Bài tập áp dụng.Bài tập 1.. Sử dụng phơng pháp làm trội.. Sử dụng phơng pháp làm trội.. Sử dụng phơng pháp làm trội.. Chứng minh các bất đẳng thức với n là các số tự nhiên... Sử dụng BĐT
Trang 1Chuyên đề chứng minh bất thức
n
n n
b a a
b a a
b a a
n m
;1
1,0
5 a>b≥0,c>d≥0⇒ac>bd 10.
b a ab
b
a> , >0⇒ 1<1
3.Một số hằng bất đẳng thức
1 A2 ≥ 0 với ∀A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
4 A B+ ≥ A + B ( dấu = xảy ra khi
a
a
3 2 1 3
3.Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốpx-ki:
*Cho n cặp số bất kì a1,a2,a3, ,a n;b1,b2,b3, ,b n, ta có:
)
)(
(), ,
3 3 2
a b
a b
a b
2 1
2
2 1
2 2
2 1
2 2 2 1
b a
a
+
≥+
+
21
Trang 2+
∈+
+
>
a b
a
a
,,
11
11
11
0
+
≤+
⇒
+
≤+
≤+
a
bc ac
ab c
b a
3
411)
c b a c b
2
1141)
14(1
4a+ = a+ ≤ a+ + = a+
4
;2
24
b a ab
b a b a
ab ab
⇒
≥
xy y
21
11
1
2 2
a
2
++
≥+
6
ab b
b a
4
1
y x y
1
22
1
k k
k k
k k
++
21
22
<
+
k k k k
b)Ta xét hiệu: x2 + y2 + z2- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x2 + y2 + z2- 2xy +2xz –2yz =( x – y + z)2 ≥0 đúng với mọi x;y;z Vậy x2 + y2 + z2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z R∈ Dấu bằng xảy
ra khi x+y=z
c) Ta xét hiệu: x2 + y2 + z2+3 – 2( x+ y +z ) = x2- 2x + 1 + y2 -2y +1 + z2-2z +1 = (x-1)2+ (y-1) 2+(z-1)2≥ 0 Dờu (=) xảy ra khi x = y = z = 1
Ví dụ 2: chứng minh rằng : a)
2 2
a
c) Hãy tổng quát bài toán
Lời giải: a) Ta xét hiệu: 2 2 2
2a2 +b2 −a2 + ab+b2 = (2a 2b a b 2ab)
4
1 2 + 2 − 2 − 2 −
Trang 3= ( ) 0
4
1 a−b 2 ≥ VËy
2 2
2 2
1 2 2
n
a a
a n
a a
44
4
2 2
2 2
2 2
22
2 2
2 2
02
02
02
m q m p m n m
m
m q
m p
m n
b)a2 +b2 +1≥ab+a+b
c)a2 +b2 +c2 +d2 +e2 ≥a(b+c+d+e)
Trang 4Lời giải: a) a +b ≥ab
4
2 2
ab b
4 2 + 2 ≥
⇔ ⇔4a2 −4a+b2 ≥0 ⇔(2a−b)2 ≥0 (bất đẳng thức này luôn đúng) Vậya +b ≥ab
⇔ (a−2b) (2 + a−2c) (2 + a−2d) (2 + a−2c)2 ≥0 Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: (a10 +b10)(a2 +b2) (≥ a8 +b8)(a4 +b4)
Lời giải: (a10 +b10)(a2 +b2) (≥ a8 +b8)(a4 +b4) ⇔ a12 +a10b2 +a2b10+b12 ≥a12 +a8b4 +a4b8+b12
⇔ a8b2(a2 −b2)+a2b8(b2 −a2)≥0⇔ a2 b2 ( a2 - b2) ( a6 - b6 )≥ 0 ⇔ a2b2( a2 - b2 )2( a4+ a2b2+b4) ≥ 0Bất đẳng thức cuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 3: cho x.y =1 và x.y ;Chứng minh
y x
y x
y x
−
2
≥2 2 vì :x〉y nên x- y 〉 0 ⇒x2+y2≥ 2 2( x-y) ⇒ x2+y2- 2 2 x+2 2y ≥0⇔
x2+y2+2- 2 2 x+2 2y -2 ≥0 ⇔ x2+y2+( 2 )2- 2 2 x+2 2y -2xy ≥0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
⇒(x-y- 2 )2 ≥ 0 Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh
<
++
=
z y x z y x
z y x
111
1
Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
11
1+ + )=x+y+z - (1+ 1+1) > 0
z y
11
1+ + < x+y+z theo gt)
→2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dơng
Nếủ trờng hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 →x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trờng hợp trêntức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1
Trang 5a a
3 2 1 3
2
1+ + + + ≥ Với a i >0 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski
( ) ( ) ( )2
2 2 1 1 2 2
2
2 1 2 2
c b a
⇒
3
.33
C B A c b a cC bB
c b a
⇒
3
.33
C B A c b a cC bB
aA+ + ≤ + + + + Dấu bằng xảy ra khi
c b a
Ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥8 a b c Lời giải:
Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: (x+y)2 ≥4xy Tacó (a+b)2 ≥4ab; (b+c)2 ≥4bc ;
(c+a)2 ≥4ac⇒(a+b)2 (b+c)2 (c+a)2 ≥64a2b2c2 =(8abc)2 ⇒(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Ví dụ 2 1)Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 CMR: 1 +1+1 ≥9
c b
++
+
c a c
b c b a
≥+
≥
≥
b a
c c a
b c b
2 2 2
++
++
≥+
++
+
c c a
b c b
a c b a b a
c c c a
b b c
b
a
3
1 =21
Vậy
2
1
3 3
3
≥+
++
+
c c a
b c
x
Ta có 2 + 2 + 2 ≥2( + )=2( + 1 )≥4
ab ab cd
ab c
ac ab
2 2
2
2 +b +c +d +a b+c +b c+d +d c+a ≥
a
Trang 6VÝ dô 5: Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng:
a d b c
d c a
d c a
2 + b + c =
a
Chøng minh
abc c b a
111
11
⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)=1-a-b-c-d+ad+bd+cd
⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (§iÒu ph¶i chøng minh)
Trang 7c a b
c a b
c a b
a d
c b
+++
+++
+++
<
b a d
d a
d c
c d
c b
b c
b a
d a c
b a
a c
b
a
a
+++
+
<
++
b a
a
+++
>
++ (2)
+++
+ (3)
T¬ng tù ta cã
d c b a
a b d
c b
b d
c b a
b
+++
+
<
++
<
++
c b a
d c
c d
c b a
c
+++
+
<
++
<
++
d c b a
c d b
a d
d d
+
<
++
+++
+++
d a
d c
c d
c b
b c
ab <
d
c d
cd d b
cd ab b
2 ®iÒu ph¶i chøng minh
vÝ dô 3 : Cho a;b;c;d lµ c¸c sè nguyªn d¬ng tháa m·n : a+b = c+d =1000, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña
d
b c
a+
gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö :
c
a d
b
≤ Tõ :
c
a d
b
d
b d c
b a c
a
≤+
+
≤
c a
v× a+b = c+d
Trang 8a+ =
d c
999
1+ Đạt giá trị lớn nhất khi d= 1; c=999
Vậy giá trị lớn nhất của
d
b c
a
+ =999+
999
1khi a=d=1; c=b=999
a
Khi đó P =
1
1 1 3
2 2
1
+ +
=
n n
n a
a a
a a
a a a
2
11
12
++++
++
<
n n n
n
Giải:
Ta có
n n n k
11
1
2
12
1
2
11
n n
++
>
1
22
21
Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có
1
1+ + + + > n+ −
n
Trang 911
11
3
12
1
11
11
3
12
13
1
2
112
1
2 2
Ph ơng pháp 7: Dùng bất đẳng thức trong tam giác
L u ý : Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0
Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a
Ví dụ1: Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng
c a b
c b a
)(
)(
2 2 2
b a c c
c a b b
c b a a
b a c a c b c b a c b a
−+
−+
−+
>
⇒
−+
−+
−+
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
Trang 10Ví dụ1 Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng
2
3
≥+
++
+
c a c
b c b
a
(1)Giải :
Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a=
2
x z
y+ − ; b =
2
y x
z+ − ; c =
2
z y
x+ −
ta có (1) ⇔
z
z y x y
y x z x
x z y
22
2
−++
−++
−+
x y
z y
x x
z x y
⇔( + )+( + )+( + )≥6
z
y y
z z
x x
z y
x x y
Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( + ≥2;
y
x x
y
+ ≥2
z
x x
z
; + ≥2
z
y y
12
1
2 2
+
++
x Với x+y+z < 1 và x ,y,z > Theo bất đẳng thức Côsi ta có
x+y+z≥3.3 xyz ; + + ≥
z y x
111
3 .3 1
xyz ; ⇒ (x+y+z).1x+1y +1z≥9 Mà x+y+z < 1 Vậy 1+1+1 ≥9
z y
+
c a c
b c b a
2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0
CMR ( m n p) (m n p)
b a
pc a c
nb c b
+
++
++
Trang 11
365144
2
2 2
−+
−
=
y
y y y
Kiến thức: Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n>n0ta thực hiện các bớc sau :
1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n=n0
2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi là giả thiết quy nạp )
3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi
để dùng giả thiết quy nạp)
4 – kết luận BĐT đúng với mọi n>n0
Ví dụ1:Chứng minh rằng
n n
12
1
2
11
1
2 2
2 + + + < − ∀n∈N;n>1 (1) Giải :Với n =2 ta có
2
124
1
1+ < − (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2
Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k+1
Thật vậy khi n =k+1 thì
(1) ⇔
1
12)1(
11
2
11
1
2 2
112)1(
11
2
11
1
2 2
2 2
2 + + +k + k+ < −k + k+ < −k+
⇔
k k
11
11
1)
1(
1
1
1
2 2
+
++
<
+++
)1(
1
1 < ⇔ + < ++
+
k k
b a b
Trang 12⇔Vế trái (2) ≤
24
2
.2
1 1 1
=+
04
2
1 1
1
1
≥+++
(a k −b k).(a−b)≥0
(+) Giả sử a < b và theo giả thiết - a<b ⇔ k k k k
b a b
a < ⇔ < ⇔ (a k −b k).(a−b)≥0 Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm)
2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “G ⇒ K”
phép toán mệnh đề cho ta :
Nh vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó
Ta thờng dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng sau :
A - Dùng mệnh đề phản đảo : K− ⇒G−
B – Phủ định rôi suy trái giả thiết :
C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng
D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngợc nhau
E – Phủ định rồi suy ra kết luận :
Ví dụ 1:
Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > Chứng minh rằng a > 0 , b > 0 , c > 0 Giải :
Giả sử a ≤ 0 thì từ abc > 0 ⇒ a≠ 0 do đó a < 0, Mà abc > 0 và a < 0 ⇒ cb < 0
Từ ab+bc+ca > 0 ⇒ a(b+c) > -bc > 0, Vì a < 0 mà a(b +c) > 0 ⇒ b + c < 0
a < 0 và b +c < 0 ⇒ a + b +c < 0 trái giả thiết a+b+c > 0, Vậy a > 0 tơng tự ta có b > 0 , c > 0
Ví dụ 2: Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện
ac ≥ 2.(b+d) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:
a2 <4b , c2 <4d
Giải :
Giả sử 2 bất đẳng thức : a2 <4b , c2 <4d đều đúng khi đó cộng các vế ta đợc, a2 +c2 <4(b+d)(1) Theo giả thiết ta có 4(b+d) ≤ 2ac (2), Từ (1) và (2) ⇒ a2+c2 <2ac hay (a−c)2 <0 (vô lý) Vậy trong 2 bất đẳng thức a2 <4b và c2 <4d có ít nhất một các bất đẳng thức sai
Ví dụ 3 Cho x,y,z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng
Nếu x+y+z >
z y x
111
++ thì có một trong ba số này lớn hơn 1 Giải :
Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1=x + y + z – (
z y x
111
++ ) vì xyz = 1
theo giả thiết x+y +z >
z y x
11
1+ + nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0 Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dơng
Thật vậy nếu cả ba số dơng thì x,y,z > 1 ⇒ xyz > 1 (trái giả thiết)
Còn nếu 2 trong 3 số đó dơng thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)
Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1
Trang 13Phần II Bài tập áp dụng.
Bài tập 1 (Sử dụng phơng pháp làm trội)
Cho a,b,c là 3 số dơng chứng minh rằng:1 <2
+
++
++
<
a c
c c b
b b a a
HD *Ta luôn có:
a c
c c b a
c c b
b c b a
b b a
a c b a
a
+
<
+++
<
+++
<
+
.1
=++
++
=++
+++
+++
>
+
++
+
c b a c b a
c c
b a
b c
b a
a a
c
c c
c a b a
a b
a
a
++
c c b a
a b c b
b
++
+
<
+++
++
=++
++++
++++
+
<
+
++
+
c b a c b a
b c c b a
a b c b a
c a a c
c c b
b b a a
Bài tập 2 (Sử dụng phơng pháp làm trội)
Chứng minh rằng với mọi n > 1 thì 1 1
5
14
13
12
1
2 2
2 2
n
HD Với n > 1 ta có
n n
n n n
11
1)
1(
11
1
11
1
5
14
14
13
13
12
12
11
11
5
14
2
2
−++
−+
−+
−+
−
<
++++
+
n
n n n
n n
Bài tập 3 (Sử dụng phơng pháp làm trội)
Chứng minh các bất đẳng thức với n là các số tự nhiên
)
1(
1
4.3
13
12
1
1
1
2 2
2 2
n n
3
51
4
13
12
1
1
1
2 2
2 2
5
14
14
13
13
12
12
11
1)
1(
1
4.3
13.2
12
1
−++
−+
−+
−+
−
=
−++++
n
n n n
n n
n n n
11
1)
1(
11
n n
n
12
11
11
1
5
14
14
13
13
12
12
11
11
5
14
2
2
−++
−+
−+
−+
−
<
++++
c)Với n = 0 thì 1 <
3
5Với n > 1ta có:
n n
n n n
11
1)
1(
11
n n
11
1
11
1
5
14
14
13
13
12
12
11
11
5
14
−+
−+
−+
−
<
++++
+
3
53
333
5
1< ⇔ − < ⇔ − >− ⇔ >− >
−
n n
n n n
n n
n n
Trang 14Vậy
3
51
4
13
12
1
1
1
2 2
2 2
2 2
b a
b a b a
b a
2 2
19992000
19992000
19961997
2 2
2 2
)())(
(
))(
(
b a
b a b a
b a b a b a
b a b a b
+
+
−
=+
−
19992000
19992000
)19992000
(
19992000
)19992000
)(
19992000
(
)19992000
)(
19992000
(19992000
19992000
Vì hai BT có tử thức bằng nhau và (2000+1999)2 >20002 +19992
c)Tơng tự câu a
Bài tập 5.( Sử dụng BĐT Cô Si)
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
c b a c b
++
+
c a c
b c b
HD a) a2 +b2 +c2 ≥ab+bc+ca⇔2a2 +2b2 +2c2 ≥2ab+2bc+2ca
0)()()
( − 2 + − 2 + − 2 ≥
⇔ a b b c c a vì (a−b)2 ≥0;(b−c)2 ≥0;(c−a)2 ≥0với mọi a,b,c
b)Với a,b,c dơng áp dung bất đẳng thức Cô Si ta có:
abc c
b a ca
bc ab a
c c
22
222222
( − 2 + − 2 + − 2 ≥
⇔ a b a b vì (a−b)2 ≥0;(a−1)2 ≥0;(b−1)2 ≥0với mọi a,b
d) Với a,b,c dơng áp dung bất đẳng thức Cô Si ta có:
⇒
≥++
≥
+
+
c b a
abc c
b a c b a c b a c b a abc c
(
C B
ta có:
3111)(
2
1311
1)(
33
11
+++
+
=
−+
++++
++++
++
=
−++++++++
=+
++
+
+
C B A C B A b
a a c c b c b
a
b a
c b a a c
c b a c b
c b a b
a
c a
c
b c
b
a b a
c a c
b c
2
332
9 − =
≥+
++
+
c a c
b c b
Bài tập 6.( Sử dụng BĐT Cô Si)
Trang 15a) Cho x,y>0, Chøng minh:
y x y
x + ≥ +
411
;b) Cho x≥0,y≥1, Chøng minh:x y−1+ y x−1≤xy;
c) Cho x≥0,y≥1,z≥2, Chøng minh: ( )
2
12
y xy
x y x xy
y x xy y x
y
x
+
≥+
⇔+
≥+
⇔+
≥
+
⇔
≥+
y xy
x y xy
y x xy x
y y
¸p dông B§T C« Si ta cã:
22
11
1.1
;22
111
1 x− ≤ +x− = x y− ≤ +y− = y ,nªn ta cã:
12
12
11.2
1.2
11
=+
=+
x y
y
y
xy x
y y
x −1+ −1≤
c) Víi x≥0,y≥1,z≥2, nªn ta cã: + − + − ≤ ( + + )⇔
2
12
y x
012221
1211
20
2212
−+
+
( x −1) (2 + y−1−1) (2 + z−2−1)2 ≥0v× ( x−1)2 ≥0,( y−1−1)2 ≥0,( z−2 −1)2 ≥0.
Bµi tËp 7.( Sö dông B§T C« Si)
Cho a, b, c lµ c¸c sè kh«ng ©m tho¶ m·n: a+b+c=1.Chøng minh:
xy ≤ + víi x,y kh«ng ©m
22
11)1.(
11,122
11
)1.(
11)1.(
13
2
111
1
32
11
13
22211
1
≤+++++
⇔+
≤++++
+
⇔
+++
≤+++++
⇔+++
≤+++
+
+
c b
a c
b a
c b a c
b a
c b a c
2.3)(
3
)(
)(
)(
)111(
1
1
≤++++
+
⇒
=++
=+++++
≤++++
+
⇒
++++++
+
≤++++
+
a c c b b
a
c b a a
c c b b a a c c b b
a
a c c
b b
a a
c c
b b
a
Bµi tËp 8.( Sö dông H§T)
Choa,b,c≥0,Chøng minh r»ng:
ca bc
ab c
b a
11
111
HD Víi a,b,c≥0, ta cã: 1 +1+1≥ 1 + 1 + 1 ⇔2 + 2+2 − 2 − 2 − 2 ≥0
ca bc
ab c
b a ca bc
ab c
b
Trang 1611
11
b b
11,01
1,01
b b
ca c b
bc b a
+
++
+
HD.Ta có (a−b)2 ≥0⇔a2 −2ab+b2 ≥0⇔(a+b)2 ≥4ab⇔(a+b)(a+b)≥4ab
b a
c c b
bc c
b
+
≥
++
≥
2,
2
2 , cộng vế với vế ta đợc:
2
2
22
22
)(
22
22
22
2
c b a a c
ca c b
bc b a
ab c
b a a c
ca c b
bc b
a
ab
a c
ca c
b
bc b
a
ab c
b a a
c
ca c
b
bc b
a
ab a
c c
b
b
a
++
≤+
++
++
⇔++
++
≥++
⇔+
++
++
≥
++
+
+
+
Bài tập 10 ( Sử dụng BĐT Cô-Si)
Cho a, b, c là các số dơng.Chứng minh các bất đẳng thức:
a)
2
2 2
b a
c a c
a c
c c b
2 2
>
+++
≥+
++
++
+
d c b a a d
d d c
c c b
24.2
4
;42
24.2
4
2 2
2
2 2
2
a c b a c
b b b a c a c
b a
a a a c b c b
a c
⇒
=
=
++
⇒
=
=
++
24.2
4
2 2
c b a
c c c b a b a
c b
4
2 2
c b a b a
c a c
b c b
+
++
++
22
2 2
c b a b a
c a
+
2 2
b a
c a c
b c b
+
++
++
b)Tơng tự câu a) ta có:
;42
24.2
4
;42
24.2
4
;42
24.2
4
2 2
2
2 2
2
2 2
2
a c c a c
c c c a c a c
c a
b b b c b c b
b c
a a a b a b a
a b
⇒
=
=
++
⇒
=
=
++
⇒
=
=
++
4
2 2
c b a a c
c c b
b b a
+
++++
Trang 172 2
c b a a c
c c
+
2 2
a c
c c b
b b a
+
++
+
c) Làm tơng tự câu a, b
Bài tập 11 ( Sử dụng BĐT Cô-Si)
Cho a, b, c là các số dơng.Chứng minh các bất đẳng thức:
2
>
+
++
+
c c
a c
b
a a
c b a a
c b
a
c
b
++
≥+
⇒++
:11
Tơng tự ta có:
c b a
c b
a
c c b a
b c
a
b
++
≥++
+
≥+
2
;
2 , cộng vế với vế ta đợc:
2)(
22
2
++
++
=++
+++
+++
≥+
++
+
c b a c b a
c c
b a
b c
b a
a b
a
c c
a
b c
⇒+
c a b
c b a
, trái với giả thiết a,b,c là ba số dơng.Vậy đẳng thức
+
++
+
c c
a
b c
b
Bài tập 12 ( Sử dụng BĐT Cô-Si)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác.Chứng minh rằng:
+
c a c
0
0)(
0
b ab bc b
a c b c
b
a
a ac ab a
c b a a
Bài tập 13 ( Bài tập dùng định nghĩa)
HD 1) Cho abc = 1 và a3 >36 Chứng minh rằng +
3
2
a b2+c2> ab+bc+ac
Trang 18H≥0 ta có điều phải chứng minh
b) Vế trái có thể viết H = (a−2b+1) (2 + b−1)2 +1⇒ H > 0 ta có điều phải chứng minh
c) vế trái có thể viết H = (a−b+1) (2 + b−1)2 ⇒ H ≥ 0 ta có điều phải chứng minh
Bài tập 14 ( Bài tập dùng biến đổi tơng đơng)
HD 1) Cho x > y và xy =1 Chứng minh rằng ( )
2 2 2
≥
−
+
y x
y x
21
11
1
2 2
Giải : Ta có
xy y
21
11
11
11
1
2 2
2
≥++
−+
++
−
xy y
y xy xy
x
x
)(1
.1
)(
2
++
−+
++
−
xy y
y x y xy
x
x y x
⇔ ( ) ( )
(1 )(.1 ).(1 ) 0
1
2 2
2
≥++
+
−
−
xy y
x
xy x
y BĐT cuối này đúng do xy > 1 Vậy ta có điều phải chứng minh
Bài tập 15 ( Bài tập dùng bất đẳng thức phụ )
HD 1) Cho a , b, c là các số thực và a + b + c = 1Chứng minh rằng
3
1
2 2
c b a c b
Giải : (1) ⇔ 1+ + + +1+ + + +1≥9
a
c a
c c
b a
b c
a b
b
c c
b a
c c
a a
b b a