Một số vấn đề về luỹ thừa của các iđêan đơn thức

Một số vấn đề về luỹ thừa của các iđêan đơn thức

Viện Toán học

Viện Khoa học và Công Nghệ Việt Nam

Cán bộ hướng dẫn khoa học: GS TSKH Lê Tuấn Hoa

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

- Thư viện Viện Toán học

Mở đầu

Từ lâu trong đại số giao hoán, người ta quan tâm đến tính tiệm cận của một

số bất biến của luỹ thừa các iđêan Lý do là những bất biến đó khi xét riêng

rẽ từng số mũ thì thường không tuân theo một quy luật nào Nhưng khi luỹthừa đủ lớn thì chúng lại có dáng điệu đẹp Hơn nữa đôi khi dáng điệu tiệmcận đó lại cho ta mối quan hệ sâu sắc với các bất biến khác

Mục đích của luận án là nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của bốn bất biếnsau đối với luỹ thừa của các iđêan đơn thức trong vành đa thức R: tập iđêannguyên tố liên kết, chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford, chỉ số chínhquy của hàm Hilbert, các bất biến ai Các bất biến này có liên quan chặtchẽ với nhau

Nghiên cứu kết qủa của M Brodmann [2], R Sharp [15] đặt ra bài toán:

Từ vị trí nào trở đi thì dãy {Ass(R/In)}n∈N không đổi Ta gọi số nhỏ nhất

có tính chất đó là chỉ số ổn định n(I) của dãy {Ass(R/In)}n∈N Trong bàibáo đó, Sharp đưa ra một số liên hệ giữa n(I) và các bất biến khác Mộttrường hợp khá đơn giản, khi I là iđêan cạnh tương ứng với một đồ thị, thì

đến năm 2002 mới được J Chen, S Morey và A Sung [3] giải quyết Sau

đó L T Hoa [7] đã giải quyết trọn vẹn cho iđêan đơn thức I bất kỳ, bằngcách đưa ra chặn trên cho n(I) theo số biến, bậc cực đại và số các đơn thứcxác định I

Trong luận án này, chúng tôi xét bài toán tương tự cho tập iđêan nguyên

tố liên kết của bao đóng nguyên {Ass(R/In)}n∈N Ta biết rằng McAdam

và Eakin [14] đã chứng minh rằng dãy {Ass(R/In)}n∈N dừng từ một vị trí

n0 nào đó Ta gọi số tự nhiên nhỏ nhất có tính chất đó là chỉ số ổn định củadãy {Ass(R/In)}n∈N và ký hiệu là n(I) Câu hỏi tự nhiên đặt ra là chặntrên n(I) Cũng như trường hợp chặn trên n(I), hầu như chưa có kết quảnào về vấn đề này Vì vậy, chúng tôi nghiên cứu trường hợp đầu tiên: I làiđêan đơn thức của vành đa thức Kết quả chính thu được là một chặn trêncho n(I) theo số biến và bậc cực đại của các đơn thức xác định I (Định lý1.3.4) Chúng tôi cũng chỉ ra rằng kết quả này hầu như là tối ưu (xem Mệnh

đề 1.4.1)

Bài toán tiếp theo là nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của chỉ số chính quyCastelnuovo-Mumford (xem Định nghĩa 2.1.2) của tổng luỹ thừa các iđêan.Kết quả tổng quát nhất về vấn đề này nói rằng nếu I là iđêan thuần nhất củavành Noether phân bậc chuẩn và M là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinhthì chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford reg(InM ) là một hàm tuyến tínhcủa n khi n đủ lớn (xem [17]) Nếu ta thay In bằng tổng luỹ thừa của haiiđêan thôi, chẳng hạn In

1 + I2n, thì kết quả không còn đúng nữa Chúng tôi

đã xây dựng được phản ví dụ (xem Ví dụ 3.5.8 và Mệnh đề 3.6.1) Câu hỏi

đặt ra là, nếu I, I1, , Ip là các iđêan thuần nhất của vành đa thức R thìliệu reg(I +In

1 + ã ã ã + Ipn) có bị chặn trên bởi một hàm tuyến tính của n haykhông? Đây chính là vấn đề mà M Katzman [12] đặt ra Tại công trình đó,Katzman chỉ chứng minh được trường hợp các iđêan I1, , Ip là các iđêanchính còn I là iđêan đơn thức Sau đó S M Hermiller và I Swanson [5]chứng minh được cho trường hợp vành hai biến với một kỹ thuật tính toánphức tạp Chúng tôi (xem [10]) đã mở rộng kết quả của [5] cho trường hợpdim R/I + I1n + ã ã ã + Ipn 6 1 Tuy nhiên kết quả đó sẽ không được trìnhbày trong luận án này Chú ý rằng việc nghiên cứu reg(I + In

1 + ã ã ã + Ipn)không phải là sự mở rộng thuần tuý, mà vì nó liên quan đến các vấn đề khácnhư vấn đề về địa phương hoá của bao đóng chặt (tight closure), xem [13]

Trong trường hợp I, I1, , Ip đều là iđêan đơn thức thì từ kết quả của L.

T Hoa và N V Trung [9] suy ra reg(I + In

1 + ã ã ã + Ipn) bị chặn trên bởimột hàm tuyến tính của n Hơn nữa, từ Ví dụ 3.5.8 chúng tôi đã biết nókhông thể có dáng điệu tiệm cận là một hàm tuyến tính được Thế nhưngmột kết quả thú vị khác của chúng tôi nói rằng nó có dáng điệu tiệm cận

là một hàm tựa tuyến tính của n (xem Định lý 3.3.4 và Định nghĩa 2.2.1).Như vậy có thể nói đó là dáng điệu đẹp nhất có thể hy vọng Để làm được

điều này, chúng tôi xét các bất biến mịn hơn đó là các bất biến ai và nhận

R-môđun phân bậc hữu hạn sinh) L T Hoa và E Hyry [8] đã chứng tỏrằng ri(In) là một hàm tuyến tính của n khi n đủ lớn cho một số trườnghợp đặc biệt Họ đặt ra vấn đề giải quyết bài toán này cho một iđêan thuầnnhất tuỳ ý Tuy liên quan chặt chẽ đến reg(In), người ta không thể dùng

kỹ thuật nghiên cứu chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford để nghiên cứuri(I) được Thế nhưng, bằng cách nghiên cứu chuỗi Hilbert-Poincare songphân bậc của vành Rees liên kết, chúng tôi đã giải quyết được trọn vẹn bàitoán này (xem Định lý 2.3.1)

Mặc dù nghiên cứu các bất biến khác nhau, nhưng công cụ chính màchúng tôi sử dụng vẫn là một Đó là chuyển các bài toán đại số thành cácbài toán tổ hợp, rồi nghiên cứu các vấn đề tổ hợp đó Đây là lý do vì saonghiên cứu của luận án chỉ tập trung vào các iđêan đơn thức Tuy nhiênngay cả đối với việc nghiên cứu chỉ số chính quy của hàm Hilbert ri(InM ),

trong đó I không chỉ là iđêan đơn thức, thì công cụ chủ yếu vẫn là tổ hợp.Hai đối tượng tổ hợp mà chúng tôi xem xét trong luận án này là nón đa diệnNewton và chuỗi luỹ thừa hình thức hai biến.

Luận án được cấu trúc như sau Ngoài phần mở đầu và phần kết luận,luận án chia làm ba chương

Trong Chương 1, chúng tôi sẽ thiết lập chặn trên cho chỉ số ổn định n(I).Trong Mục 1.1, chúng tôi giới thiệu khái niệm tập các iđêan nguyên tố liênkết và một số kết quả về dáng điệu của các dãy {Ass(R/In)}n∈N và dãy{Ass(R/In)}n∈N Trong Mục 1.2, chúng tôi giới thiệu khái niệm và cáctính chất đặc trưng của nón đa diện Newton cho một iđêan đơn thức Việcthiết lập chặn trên cho chỉ số ổn định n(I) dựa trên mối quan hệ giữa nón

đa diện Newton của iđêan đơn thức và bao đóng nguyên của iđêan đơn thức

đó được trình bày trong Mục 1.3 Kết quả chính ở đây là Định lý 1.3.4.Trong Mục 1.4, sử dụng các tính chất của nón đa diện Newton, chúng tôixây dựng các ví dụ chứng tỏ rằng, nói chung chặn trên cho chỉ số ổn định

mà ta thu được gần với giá trị chính xác (Mệnh đề 1.4.1)

Trong Chương 2, chúng tôi chứng minh tính tuyến tính tiệm cận của chỉ

số chính quy của hàm Hilbert trong trường hợp tổng quát Các định nghĩa

về chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford, các bất biến ai và chỉ số chínhquy của hàm Hilbert cũng như các mối quan hệ giữa chúng được trình bày

ở Mục 2.1 Trong Mục 2.2, chúng tôi định nghĩa khái niệm hàm tựa tuyếntính và chứng minh một Định lý tổ hợp về chuỗi luỹ thừa hình thức (Định lý2.2.2) Trong Mục 2.3, chúng tôi giới thiệu chuỗi Hilbert-Poincare cho vành

đa phân bậc cũng như mối quan hệ của chỉ số chính quy của hàm Hilbertcủa một môđun phân bậc hữu hạn sinh với chuỗi Hilbert-Poincare của nó

Từ đó chúng tôi suy ra tính tuyến tính tiệm cận của chỉ số chính quy củahàm Hilbert (Định lý 2.3.1)

Trong Chương 3-chương cuối cùng, chúng tôi chứng minh dáng điệu tiệmcận của chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford cũng như các bất biến aicủa tổng các luỹ thừa các iđêan đơn thức là các hàm tựa tuyến tính TrongMục 3.1, chúng tôi chứng minh tính chất hữu tỷ của chuỗi Hilbert-Poincarecủa hệ iđêan đơn thức, mặc dù không nhất thiết đại số Rees của hệ iđêan

đơn thức là hữu hạn sinh Trong Mục 3.2, chúng tôi giới thiệu Công thứcTakayama để chuyển nghiên cứu đối đồng điều địa phương sang một đốitượng tổ hợp là phức đơn hình tương ứng với các iđêan Stanley-Reisner.Dáng điệu tiệm cận là các hàm tựa tuyến tính cho các bất biến ai và chỉ sốchính quy Castelnuovo-Mumford đối với tổng luỹ thừa các iđêan đơn thức

được trình bày trong Mục 3.3 với các kết quả chính là các Định lý 3.3.2 và

Định lý 3.3.4 Tiếp theo, chúng tôi sẽ phát triển một kỹ thuật để tính hệ số

đầu của hàm tựa tuyến tính tiệm cận vừa nêu Trong Mục 3.4, chúng tôixây dựng khái niệm nón đa diện Newton cho hệ iđêan đơn thức có tổng làmột iđêan nguyên sơ và nghiên cứu một số tính chất của nó Sau đó, trongMục 3.5 chúng tôi sẽ chỉ ra và chứng minh công thức tính hệ số đầu củahàm tựa tuyến tính reg(In

1 + ã ã ã + Ipn) với dim R/I1+ ã ã ã + Ip = 0 (Định lý3.5.4) Cuối cùng chúng tôi chỉ ra rằng bất kỳ số hữu tỷ nào lớn hơn hoặcbằng 1 đều có thể là hệ số đầu của một hàm tựa tuyến tính nào đó xác địnhreg(I1n+ ã ã ã + Ipn) (Mệnh đề 3.6.1) Kết quả này được trình bày ở mục cuốicùng là Mục 3.6

Các kết quả trong luận án đã được chúng tôi công bố trong ba bài báoquốc tế [10], [18], [19] và một bài báo preprint [11]

Chương 1

Sự ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết

Mục đích của chương này là chặn trên chỉ số ổn định cho tập iđêan nguyên

tố liên kết của bao đóng nguyên các luỹ thừa iđêan đơn thức Kết quả trìnhbày ở đây là trong [18]

1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết

Trong mục này, ta xét R là vành Noether giao hoán có đơn vị và I là mộtiđêan của vành R

Định nghĩa 1.1.6 Bao đóng nguyên của iđêan I là tập hợp I bao gồm tấtcả các phần tử x ∈ R thoả mãn phương trình có dạng

xn + a1xn−1 + ã ã ã + an−1x + an = 0,trong đó ai ∈ Ii với mỗi i = 1, , n

Đối với các bao đóng nguyên, S McAdam và P Eakin chứng minh định

Vấn đề 2 Hãy chặn trên chỉ số ổn định của dãy {Ass(R/In)}n∈N:

n(I) = min{t| Ass(R/In) = Ass(R/It) với mọi n > t}

Thuận lợi của việc nghiên cứu bài toán này là dáng điệu dãy {Ass(R/In)}n∈Nkhá đẹp

Bổ đề 1.1.8 [6, Mệnh đề 16.3] Dãy {Ass(R/In)}n∈N đơn điệu không giảm

1.2 Nón đa diện Newton

Trong phần còn lại của chương này, ta xét vành đa thức R = K[X1, , Xr]trên trường K Ký hiệu iđêan thuần nhất cực đại của R là m = (X1, , Xr)

và tập các số thực không âm là R+

Cho iđêan đơn thức I của vành R Phương pháp nghiên cứu chặn trên chỉ

số n(I) của chúng tôi là dựa vào sự mô tả nón đa diện Newton NP (I) của

I, và cấu trúc đơn giản của các iđêan nguyên tố liên kết của các iđêan đơnthức

Định nghĩa 1.2.1 Cho iđêan đơn thức I của vành đa thức R

a) Cho tập A ⊆ R, tập các số mũ của A là E(A) := {α| Xα ∈ A} ⊆ Zr.b) Nón đa diện Newton của I là NP (I) := conv{E(I)}, tức là bao lồicủa tập số mũ của iđêan I trong không gian Rr

Các kết quả quen biết sau đây cho ta một cầu nối giữa nón đa diện Newtoncủa I và bao đóng nguyên của nó

Bổ đề 1.2.2 Cho iđêan đơn thức I của vành R Khi đó bao đóng nguyên Icủa I là một iđêan đơn thức có tập mũ là E(I) = NP (I) ∩ Zr Hơn nữa

E(I) = {α| tồn tại số nguyên n > 1 sao cho nα ∈ E(In)}

Bổ đề 1.2.7 Nón đa diện Newton NP (I) là nghiệm của một hệ bất phươngtrình có dạng

{x ∈ Rr| hai, xi > bi, i = 1, , q},sao cho mỗi siêu phẳng có phương trình hai, xi = bi xác định một mặt cực

đại của NP (I) Siêu phẳng này chứa ti điểm độc lập affine của E(G(I))

và song song với r − ti véc tơ của cơ sở chuẩn tắc Hơn nữa, ta có thể chọn

0 6= ai ∈ Rr+ và bi ∈ R+ với mọi i = 1, , q Trong trường đó, ti là số cáctoạ độ khác không của véc tơ ai

Ta biết rằng tập các iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu của R/In và củaR/I trùng nhau Kết quả sau đây đúng cho iđêan bất kỳ

Bổ đề 1.2.8 [14, Mệnh đề 16] Nếu r 6 2, ta có Ass(R/In) = Ass(R/I)với mọi n > 1

Định nghĩa 1.2.9 Cho iđêan đơn thức I của vành R Với mỗi i = 1, , r,

ta đặt

I[i] = (Xα[i]| Xα ∈ I)

Bổ đề 1.2.12 Cho iđêan đơn thức I Với mọi số nguyên n > 1, ta có

Ass(R/In) \ {m} =

r[i=1Ass(R/I[i]n)

1.3 Chặn trên chỉ số ổn định

Kết quả sau đây đưa ra điều kiện cần để m ∈ Ass(R/In) Cho iđêan đơnthức I của vành R Ta luôn hiểu NP (I) được mô tả bởi hệ bất phương trìnhtrong Bổ đề 1.2.7

Bổ đề 1.3.1 Cho iđêan đơn thức I Nếu m ∈ Ass(R/In) với một số nguyên

n > 1, thì phải có một véc tơ ai > 0 với một 1 6 i 6 q nào đó

Điều kiện trên, tất nhiên không phải là điều kiện đủ Ví dụ, iđêan đơnthức I = (X1X2, X1X3, X2X3) ⊂ R = K[X1, X2, X3] thoả mãn các điềukiện của Bổ đề 1.3.1, ta có m /∈ Ass(R/I) Tuy nhiên điều kiện cần này

"gần như" đủ Cụ thể,

Bổ đề 1.3.2 Cho iđêan đơn thức I của vành đa thức R Gọi d(I) là bậc lớnnhất của các đơn thức trong tập G(I) Đặt δ = r2r−1[d(I)]r−2 Nếu có mộtchỉ số i sao cho ai > 0, thì m ∈ Ass(R/In) với mọi n > δ

Sử dụng các Bổ đề 1.2.8, Bổ đề 1.2.12, Bổ đề 1.3.1, Bổ đề 1.3.2 và bằngquy nạp theo r, ta nhận được kết quả chính của chương này:

Định lý 1.3.4 Cho iđêan đơn thức I của vành đa thức R Đặt

Khi đó với mọi n > n0, ta có Ass(R/In) = Ass(R/In0)

1.4 Tính tối ưu của chặn trên

Cho iđêan đơn thức I của R Từ Định lý 1.3.4, ta có n(I) 6 r2r−1d(I)r−2.Các ví dụ sau đây chỉ ra rằng, chặn này khá chặt khi cố định r

Cho các số nguyên d, r thoả mãn r > 4 và d > r − 3 Ta đặt

1 Xβ1

2 ã ã ã Xβr−4

r−3 Xr−2d−r+2,trong đó

2.1 Chỉ số chính quy của hàm Hilbert

Trong chương này, ta xét A = Lm>0Am là một đại số phân bậc chuẩn hữuhạn sinh trên vành Artin A0, tức là A = A0[A1] Cho M = Lm∈ZMm

là một A-môđun phân bậc hữu hạn sinh với chiều dim(M) = d Đặt

A+ = Lm>0Am Ta ký hiệu Hi

A+(M ) là môđun đối đồng điều địa phươngthứ i của M với giá A+ Hơn nữa Hi

A +(M ) cũng là một A-môđun phân bậc

và triệt tiêu tại các bậc đủ lớn

Định nghĩa 2.1.2 Cho số nguyên i > 0 và A-môđun phân bậc hữu hạnsinh M, đặt

Năm 2005, N V Trung và H J Wang [17] đã mở rộng kết trước đó của

D Cutkosky, J Herzog, N V Trung [4] và V Kodiyalam [13] đã chứngminh rằng reg(InM ) là một hàm tuyến tính của n khi n đủ lớn (với I làmột iđêan thuần nhất của A)

Hàm Hilbert của M là hàm HM : Z −→ Z được xác định bởi

dấu bằng xảy ra nếu M là môđun Cohen-Macaulay

Như vậy, từ (2.2), ta có ri(InM ) 6 reg(InM ) + 1 Nên theo kết quả của

N V Trung và H J Wang [17], ta có ri(InM ) bị chặn trên bởi một hàmtuyến tính của n Từ đây, L T Hoa và E Hyry [8] đã đặt ra bài toán:

Vấn đề 3 Phải chăng ri(InM ) là hàm tuyến tính của n khi n đủ lớn?

Họ đã có câu trả lời khẳng định trong trường hợp I là một iđêan thuầnnhất của vành đa thức có một hệ sinh chỉ gồm một hoặc hai bậc Phươngpháp mà L T Hoa và E Hyry [8] sử dụng để chứng minh trường hợp đó làdựa trên giải tự do song phân bậc của đại số Rees R(I) của I Phương phápchúng tôi sử dụng để chứng minh Định lý 2.3.1 có phần khác phương pháp

tổ hợp mà L T Hoa và E Hyry đã gợi ý Chúng tôi cũng chuyển bài toán

về thành bài toán thuần tuý tổ hợp Nhưng thay vì nghiên cứu các đa thứcmột biến tách biệt như của họ, chúng tôi nghiên cứu chúng trong mối quan

hệ với một chuỗi hình thức của hai biến (xem Định lý 2.2.2) Bằng phươngpháp như vậy, chúng tôi đã giải quyết được Vấn đề 3 nêu trên

2.2 Hàm tựa tuyến tính

Quy ước Chúng ta coi bậc của đa thức không là −∞

Định nghĩa 2.2.1 Hàm f : N −→ Q ∪ {−∞} được gọi là hàmtựa tuyến tính, nếu tồn tại số nguyên dương N và các các số hữu tỷ

a0, a1, , aN −1, b0, b1, , bN −1 sao cho, với mỗi số nguyên 0 6 i 6 N −1cho trước, thì với mọi số tự nhiên n mà n ≡ i mod N, 0 6 i 6 N − 1, thìluôn có f(n) = ain + bi hoặc luôn có f(n) = −∞ Trong trường hợp fkhông nhận giá trị −∞, ta nói rằng các hàm tuyến tính fi(n) = ain+bi, i =

0, , N − 1 xác định f

Kết quả chính của mục này là định lý sau đây

Định lý 2.2.2 Cho dãy đa thức P0(x), P1(x), ∈ Q[x] và các số nguyênkhông âm α1, , αs, β1, , βs, n1, , ns với αi + βi 6= 0 với mọi i =

1, , s Nếu tồn tại đa thức P (x, y) ∈ Q[x, y] sao cho

Xn>0

Pn(x)yn = P (x, y)

(1 − xα1yβ1)n1 ã ã ã (1 − xαsyβs)ns,thì deg Pn(x) là một hàm tựa tuyến tính của n khi n đủ lớn

Hơn nữa, nếu β1 = ã ã ã = βs = 1 và trong vế phải của đẳng thức trên, tử

số không chia hết cho mẫu số thì deg Pn(x) là hàm tuyến tính của n khi n

đủ lớn và hệ số đầu của hàm này là một trong các hệ số αi