Một số vấn đề chọn lọc về dãy số

Một trong các nội dung thường gặp trong các bài toán về dãy số là xác định số hạng tổng quát và tìm giới hạn của dãy số.. Ngoài tổng quan về giới hạn của dãy số, chúng tôi nghiên cứu một

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN DUY THÁI SƠN

Đà Nẵng – Năm 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan

Những nội dung được trình bày trong luận văn này là do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Duy Thái Sơn

Mọi tài liệu trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng và trung thực tên tác giả, tên công trình, thời gian và địa điểm công bố

Nếu có sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Nguyễn Thị Thùy Nhi

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1.Tính cấp thiết của đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Bố cục đề tài 2

6 Tổng quan tài liệu nghiên cứu……… 2

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 DÃY SỐ 3

1.2 DÃY SỐ BỊ CHẶN 4

1.3 DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU 5

1.4 CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 5

1.5 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN 8

CHƯƠNG II: XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ11 2.1 SỬ DỤNG CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN ĐỂ TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ 11

2.2 DÙNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 15

2.3 ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 19

2.4 ỨNG DỤNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỂ XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 28

2.5 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM SINH TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 35

CHƯƠNG III: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH SỰ TỒN

TẠI HOẶC TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 44

3.1.SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ BỊ CHẶN 44

3.2 DÙNG HÀM CO VÀ ĐỊNH LÝ LAGRANGE 49

3.3 PHƯƠNG PHÁP DÃY PHỤ 51

3.4 DÙNG GIỚI HẠN HÀM SỐ 55

3.5 SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN KẸP 57

3.6 DÙNG ĐỊNH LÝ STOLZ – CESARO 60

3.7 SỬ DỤNG TỔNG TÍCH PHÂN 64

3.8 PHƯƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 69

KẾT LUẬN 71

TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (Bản sao)

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Dãy số chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng trong Giải tích toán học: dãy

số không chỉ là một đối tượng để nghiên cứu mà nó còn đóng vai trò là một công cụ đắc lực trong các mô hình rời rạc của giải tích, trong lý thuyết vi phân hàm, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn Các vấn đề liên quan đến dãy số là rất phong phú Có thể kể ra đây một số chủ đề thường gặp: giới hạn dãy số, công thức tìm số hạng tổng quát, tính đơn điệu và tính bị chặn của dãy

số, tính chất của dãy số nguyên

Trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán học quốc tế, hay những kì thi giải toán của nhiều tạp chí toán học thì các bài toán về dãy số xuất hiện khá nhiều và được xem như những dạng toán loại khó ở bậc Trung học phổ thông Một trong các nội dung thường gặp trong các bài toán về dãy

số là xác định số hạng tổng quát và tìm giới hạn của dãy số Hiện nay đã có nhiều tài liệu đề cập đến các khía cạnh khác nhau của dãy số Tuy nhiên, các tài liệu được hệ thống theo dạng toán cũng như phương pháp giải thì chưa có nhiều và tôi mong muốn cung cấp cho các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh giỏi hoặc yêu thích toán, thêm một tài liệu tham khảo về dãy số Tôi cố gắng hệ thống các phương pháp giải bài toán tìm số hạng tổng quát và bài toán về giới hạn của dãy số

Với những lý do trên và qua khả năng tìm hiểu, nghiên cứu, tôi chọn

“Một số vấn đề chọn lọc về dãy số” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp bậc

cao học của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là nhằm hệ thống lại một số phương pháp hiệu quả

để giải quyết bài toán xác định công thức tổng quát và chứng minh sự tồn tại

hoặc tìm giới hạn của dãy số Đồng thời tìm hiểu thêm một số ứng dụng của toán cao cấp vào việc giải quyết các bài toán có liên quan ở bậc THPT

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là dãy số Ngoài tổng quan về giới hạn của dãy số, chúng tôi nghiên cứu một số dạng phương trình sai phân tuyến tính, sử dụng các kiến thức của đại số tuyến tính, hàm sinh trong việc xác định công thức tổng quát của dãy số

Phạm vi nghiên cứu: Đề tài chủ yếu đề cập đến phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và chứng minh sự tồn tại hoặc tìm giới hạn của dãy số

4 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo các tài liệu viết về dãy số, đặc biệt là các tài liệu về xác định công thức tổng quát và giới hạn của dãy số, sau đó hệ thống lại kiến thức

Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn để trình bày nội dung các vấn đề của luận văn một cách phù hợp

5 Bố cục đề tài

Luận văn được chia thành ba chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Xác định công thức tổng quát của dãy số

Chương 3: Một số phương pháp chứng minh sự tồn tại hoặc tìm giới hạn của dãy số

6 Tổng quan tài liệu nghiên cứu

Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến Dãy

số và ứng dụng thực tế qua các ví dụ, bài tập áp dụng, nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu về Dãy số

Đưa ra một số bài toán, cũng như một số ví dụ minh họa nhằm làm cho

CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 DÃY SỐ

Định nghĩa 1.1.1.[3] Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên

dương * được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số)

Người ta thường kí hiệu các giá trị (1), (2), u u tương ứng bởi u u1, 2, Dãy số với các số hạng u thường được kí hiệu là n  u n n1 hoặc   un , hoặc u u1, 2, ,u n,  và gọi u là số hạng tổng quát của dãy số đó; số n được n

gọi là chỉ số (số hiệu) của nó

Trong luận văn này, nếu không có sự chú thích riêng biệt thì các dãy số được xét là các dãy số thực

Chú ý: Theo định nghĩa, dãy số luôn luôn chứa trong nó vô số số hạng

(có thể không hoàn toàn phân biệt) Tuy nhiên, người ta cũng gọi một hàm số

là một dãy số Rõ ràng, dãy số trong trường hợp này chỉ có hữu hạn số hạng

Ta xây dựng các phép toán trên dãy số như sau:

Định nghĩa 1.1.2 [3]

a Dãy   c n : a n b n  a1b a1, 2 b2, ,a n b n,  đƣợc gọi là tổng của 2 dãy  a n và  b n ;

b Dãy   d n : a n b n  a1b a1, 2 b2, ,a n b n,  đƣợc gọi là hiệu của 2 dãy  a n và  b ; n

c Dãy   b n   b1, b2, ,b n,  đƣợc gọi là tích của hằng số  và dãy  b n

Nhƣ vậy tập hợp các dãy số lập thành một không gian vectơ

1.3 DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU

nếu với mọi n * ta có: u n u n1 (tương ứng u n u n1)

nếu với mọi n * ta có: u n u n1 (tương ứng u n u n1)

Dãy số tăng hay giảm được gọi là dãy số đơn điệu

Ví dụ Xét tính đơn điệu của dãy số sau:

1

2

n n

1.4 CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Định nghĩa 1.4.1.[3] Dãy  u n được gọi là một cấp số cộng khi và chỉ khi kể từ số hạng thứ hai trở đi mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng trước nó cộng với một số không đổi Số không đổi được gọi là công sai của cấp số cộng

Vậy  u n là cấp số cộng u n1u n   d, n *, trong đó: u là số 1

Nhận xét 1.4.1.[3]

a d u2  u1 u3 u2   u n1u n 

a Công thức của số hạng tổng quát

n

u   u n d  n Chứng minh

.2

n

n

n n n

1 2 1

1

; ;

n n

Vậy dãy  u n là cấp số nhân u n1u q n , n *, trong đó: u là số 1

a Công thức của số hạng tổng quát

d Tổng các số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn

Một cấp số nhân đƣợc gọi là lùi vô hạn khi và chỉ khi công bội q thỏa 1

1.5 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN

Định nghĩa.[4] Dãy số   u n  u u1, 2, ,u n,  có giới hạn là số a nếu bắt

 ,

hữu hạn số hạng

Định lí 1.5.1.[4] Nếu dãy  u n có giới hạn thì nó bị chặn

Dãy có giới hạn được gọi là dãy hội tụ; dãy không hội tụ gọi là dãy phân

Định lí 1.5.6.[4] Dãy đơn điệu tăng (hoặc giảm) hội tụ khi và chỉ khi nó

bị chặn trên (hoặc dưới)

Định lí 1.5.7.[4] Giả sử các dãy    u n , v n hội tụ và lim n

lim

n

n n n

n n n

v v

CHƯƠNG II XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

THỨC TỔNG QUÁT CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ

Nội dung chủ yếu của phần này là giới thiệu một số kỹ thuật biến đổi để qui về dãy số quen thuộc trong chương trình toán THPT là cấp số cộng và cấp

số nhân Ta xét một số bài toán và ví dụ minh họa sau:

Bài toán 2.1.1.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số  u n được cho

Dựa vào tính chất của cấp số cộng ta tìm được số hạng tổng quát của dãy là:



số nhân, công bội a Dựa vào tính chất của cấp số nhân ta tìm được công thức

Ví dụ 2.1.1 Xác định số hạng tổng quát của dãy  u n được xác định bởi:

v u

 

dụ 2.1.2 nhƣ sau:

Phương pháp giải Ta phân tích ( ) f n g n( )ag n( 1) với ( )g n cũng

là một đa thức theo n

Trường hợp 1: Nếu a1, ta thấy đa thức ( )g n ag n( 1) có bậc nhỏ

đa thức bậc k nên để ( ) f n g n( )ag n( 1)(*) ta cần chọn ( )g n là đa thức

Lúc này ta có u n g n( )u n1g n(    1) u1 g(1) Từ đó suy ra

Trường hợp 2: Nếu a1, ta thấy ( )g n ag n( 1) và ( )g n là hai đa thức

xác định tương tự như trường hợp 1

Lúc này ta có u n g n( )a u( n1g n( 1)) Đặt v n u n g n( ) thì ta có

quát của dãy  u n

Ví dụ 2.1.3 Xác định số hạng tổng quát của dãy  u n được cho bởi:

1

1

23

n n

 ta được v n1  v n 4n2 và 1

1

.2

v u

Vậy 1 22 , 1.

n n

Khi công thức truy hồi xuất hiện những yếu tố gợi đến các công thức lƣợng giác thì ta có thể thử với phép thế lƣợng giác Ta xét một số bài toán sau:

Bài toán 2.2.1.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số  u n xác định bởi:

1

2 1

1

n n

Ta đặt atan , btan u n tan n1

Ví dụ Xác định số hạng tổng quát của dãy số  u n xác định bởi:

1

1

1

33

2 3

1 (2 3)

n n

n

u

u u

u u

Ở đây ta chỉ trình bày ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính cấp một và cấp hai trong một số dạng bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số (chỉ nêu phương pháp giải mà không chứng minh)

Định nghĩa 2.3.1.[3] Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương

u của phương trình không thuần nhất;

Ví dụ 2.3.1 Tìm công thức tổng quát của dãy  u n với

1

2 1

dn u

n n

u

Vậy số hạng tổng quát của dãy là 1 1

tương ứng: au n2 bu n1cu n 0 (xem Bài toán 2.3.4);

n

u của phương trình không thuần nhất;

Trường hợp 3: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức

y r

và viết rcosisin;

Khi đó số hạng tổng quát của dãy là u n r c n( cos1 nc2sinn); trong đó

1, 2

c c được xác định khi biết u u 1, 2

Ví dụ 2.3.3 Xác định công thức tổng quát của dãy Fibonacci  F n cho

1, 1

(Công thức này còn được gọi là công thức Binet)

Bài toán 2.3.5 Tìm công thức tổng quát của dãy  u n xác định bởi:

u là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng được xác định như ở

dq u

thay vào phương trình ta được:

7523

u là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng được xác định như ở

thay vào phương trình ta được:

2011

Ta xét một số bài toán sau:

Bài toán 2.4.1 Xác định số hạng tổng quát của hai dãy  u n và  v n thỏa

Đặt n

n

n

u X

trong đó: I là ma trận đơn vị cấp n 0 là ma trận không cấp n

Khai triển nhị thức Newton ta đƣợc:

n n

n n

Bài toán 2.4.2 Xác định số hạng tổng quát của các dãy    x n , y và n  z n

A , ta có thể dùng định lý Cayley – Hamilton để xây dựng công

thức bằng qui nạp như bài toán trên, nhưng ở phần này tôi sẽ trình bày thêm phương pháp chéo hóa ma trận

Sau đây tôi sẽ trình bày một số khái niệm liên quan đến vấn đề chéo hóa

ma trận và các bước chéo hóa một ma trận để tìm ma trận lũy thừa

Chéo hóa ma trận.[2]

1 Trị riêng Vectơ riêng Không gian riêng

- Số thực  được gọi là một trị riêng của ma trận A nếu tồn tại vectơ

 1, , n n \ 0 

Không gian này được gọi là không gian riêng của ma trận A tương ứng với trị riêng 

2 Chéo hóa một ma trận vuông

 

n

không chéo hóa được Ngược lại:

Bước 3: Với mỗi 1 i k  , tìm cơ sở B và số chiều i dimV i của các không gian riêng V i Nếu tồn tại 1 i k  sao cho dimV i r i thì A

không chéo hóa được;

1

Từ đó, để tìm ma trận n

A ta lũy thừa n lần 2 vế của P AP1 D

D )

thiệu 2 phương pháp thường dùng nhất trong bài toán tìm ma trận nghịch đảo:

a Phương pháp dùng ma trận phần phụ đại số:

b Phương pháp dùng phép biến đổi sơ cấp:

Au u x x x  ; Giải hệ phương trình ta tìm được nghiệm tổng quát:

x x x1, 2, 3       , , (  ) , ,  Vậy V(2) 1, 1,0 , 1,0, 1     dim (V 2)2, với cơ sở:

 1, 1,0 , 1,0, 1  

1 ( 1) 2 1 ( 1) 23

1

1 ( 1) 2 1 ( 1) 23

Trong phần này ta chỉ trình bày sơ lược một số vấn đề lý thuyết về hàm sinh (không chứng minh), chủ yếu tập trung vào các kiến thức có ứng dụng trong việc tìm công thức tổng quát của một số dạng dãy số

Định nghĩa Hàm sinh thường của dãy số vô hạng  a n n0 là một chuỗi

Ta gọi hàm sinh là một chuỗi hình thức bởi vì thông thường ta sẽ chỉ coi

x là một kí hiệu thay thế thay vì một số Chỉ trong vài trường hợp, ta sẽ cho

x nhận các giá trị thực, vì thế ta gần như không để ý đến sự hội tụ của các

chuỗi Có một số loại hàm sinh khác nhau, trong phần này ta sẽ chỉ xét đến hàm sinh thường

Ta nhắc lại công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:

tâm đến vấn đề hội tụ Công thức này sẽ cho ta công thức tường minh cho hàm sinh của hàng loạt dãy số

Theo định lý về đạo hàm từng số hạng của một chuỗi lũy thừa, ta có:

Tương tự ta có thể lấy đạo hàm đến cấp n đẳng thức (1), từ đó ta cũng có

công thức tường minh cho hàm sinh của một số dãy số

Sau đây tôi sẽ tổng kết một số công thức thường dùng trong hàm sinh:

Ứng dụng hàm sinh vào xác định công thức tổng quát của dãy số

Một số dạng bài toán tìm công thức tổng quát của dãy số ở phần trước ta

đã trình bày cách giải bằng phương pháp sai phân, trong phần này ta sẽ trình bày thêm một phương pháp giải nữa dựa trên cơ sở hàm sinh Xét một vài bài toán sau:

Bài toán 2.5.1 Tìm công thức tổng quát của dãy  u n xác định bởi:

Vậy dãy số cần tìm có công thức tổng quát dạng:

[ (cos isin )] [ (cos sin )]

r [( )cos( ) ( ) sin( )], 0

n n

Thử lại ta thấy kết quả thỏa mãn yêu cầu của đề bài

Ví dụ 2.5.1 (Xét lại bài toán ở ví dụ 2.3.3)

1, 1

Thử lại ta thấy kết quả thỏa mãn yêu cầu của đề bài

Ví dụ 2.5.2 Xác định công thức tổng quát của dãy  u n cho bởi hệ thức

Thử lại ta thấy kết quả thỏa mãn yêu cầu của đề bài

Bài toán 2.5.2 Tìm công thức tổng quát của dãy  u n xác định bởi:

Hệ số của x trong khai triển của ( ) n G x là u n 2n  3 2(n 1) 2n 2n5

Thử lại ta thấy kết quả thỏa mãn yêu cầu của đề bài

Ví dụ 2.5.4 Xác định công thức tổng quát của dãy  u n cho bởi hệ thức

Cộng 3 đẳng thức trên vế theo vế, kết hợp với hệ thức truy hồi ta đƣợc:

CHƯƠNG III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI

HOẶC TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Nội dung chính của phương pháp này chủ yếu dựa vào định lý:

Dãy đơn điệu tăng (giảm) hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn trên (dưới)

Phương pháp chung

Bước 1: Chứng minh dãy số tăng và bị chặn trên bởi số M (hoặc giảm và

bị chặn dưới bởi số m) bằng cách tính một vài số hạng đầu tiên của dãy và quan sát mối liên hệ để dự đoán chiều tăng (hoặc chiều giảm) và số M (hoặc

- Từ hệ thức truy hồi ta được một phương trình theo ẩn a ;

các nghiệm của phương trình trên Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta xét: nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đó chính là giới hạn của dãy cần tìm, còn nếu phương trình có nhiều hơn một nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy số để loại nghiệm

Ta xét một vài ví dụ minh họa sau:

Ví dụ 3.1.1 Cho dãy số ( )u n xác định bởi 1