ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN…
Trong chương trình Toán học cấp Trung học phổ thông, nội dung Xác suất – thống kê được giảng dạy ở lớp 10 và lớp 11, đây là một chủ đề khó khăn đối với học sinh và một số giáo viên Hiện nay, Xác suất – thống kê đang được ứng dụng rộng rãi trong cuộc sống và hầu hết các lĩnh vực khoa học như Vật lý, Hóa học, Y học và Kinh tế học.
Xã hội học… Vì vậy, việc giảng dạy nội dung Xác suất – thống kê có gắn liền với thực tiễn là hết sức quan trọng và cần thiết.
UNESCO khẳng định rằng xác suất và thống kê là những nội dung chủ chốt trong việc xây dựng học vấn hiện đại Hiện nay, hầu hết các quốc gia trên thế giới đã đưa môn học này vào chương trình giảng dạy tại các trường phổ thông và coi đây là môn học cơ sở bắt buộc cho nhiều ngành học ở bậc đại học.
Vào tháng 12 năm 2018, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã công bố chương trình giáo dục phổ thông môn Toán theo thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT, trong đó nhấn mạnh vai trò quan trọng của nội dung Xác suất – thống kê trong giáo dục Tuy nhiên, nhiều học sinh vẫn gặp khó khăn khi áp dụng kiến thức này vào thực tiễn và thường thắc mắc về mục đích học Toán Để giải quyết vấn đề này, tôi đã nghiên cứu bài toán đếm số tự nhiên nhằm giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo và hiểu rõ hơn về ứng dụng của xác suất trong cuộc sống Qua đó, học sinh sẽ nhận thức được giá trị của môn Toán và khơi dậy niềm yêu thích đối với nội dung chương học, đồng thời tạo điều kiện cho giáo viên dạy học theo hướng tích hợp liên môn.
Tôi đã nghiên cứu và đề xuất sáng kiến nhằm rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua việc dạy bài toán đếm số tự nhiên và ứng dụng của xác suất trong thực tiễn, kết hợp liên môn.
MÔ TẢ GIẢI PHÁP
Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
Sáng kiến của tôi đưa ra có 2 phần:
Phần A: Rèn luyện tư duy cho học sinh qua dạy học bài toán đếm số tự nhiên
Phần B: Vận dụng kiến thức Xác suất trong bài toán thực tiễn, liên môn
Trong nội dung phần 1, tôi hệ thống lại kiến thức cơ bản, liên quan và các dạng bài tập của bài toán đếm số tự nhiên
1 Đếm số tự nhiên chẵn lẻ, các chữ số khác nhau
2 Đếm số chia hết cho các số 3, 4, 5,…
3 Đếm số nằm trong khoảng cho trước
4 Tính tổng các chữ số lập được
5 Đếm các số tự nhiên xuất hiện lặp lại n lần (n≥1 )
6 Đếm các số tự nhiên mà có hai hay nhiều chữ số đứng cạnh nhau
Trong bài viết này, tôi đã phân tích và đưa ra nhiều phương pháp giải cho từng dạng bài toán, đồng thời chỉ ra những lỗi sai phổ biến mà học sinh thường gặp Bên cạnh đó, tôi cũng đề xuất các phương hướng mở rộng để khai thác bài toán từ nhiều góc độ khác nhau, giúp học sinh nhanh chóng hệ thống hóa các dạng bài, phát triển tư duy, đặc biệt là tư duy sáng tạo Cuối phần 1, tôi cung cấp một số bài tập gợi ý từ các đề thi thử THPT Quốc Gia trong những năm gần đây, nhằm giúp học sinh rèn luyện và thử thách bản thân.
Trong phần 2, tôi trình bày những kiến thức thực tiễn hữu ích từ các môn học liên quan, áp dụng kiến thức về Xác suất trong môn Toán, nhằm giúp giáo viên và học sinh có cái nhìn đa chiều hơn về mối liên hệ giữa các lĩnh vực Nội dung này thể hiện sự tích hợp liên môn giữa Toán học và các lĩnh vực như Đời sống, Kinh tế, Y học, Sinh học, Hóa học, và Tin học Khi tiếp cận nội dung này, học sinh sẽ cảm thấy hứng thú và chủ động hơn trong việc khám phá kiến thức mới.
RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH QUA DẠY HỌC BÀI TOÁN ĐẾM SỐ TỰ NHIÊN
2.1.1 Các quy tắc cơ bản
Quy tắc cộng trong toán học cho biết rằng nếu một công việc có thể hoàn thành bằng hai hành động khác nhau, trong đó hành động đầu tiên có m cách thực hiện và hành động thứ hai có n cách thực hiện không trùng lặp với hành động đầu tiên, thì tổng số cách thực hiện công việc đó là m + n Quy tắc này cũng áp dụng cho các công việc có nhiều hành động khác nhau.
Chú ý: các hành động phải phân biệt nhau.
Quy tắc nhân trong toán học cho biết rằng khi một công việc được thực hiện thông qua hai hành động liên tiếp, nếu có m cách thực hiện hành động đầu tiên và n cách thực hiện hành động thứ hai tương ứng, thì tổng số cách hoàn thành công việc sẽ là m nhân với n Quy tắc này cũng áp dụng cho các công việc có nhiều hành động liên tiếp.
Hoán vị là khái niệm trong toán học, liên quan đến việc sắp xếp thứ tự của n phần tử trong tập hợp A, với n ≥ 1 Mỗi cách sắp xếp khác nhau của n phần tử được gọi là một hoán vị Tổng số hoán vị của n phần tử được tính bằng công thức P(n) = n! = n × (n - 1) × × 2 × 1.
Chỉnh hợp là khái niệm trong toán học, được định nghĩa cho một tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) Kết quả của việc chọn k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nhất định được gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử Số lượng các chỉnh hợp chập k của n phần tử được tính bằng công thức A(n, k) = n! / (n-k)!, hay n(n-1) (n-k+1).
- Tổ hợp: Cho tập hợp A có n phần tử, n≥1 Mỗi tập con gồm k phần tử của
A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho Số các tổ hợp chập k của n phần tử là ( 1) ( 1) !
= = − Bảng so sánh hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp:
Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp
Sắp xếp vị trí của n Có n phần tử
Lấy ra k phần tử và
Trong toán học, C n k biểu thị số cách chọn k phần tử từ n phần tử Hai tính chất cơ bản của C n k là: C n k = C n n k − và C n k − 1 + C n k − 1 = C n k Điều này cho thấy mối quan hệ giữa các số tổ hợp và cách sắp xếp vị trí của chúng.
2.1.2 Khái niệm biến cố và xác suất của biến cố
Phép thử ngẫu nhiên là một loại thử nghiệm mà kết quả không thể được dự đoán trước, mặc dù người ta đã biết rõ tất cả các kết quả có thể xảy ra.
Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử, được ký hiệu là Ω (đọc là ô – mê – ga).
Biến cố là một tập con của không gian mẫu, trong đó tập ∅ được gọi là biến cố không thể và tập Ω là biến cố chắc chắn Ngoài ra, còn có các loại biến cố khác như biến cố đối, biến cố hợp, biến cố giao, biến cố xung khắc và biến cố độc lập.
2.1.3 Các phép toán trên biến cố
Tập \Ω A được gọi là biến cố đối của biến cố A Kí hiệu:
Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.
- Tập A∪B được gọi là hợp của biến cố A và B
- Tập A∩B được gọi là giao của biến cố A và B.
- Nếu A∩ = ∅B thì ta nói A và B là xung khắc.
Biến cố A và B được coi là độc lập khi sự xảy ra hay không xảy ra của A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của B Theo định nghĩa cổ điển về xác suất, nếu A là một biến cố trong một phép thử với số kết quả hữu hạn và đồng khả năng xuất hiện, thì xác suất của A có thể được xác định dựa trên các kết quả này.
Ω ) là xác suất của biến cố A.
2.1.4 Các tính chất của xác suất
P A B∪ = P A +P B −P A B∩ , với mọi biến cố A, B bất kì;
P AB =P A P B khi và chỉ khi A, B độc lập.
2.1.5 Các quy tắc, tính chất khi đếm các số tự nhiên
• Khi lập một số tự nhiên
+) x là số chẵn ⇔ a n là số chẵn
+) x là số lẻ ⇔ a n là số lẻ
+) x chia hết cho 3 (hay 9) ⇔ + + + a 1 a 2 a n chia hết cho 3 (hay 9)
⇔ chia hết cho 4 (hay 25) +) x chia hết cho 5 ⇔ ∈a n { } 0;5
⇔ chia hết cho 8 (hay 125) +) x chia hết cho 11 ⇔ tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho 11
+) x chia hết cho 6 ⇔ x là số chẵn và chia hết cho 3
+) x chia hết cho BCNN m n ( , ) ⇔ x chia hết cho m và x chia hết cho n
2.2 Các bài toán đếm số tự nhiên
2.2.1 Đếm số tự nhiên chẵn lẻ, các chữ số khác nhau
Bài toán: Từ các số cho trước, lập được bao nhiêu số tự nhiên có n chữ số
Cách 1: Lần lượt chọn các chữ số cho các vị trí a a 1, , ,2 a n
Cách 2: Chọn ra n chữ số rồi sắp xếp vào n vị trí a a 1 , , , 2 a n
+) Nếu tập đã cho không có số 0 thì chọn vị trí nào trước đều được Nếu tập đã cho có số 0 thì ưu tiên chọn vị trí a 1 trước ( a 1 ≠ 0 )
+) Nếu yêu cầu lập các chữ số chẵn thì ưu tiên chọn vị trí a n Nếu tập đã cho chứa chữ số 0 thì phải chia 2 trường hợp a n =0, a n ≠0.
Khi yêu cầu tạo ra số tự nhiên với n chữ số khác nhau, cần lưu ý rằng mỗi chữ số được chọn cho vị trí sau phải loại bỏ các chữ số đã được sử dụng ở các vị trí trước đó.
Ví dụ 1: Từ các số 3, 5, 7 có thể viết được bao nhiêu số có các chữ số khác nhau.
Bài toán này rất đơn giản và có thể được giải theo nhiều cách khác nhau, giúp học sinh hiểu rõ phương pháp làm Việc chia bài toán thành các trường hợp độc lập cho phép áp dụng quy tắc cộng Giáo viên có thể thay đổi đề bài bằng cách bỏ từ “khác nhau” để học sinh dễ dàng so sánh và phân biệt các khái niệm, từ đó nắm chắc vấn đề hơn.
Cách 1: Liệt kê + hướng dẫn bằng sơ đồ hình cây
- Số có 1 chữ số là các số 3; 5; 7.
- Số có 2 chữ số là các số 35, 37, 53, 57, 73, 75.
- Số có 3 chữ số là các số 357, 375, 537, 573, 735, 753.
Vậy số các số cần tìm là: 3 + 6 + 6 = 15 (số)
- Số có 1 chữ số có dạng a : có 3 cách chọn a Vậy có 3 (số có 1 chữ số).
- Số có 2 chữ số có dạng ab :
Có 3 cách chọn a Ứng với mỗi cách chọn a , có 2 cách chọn b
Vậy số các số có 2 chữ số là 3.2 6= (số).
Có 3 cách chọn a Ứng với mỗi cách chọn a , có 2 cách chọn b Ứng với mỗi cách chọn a b , , có 1 cách chọn c
Vậy số các số có 3 chữ số là 3.2.1 6= (số).
Vậy số các số cần tìm là: 3 + 6 + 6 = 15 (số)
- Số có 1 chữ số: có A 3 1 =3 số.
- Số có 2 chữ số: có A 3 2 =6 số.
- Số có 3 chữ số: có A 3 3 =6 số.
Vậy số các số cần tìm là: 3 + 6 + 6 = 15 (số)
Tuy đây là một bài toán đơn giản nhưng học sinh có thể nhầm lẫn đề bài khi chỉ kể các số có 3 chữ số.
Ví dụ 2: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể viết được bao nhiêu a) Số có 4 chữ số. b) Số có 4 chữ số khác nhau? Trong đó, có bao nhiêu số chẵn.
Bài toán này tương đối đơn giản do tập hợp số không chứa chữ số 0 Chúng ta có thể lựa chọn bất kỳ đối tượng nào trước, và từ mỗi lựa chọn đó, tiếp tục chọn các đối tượng còn lại, vì vai trò của các đối tượng trong việc chọn là như nhau.
Khi tìm các số chẵn, ưu tiên chọn các chữ số tận cùng trước, trong khi các chữ số còn lại có thể được chọn theo thứ tự tùy ý.
Giáo viên nhấn mạnh sự khác biệt trong cách làm câu a và câu b, giúp học sinh nhận diện rõ ràng Học sinh cần lưu ý rằng để đếm số có 4 chữ số, nên áp dụng quy tắc nhân, trong khi để đếm số có 4 chữ số khác nhau, cần sử dụng phương pháp chỉnh hợp.
Giải: a) Gọi số có 4 chữ số cần tìm là abcd.
Có tổng cộng 6 cách để chọn a Đối với mỗi cách chọn a, có 6 cách chọn b tương ứng Tương tự, với mỗi cặp a và b đã chọn, có 6 cách chọn c Cuối cùng, cho mỗi bộ a, b, và c, có 6 cách chọn d.
Vậy số các số có 4 chữ số cần tìm là 6.6.6.6 = 1296 (số)
Hướng dẫn bằng sơ đồ hình cây (tương tự bài 1). b) Gọi số có 4 chữ số khác nhau là abcd
VẬN DỤNG KIẾN THỨC XÁC SUẤT TRONG BÀI TOÁN THỰC TIỄN VÀ LIÊN MÔN
Nội dung bài viết này nhằm giúp học sinh tiếp cận kiến thức chương Xác suất thống kê một cách gần gũi và đa chiều Giáo viên có thể phát triển ý tưởng giảng dạy tích hợp liên môn dựa trên định hướng đổi mới giáo dục của Bộ Giáo Dục Học sinh sẽ được khuyến khích tự tìm tòi và báo cáo theo nhóm, từ đó tạo sự hứng thú và tích cực trong việc tiếp nhận kiến thức mới Giáo viên cũng có thể định hướng thông tin để học sinh dễ dàng tìm hiểu, và giao bài tập phù hợp Dưới đây là các nội dung kiến thức liên quan đến Xác suất và bài tập ứng dụng cho các hiểu biết đó.
Nội dung 1: Sinh học a) Kiến thức liên quan (Tổ hợp nhiễm sắc thể)
Việc sinh con theo mong muốn về giới tính không phải là điều dễ dàng, nhưng việc hiểu xác suất sinh ra những đứa trẻ khỏe mạnh, không mắc các bệnh di truyền lại rất quan trọng Điều này cần được chuẩn bị kỹ lưỡng cho giới trẻ khi họ quyết định xây dựng tổ ấm của mình.
Hiểu biết về giảm phân và đột biến số lượng nhiễm sắc thể giúp chúng ta nắm vững kiến thức về nguồn gốc nhiễm sắc thể Để giải quyết các bài toán liên quan đến nguồn gốc nhiễm sắc thể trong sinh sản hữu tính, cần hiểu rõ bản chất của cặp nhiễm sắc thể tương đồng, trong đó một nhiễm sắc thể đến từ bố và một từ mẹ Trong quá trình giảm phân tạo giao tử, mỗi nhiễm sắc thể trong cặp tương đồng sẽ phân li về một giao tử, dẫn đến sự hình thành hai loại giao tử có nguồn gốc khác nhau từ bố hoặc mẹ.
Bộ nhiễm sắc thể lưỡng bội của con người là 2n = 46 Để tính xác suất một giao tử mang 5 nhiễm sắc thể từ mẹ, ta cần áp dụng các quy tắc di truyền Ngoài ra, xác suất để một cá nhân có 1 nhiễm sắc thể từ ông nội và 21 nhiễm sắc thể từ bà ngoại cũng cần được tính toán dựa trên các yếu tố di truyền và phân bố nhiễm sắc thể.
( ) 2 23 n Ω = a) Gọi A là biến cố “một giao tử mang 5 nhiễm sắc thể từ mẹ”.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: n A ( ) = C 23 5
Xác suất một giao tử mang 5 nhiễm sắc thẻ từ mẹ là:
Ω b) Gọi B là biến cố “một người mang 1 nhiễm sắc thể của ông nội và 21 nhiễm sắc thể của bà ngoại”.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là: n B ( ) = C C 1 23 23 21 = 5819
Xác suất một giao tử mang 1 nhiễm sắc thể ông nội và 21 nhiễm sắc thể bà ngoại là:
Nội dung 2: Tin học a) Kiến thức liên quan (Mã hóa – thư mật)
Trong mật mã học, mã hóa là phương pháp chuyển đổi thông tin như phim ảnh, văn bản và hình ảnh từ định dạng dễ hiểu sang dạng không thể hiểu được nếu thiếu công cụ giải mã Đây là một lĩnh vực quan trọng trong toán học ứng dụng cho công nghệ thông tin.
Giải mã là quá trình chuyển đổi thông tin từ dạng mã hóa trở về dạng thông tin gốc, tức là quá trình ngược lại của mã hóa.
Một hệ thống mã hóa bao gồm các thành phần:
- Thông tin trước khi mã hóa, kí hiệu là P (Plaintext)
- Thông tin sau khi mã hóa, kí hiệu là C (Ciphertext)
- Chìa khóa, kí hiệu là K (Key)
- Phương pháp mã hóa/giải mã, kí hiệu là E/D (Encrytion/Decrytion)
Quá trình mã hóa diễn ra khi hàm toán học E được áp dụng lên thông tin P, được biểu diễn dưới dạng số, để tạo ra thông tin đã mã hóa C.
Quá trình giải mã được tiến hành ngược lại: Áp dụng hàm D lên thông tin C để được thông tin giải mã P.
Mã hóa đóng vai trò thiết yếu trong giao dịch điện tử, bảo vệ bí mật và toàn vẹn thông tin khi truyền tải qua mạng Nó là nền tảng cho các kỹ thuật như chữ ký điện tử và hệ thống PKI, giúp nâng cao tính bảo mật trong các giao dịch trực tuyến.
Một chàng trai muốn gửi một bức thư mật với nội dung "M you in the Park", trong đó "M." là viết tắt của từ "Meet" Anh đã sử dụng hoán vị các chữ cái để mã hóa nội dung Bức thư được coi là mã hóa bí mật nếu từ "Park" không nằm ở vị trí cuối cùng trong dãy chữ cái Anh ta thực hiện việc mã hóa một cách ngẫu nhiên, và bài toán đặt ra là tính xác suất để bức thư được mã hóa bí mật.
+ Vì bức thư có 13 chữ cái khác nhau nên số khả năng có thể mã hóa bức thư là:
+ Nếu từ Park xuất hiện ở vị trí cuối cùng của dãy thì có 9! cách mã hóa Nên số cách mã hóa bí mật bức thư là: 13! – 9!
+ Xác suất để bức thư được mã hóa là: 13! 9! 0,9999417
Nội dung 3: Hóa học a) Kiến thức liên quan (Đồng vị)
Các nguyên tử của cùng một nguyên tố hóa học có thể có số khối khác nhau do hạt nhân của chúng có cùng số proton nhưng khác số nơtron.
Các đồng vị của một nguyên tố hóa học là những nguyên tử có số proton giống nhau nhưng khác nhau về số nơtron, dẫn đến sự khác biệt về số khối A Tất cả các đồng vị này đều được xếp vào cùng một ô nguyên tố trong bảng tuần hoàn.
Ví dụ: nguyên tố hiđro có ba đồng vị 1 1 H H H , 2 1 , 1 3
Sơ đồ cấu tạo nguyên tử 3 đồng vị của nguyên tố Hidro.
Phần lớn các nguyên tố hoá học tồn tại dưới dạng hỗn hợp của nhiều đồng vị, với khoảng 340.340 đồng vị tự nhiên và 2.400 đồng vị nhân tạo được tổng hợp Các đồng vị của cùng một nguyên tố có số nơtron khác nhau trong hạt nhân, dẫn đến sự khác biệt về một số tính chất vật lý.
Ví dụ: Ở trạng thái đơn chất, đồng vị 17 35 Cl có tỉ số khối lớn hơn, nhiệt độ nóng chảy và nhiệt độ sôi cao hơn đồng vị 17 37 Cl
Các đồng vị được phân chia thành hai loại: bền và không bền Đặc biệt, hầu hết các đồng vị có số hiệu nguyên tử lớn hơn 83 (Z>83) là không bền, và chúng được gọi là các đồng vị phóng xạ.
It seems that this video doesn't have a transcript, please try another video.
Giáo viên cho học sinh nhận xét về vị trí của 2 nguyên tử Hidro trong phân tử nước Sau đó, giáo viên cho học sinh làm bài tập sau.
Nguyên tử Hidro có 3 đồng vị: ^1H, ^2H, và ^3H, trong khi nguyên tử Oxi cũng có 3 đồng vị: ^16O, ^17O, và ^18O a) Từ các đồng vị này, có thể tạo thành 9 phân tử nước khác nhau b) Khi tất cả đồng vị của Hidro và Oxi phản ứng hoàn toàn ở nhiệt độ 550°C với khối lượng bằng nhau, xác suất để phân tử nước chỉ được tạo thành từ 1 loại đồng vị Hidro là rất đáng chú ý.
