Xaùc ñònh vò trí cuûa ñieåm M treân caïnh BC ñeå toång BI + CK nhoû nhaát..[r]
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC : 2011 - 2012 Mơn : TỐN
Thời gian làm bài : 150 phút ( khơng kể phát đề )
Bài 1 : (6.0 điểm)
a- Cho biểu thức A=2(92009 + 92008 + 9 + 1) Chứng minh rằng A bằng tích của hai số
tự nhiên liên tiếp.
b- Tìm một số cĩ 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương
Bài 2 : (4.0 điểm)
a-Chứngminhrằng: a2 b2 c2 d2 ab ac ad
b- Cho x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx =1
Tìm GTNN của biểu thức A = x4 + y4 + z4
Bài 3 :(3.0 điểm) Gi¶i ph¬ng tr×nh
(4 x −1)√x2+1=2 x2
+2 x+1
Bài 4 (4đ)
Cho tam giác đều ABC từ 1 điểm M thuộc miền trong tam giác kẻ MH, MK, ML vuông góc với cạnh AB, BC , AC và có độ dài lần lượt là x, y, z Gọi H là độ dài đường cao tam giác đều
Chứng minh rằng
3
x y z h
Bài 5 (3đ)
Cho tam giác ABC (AB < AC) M là 1 điểm trên cạnh BC vẽ BI AM, CK AM Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để tổng BI + CK nhỏ nhất.
Trang 2ÁP ÁN VÀ BI U I M CH M
Bài 1
(6.0 đ)
Câu
a
2009 2008
2009 2008
2009 2008 2010
2 1005
1005 1005
4
9 1 ; 9 1 là hai số chẵn liên tiếp 4
4
A A A A A
k k
i k N *
0.5đ
0,5 đ 0.5đ
0.5đ
0.5đ
Câu
b
Gọi số chính phương đĩ là abcd
Vì abcd vừa là số chính phương vừa là một lập phương nên đặt abcd = x2 = y3
với x, y N
Vì y3 = x2 nên y cũng là một số chính phương
Ta cĩ : 1000 abcd 9999 ⇒ 10 y 21 và y chính phương
⇒ y = 16 ⇒ abcd = 4096
0.5đ 0,5đ
0,5đ 1,0đ 0,5đ
Bài 2
(4.0 đ)
Câu
a
Ta cĩ =
1,0đ
1,0đ
Câu
b
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta cĩ
2
2
1
minP = khi x = y = z =
P
0,5đ 1,0đ 0,5đ
Trang 3(3.0 đ)
Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình:
(4 x −1)√x2+1=2(x2+1)+2 x − 1 (1)
Đặt t=√x2+1 (đk t >1), phơng trình (1) trở thành:
(4x-1)t=2t2+2x-1 ⇔ 2t2-(4x-1)t+2x-1=0 (2)
Coi (2) là phơng trình bậc hai ẩn t, khi đó phơng trình (2) có:
4 x −3¿2≥ 0, ∀ x ∈ R
4 x −1¿2−8(2 x − 1)=¿
Δ=¿
Phơng trình (2) ẩn t có các nghiệm là:
t1=2x-1 và t2= 1
2 (loại)
Với t1=2x-1, ta có: √x2+1=2 x − 1
⇔
2 x −1 ≥ 0
¿
2 x − 1¿2
¿
x2+1=¿
⇔
x ≥1
2
3 x2− 4 x=0
¿{
⇔
x ≥1
2
x=0
¿
x=4
3
¿
¿
¿
¿
¿
¿
⇔ x=4
3
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là: x=4
3
0,5đ
0,5đ
1,0đ
0,75đ
0,25đ
Bài 4
(4.0đ)
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
Goùi caùnh cuỷa ủeàu ABC laứ a ta coự:
S
2
ABC S BMC S AMC S AMB
2 3
1 3
1,0đ 0,5đ 1,0đ
1,0đ 0,5đ
Bài 5
(3.0đ) Veừ ủửụứng cao AH ta coự:
0,5đ 0,5đ
Trang 4
AH
1
2
2
ABC
ABC ABC
AM BI AM CK S
AM BI CK S
S
AH
BI CK BC
0,5đ
1,0đ 0,5đ