Một số vấn đề về vi phân của hàm lồi

Tôi xin phép được gửi đến thầy sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tâm của Thầy đối với bản thân tôi không những trong thời gian làm khóa luận mà còn trong suốt quá trình học

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN

BÙI NHƯ THÀNH NHÂN

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ VI PHÂN CỦA HÀM LỒI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐÀ NẴNG - 2015

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN

BÙI NHƯ THÀNH NHÂN

11ST

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ VI PHÂN CỦA HÀM LỒI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

TS NGUYỄN DUY THÁI SƠN

NIÊN KHÓA 2011-2015

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo của TS Nguyễn Duy Thái Sơn Tôi xin phép được gửi đến thầy sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tâm của Thầy đối với bản thân tôi không những trong thời gian làm khóa luận mà còn trong suốt quá trình học tập

Tôi cũng xin phép được gửi lời cám ơn chân thành đến quý thầy cô đã giảng dạy lớp Sư Phạm Toán trường ĐHSP Đà Nẵng cũng như toàn thể quý thầy cô Khoa Toán trường ĐHSP Đà Nẵng, những người đã cho tôi kiến thức, quan tâm động viên, nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như trong thời gian thực hiện đề tài

Bản khóa luận chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng, tôi xin phép được gửi lời cảm ơn đến những người thân, bạn bè đã quan tâm động viên giúp đỡ tôi trong suốt quãng đường học tập vừa qua

Đà Nẵng, tháng 4 năm 2015 Bùi Như Thành Nhân

MỤC LỤC

Lời cảm ơn

Mục lục 1

Danh mục các ký hiệu, chữ cái viết tắt 2

Mở đầu 3

Chương 1 Các kiến thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi 5

1.1 Tập lồi……….5

1.2 Hàm lồi……… 10

1.2.1 Hàm lồi……….10

1.2.2 Tính liên tục của hàm lồi……… 15

1.2.3 Bao đóng của hàm lồi……… 16

1.2.4 Hàm liên hợp………16

Chương 2 Vi phân của hàm lồi 18

2.1 Đạo hàm theo hướng……….……18

2.2 Dưới vi phân và các tính chất……….… 22

2.3 Vi phân của hàm lồi và các tính chất……… 29

Kết luận 36

Tài liệu tham khảo 37

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

n T

j j j

x y xy x y

x y



 

    : tích vô hướng của hai véc-tơ x và y ;

|| ||x : chuẩn Euclide – khoảng cách từ điểm x đến điểm gốc trong không gian vec-tơ Euclide, và || ||x 2 x x, ;

A : bao đóng của A;

convA : bao lồi của A;

intA: phần trong của A;

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Giải tích lồi là bộ môn quan trọng trong giải tích phi tuyến hiện đại Giải tích lồi nghiên cứu những khía cạnh giải tích các khái niệm, tính chất cơ bản của tập lồi

và hàm lồi Dưới vi phân và vi phân của hàm lồi là các khái niệm rất quan trọng của hàm lồi, nó đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu và

đã đạt được nhiều kết quả sâu sắc cùng với các ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau Trong khóa luận “Một số vấn đề về vi phân của hàm lồi”, chúng ta sẽ tìm hiểu các kiến thức cơ bản nhưng quan trọng về vi phân và dưới vi phân của hàm lồi

Trong chương 1 của khóa luận này, chúng ta nghiên cứu những kiến thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi Đây là những kiến thức bổ trợ cho chương 2 và do đó sẽ không được chứng minh trong khóa luận này Trong chương 2, ta sẽ đề cập đến đạo hàm theo hướng, dưới vi phân, vi phân của hàm lồi và một số tính chất cơ bản của chúng

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu: Vi phân và dưới vi phân của hàm lồi

3.2 Phạm vi nghiên cứu:

- Nghiên cứu về tập lồi, hàm lồi trong không gian n

- Đạo hàm theo hướng và dưới vi phân hàm lồi

- Vi phân của hàm lồi và một số tính chất quan trọng của chúng

4 Phương pháp nghiên cứu

Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách và các tài liệu trên internet có liên quan đến đề tài của khóa luận) để thu thập thông tin và trình bày nội dung, phục vụ cho yêu cầu của đề tài

Chương 2: Vi phân của hàm lồi

2.1 Đạo hàm theo hướng

Chương 1:

Các kiến thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi

Trong khóa luận này, chúng ta sẽ làm việc với không gian Euclid n - chiều trên trường

số thực Không gian này được kí hiệu là n Chương này nhằm giới thiệu những khái niệm cơ bản nhất của tập lồi và hàm lồi, cùng với các tính chất đặc trưng của nó Các kiến thức trong chương này được lấy từ các cuốn sách

+ “Convex Analysis” của tác giả R Tyrrell Rockafellar

+ “Cơ sở giải tích lồi” của tác giả Huỳnh Thế Phùng

Do chương này chỉ mang tính chất bổ trợ, nên ta không chứng minh các kết quả nêu

Hình 1.1 Tập lồi và tập không lồi

trong đó n

b là một véc-tơ khác 0 và 

Véc-tơ b được gọi là một véc-tơ pháp tuyến của siêu phẳng Một siêu phẳng sẽ chia

không gian ra hai nửa không gian Nửa không gian được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.5 Nửa không gian là tập hợp có một trong các dạng

{x n |b x,  } (1)

{x n |b x,  } (2)

{x n |b x,  } (3)

{x n |b x,  } (4)

trong đó n b là một véc-tơ khác 0 và  Các tập có dạng (1), (2) được gọi là các nửa không gian con đóng; các tập có dạng (3), (4) được gọi là các nửa không gian con mở Nếu b0 thì mỗi tập trong số 4 tập (1), (2), (3), (4) sẽ là  hoặc n(không được xem là các nửa không gian) Nhận xét: Các nửa không gian là các tập lồi Định lý 1.2 Giao của 1 họ bất kì các tập lồi cũng là 1 tập lồi Định nghĩa 1.5 Giao của tất cả các tập lồi trong n chứa tập S n cho trước được gọi là bao lồi của S và kí hiệu là conv S Rõ ràng theo định lí 1.2 , conv S là tập lồi bé nhất (trong n ) chứa S

Hình 1.2 Bao lồi của một tập

Định lý 1.3 Cho tùy ý tập n

S Khi đó conv S chính là tập tất cả các tổ hợp lồi của những phần tử của S

Định nghĩa 1.6 Tập n

K  được gọi là một nón khi và chỉ khi K đóng đối với

phép nhân bởi các số vô hướng dương, tức là:

Nhận xét: N C( )a luôn là 1 nón lồi không rỗng

Nếu aB U n (với a0) thì tập U được gọi là một lân cận của điểm a Ta

thường dùng ký hiệu U a( ) để chỉ một lân cận nào đó của điểm a

Nhận xét: int E là tập mở lớn nhất nằm trong E

thuộc E và điểm không thuộc E

Tập tất cả các điểm biên của E được ký hiệu là E

Hợp của E và tập tất cả các điểm biên của E được gọi là bao đóng của tập E , ký

hiệu là clE , hay E Từ định nghĩa ta có

Trên đồ thị của hàm f là tập epi f :{( , ) |x  xS, , ( )f x } Dĩ nhiên epi f  n1

Miền hữu hiệu của hàm f là tập dom f : {x S f x| ( ) }

Bằng cách cho f x( )  nếu x n \S, ta có thể coi f được xác định trên toàn bộ

n

và hiển nhiên là

epi f : {( , ) | x  x n, , ( )f x } dom f : { x n| ( )f x  }

Định nghĩa 1.14 Hàm f được gọi là lồi trên S nếu và chỉ nếu epi f là một tập lồi trong n1

Định lý 1.4 Cho tập lồi C n,C  và f C:   ( , ] Khi đó điều kiện cần và

Định lý 1.5 Cho f: n  Khi đó điều kiện cần và đủ để f lồi là

f  xy     với mọi ,x y n;(0,1) ; ,  mà f x( ), ( )f y 

Vậy (.| )C là một hàm lồi trên n

- Đặt * ( *|x C)sup{ , * |x x  x C} với mỗi x* n Ta nói * ( |C) là hàm tựa

của C , và ta chứng minh được nó là một hàm lồi trên C

Định nghĩa 1.15 Hàm lồi f S:  được gọi là chính thường khi và chỉ khi

epi f   và epi f không chứa đường thẳng đứng nào Nghĩa là f chính thường khi

Chú ý 1.1 1 Nếu f là một hàm lồi chính thường thì C:dom f   và hàm

: | :C

g  f C là một hàm lồi chỉ nhận giá trị hữu hạn

Đảo lại, nếu C là một tập lồi không rỗng trong n và g C:  là một

hàm lồi hữu hạn thì bằng cách thác triển g từ C ra toàn n bởi công thức:

( ) khi( )

ta thu được một hàm lồi chính thường f : n  (có dom f C)

2 Nếu f là một hàm lồi trên n thì dom f là một tập lồi, vì dom f là ảnh của epi f qua phép chiếu trực giao pr : n n1 n







 (1) (ii) Đảo lại, nếu m2 và bất đẳng thức (J) nghiệm đúng mỗi khi (1) xảy ra thì f

lồi

Định lý 1.7 (Tập “dưới mức” của các hàm lồi)

Cho hàm lồi f: n  Với mỗi  , đặt:

{ n| ( ) }

{ n| ( ) }

Khi đó, L và C là các tập lồi trong n (  )

L và C được gọi là các tập dưới mức

Định nghĩa 1.16 Cho :f n   ( , ]

Hàm f được gọi là thuần nhất dương nếu (f x)f x( )  x n,  (0, ) Hàm f được gọi là dưới cộng tính nếu f x(  y) f x( ) f y( ), x n, y n Hàm f được gọi là dưới tuyến tính nếu f là thuần nhất dương và dưới cộng tính

Ví dụ 1.5 Hàm chuẩn f x( )|| ||x là dưới tuyến tính Thật vậy:

, (0, )

n

     : f(x) || x|| | | || ||x || ||x f x( ); suy ra f thuần nhất dương

,

    : f x(  y) || x y|||| ||x ||y|| f x( ) f y( ); suy ra f dưới cộng tính

Định lý 1.8 Cho hàm thuần nhất dương :f n   ( , ]

Khi đó f lồi nếu và chỉ nếu f là dưới cộng tính

Mệnh đề 1.1 Cho f là một hàm lồi chính thường, thuần nhất dương trên n Khi đó

Ghi chú: L f còn được gọi là các tập mức Lebesgue của hàm f

1.2.2 Tính liên tục của hàm lồi

Định nghĩa 1.18 (Giới hạn dưới và giới hạn trên)

 là điểm giới hạn bé nhất của f x( ) khi xx0

Định nghĩa giới hạn trên:

Hàm f được gọi là liên tục tại x0 khi và chỉ khi f đồng thời nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x0

Định lý 1.10 Hàm f: n  là nửa liên tục dưới tại mọi điểm khi và chỉ khi nó là một hàm số đóng

1.2.3 Bao đóng của hàm lồi

Định nghĩa 1.20 Cho hàm : n

f  Ta gọi bao đóng của hàm f là hàm

cl f : n  được cho bởi công thức:

c Nếu f lồi thì cl f lồi

Định lý 1.11 Nếu f là một hàm lồi, đóng, không chính thường thì f không nhận giá trị hữu hạn nào Cụ thể hơn, nếu x0: f x( 0)   thì f x( ) 

x  ) ngay cả khi f không lồi, không nửa liên tục dưới

Ví dụ 1.6 Hàm liên hợp của f (.|C) (hàm chỉ của C ) là hàm * ( |C)được cho bởi  * ( *|x C)sup{ , * |x x  x C} (hàm tựa của C )

Mệnh đề 1.3 Với mọi hàm số f , hàm liên hợp f * là một hàm lồi đóng, nửa liên tục dưới và thỏa mãn bất đẳng thức Fenchel sau:

Cho hàm f lồi, chính thường Lúc đó, f ** f khi và chỉ khi f lồi, đóng

Định lý 1.13 Hàm chỉ và hàm tựa của một tập lồi đóng là liên hợp với nhau Các hàm

mà là hàm tựa của tập lồi không rỗng là các hàm lồi đóng, chính thường và thuần nhất dương

Hệ quả 1.13.1 Cho f là hàm lồi thuần nhất dương không nhận giá trị  Khi đó

cl f chính là hàm tựa của tập lồi đóng C có dạng

{ *| , , * ( )}

Tức là cl f * (.| )C

Chương 2:

Vi phân của hàm lồi

Phép tính vi phân là một trong những đề tài cơ bản nhất của giải tích cổ điển Trong giải tích lồi, lý thuyết này lại càng trở nên phong phú nhờ những tính chất đặc biệt của tập lồi và hàm lồi Mục đầu tiên của chương này sẽ xét đến đạo hàm theo hướng của một hàm lồi Ở mục 2, ta sẽ đưa ra định nghĩa về dưới vi phân và các tính chất cơ bản của nó Cuối cùng là vi phân của hàm lồi và một số tính chất quan trọng

2.1 Đạo hàm theo hướng

Định nghĩa 2.1 Cho :f n  \ { } là một hàm bất kỳ và x0dom f Với mỗi vec-tơ y n, ta định nghĩa đạo hàm của f theo hướng y tại điểm x0 là giới hạn sau, nếu nó tồn tại (hữu hạn hay vô hạn): f x y( ; )0

1sin , 0( )

Qua ví dụ trên, ta thấy đạo hàm theo hướng có thể tồn tại hoặc không Tuy vậy, nếu

f là hàm lồi thì đạo hàm của nó theo mọi hướng luôn tồn tại Điều đó được khẳng định trong định lý sau:

Định lý 2.1 Giả sử f là một hàm lồi, chính thường Khi đó với mọi x dom f và mọi y n ta có:



 là hàm đơn điệu không giảm trên (0, )

ii) f có đạo hàm theo mọi hướng y tại mọi điểm x dom f Đồng thời:

Vậy  ( ) là hàm đơn điệu không giảm trên (0, )

Tính lồi: Với mọi u n, v n, ta có

Vậy f ( ; )x y là hàm dưới cộng tính Theo định lý 1.8 thì nó là hàm lồi

Vì f ( ; )x y là hàm lồi thuần nhất dương theo y nên theo mệnh đề 1.1, ta có

 f x( ; y) f x y( ; ),  y n

Ghi chú 2.1 Trong trường hợp f là hàm lồi trên , đạo hàm theo hướng của f tại

x chính là đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải của f tại x, tức là f ( )x  f ( ;1)x

và f ( )x  f ( ; 1)x 

Theo định lý 2.1 thì f x( ; 1)  f x( ;1), tức là f x( ) f x( )

Để thuận tiện, ta cũng quy ước f x( )  nếu x dom f

Hình 2.1 Minh họa f x( )

Ghi chú 2.2 x*f x( ) x* thỏa mãn một hệ vô hạn các bất đẳng thức có trong Định nghĩa 2.2 Vậy f x( ) là giao của một hệ vô hạn các nửa không gian con đóng, tức là f x( ) luôn là một tập lồi đóng (có thể rỗng)

Ví dụ 2.2

1) Hàm chuẩn f x( ) || || x ( n

x ) khả dưới vi phân tại mọi điểm Thật vậy

Do đó f khả dưới vi phân với mọi x0

2) Một trường hợp quan trọng trong các định lý về dưới vi phân là khi f là hàm

chỉ của tập lồi C :

Hàm chỉ ( |C) của tập lồi C  có dưới vi phân tại xC là nón pháp tuyến

ngoài của C tại x, tức là

Nếu zC thì ( | ) { *|x C  x x z*,   x 0,  z C} N C( )x

3) Cho hàm affine: f x( ) x x*,   ( *x  n,  )

Khi đó f x( )x* ( x n)

Định lý sau nêu mối liên hệ giữa dưới vi phân và đạo hàm theo hướng:

Định lý 2.2 Cho f là một hàm lồi, x là một điểm mà f x( ) hữu hạn Khi đó

“” Ta có:

x f x  x z*,   x f x( ) f z( ), z Giả sử x*f x( ) Với mọi y , lấy z x y (0), ta có

Định lý 2.3 Cho f là một hàm lồi, x n là một điểm mà f x( ) hữu hạn Khi đó:

i) Nếu f khả dưới vi phân tại x thì f chính thường

Định lý 2.4 Cho f là một hàm lồi chính thường, và cho n

x Khi đó với mỗi vectơ *x , hai phát biểu sau là tương đương:

Do đó:

x x f x

    x z*,   f z( ) z  x z*,   x f x( ) f z( ), z

Trường hợp f là hàm lồi thuần nhất dương thì dưới vi phân của nó có tính chất như thế nào, ta cùng xem định lý sau đây

2.3 Vi phân của hàm lồi và các tính chất

Định nghĩa 2.3 Cho hàm f: n  , x n là một điểm mà f x( ) hữu hạn Hàm

f được gọi là khả vi tại x nếu và chỉ nếu tồn tại vec-tơ x* n sao cho

Chú ý: + Mối quan hệ giữa đạo hàm theo hướng và vi phân của hàm lồi:

Giả sử f khả vi tại x ( f x( ) đã hữu hạn) Theo định nghĩa, với mọi y0 ta có

+ Giả sử x ( ,x x1 2, ,x n), e ( j j 1, ,n ) là vec-tơ đơn vị thứ j của n Với mỗi j1, ,n; ta có

Trong ví dụ 2.2, ta đã biết hàm chuẩn f x( ) || || x khả dưới vi phân tại mọi điểm Từ

đó ta thấy rằng dưới vi phân là sự mở rộng của khái niệm vi phân (tại những điểm ở

đó hàm không khả vi) Điều đó được thấy rõ trong định lý sau, định lý này nêu lên mối quan hệ mật thiết giữa vi phân và dưới vi phân, và hơn nữa khi hàm lồi khả vi thì khái niệm dưới vi phân trùng với khái niệm vi phân

Định lý 2.6 Cho :f n   { } là một hàm lồi, và cho xdomf Khi đó:

f x  f x z  x f z z ii) Ngược lại, nếu vec-tơ * x  n là dưới gradient duy nhất của f tại x thì hàm f

ii) Ngược lại, giả sử ! *x f x( )

 là hàm đơn điệu không giảm với biến số  (Định lý 2.1), do đó

hàm h u( ) hội tụ về 0 khi  giảm dần về 0, tức là

Hệ quả 2.6.1 Cho f là một hàm lồi, và cho n

x Nếu f hữu hạn và khả vi tại x

 f x( y)(f x y( ; )) f x( ),  y n

Do f hữu hạn tại x nên

f xy    y Tức là xy dom f ,  y n

Dùng định lý 1.3 ta được xint(dom f )

Định lý 2.7 Cho f là một hàm lồi trên n, x n là một điểm mà f x( ) hữu hạn Khi đó, điều kiện cần và đủ để f khả vi tại x là đạo hàm theo hướng f ( , )x tuyến tính