em hoàn thành luận văn này

Đà Nẵng, tháng 05, năm2013

Sinh viên

Nguyễn Thị Ánh Huyền

Chuỗi Fourier là một trong những chuỗi phổ biến, có nhiều ứng dụng trong khoa học hiện nay Đặc biệt, được sử dụng nhiều trong toán học và trong vật lý

kỹ thuật Từtrước tới nay, mỗi khi nhắc đến chuỗi Fourier ta sẽ liên tưởng ngay đến các định nghĩa về phép biến đổi Fourier, tích phân Fourier, …mà chưa nghe nhiều về sự hội tụ trong chuỗi Fourier

Với mong muốn hiểu rõ đầy đủ các vấn đề của chuỗi Fourier và nhờ sự giúp

đỡ, hướng dẫn tận tình của thầy Phan Đức Tuấn em đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài:

“ Chuỗi Fourier và ứng dụng”

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài nhằm giúp hiểu rõ hơn và giải quyết một lớp các vấn đề về sự hội tụ cũng như các ứng dụng của chuỗi Fourier

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các khái niệm, tích chất về sự hội tụ của chuỗi Fourier và ứng dụng của chuỗi Fourier.Luận văn chia thành ba chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Gồm những kí hiệu, các khái niệm bổ trợ

cho sự hội tụ của chuỗi Fourier

SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 6

Chương 2: Sự hội tụ của chuỗi Fourier Gồm định nghĩa chuỗi Fourier và

các loại hội tụ của chuỗi Fourier

Chương 3: Ứng dụng của chuỗi Fourier Gồm ứng dụng của chuỗi Fourier

để giải toán và một số ứng dụng khác

Do khuôn khổ của luận văn và thời gian nghiên cứu, luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong sự đóng góp ý kiến của bạn đọc, đồng thời em xin chân thành cảm ơn tất cả những ý kiến đóng góp đó để cho luận văn được hoàn thiện hơn Em xin chân thành cảm ơn!

SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 7

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian Hilbert

gian unita)

Đẳng thức  1.1 được gọi là điều kiện hình bình hành

Vậy muốn đưa được tích vô hướng vào một không gian định chuẩn thì không gian này phải thỏa mãn điều kiện hình bình hành

Tóm lại, không gian Hilbert chẳng qua là không gian định chuẩn thỏa mãn điều kiện hình bình hành  1.1

Nhưng trong phần lớn các ứng dụng, khái niệm tích vô hướng đi trước khái niệm chuẩn, cho nên trong lý thuyết không gian Hilbert người ta thường xuất phát từ một không gian vector (chưa định chuẩn), lấy các tính chất 1) - 4) làm những tiền đề để định nghĩa tích vô hướng trong không gian đó, rồi mới định nghĩa chuẩn bởi 5) tức là x   x x,

1.1.2 Không gian Hilbert

trong đó có xác định một hàm hai biến  x y, , gọi là tích vô hướng của hai vector

 x y, , với các tính chất 1) -4)

Ta hãy chứng minh rằng hệ thức 5) tức là

 , ,

định nghĩa như trên là một không gian định chuẩn

Qua chứng minh trên ta thấy rằng trong không gian tiền Hilbert luôn luôn

có bất đẳng thức (1.3) gọi là bất đẳng thức Schwarz Vả lại theo trên đẳng thức bình hành  1.1 cũng luôn luôn đúng

Ta có x y x y ,    x y x y,    4 ,x y nên giữa tích vô hướng và chuẩn có

SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 10

Vậy tích vô hướng  x y, là một hàm liên tục đối với x và y Và với các tính chất 2) , 3) có nghĩa là:  x y, là một phiếm hàm song tuyến tính trên X , và bất

Vì một không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn, nên mọi khái niệm và sự kiện về không gian định chuẩn đều áp dụng cho nó Nói riêng một không gian tiền Hilbert có thể đủ hay không đủ Một không gian tiền Hilbert đủ

gọi là một không gian Hilbert

SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 11

của E. Họ tất cả các hàm số f x có lũy thừa bậc p1  p  của modun khả tích trên E, tức là sao cho

,

p

E f d  



gọi là không gian L E p , 

ta viết L E p  NếuE a,b ℝk và  là độ đo Lebesgue thì ta viết L a b p , hoặc

  ,

p

a b

L và nếu E  0,1 thì ta viết đơn giản L p.

Ta có sự kiện sau đây: tập hợp L E p , trong đó ta không phận biệt các ,

hàm tương đương nhau (nghĩa là bằng nhau hầu khắp nơi), là một không gian vector định chuẩn, với các phép toán thông thường về cộng hàm số và nhân hàm

số với số, và với chuẩn

Như thế L E p , kín đối với các phép cộng hàm số và phép nhân hàm số với số, 

và vì các phép toán này rõ ràng thỏa mãn các tiên đề về không gian vector, nên

gian vector định chuẩn

Chú ý: Bất đẳng thức Minkowski dẫn đến kết luận các không gian p

L là không gian định chuẩn Giả sử S là một không gian đo, 1   p , đồng thời f

Minkowski chính là bất đẳng thức tam giác trong L S p 

n s





SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 14

tức là f0L E p , Lại áp dụng bổ đề Fatou lần nữa ta có

   1

p p

Qua chứng minh trên ta còn thấy rằng:

Hệ quả:Nếu một dãy f x n  hội tụ trong L E p , thì nó chứa một dãy con 

Dễ dàng kiểm tra các tính chất cơ bản sau:

i f f, là số không âm, bằng 0 khi và chỉ khi f 0,

ii f g,  g f, , trong đó c là số phức liên hợp của c £,

 

   ,

1 2

( , )

d f g  f g , f g L,  2 ;  Khi đó, ta nói rằng dãy  f n L2 ;  hội tụ bình phương trung bình tới

SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 16

L2    ; , ,  ,

là không gian Hilbert của các hàm bình phương khả tích trên  ; 

Trong không gian tuyến tính có tích vô hướng ta có bất đẳng thức

1, 2 cos , , 2 sin , 2 os2 ,x x c x

2 sin 2 , , 2 cosx nx, 2sinnxn 

n x

(đó là chuỗi Fourier trong hệ trực chuẩn   của n f )

SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 17

1.5 Hàm khả tích Lebesgue

1.5.1 Tích phân hàm đơn giản

Định nghĩa 1.1 Trong một không gian X,với một  đại số F và một độ

n i i

1.5.2 Tích phân các hàm đo được bất kỳ

Ta lần lượt xét trường hợp các hàm số không âm, và trường hợp hàm số có dấu thay đổi

I f x   0 trêntập A,có một dãy hàm số đơn giản f  n 0, đơn điệu tăng vàhội tụ tới f. Ta gọi tích phân của f x  trên tập A đối với độ đo 

là số (hữu hạn hay vô cực)

(tức là không có dạng   ) thì ta gọi nó là tích phân của f x  trên tập A

đối với độ đo 

A f x d  A f x d  A f x d

và nếu tích phân đó hữu hạn thì ta nói f x  khả tích

Khi Xℝ k, Fl k,    k(độ đo Lebesgue) thì tích phân định nghĩa như trên thường gọi là tích phân Lebesgue và được kí hiệu

Một hàm  x được gọi là liên tục từng khúc trong khoảng hữu hạn  a b,

nếu khoảng  a b, có thể chia nhỏ thành m khoảng hữu hạn  a a, 1 ,a a1, 2,…,

a a r, r1,…, a m1,b, mà trong mỗi khoảng đó f x  là liên tục

SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 20

Khoảng cuối là bị chặn vì thế biểu thức là ít hơn M r N với M r là hữu hạn

Nếu Mlà lớn nhất của số hữu hạn M0,M1, ,M m1 chúng ta có

b a

Bổ đề 1.3.Nếu  u và  u là liên tục từng khúc trên khoảng 0 u a  và

 có các dẫn xuất phải và trái tại điểm u 0, thì

Cho N  trong biểu thức  1.11 , chúng ta có được biểu thức  1.9

Bổ đề 1.4.Nếu  u và  u là liên tục từng khúc trên khoảng a u b  và 

có các dẫn xuất phải và trái tại điểm u x , với a x bthì

n n

N k k

ixa ixa N

ixt

k k

1.9 Nhân Dirichlet và nhân Fejer

Như đã nói trong mục (1.4) {e inx,nℤ} lập thành hệ trực chuẩn Giả sử f là hàm có chu kỳ 2 và khả tích Riemann trên  , . Đặt

Tích phân ở vế phải của biểu thức  1.15 có tên gọi là tích phân Dirichlet

Chú ý rằng D N là hàm chẵn, liên tục, tuần hoàn với chu kỳ 2  và

n n

n n

SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 27

2



 

   

Bổ đề 1.5 Nhân Fejer n x có những tính chất sau đây:

i Nhân Fejer n x là chẵn, liên tục, tuần hoàn với chu kỳ 2 , 

trái có giới hạn là n 1 khi x 0,cho nên ta suy ra n 0  n 1 Từ công thức trên ta suy ra các tính chất (i)-(ii) Tính chất (iii) có ngay từ công thức tích phân nhân Dirichlet (bằng 1 với mọi n) và tính chẵn của nhân Fejer Tính chất (iv) suy ra từ nhận xét sau đây

liên tục, tuần hoàn trên toàn bộ trục số ( với chu kỳ 2 ) Từ bổ đề trên ta suy ra

Suy ra, với mỗi  0 cho trước, tồn tại số   0 sao cho

(iv) trong bổ đề trên, ta suy ra tồn tại số tự nhiên n đủ lớn sao cho với nn thì

2 tích phân còn lại đều nhỏ hơn  3, và tổng hợp lại ta có

trục số theo công thức f      t f t ta được một hàm liên tục xác định trên đoạn

SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 31

Chương 2

SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI FOURIER

Để giải quyết vấn đề này người ta thường dùng tích phân Lebesgue (tổng quát hơn tích phân Riemann) và các phương pháp của không gian Hilbert Ý tưởng chính như sau:

2.1 Chuỗi Fourier

0 1

Z n

nx i

nx b

nx a

a

 Trường hợp hàm lẻ:

SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 33

Giả sử f :ℝℝlà hàm thực khả tích địa phương có chu kỳ 2  và lẻ (tức

là f(   x) f x( )) Khi đó chuỗi Fourier của f có dạng

1

6

SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 34

2 2

1

( 1)

, 12

1

90

SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 35

6

 , , hàm số ˆf được gọi là biến đổi Fourier của hàm f x  được định nghĩa như sau

xác định nếu fL1 (    , ).

sinvà c os, chẳng hạn với hàm f x  xác định với x 0, ta mở rộng hàm f cho

ˆ 2

Định nghĩa 2.3 Hàm F c  được gọi là biến đổi Fourier dạng c oscủa hàm

Từ đó rút ra điều phải chứng minh

2.5 Hội tụ trung bình phương

Định lý 2.1.Giả sử f g, khả tích Riemann với chu kỳ 2 và

Khi đó, chuỗi Fourier của f hội tụ bình phương trung bình tới f, tức là

Để chứng minh định lý này ta cần đến kết quả sau

Mệnh đề 1.1 Nếu f khả tích Riemann trên  a b,    ,  sao cho

   ,

f   f thì với mọi   0 tồn tại hàm liên tục h với chu kỳ 2  sao cho f  h 

Chứng minh Định lý Hội tụ trung bình phương :

Giả sử   0 cho trước, tồn tại hàm h liên tục có chu kỳ 2  sao cho

f  h  (do mệnh đề trên) Mặt khác, theo định lý Weierstrass II thì tồn tại đa thức lượng giác P sao cho h P  Giả sử N0 là bậc của P. Khi đó, do định

Tiếp theo ta bàn về Hội tụ điểm Cần chú ý rằng các khái niệm hội tụ bình

phương trung bình và hội tụ điểm, nói chung, là không thể so sánh được: cái này không kéo theo cái kia

Trước hết ta đưa ra các khái niệm sau:

2.6 Hội tụ điểm

Định lý Jordan- Dirichlet:

Giả sử f :ℝℂlà hàm số có chu kỳ 2 ,  khả tích địa phương trên ℝ (tức là

i Tồn tại các giới hạn trái và phải f x 0 , f x 0 ,

ii Hàm

   0   0     0 0

,

f x h f x h f x f x h

Theo giả thiết (ii) ta suy ra g t  là hàm bị chặn trong lân cận nào đó của 0.

   và bị chặn trên ,  0, thì g khả tích Riemann trên  0,  Do đó, lim N 0

( theo Bổ đề Riemann- Lebesgue) Định lý được chứng minh

Các phát biểu khác của hệ quả này là

Nếu f t   g t đối với tất cả t trong lân cận nào đó của x thì

 ;  ;  ;  0

Kết luận này thường gọi là Định lý địa phương.Nó chỉ ra rằng đặc điểm

của dãy s N f x; (khi N ) chỉ phụ thuộc vào các giá trị của f trong lân cận

này, nhưng lại có thể có dáng điệu rất khác nhau trong khoảng khác Đó là điểm tương phản giữa chuỗi Fourier và chuỗi lũy thừa Cụ thể là

của x0, thì hai chuỗi Taylor của chúng là như nhau ( vì

Hệ quả 2.2.Nếu fD và trơn từng khúc thì chuỗi Fourier của f hội tụ điểm đến f.

Tóm lại, ta cần nhớ kết quả sau Giả sử f :ℝℂlà hàm có chu kỳ 2  và trơn từng khúc

Ta chuyển sang xét sự hội tụ đều của chuỗi Fourier

2.7 Sự hội tụ đều của chuỗi Fourier

Ý chính của phần này nằm trong kết quả sau:

Bổ đề 2.1.Cho f :ℝℂlà hàm có chu kỳ 2 ,  liên tục tại mọi điểm xℝvà trơn từng khúc Đặt  :ℝℂ theo công thức

 t f t f t     f t t,

t 2

Điều này chứng minh bổ đề

Nếu f không khả vi tại t

Nếu f khả vi tại t,

Điều kiện Dirichlet

Cho f là hàm số thực (hoặc phức), xác định trên ( , )a b các điều kiện sau được gọi là điều kiện Dirichlet

i Tồn tại f a( ), f b( ) và f có biến phân bị chặn trên đoạn  a b, ,

( ta xem như f xác định trên đoạn  a b, với giá trị tại biên là f a( )và

f b )

ii Có hữu hạn điểm thuộc  a b, , sao cho khi bỏ đi các lân cận tùy ý của

 a b, , hơn nữa f L a b1 ( , ).

k n



 

Hệ quả sau suy trực tiếp từ Định lý 2.3

Hệ quả 2.3 (tính duy nhất) Nếu 1

 2.5

SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 47

 

2 0

2 1

cos cos sin sin

1 2

2sin 2

sin 2

Nếu f u  là liên tục từng khúc và trong khoảng 0, 2 và đạo hàm vế phải 

và vế trái tại điểm u x , sau đó sử dụng Bổ đề 1.3 ta có

Dirichlet trên khoảng  ;  và f liên tục trên   u v;   ;  Khi đó, chuỗi Fourier của f hội tụ đều về f trên đoạn bất kỳ  a b;  u v;

Định lý 2.6.Hàm số f xác định trên  , liên tục tuần hoàn với chu kỳ 2 

Đặt

0 1





hàm f đối với hệ trực chuẩn  n

Định lý 2.7 Cho hệ trực chuẩn  n trong 2

1 ( ) os ,

hữu hạn Giả sử f x  và f x  tồn tại thì ta có



được số A a sao cho

3.1 Ứng dụng của chuỗi Fourier để giải toán

3.1.1 Sự truyền nhiệt trong thanh kim loại

Giả sử trên trục tọa độ Oxta đặt một thanh sắt, một đầu tại gốc O và đầu

kia rất xa (xem như là ) Gọi u x t , là nhiệt độ của điểm x 0 trên thanh sắt

tại thời điểm t 0. Giả thiết rằng nhiệt độ khởi đầu tại mọi điểm đã biết trước là

 ,0  

u x  f x Hãy xác định u x t , với x t , 0 bất kỳ, biết rằng nhiệt độ được

truyền theo phương trình

trong đó, k là hệ số truyền nhiệt Phương trình truyền nhiệt  3.1 biểu diễn qua

giờ bằng phương pháp biến đổi Fourier ta sẽ giải phương trình này

Dùng công thức tính biến đổi Fourier cho đẳng thức  3.1 ta thu được