Sang kien kinh nghiem mon toan thpt

Trong những vấn đề về hình học không gian trong hệ toạ độ Oxyz, bài toán về vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng là một trở ngại không nhỏ khiến cho học sinh không

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng, nhưng mô hình ứng dụng của nó rất gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng Toán học là một học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học trung học phổ thông Tuy nhiên, nó là một môn học khó, khô khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình

Trong những vấn đề về hình học không gian trong hệ toạ độ Oxyz, bài toán về vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng là một trở ngại không nhỏ khiến cho học sinh không ít ngỡ ngàng, bối rối Là một giáo viên dạy toán bậc trung học phổ thông, được phân công giảng dạy môn toán 12 tôi thấy trăn trở vấn đề này Vấn đề đặt ra là làm thế nào giúp học sinh giải thành thạo các bài tập vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng

Bài toán về vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng

đã được đưa nhiều vào trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Khi gặp phải dạng toán này học sinh thường gặp khó khăn trong việc liên hệ các giả thiết cùng tính chất trong từng trường hợp về vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng, đường thẳng với nhau để đưa ra lời giải Hơn nữa, hệ thống bài tập về phần này trong sách giáo khoa không nhiều

Quá trình giảng dạy và nghiên cứu tôi đã hệ thống được một số bài toán theo từng dạng giả thiết và yêu cầu để học sinh được rèn luyện nhiều hơn và có

hệ thống giúp các em có thể giải được một cách dễ dàng hơn khi gặp phải những bài toán khó

Từ lý do trên, tôi xin trình bày sáng kiến trong dạy học với đề tài: “Giải một số bài toán về vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu, giữa đường thẳng

và mặt cầu”

Giúp các em học sinh lớp 12 nắm vững các kiến thức cơ bản và nâng cao

về phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng, phương trình mặt cầu, vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu, vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu Từ đó giúp các em có thể giải các bài tập từ dễ đến khó về phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng, phương trình mặt cầu, vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu, vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Thực trạng vấn đề

Qua quá trình giảng dạy môn toán lớp 12 tôi thấy đa số các em ngại tư duy, chưa biết cách xác định bài toán, mặc dù những kiến thức đó đã được học trong chương trình lớp 11 Chỉ có một số em là còn nhớ được mang máng cách làm nhưng hiệu quả chưa cao

Với kiến thức vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng, học sinh thường gặp khó khăn về xác định điều kiện để mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu, mặt phẳng cắt mặt cầu, mặt phẳng không cắt mặt cầu,đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu, đường thẳng cắt mặt cầu và đường thẳng không cắt mặt cầu

Vì vậy việc hướng dẫn các em giải các bài toán về vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng là việc làm rất cần thiết

2.Các biện pháp giải quyết vấn đề

2.1 Một số kiến thức cơ bản

a)Mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình là

(x a− ) 2 + − (y b) 2 + − (z c) 2 =R2

b) Mặt phẳng (P) có VTPT nr= ( ; ; )A B C và đi qua điểm A x y z( ; ; ) 0 0 0 Khi đó (P)

có phương trình là A x x( − 0 ) +B y y( − 0 ) +C z z( − 0 ) 0 =

c) Đường thẳng ∆ có VTCP ur= ( ; ; )a b c và đi qua điểm Khi đó ∆ có PTTS là

0 0 0

x at x

y bt y t

z ct z

= +





 = +



¡

Nếu abc≠ 0 thì ∆có PTCT: x x0 y y0 z z0

d)Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng.

Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và mặt phẳng (P) Kí hiệu d =d I P( ,( )) Khi

đó ta có:

- Nếu d>R thì (S) và (P) không có điểm chung Ta nói mp(P) không cắt mặt cầu (S)

- Nếu d=R thì (S) và (P) có điểm chung duy nhất Ta nói mp(P) và mặt cầu (S) tiếp xúc với nhau Điểm chung gọi là tiếp điểm

- Nếu d<R thì (S) và (P) có vô số điểm chung Các điểm chung tạo thành một đường tròn Ta nói (P) cắt mc(S)

Tính chất:

- Nếu (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A thì IA⊥ ( )P

- Nếu (P) cắt mặt cầu (S) thì giao tuyến là đường tròn có tâm là hình chiếu của I lên (P) và bán kính đường tròn giao tuyến r= R2 −d2

- Nếu (P) không cắt mặt cầu (S) thì với hai điểm M ∈ ( ),S N∈ ( )P mà MN có độ dài nhỏ nhất khi và chỉ khi N là hình chiếu của I lên (P) và M là giao điểm của đoạn IN với (S)

e) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng.

Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và đường thẳng ∆, kí hiệu d =d I( ; ) ∆ Khi

đó

- Nếu d>R thì ∆ và (S) không có điểm chung Ta nói∆ không cắt mặt cầu (S)

- Nếu d=R thì ∆ và (S) có một điểm chung duy nhất Ta nói đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu

- Nếu d<R thì ∆ và (S) có hai điểm chung Ta nói ∆ cắt mặt cầu

Tính chất:

- Nếu ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A thì IA⊥ ∆

- Nếu ∆ cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A và B thì AB= 2 R2 −d2

- Nếu ∆ không cắt mặt cầu (S) thì với hai điểm M ∈ ( ),S N∈ ∆ ( ) mà MN có độ dài nhỏ nhất khi và chỉ khi N là hình chiếu của I lên (∆) và M là giao điểm của đoạn IN với (S)

2.2Bài toán về đường thẳng và mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu.

Ví dụ 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng : 1 2

x y− z−

mặt phẳng (P): 2x-y-2z+2=0 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên ∆, tiếp xúc với (P) và có bán kính là 2

Phân tích: Do mặt cầu đã có bán kính nên chỉ cần tìm tọa độ tâm Tâm I thuộc

∆ nên I phụ thuộc 1 biến tham số Dựa vào khoảng điều kiện tiếp xúc ta tìm được I

Giải:

PTTS của ∆:

2

2 1

4 2

x t

y t

z t

=



 = +



 = +



Gọi I là tâm mặt cầu, do I∈ ∆, gọi I(2t; 2t+1; 4t+2)

Có mặt cầu tiếp xúc với (P) và có bán kính là 2

| 4 2 1 8 4 2 |

3 1

2 3 2

t t

− − − − +

 =



 =



Với 1

2

t= , I(1; 2; 4), phương trình mặt cầu (S) là:

(x− 1) + − (y 2) + − (z 4) = 4

Với 3

2

t= −

, I(-3; -2; -4), phương trình mặt cầu (S):

Ví dụ 2

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

:

x y+ z−

− và mặt phẳng (P): 2x y− −2z− =6 0 Viết phương trình

mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng tại A(0; -1; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm B(1; 0; -2)

Phân tích: Nếu gọi I là tâm mặt cầu thì ta có

IA u IB n, //

IA IB

 ⊥





=



uur r uur r

với ur là VTCP của ∆ và nr là VTPT của (P)

Giải:

Đường thẳng ∆ có VTCP ur= (4;1; 1) − Mp(P) có VTPT là nr= (2; 1; 2) − − Gọi

I là tâm mặt cầu (S)

Gọi d là đường thẳng qua B và vuông góc với (P) d có VTCP là ' (2; 1; 2)

uur r= =n − −

PTTS của d là x= + 2t 1;y= −t z; = − − 2t 2.

(S) tiếp xúc với (P) tại B suy ra I thuộc d Gọi I t(2 + − − − 1; ; 2t t 2)

Có uurAI t(2 + − + − − 1; t 1; 2t 4), uurBI t t(2 ; ; 2 ) − − t

(S) tiếp xúc với ∆ tại A và tiếp xúc với (P) tại B, nên

4(2 1) 1 2 4 0 (2 1) ( 1) (2 4) (2 ) (2 ) 1

1

1 4 4 4 1 4

AI u

AI BI

t

t

+ − + + + =

=



= −



uur r

Suy ra tâm I(-1; 1; 0), bán kính (S) là R=3 Phương trình (S) là

(x+ 1) 2 + − (y 1) 2 +z2 = 9

(x+ 3) 2 + + (y 2) 2 + + (z 4) 2 = 4

Ví dụ 3

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: x=-2t; y=t;

z=-1-2t và mặt cầu (S): x2 +y2 + −z2 2x− 2y= 0 Viết phương trình các đường tiếp tuyến của (S) biết tiếp tuyến song song với d và nằm trong mặt phẳng chứa d

và đi qua tâm mặt cầu

Phân tích: - Tiếp tuyến song song với d nên tiếp tuyến đã có phương Vậy

để có phương trình của tiếp tuyến chỉ cần tìm thêm tiếp điểm

- Nếu gọi M là tiếp điểm thì điều kiện của M là

( ) ( , )

M I d

MI d

∈



 ∈





Giải:

mc(S) có tâm I(1; 1; 0), bán kính R= 2 Đường thẳng d có VTCP ( 2;1; 2)

ur= − −

Gọi H là hình chiếu của I lên d H(-2t; t; -1-2t)

Ta có HIuur= + (1 2 ;1t −t;1 2 ) + t Do H là hình chiếu của I lên d nên

HI ⊥ ⇔u

uur r

-2(1+2t)+1-t-2(1+2t) = 0 <=> 1

3

t = −

2 1 1

3 3 3

Gọi d’ là đường thẳng qua I và H

Ta có d’ có VTCP ( ; ; )1 4 1

3 3 3

HI =

uur

(1; 4;1)

v

⇒ =r cũng là VTCP của d’

PTTS của d’ là x=t+1; y=4t+1; z=t

Gọi M là giao điểm của d’ và (S) M(t+1; 4t+1; t)

Do M thuộc (S) ta có 2 1 1

3 3

Gọi ∆ là tiếp tuyến cần tìm Ta có M là tiếp điểm của ∆ và (S) Do ∆// d nên véctơ chỉ phương của d cũng là véctơ chỉ phương của ∆

Với 1 ( ; ; )4 7 1

3 3 3 3

t = ⇒M , phương trình tham số của ∆

2 4; 7; 2 1

Với 1 ( ;2 1; 1)

2.3 Bài toán về đường thẳng và mặt phẳng cắt mặt cầu

Ví dụ 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S):

x +y + −z x+ y− z− = , mặt phẳng (P): x− 2y+ 2z+ = 1 0và điểm A(5; 0; 1) Viết phương trình mặt phẳng ( )α đi qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi là

8π

Phân tích :

- Mặt phẳng ( )α để có phương trình thì cần có VTPT

- Giao tuyến có chu vi nên tính được khoảng cách từ tâm I của mặt cầu tới ( )α

- Dựa điều kiện vuông góc với (P) và khoảng cách từ I đến ( )α ta tìm được VTPT của ( )α từ đó suy ra phương trình cần tìm

Giải

Mặt cầu (S) có tâm I(1; -1; 2) và bán kính R=5 mặt phẳng (P) có VTPT

1 (1; 2;2)

nr = −

Gọi nr= ( ; ; ),A B C A2 +B2 +C2 ≠ 0 là VTPT của mp( )α .

Ta có nr⊥ ⇔ −nur1 A 2B+ 2C = ⇔ = 0 A 2(B C− ) (1)

Mp( )α cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi 8π , suy ra đường tròn giao tuyến có bán kính r=4

Suy ra khoảng cách từ I đến ( )α là d = R2 −r2 = 3 (*)

mp( )α qua A nên phương trình có dạng

A x( − + 5) By C z+ ( − = 1) 0

4

Thế A từ (1) vào (2) ta biến đổi thành phương trình

2B2 − 5BC+ 2C2 = ⇔ = 0 B 2C hoặc 1

2

B= C

Với B=2C, chọn C=1, ta có nr= (2;2;1), phương trình mp( )α

2x+2y+z-11=0

Với C=2B, chọn B=1, ta có nr= − ( 2;1;2), phương trình mp( )α

2x-y-2z-8=0

Ví dụ 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương

trình x2 +y2 + −z2 2x+ 4y− 6z− = 11 0 và mặt phẳng (P):2x+ 2y z− − = 1 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có diện tích là 9π

Phân tích: Mặt phẳng (Q) đã có VTPT nên để có phương trình (Q) cần tọa

độ một điểm hoặc hệ số D trong phương trình

Do đường tròn giao tuyến có diện tích nên ta tính được khoảng cách từ tâm mặt cầu đến (Q) Do vậy ta tìm được hệ số D trong phương trình của (Q)

Đường tròn có diện tích là 9π, suy ra bán kính đường tròn giao tuyến là r=3 Mặt cầu (S) có tâm là I(1; 2;3) − , bán kính R=5

Gọi mp(Q) là mặt phẳng cần tìm Do (Q)//(P) nên mp(Q) có phương trình dạng

2x+ 2y z m− + = 0 (m≠ − 1)

Gọi d =d I Q( ,( ), ta có d = R2 −r2 = 4

Theo công thức tính khoảng cách ( ;( )) 2 4 3 5

3

4 4 1

+ +

Suy ra | 5 | 12 17

7

m m

m

=



Phương trình mặt phẳng (Q) là

2x+ 2y z− + 17 0; 2 = x+ 2y z− − = 7 0

Ví dụ 3

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(0; 0; -2) và đường

x+ y− z+

∆ = = Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng ∆ Viết phương trình mặt cầu tâm A và cắt ∆ tại hai điểm B, C sao cho BC=8

Phân tích: Mặt cầu (S) cần có bán kính nữa thì viết được phương trình.

Biết độ dài BC ta tính được bán kính theo công thức

2

R −d = ⇔ =R d  

+  ÷

Giải:

Đường thẳng ∆ có VTCP là ur= (2;3;2) và qua điểm M(-2; 2; -3)

Ta có MAuuur= (2; 2;1) − , MA uuuur r,  = − − ( 7; 2;10).

Ta có khoảng cách từ A đến ∆là d d A( ; ) MA u, 3

u

uuur r

Mặt cầu (S) cắt tại hai điểm B, C và BC=8 Khi đó bán kính mặt cầu là (S)

2

2 16 9 5 2

BC

R=   +d = + =

Phương trình mặt cầu (S) là x2 + y2 + + (z 2) 2 = 25

2.3 Bài toán về đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung với mặt cầu.

Ví dụ 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: x=-2t; y=t-3;

z=-1-2t và mặt cầu (S): x2 +y2 + −z2 2x− 2y= 0 Tìm điểm M ∈ ( ),S N d∈ sao

cho độ dài đoạn thẳng MN là nhỏ nhất

Phân tích: Để tìm được M, N ta dựa vào tính chất của đường thẳng không

cắt mặt cầu

Giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(1; 1; 0), bán kính R= 2 Đường thẳng d có VTCP ( 2;1; 2)

ur= − −

Gọi H là hình chiếu của I lên d H(-2t; t-3; -1-2t)

Ta có HIuur= + (1 2 ;4t −t;1 2 ) + t Do H là hình chiếu của I lên d nên

HI ⊥ ⇔u

uur r

-2(1+2t)+4-t-2(1+2t) = 0 <=> t = 0 ⇒ H(0; 3; 1) − − ⇒IH = 3 2 >R, suy ra d và (S) không có điểm chung

Gọi d’ là đường thẳng qua I và H

Ta có d’ có VTCP uurHI = (1;4;1) ⇒ =vr (1; 4;1) cũng là VTCP của d’.

PTTS của d’ là x=t+1; y=4t+1; z=t

Gọi M là giao điểm của d’ và (S) M(t+1; 4t+1; t)

Do M thuộc (S) ta có 2 1 1

3 3

Suy ra ( )S ∩ =d' {M ;M } 1 2 với 1( ; ; )4 7 1

3 3 3

M 2( ;2 1; 1)

3 3 3

Có HM1=4 2, HM2=2 2 suy ra M2 nằm giữa H và M1

Với M∈ ( ),S N d∈ , ta có H là hình chiếu của N lên d’, gọi M’ là hình chiếu của M lên d’ ta có M’ nằm trên đoạn M1M2

Ta có HM’ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng HN và MM’ Suy

ra MN ≥M H' ≥HM2 = 2 2 Suy ra N, M thỏa mãn để độ dài đoạn NM nhỏ nhất là N ≡H M, ≡M2.

Vậy tọa độ hai điểm M, N cần tìm là: ( ;2 1; 1)

3 3 3

M − − ,N(0; 3; 1) − −

Ví dụ 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x-2y+2z-3=0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + +z2 2x− 4y− 2z+ = 5 0 Tìm những điểm ( ), ( )

M ∈ S N∈ P sao cho MN có độ dài nhỏ nhất.

Phân tích: Để tìm M, N ta dựa vào tính chất của mặt phẳng không cắt mặt

cầu

Giải:

Ta có (S) có tâm I(-1; 2; 1) bán kính R=1 d I P( ,( )) 2 1 = > =R, suy ra (P) và (S) không có điểm chung

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp(P) ∆ có VTCP là (1; 2;2)

ur= −

Ta có PTTS của ∆ là

1

2 2

2 1

x t

z t

= −



 = − +



 = +



Gọi N0, M1, M2 lần lượt là giao của ∆ với mp(P), và mặt cầu (S) với M1 nằm giữa N0 và M2

Với M ∈ ( ),S N∈ ( )P , ta có N0 là hình chiếu của N lên ∆ và gọi M’ là hình chiếu của M lên ∆

Ta có M’ nằm trên đoạn M1 M2 Ta có N M0 ' là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng NN0 và MM’ Suy ra MN ≥M N' 0 ≥M N1 0 Vậy điểm ( ), ( )

M ∈ S N∈ P sao cho MN có độ dài nhỏ nhất khi và chỉ khi

N ≡ N M ≡M

Gọi N0( t-1; -2t+2; 2t+1) 0

2 ( ) 1 2( 2 2) 2(2 1) 3 0

3

vậy 0

1 2 7

; ;

3 3 3

N − 

Gọi M ∈ ( )S ∩ ∆, gọi M(t-1; -2t+2; 2t+1)

Suy ra ( )S ∩ ∆ = {M ;M } 1 2 với 1 2 4 5; ; ; 2 4 8 1; ;

3 3 3 3 3 3

M −  M − 

Có M N1 0 = 1; M N2 0 = 3 suy ra M1nằm giữa N0 và M2 Vậy hai điểm M, N cần

tìm là

1 2 7

; ;

3 3 3

N− 

2 4 5

; ;

3 3 3

M− 

Bài tập tự luyện

Bài số 1.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng 1: 1 1 1

x− y+ z−

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm I(1; 0; 3) và cắt đường thẳng∆ 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB là tam giác vuông cân

Bài số 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng : 1 2

x y+ z−

mặt phẳng (P): 2x-y-2z-6=0 Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại A(0; -1; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại B(1; 0; -2)

Bài số 3

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x+y+z-3=0 và điểm A(2; 2; 2) Lập phương trình mặt cầu (S) qua A và cắt mặt (P) theo giao tuyến là đường tròn sao cho tứ diện ABCD là tứ diện đều và tam giác BCD là tam giác đều nội tiếp đường tròn giao tuyến

Bài số 4

Trong khôn gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng

(P1): x-2y+2z-3=0, (P2): 2x+y-2z-4=0 và đường thẳng : 2 4

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d và cùng tiếp xúc với hai mặt phẳng (P1) và (P2)

Bài số 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 1: 2 1

d − = − =

−

và 2

2 2

: 3

d y

z t

= −



 =



 =



Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với d1 tại A(2; 1; 0) và

tiếp xúc với d2tại B(2; 3; 1)

Bài số 6.