DE THI HSG TOAN 9 MY LOC 1112

Tìm điểm P trong tam giác ABC sao cho tổng các khoảng cách từ P đến ba cạnh của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất ?... Vì vai trò a, b như nhau.[r]

TRƯỜNG THCS MỸ LỘC ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN Năm học: 2011- 2012 - Môn: Toán

Ngày thi: 06/10/2011

ĐỀ ĐỀ XUẤT Thời gian làm bài: 150 phút

(Không tính thời gian phát đề)

Bài 1 : (6.0 điểm)

a- Tìm tất cả các số nguyên tố a, b thỏa mãn : ab + ba = 2011

b- Tìm số tự nhiên a để (23 – a) ( a – 3 ) là số chính phương

Bài 2 : (4.0 điểm)

a- Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác

CMR :

a

b c a  +

b

a c b  +

c

a b c   3

2

Bài 3 :(3.0 điểm) Cho hai số x,y 0 thỏa đẳng thức sau :

2 2

2

1 2

4

y x

x

 

= 4 Tìm giá trị của x,y để biểu thức :

1

P xy

 đạt giá trị lớn nhất

Bài 4 :(4.0 điểm)

Cho ABCcân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác trong Biết IA = 2 5, IB

= 3

Tính độ dài AB ?

Bài 5 : (3.0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC Tìm điểm P trong tam giác ABC sao cho tổng các khoảng cách

từ P đến ba cạnh của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất ?

TRƯỜNG THCS MỸ LỘC HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN

Năm học 2011 – 2012 - Môn : Toán

Bài 1

(6.0 đ)

Câu a

Vì 2011 là số lẻ, nên a và b là các số nguyên tố khác tính chẳn, lẻ

Vì vai trò a, b như nhau Giả sử a lẻ, b chẳn => b = 2 Khi đó a2 + 2a = 2011

* Nếu a = 3 thì 32 + 23 = 17 (vô lí )

* Nếu a  3 thì a2 = 3n+1 với n nguyên dương

2a (3 1) a  3 1t vì a lẻ Nên a2 + 2a = 3n + 1 +3t – 1 = 3(n + t) là hợp số

Mà 2011 là số nguyên tố Vậy không có số nguyên tố a , b thỏa mãn ab + ba = 2011

0,5đ

0,5đ 0,5đ

0.5ñ 0.5ñ 0,25đ 0,25đ

Câu b

Đặt (23 – a) ( a – 3 )= b2 Biến đổi được: 26a – a2 - 69 = b2 ( a – 13) 2 = 100 - b2 Suy ra 100 – b2 là số chính phương

Tìm được : Trường hợp: b = 10  a = 13

b = 8  a = 19

b = 6  a = 21

Vậy các số a là 13; 19, 21

0.5đ

0,5đ 0,5đ

1,0đ 0,5đ

Bài 2

(4.0 đ)

Câu a

Đặt x = b + c – a , y = a + c – b , z = a + b – c

Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên x , y ,z > 0 Khi đó ta có : 2 , 2 , 2

Do đó :

a

b c a  +

b

a c b  +

c

a b c  =

1 2

=

(2 2 2) 3

        

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : x = y = z  a = b = c

0,5đ 0,5đ

0,75đ 0,25đ

Câu b

Ta cĩ :  

2



2

        

2

2 2

2

x 42 16

x x

0 ( ) 8

x





  

 Vậy phương trình cĩ một nghiệm : x = -8

0,5đ 0,5đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ

Bài 3

(3.0 đ)

Ta có

2 2

2

            

1

2 2 2

y

x

        

1 1 2

P xy



  

Đẳng thức xảy ra khi:

1

1

x

thoa

x

y

 



 







    

 



Do đó : Max P=

1 2

 Khi x = 1 ; y = -2 hoặc x = -1 ; y = 2

1,0đ 0,5đ 0,5đ

0,5đ 0,5đ Bài 4

(4.0đ) - Từ A kẻ AM

AC (Mtia CI)

- Chứng minh được : AMI cân tại A  AM = AI = 2 5

Kẻ AHMI => MH = HI

Đặt HM = HI = x (x>0)

Tam giác AMC vuơng tại A , cĩ AM2 MH MC

=> 2 52 x x2 3

2

2x 3x 30 0

2x 5 x 4 0

=> x = 2,5 hoặc x = -4 (loại)

Do đĩ : MC = 2.2,5+3=8

AC2 = MC2 – AM2 = 82 - 2 52

= 44

1,0đ

1,0đ

1,0đ 0,5đ 0,5đ

I H M A

=> AC = AB = 2 11

Bài 5

(3.0đ)

Gọi a,b,c là độ dài các cạnh đối diện A,B,C và ha,hb,hc là các đường

cao tương ứng

Giả sử : a b c  , khi đó h a h b h c

Ta có : SABC = SPAC + SPBC + SPAB

=> 2SABC =a.PH + b.PK + c.PI a(PH + PK + PI)

=> PH + PK + PI

2S ABC a



= ha

Vập PH + PK + PI đạt giá trị nhỏ nhất khi PA

0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ

P I

H

K

C B

A