a, Chứng minh tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp.. b, Chứng minh trực tâm H của tam giác AMN là trung điểm của OB.. c, Khi CD thay đổi thì tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF chuyển động
Trang 1Phòng giáo dục & Đào tạo
huyện trực ninh
=== ***===
Đề thi chọn học sinh giỏi huyện
Môn Toán lớp 9
Năm học 2006 – 2007
Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1( 4,0 điểm)
=
2
2
P
a/ Rút gọn P
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của = P2 +1
A
P nếu x thoả mãn điều kiện 6x2 – 5x + 1 ≤ 0
Bài 2 (5,0 điểm)
Cho hệ phơng trình :
2 2
y x y m
x x y m
− + =
a, Giải hệ phơng trình khi m = 0
b, Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
Bài 3 (3,0 điểm )
Cho phơng trình : 3x2 − 4x+ 2(m− = 1) 0
Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2
Bài 4 ( 8,0 điểm )
Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB cố định, đờng kính CD thay đổi, AC và AD cắt tuyến của đờng tròn (O) tại B lần lợt tại F và E.Gọi M và N lần lợt là trung điểm của BF,
BE
a, Chứng minh tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp
b, Chứng minh trực tâm H của tam giác AMN là trung điểm của OB
c, Khi CD thay đổi thì tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF chuyển động trên đ-ờng nào
=== Hết ===
Trang 2Đáp án chấm học sinh giỏi
môn Toán 9 Năm học 2006 2007–
==================
Bài 1( 4,0 điểm)
=
2
2
P
H
ớng dẫn giải.
a/ Rút gọn P ĐK: x 1≤
=
2
2
P
=
=
2
P
=
2
2 2 1 x = 2 2 1 x+ − 2 ( 1 x+ − 1 x− )
2
= 1 x 2 (1 x)(1 x) 1 x 1 x+ + − + + − ( + − 1 x− )
2
= ( 1 x+ + 1 x)− 2( 1 x+ − 1 x− )
2
=( 1 x+ + 1 x− )( 1 x+ − 1 x− )
2
= = 2x =x
2
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của = P2 +1
A
P nếu x thoả mãn điều kiện 6x
2 – 5x + 1 ≤ 0
Ta có 6x2 – 5x + 1 ≤ 0 ⇔ ⇔ ≤ ≤1 x 1
3 2 (*) ( Thoả mãn ĐK để P và A xác định)
Từ câu a ta có = x2 +1= + = +1 1 + 3
Trang 3Từ (*) ⇒ x > 0 ⇒ x tồn tại
2
⇔ =x 1
2 ( Thoả mãn ĐK (*) )
Mặt khác từ điều kiện (*) suy ra 1≥ ⇒2 3 ≥ 3.2= 3
x 4x 4 2 (2) Dấu “=” xảy ra ⇔x = 1
2
Từ (1) và (2) suy ra A 1≥ + =3 5
2 2 Dấu “=” xảy ra ⇔x = 1
2 Vậy Amin= 5
2 ⇔x = 1
2
Bài 2 ( 5,0 điểm)
Cho hệ phơng trình :
2 2
y x y m
x x y m
− + =
a, Giải hệ phơng trình khi m = 0
b, Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
H
ớng dẫn giải.
a, Với m = 0 hệ đã cho trở thành
y x y y x y
x x y x x y
Trừ từng vế 2 phơng trình (1) và (2) ta đợc: y2 – x2 = 0 ⇔(y - x)(y + x) = 0
0 0
y x y x
y x y x
* Với y = x thay vào (1) ta đợc : x2 – 2x = 0 0
2
x x
=
x = 0 ⇒y = 0
x = 2 ⇒y = 2
* Với y = - x thay vào (1) ta đợc y2 = 0 ⇒ y = 0
y = 0 ⇒x= 0 Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm ( 0; 0) ; ( 2; 2)
b, Giả sử hệ phơng trình có một nghiệm ( x0;y0) thì (y0;x0) cũng là nghiệm của hệ
Do đó để hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = y0
Khi đó x2 – 2x -2m = 0 (*)
Hệ có nghiệm duy nhất ⇔(*) có nghiệm kép ⇔ ' 1 2 0 1
2
2
m= − hệ đã cho trở thành
2 2
y x y
x x y
− + = −
giải hệ trên ta có
1 1
x y
=
=
Trang 4K H
d
I
N M
O
D
C
B A
Vậy với 1
2
m= − thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất là (1;1)
Bài 3 (3,0 điểm )
Cho phơng trình : 3x2 − 4x+ 2(m− = 1) 0 ( 1)
Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2
H
ớng dẫn giải.
Đặt t = x- 2 ⇒x = t + 2 thay vào (1) ta có 3(t + 2 )2- 4(t + 2) + 2(m -1) = 0
⇔3t2 + 8t + 2(m + 1) = 0 ( 2)
Phơng trình đã cho có 2 nghiệm nhỏ hơn 2 ⇔(2) có 2 nghiệm cùng âm
⇔
10 6 0
1
8
3
m
m
m m
a
b
a
Bài 4 ( 8,0 điểm )
Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB cố định, đờng kính CD thay đổi, AC và AD cắt tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại B lần lợt tại F và E.Gọi M và N lần lợt là trung điểm của
BF, BE
a, Chứng minh tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp
b, Chứng minh trực tâm H của tam giác AMN là trung điểm của OB
c, Khi đờng kính CD thay đổi thì tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF chuyển
động trên đờng nào
H
ớng dẫn giải.
a,Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp
Trang 5+ Ta có Sđ AEBã = 1(SđAB SđBD)ằ − ẳ
2 ( Theo Đ/l góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn ) = 1SđADằ
mà SđACDã =1SđADằ
2 ( 2) ( Theo Đ/L góc nội tiếp )
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp ( Theo dấu hiệu nhận biết tgnt)
b, Chứng minh trực tâm H của tam giác AMN là trung điểm của OB
Từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với AN cắt AB tại H suy ra H là trực tâm của tam giác AMN
+ Cm cho ∆v : ∆v ⇒ BM = BH ⇒ =BM.BN
+ C/m cho BM.BN = BE.BF
4 ( vì M, N lần lợt là trung điểm của BF, BE) =
2
AB
4 ( Theo hệ thức lợng trong tam giác vuông AEF) + Từ đó suy ra BH = AB
4 =
OB 2 Suy ra H là trung điểm của OB
c, Khi đờng kính CD thay đổi thì tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF chuyển động trên đờng nào.
Gọi K là trung điểm của EF, qua O kẻ đờng thẳng vuông góc với CD cắt đờng trung trực của EF tại I, suy ra I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF
- Chứng minh cho AOIK là hình bình hành
cm ∆AKF cân tại K ⇒KAF KFAã = ã
Cm cho ãACD AEF=ã ( vì tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp )
suy ra ãACD CAK AFE AEF 90+ã =ã +ã = 0⇒AQK 90ã = 0⇒AK⊥CD,
mà OI⊥CD suy ra AK//OI
cm đợc OA// IK ( Vì cùng vuông góc với EF )
Suy ra AOIK là hình bình hành ⇒IK = OA = R không đổi
- Vì IK = R không đổi, EF cố định nên I thuộc đờng thẳng d song song với EF và cách EF một khoảng bằng R
=== Hết ===