Chứng minh P xác định.. Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, Sn là số nguyên.. Vẽ đờng tròn O1 đờng kính AE và đờng tròn O2 đờng kính BE.. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài MN củ
Trang 1Sở giáo dục và đào tạo Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS
Tỉnh ninh bình năm học 2007 - 2008
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 01 trang
Câu 1 ( 4,0 điểm)
Cho các số dơng: a; b và x =
1
2
2
b
ab
Xét biểu thức P =
b x a x a
x a x a
3
1
1 Chứng minh P xác định Rút gọn P
2 Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P
Câu 2 (3,0 điểm)
Tìm x; y; z thoả mãn hệ sau:
x z
z
z y
y
y x
x
3 6 2 3
2 4 2 3
2 2 3
3
3
3
Câu 3 ( 4,0 điểm)
Với mỗi số nguyên dơng n ≤ 2008, đặt Sn = an +bn , với a =
2
5
3
; b =
2
5
3
1 Chứng minh rằng với n ≥ 1 ta có Sn + 2 = (a + b)( an + 1 +bn + 1) – ab(an +bn)
2 Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, Sn là số nguyên
3 Chứng minh Sn – 2 =
2
2 1 5 2
1 5
Tìm tất cả các số n để Sn – 2 là số chính phơng
Câu 4 (6,5 điểm)
Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE Vẽ đờng tròn (O1) đờng kính AE và đờng tròn (O2) đờng kính BE Vẽ tiếp tuyến chung ngoài MN của hai
đờng tròn trên, với M là tiếp điểm thuộc (O1) và N là tiếp điểm thuộc (O2)
1 Gọi F là giao điểm của các đờng thẳng AM và BN Chứng minh rằng đờng thẳng EF vuông góc với đờng thẳng AB
2 Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đờng tròn (O) đờng kính AB Đờng thẳng MN cắt đ-ờng tròn (O) ở C và D, sao cho điểm C thuộc cung AD Tính độ dài đoạn thẳng CD
Câu 5 ( 2,5 điểm)
Để lựa chọn học sinh khối lớp 9 có điểm tổng kết cao nhất các bộ môn để tham dự kiểm tra đánh giá chất lợng học kỳ 1 năm học 2007-2008, với tổng số 99 học sinh đợc các thày giáo, cô giáo lập danh sách đề nghị chọn kiểm tra có: 50 học sinh giỏi Toán; 45 học sinh giỏi Ngữ văn; 48 học sinh giỏi Tiếng Anh; 25 học sinh giỏi cả Toán và Ngữ văn; 22 học sinh giỏi cả Toán và Tiếng Anh; 15 học sinh giỏi cả Ngữ văn và Tiếng Anh; 6 học sinh không giỏi bất cứ môn nào trong các môn trên Hãy tính số học sinh giỏi cả 3 môn Toán, Ngữ văn và Tiếng Anh
-
Hết -Họ và tên thí sinh : Số báo danh
Chữ kí giám thị 1 ……… Chữ kí giám thị 2 ………
hớng dẫn chấm thi môn toán
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2007-2008
Câu 1 (4,0 điểm)
1 (2,75 điểm)
Ta có: a; b; x > 0 a + x > 0 (1)
Xét a – x = ( 1) 0
2
b
a (2)
0,25 0,25
đề thi chính thức
Trang 2Ta có a + x > a – x ≥ 0 a x a x 0 (3)
Từ (1); (2); (3) P xác định
Rút gọn:
Ta có: a + x =
1
) 1 ( 1
2
2
2 2
b
b a b
ab
1 )
1
b
a b
x a
a - x =
1
) 1 ( 1
2
2
2
2
b
b a b
ab
1
b
a b
x a
P =
b b
b
b b
b b
a b
b
a b
b
a b
b
a b
3
1 1 1
1 1
3
1 1 1
1 )
1 (
1
1 1
) 1 (
2 2
2 2
Nếu 0 < b < 1 P =
b b
4 3
1 2
2
Nếu b1 P =
b
b b
b
3
1 3 3
2 (1,25 điểm)
Xét 2 trờng hợp:
Nếu 0 < b < 1, a dơng tuỳ ý thì P =
b 3
4
P
3
4
Nếu b1, a dơng tuỳ ý thì P =
3
2 3
1 3 3
b
b b
Ta có:
3
2 3
1
b
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
Mặt khác:
3
2 3
2
b
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
Vậy P
3
4 3
2 3
2
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
KL: Giá trị nhỏ nhất của P =
3 4
0,25 0,50
0,50
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
Câu 2 (3,0 điểm)
Biến đổi tơng đơng hệ ta có
) 2 ( 3 ) 1
)(
2
(
) 2 ( 2 ) 1
)(
2
(
2 ) 1 )(
2
(
2 2 2
x z
z
z y
y
y x
x
Nhân các vế của 3 phơng trình với nhau ta đợc:
(x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2)
(x - 2)(y - 2) (z - 2)( 1)2( 1)2( 1)2 6
(x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0
x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2
Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta đều có x = y = z = 2
Vậy với x = y = z = 2 thoả mãn hệ đã cho
1,00 0,50 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25
Câu 3 (4,0 điểm)
Trang 31 (0,75 điểm)
Với n ≥ 1thì Sn + 2 = an+2 + bn+2 (1)
Mặt khác: (a + b)( an + 1 +bn + 1) – ab(an +bn) = an+2 + bn+2 (2)
Từ (1); (2) ta có điều phải chứng minh
2 (1,75 điểm)
Ta có: S1 = 3; S2 = 7
Do a + b =3; ab =1 nên theo 1 ta có: với n ≥ 1 thì Sn+2 = 3Sn+1 - Sn
Do S1, S2 Z nên S3 Z; do S2, S3 Z nên S4 Z
Tiếp tục quá trình trên ta đợc S5; S6; ; S2008 Z
3 (1,5 điểm)
2
1 2
5 2
1 2
n n
=
n n
n
2 1 5 2
1 5 2 2
1 5 2
1
=
2
2 1 5 2
1 5
đpcm
Đặt a1 =
2
1
1 =
2
1
5 a1 + b1 = 5; a1b1 = 1 Xét Un= a1nb1n
Với n ≥ 1 thì Un+2 = (a1 + b1)(a1n+1 + b1n + 1) – a1b1(a1 + b1) Un+2 = 5Un+1 – Un
Ta có T1 = 1 Z; T2 = 5 Z; T3 = 4 Z; T4 = 3 5 Z;
Tiếp tục quá trình trên ta đợc Tn nguyên n lẻ
Vậy Sn – 2 là số chính phơng n = 2k+1 với k Z và 0k1003
0,25 0,25 0,25 0,50 0,75 0,25 0,25
0,25
0,25
0,25
0,25 0,25 0,25
Câu 4 (6,5 điểm)