Chuỗi fourier và tích phân fourier

Chuỗi Fourier Trong giáo trình giải tích các hàm số một biến, chúng ta đã được làm quen với khái niệm chuỗi Fourier của hàm khả tích và xem xét sơ bộ tính hội tụ của nó.. Ta đã biết rằn

Chuỗi Fourier và tích phân Fourier

8.1 Chuỗi Fourier 275

8.1.1 Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier 276

8.1.2 Tính đầy đủ của các hệ đa thức 279

8.1.3 Tính chất của các hệ số Fourier 282

8.1.4 Đạo hàm, tích phân và tính hội tụ của chuỗi Fourier 284

8.1.5 Dạng phức của chuỗi Fourier 288

8.1.6 Thí dụ 289

8.2 Tích phân Fourier 290

8.2.1 Biểu diễn hàm số bằng tích phân Fourier 290

8.2.2 Dạng khác của công thức Fourier 293

8.3 Biến đổi Fourier 295

8.3.1 Định nghĩa 295

8.3.2 Các tính chất của biến đổi Fourier 296

8.3.3 Biến đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biến đổi Fourier 297

8.3.4 Tích chập và biến đổi Fourier 299

8.4 Một số ví dụ về ứng dụng 301

8.4.1 Bộ lọc điện 301

8.4.2 Sự truyền nhiệt trong thanh kim loại 302

8.1 Chuỗi Fourier

Trong giáo trình giải tích các hàm số một biến, chúng ta đã được làm quen với

khái niệm chuỗi Fourier của hàm khả tích và xem xét sơ bộ tính hội tụ của nó Đây

là một lĩnh vực quan trọng của toán học và có nhiều ứng dụng thiết thực trong: Vật

lý, Cơ học, Kỹ thuật, Công nghệ, cho nên đã được quan tâm nghiên cứu rất

nhiều Các kết quả về lĩnh vực này vô cùng phong phú, đa dạng, và những gì chúng

ta đã biết trong giáo trình giải tích nói trên mới chỉ là những kiến thức ban đầu

Toàn bộ chương này chúng ta dành để tiếp tục công việc tìm hiểu lĩnh vực thú vị

đó

8.1.1 Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier

Trước hết ta nhắc lại rằng chuỗi Fourier của một hàm f khả tích tuần hoàn

trên đoạn [−π π, ] là chuỗi lượng giác

0 1

n u ku

u

=

++ ∑ = khi u≠2mπ, m ]∈ , ta suy ra

sin2

= , có tên gọi là nhân Dirichlet, còn tích phân ở vế

phải của biểu thức trên có tên gọi là tích phân Dirichlet Dễ thấy rằng nhân

Dirichlet là một hàm chẵn, liên tục, tuần hoàn với chu kỳ 2π và

D x D x D x x

−

Bổ đề Nhân Fejer Φn( )x có những tính chất sau đây:

(i) Nhân Fejer Φn( )x là chẵn, liên tục, tuần hoàn với chu kỳ 2π ;

sin [( 1) / 2]

( )( 1)sin ( / 2)

n x

Đẳng thức trên đúng với mọi x khác 0 Nhưng do vế phải là hàm liên tục và vế trái

có giới hạn là n+1 khi x tiến tới 0, cho nên ta suy ra Φn(0)= + Từ công thức n 1trên ta suy ra các tính chất (i)-(ii) Tính chất (iii) có ngay từ công thức tích phân

nhân Dirichlet (bằng 1 với mọi n) và tính chẵn của nhân Fejer Tính chất (iv) suy ra

từ nhận xét sau đây:

Bổ đề đã được chứng minh xong

Định lý (Fejer) Nếu hàm số f là liên tục trên đoạn [−π π, ] và f(− =π) f( )π

thì tổng Fejer σn( )x hội tụ đều tới hàm f trên đoạn đó khi n → ∞

Chứng minh Do các điều kiện của định lý, ta có thể thác triển hàm f thành một

hàm liên tục, tuần hoàn trên toàn bộ trục số (với chu kỳ 2π) Từ bổ đề trên ta suy ra

Do hàm f là liên tục và tuần hoàn cho nên nó liên tục đều trên toàn trục số Suy ra,

với mỗi số ε > cho trước, tồn tại số 0 δ > sao cho 0

ε

−

Dễ thấy rằng hàm f bị chặn bởi một số M nào đó cho nên, từ tính chất (iv) trong

bổ đề trên, ta suy ra tồn tại số tự nhiên nε đủ lớn sao cho với n n≥ thì 2 tích phân εcòn lại đều nhỏ hơn / 3ε , và tổng hợp lại ta có

| ( )f x −σn( ) |x ≤ε , ∀ ≥n nε Định lý đã được chứng minh xong

Nhận xét Ta đã biết rằng chuỗi Fourier của một hàm liên tục không nhất thiết hội

tụ tại mỗi điểm, và do đó khả năng thiết lập lại hàm số từ chuỗi Fourier của nó là rất mỏng manh Tuy nhiên, định lý trên đây đã đưa ra một phương pháp mới, thiết

lập lại hàm số không phải trực tiếp từ tổng riêng của chuỗi Fourier, mà từ các trung

bình cộng của chúng (tức là các tổng Fejer) Phương pháp này ưu việt ở chỗ nó

không chỉ đem lại tính hội tụ, mà còn hội tụ đều, tới chính hàm f Như vậy, việc

nghiên cứu các chuỗi phân kỳ cũng có lúc đem lại hiệu quả bất ngờ

Phương pháp nghiên cứu các chuỗi bất kỳ (không nhất thiết là chuỗi lượng giác) bằng cách thiết lập các trung bình cộng của các tổng riêng và khảo sát tính

hội tụ của chúng được gọi là phương pháp lấy trung bình cộng

8.1.2 Tính đầy đủ của các hệ đa thức

Ta đã biết thế nào là đa thức đại số bậc n Bây giờ ta có thêm khái niệm đa

thức lượng giác bậc n, đó là các hàm có dạng

2 2 0

Định lý. (Weierstrass I) Nếu hàm f liên tục trên đoạn [−π π, ] và ( f − =π) f( )π

thì, với mỗi ε > , tồn tại đa thức lượng giác ( )0 T x sao cho

| ( )f x −T x( ) |<ε, ∀ ∈ −x [ π π, ] Chứng minh Suy ra từ định lý trên, vì mỗi tổng Fejer cũng là một đa thức lượng giác

Định lý (Weierstrass II) Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a,b] thì, với mỗi ε > , 0

tồn tại đa thức đại số P x sao cho ( )

| ( )f x −P x( ) |<ε, ∀ ∈x [ , ]a b Chứng minh Dùng phép đổi biến x a b a t

− rõ ràng là một đa thức Định lý đã được chứng minh

Nhận xét Định lý trên cho thấy rằng, với mọi hàm f liên tục trên đoạn [a,b], ta

luôn tìm được dãy đa thức ( ) P x hội tụ đều trên đoạn này tới hàm f Và từ đây suy n

ra rằng mọi hàm liên tục trên đoạn luôn có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi hội tụ đều của các đa thức (trên đoạn đó)

Điều này, theo một nghĩa nào đó, cho thấy rằng các hàm liên tục (vốn được đưa ra một cách trừu tượng và tổng quát) cũng không quá khác biệt với các đa thức, vốn rất quen thuộc với chúng ta Và ngoài ra, nó cũng làm thỏa mãn những người hay hình dung một hàm liên tục như một “biểu thức” nào đó

Định nghĩa Một hệ các hàm số ϕ ϕ1, 2, ,ϕn, xác định trên đoạn [a,b] được

gọi là đầy đủ đối với họ hàm số ℜ theo nghĩa xấp xỉ đều nếu như mọi hàm trong

họ này có thể xấp xỉ được bởi các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các hàm trong hệ nói trên với độ chính xác tuỳ ý

Nghĩa là, với mỗiε > , tồn tại hữu hạn các hàm 0 ϕ và các số (i λi i=1,2, , )k

sao cho

1 1

| ( ) [f x − λ ϕ( ) x + +λ ϕk k]| < ε, ∀ ∈x [ , ]a b

Từ các định lý trên ta có các mệnh đề sau

Mệnh đề Hệ các hàm lượng giác 1, cos , sin , cos 2 , sin 2 , ,cos ,sin x x x x nx nx,

là đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ đều đối với tập các hàm liên tục trên đoạn [−π π, ] và nhận giá trị như nhau ở 2 đầu mút của đoạn này

Chứng minh Suy ra từ định lý Weierstrass I

Mệnh đề Hệ các hàm lũy thừa 1, ,x x2, ,x n, là đầy đủ đối với tập các hàm liên tục trên đoạn bất kỳ (theo nghĩa xấp xỉ đều)

Chứng minh Suy ra từ định lý Weierstrass II

Chú ý Hệ các hàm lượng giác không thể là đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ đều đối với

họ các hàm liên tục trên đoạn [−π π, ] (bởi vì nếu không thì từ tính chất ( ) ( )

T − =π T π của các đa thức lượng giác sẽ kéo theo (f − =π) f( )π với mọi hàm liên tục f )

Người ta coi độ lệch toàn phương trung bình giữa 2 hàm f và g xác định trên

đoạn [a,b] là đại lượng

2

[ ( ) ( )]

b a

f x −g x dx

Đại lượng này còn có tên gọi là độ lệch toàn phương trung bình của f so với g (hay là của g so với f )

Định nghĩa Một hệ các hàm số ϕ ϕ1, 2, ,ϕn, xác định trên đoạn [a,b] được

gọi là đầy đủ đối với họ các hàm số ℜ theo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình

nếu như, với mỗi hàm f ∈ ℜ và với mọi số ε > , tồn tại một tổ hợp tuyến tính 0

hữu hạn của các hàm trong hệ nói trên có độ lệch toàn phương trung bình so với hàm f nhỏ hơn ε

Mệnh đề. Hệ các hàm lượng giác 1, cos , sin , cos 2 , sin 2 , ,cos ,sin , x x x x nx nx

là đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình đối với tập các hàm liên tục

trên đoạn [−π π, ] và nhận giá trị như nhau ở 2 đầu mút của đoạn này

Chứng minh Từ tính đầy đủ của hệ các hàm lượng giác theo nghĩa xấp xỉ đều ta suy ra, với mỗi sốε > , tồn tại đa thức lượng giác ( )0 T x sao cho

Mệnh đề đã được chứng minh xong

Nhận xét.Trong chứng minh trên, vì để sử dụng được tính đầy đủ của hệ các hàm

lượng giác theo nghĩa xấp xỉ đều mà ta phải giả thiết các hàm liên tục nhận giá trị như nhau tại 2 đầu mút của đoạn Sau này ta sẽ thấy rằng, theo nghĩa xấp xỉ toàn

phương trung bình, hệ các hàm lượng giác không những là đầy đủ trong lớp hàm

liên tục nói chung (nhận các giá trị bất kỳ tại 2 đầu mút cuối của đoạn), mà còn là

đầy đủ trong lớp hàm rộng hơn hẳn: lớp các hàm với bình phương khả tích Và trong lớp hàm này, với cách xấp xỉ theo nghĩa toàn phương trung bình, các tổng

riêng Fourier sẽ thể hiện được đầy đủ các ưu thế của mình, chứ không bị “yếu thế”

(so với tổng riêng Fejer) trong phép xấp xỉ đều như đã thấy trước đây Lớp của

những hàm này thường được ký hiệu là L2[−π π, ]

Mệnh đề. Hệ các hàm lũy thừa 1, ,x x2, ,x n, là đầy đủ đối với tập các hàm

liên tục trên đoạn bất kỳ theo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình

Chứng minh Tương tự như mệnh đề trên

8.1.3 Tính chất của các hệ số Fourier

Trong phần này, ta luôn hiểu tích phân theo nghĩa tích phân suy rộng Khi ấy

tính khả tích của một hàm số không kéo theo tính khả tích của bình phương của nó (và ngược lại) Thí dụ, hàm f x( ) 1/ | |= x là khả tích trên đoạn [ 1,1]− , còn bình phương của nó thì không Tuy nhiên, nếu hàm f chỉ có một số hữu hạn các điểm

đặc biệt (điểm không xác định) và là khả tích Riemann trên mọi đoạn bất kỳ không chứa các điểm này thì từ tính khả tích của f suy ra tính khả tích của f , vì ta luôn 2

có | | (1f ≤ +f2) / 2

Đối tượng chính mà chúng ta nghiên cứu trong phần này sẽ là những hàm khả tích cùng với bình phương của nó trên đoạn [−π π, ], và ta gọi chúng một cách

ngắn gọn là hàm với bình phương khả tích

Kết quả sau đây cho chúng ta thấy rằng tổng Fourier bậc n là xấp xỉ toàn

phương trung bình tốt nhất trong số các xấp xỉ bởi đa thức lượng giác bậc n của

Phần thứ 2 là hiển nhiên, vì rằng từ công thức trên ta suy ra

và cho n tiến ra vô cùng ta có ngay điều phải chứng minh

Nhận xét Bất đẳng thức Bessel cho thấy rằng đối với hàm có bình phương khả tích thì chuỗi

2

2 2 0

−

−

Chứng minh Suy ra từ chứng minh của định lý trên

8.1.4 Đạo hàm, tích phân và tính hội tụ của chuỗi Fourier

Lưu ý rằng không phải khi nào chuỗi Fourier của một hàm cũng hội tụ đến chính hàm đó, cho nên ta sẽ dùng biểu thức

0 1

để biểu thị rằng hàm f có khai triển Fourier là chuỗi ở vế phải

Mệnh đề. Cho hàm f liên tục trên đoạn [−π π, ] với ( f − =π) f( )π và có khai triển Fourier là

0 1

Nếu hàm f là khả vi từng khúc trên đoạn [−π π, ] thì chuỗi Fourier của f bằng '

chuỗi của đạo hàm các số hạng trong chuỗi Fourier hàm f , nghĩa là

trong đó, theo định nghĩa, ta có

1

n n

k (k ≥ , ngoài ra1) f( )i (− =π) f( )i ( )π , với i=1, ,k − Khi đó chuỗi Fourier 1

của f hội tụ đều đến hàm f trên đoạn [−π π, ], và ngoài ra

trong đó η là dãy số hội tụ đến 0 và ( ; ) n S x f là tổng riêng Fourier bậc n của n hàm f

Chứng minh Giả sử

0 1

Nhận xét Định lý trên cho thấy rằng hàm càng trơn (có đạo hàm bậc càng cao) thì chuỗi Fourier của nó hội tụ (đến hàm đó) càng nhanh, và do đó việc xấp xỉ nó bởi

đa thức Fourier càng tỏ ra chính xác Trong trường hợp riêng, khi hàm liên tục tuần hoàn với chu kỳ 2π là trơn từng khúc thì chuỗi Fourier của nó hội tụ đều đến chính nó

Định lý. Nếu f là hàm liên tục trên đoạn [−π π, ] có khai triển Fourier là

0 1

Nhận xét Việc xét chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn với chu kỳ 2l (tuỳ ý) được

quy về việc xét chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π nhờ phép đổi biến /

t=πx l, chuyển đoạn [ , ]−l l thành đoạn[−π π, ]

8.1.5 Dạng phức của chuỗi Fourier

Sử dụng công thức biểu diễn hàm lượng giác thông qua số phức

1cos

Công thức này được gọi là dạng phức của chuỗi Fourier

Lưu ý Trong công thức trên, cũng như các công thức sau này, ta hiểu tích phân của một hàm nhận giá trị phức ( )w x =u x( )+iv x( ), với u, v là các hàm số thực, được

những hàm khả tích tuyệt đối (có nghĩa | |, | |u v là khả tích) thì ta nói w là khả tích

tuyệt đối Tích phân suy rộng (của hàm phức với biến số thực) được định nghĩa hoàn toàn tương tự

8.1.6 Thí dụ

Trong phần này ta chỉ nghiên cứu một ví dụ đơn giản để nắm vững thêm về lý thuyết chuỗi Fourier Phần thực hành tính toán trên máy sẽ cho phép chúng ta đề cập đến những hàm phức tạp và đa dạng hơn về chủng loại

Tìm chuỗi Fourier của hàm f x( )= trên khoảng (−π,π) Sau khi cho hàm số x

nhận giá trị 0 tại 2 đầu

π

−

= ∫ = 0 , a n 1 f x( )cosnxdx

π π

n

n

+

− Như vậy chuỗi Fourier của f x( )= trên khoảng (−π,π) là như sau x

1

( 1)

n n

f x = trên khoảng bằng chu kỳ, ta quan sát đồ thị hàm số cùng với các tổng x

riêng này (các đồ thị được vẽ bằng máy, như đã trình bày trong các chương trước,

và sẽ được đề cập lại trong phần tính toán thực hành của chương này)

Một điều dễ nhận thấy rằng các tổng riêng của chuỗi Fourier chỉ xấp xỉ tốt trên

khoảng hở (vì tại các điểm đầu mút hàm số f là gián đoạn)

8.2 Tích phân Fourier

8.2.1 Biểu diễn hàm số bằng tích phân Fourier

Cho hàm số f khả tích tuyệt đối trên trục số thực Nếu, một cách hình thức, ta

thay việc tính tổng các số hạng theo chỉ số n bằng việc lấy tích phân theo một tham

số y, thì chuỗi Fourier sẽ được thay bằng tích phân sau đây (gọi là tích phân

Tương tự như đã thấy rằng tổng chuỗi Fourier của một hàm sẽ cho giá trị của chính hàm số (trong một số điều kiện nhất định), chúng ta sẽ chứng minh rằng tích phân Fourier của một hàm số cũng cho một biểu diễn của chính hàm số đó Trước hết ta cần kết quả bổ trợ sau

Bổ đề. Nếu hàm f là khả tích tuyệt đối trên khoảng (a,b), hữu hạn hoặc vô hạn,

Chứng minh Tương tự như chứng minh hệ số Fourier của một hàm khả tích thì

tiến đến 0 khi n tiến ra vô cùng (xem giáo trình Giải tích một biến)

Định lý. Cho hàm số f liên tục từng khúc trên mỗi đoạn hữu hạn và khả tích

tuyệt đối trên toàn trục số Nếu tại điểm x hàm số có đạo hàm phải ' ( ) f + x và đạo hàm trái ' ( ) f − x thì ta có

(Bởi vì, do tính liên tục từng khúc của f , ta có thể phân chia hình hộp− ≤ ≤ , ξ t ξ

0≤ ≤ thành một số hữu hạn các hộp nhỏ (bởi các đường song song với trục y η

Oy) sao cho trên mỗi hộp con hàm là liên tục theo cả 2 biến đến tận biên, nếu tại

biên ta lấy các giá trị giới hạn phải hoặc giới hạn trái của hàm)

Lưu ý rằng | ( )cos[ (f t y x t− )] | | ( ) |≤ f t , cho nên do tính khả tích tuyệt đối của hàm f ta suy ra tính hội tụ đều theo tham số y trên đoạn [0, ]η của tích phân sau

S f u x du

u

ηη

Do sự tồn tại của các đạo hàm phải của hàm f tại điểm x mà hàm

f x t f x

t

liên tục từng khúc (theo biến t) tại điểm 0 và do đó nó là khả

tích (tuyệt đối) trên đoạn[0,1] Do bổ đề ta có

1 0

Kết hợp lại ta suy ra điều cần chứng minh

Nhận xét Với các điều kiện của định lý, nếu hàm số f là liên tục tại x thì tích phân Fourier tại điểm x cho giá trị của chính hàm f

8.2.2 Dạng khác của công thức Fourier

Để việc trình bày được đơn giản hơn, trong phần còn lại ta luôn giả thiết rằng

f là hàm liên tục và thỏa mãn các điều kiện của định lý trên Khi ấy, theo nhận xét

đã nêu, ta có công thức Fourier sau đây:

( )sin[ ( )]

dy f t y x t dt

η η

∞

− −∞

−

∫ ∫

tồn tại và, do hàm dưới dấu tích phân là lẻ theo y, tích phân này bằng 0 Tuy nhiên,

điều này không đảm bảo cho sự tồn tại của tích phân suy rộng

Một cách tương tự, người ta định nghĩa được giá trị chính của tích phân suy rộng

tại một điểm nào đó (chứ không nhất thiết tại ∞ như trên)

Rõ ràng, nếu tích phân hội tụ thì giá trị chính của tích phân và bản thân tích phân là bằng nhau

Thí dụ Các tích phân suy rộng x dx

∞

−∞∫ và

1 1

dx x