Nói chung để tính được một tích phân chứa các hàm số lượng giác , học sinh đòi hỏi phải có một số yếu tố sau :.. - Biến đổi lượng giác thuần thục.[r]
Trang 1TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bài 5 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( tiết 2 ) TÍCH PHÂN CHỨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I KIẾN THỨC
1 Thuộc các nguyên hàm :
a/ sin ax+b dx 1cos ax+b
a
b/ csin ax+bos ax+b dx ln os ax+bc
c / cos ax+b dx 1sin ax+b
a
d/ csin ax+bos ax+b dx ln sin ax+b
2 Đối với : I f x dx( )
a/ Nếu f(x)=Rsinm x c; osnx thì ta chú ý :
- Nếu m lẻ , n chẵn : đặt cosx=t ( Gọi tắt là lẻ sin )
- Nếu n lẻ , m chẵn : đặt sinx=t ( Gọi tắt là lẻ cos )
- Nếu m,n đều lẻ thì : đặt cosx=t hoặc sinx =t đều được ( gọi tắt lẻ sin hoặc lẻ cos )
- Nếu m,n đề chẵn : đặt tanx=t ( gọi tắt là chẵn sinx , cosx )
b/ Phải thuộc các công thức lượng giác và các công thức biến đổi lượng giác , các hằng đẳng thức lượng giác , công thức hạ bậc , nhân đôi , nhân ba , tính theo tang góc chia đôi
3 Nói chung để tính được một tích phân chứa các hàm số lượng giác , học sinh đòi hỏi phải có một số yếu tố sau :
- Biến đổi lượng giác thuần thục
- Có kỹ năng khéo léo nhận dạng được cách biến đỏi đưa về dạng đã biết trong
nguyên hàm
II MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1 Tính các tích phân sau :
a (ĐH, CĐ Khối A – 2005)
2
0 1 3cos
sin 2 sin
dx x
x x I
x
x x
I
2
0 1 cos
cos 2 sin
KQ: 2 ln 2 1
Giải
2cos 1 sinx sin 2 sin
1
x
Đặt :
2
osx=
1 3cos
2
Khi đó :
2
3
1
2
2
1
t
t
t
Trang 2TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Đặt :
dt=-sinxdx, x=0 t=2;x= 1
2
1 osx
t
t c
t
f x dx dt t dt
2
1 2
t
Ví dụ 2 Tính các tích phân sau
a ĐH- CĐ Khối A – 2006 2
0
sin2x
cos x 4sin x
2 3
b CĐ Bến Tre – 2005
2
0sin 1
3 cos
dx x
x
I KQ: 2 3ln2
Giải
a 2
0
sin2x
cos x 4sin x
Đặt : t cos2x4sin2 x t2 cos2x4sin2x
Do đó :
2 2sin cos 8sin cos 3sin 2 sin 2
3
2
2
( )
1
tdt
t
b
2
0sin 1
3
cos
dx x
x
os3x=4cos 3cos 4cos 3 osx= 4-4sin 3 osx= 1-4sin osx
2
1 4sin os3x
1+sinx 1 sinx
x c
f x dx dx c
dt=cosxdx,x=0 t=1;x= 2
2
1 sinx
t t
t
2 2
2
2 3
1
t
Ví dụ 3 Tính các tích phân sau
Trang 3TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
a CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005
2
0
sin sin 2cos cos
2
xdx I
x
b CĐ Y Tế – 2006
2
4
sin x cosx
1 sin2x
Giải
2
ln 1 osx 2 ln 2 sin cos 1 osx 1+cosx
2
b
2
sin x cosx sin x cosx sin x cosx
sinx+cosx
x x x x
Do đó : s inx+cosx sinx+cosx
Mặt khác : dsinx+cosx cosx-sinxdx
2
4
ln sinx+cosx ln1 ln 2 ln 2
4
d I
Ví dụ 4 Tính các tích phân sau
a CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006
2
3 0
cos2x
sin x cosx 3
b CĐ KTKT Đông Du – 2006 4
0
cos2x
1 2sin 2x
4
Giải
a
2
3 0
cos2x
sin x cosx 3
Vì : cos 2x c os2x sin2xcosx+sinx cosx-sinx
Cho nên :
osx-sinx os2x
sinx-cosx+3 sinx-cosx+3
c c
Đặt :
2 sinx-cosx+3
t
t
4
2
Trang 4TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
b 4
0
cos2x
1 2sin 2x
1 4cos 2 os2xdx=
4
1 2sin 2
4
Vậy :
3 4
3
Ví dụ 5 Tính các tích phân sau :
a CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 2 3
0
4sin x
1 cosx
b CĐ Bến Tre – 2006 6 3
0
sin3x sin 3x
1 cos3x
Giải
2 3
2
1 cos x
I dx 4 sinxdx=4 1 cosx sinxdx=4 1 cosx 2 2
0
sin3x sin 3x
1 cos3x
Ta có : sin 3x sin 33 xsin 3 1 sin 3x 2 x sin 3 os 3x c 2 x.
Đặt :
1 dt=-3sin3xdx
sin3xdx=-3
1 os3x
6
dt
t c
2 1
1
t
Ví dụ 6 Tính các tích phân sau
a I =
2
3
sin x sin x
cot gx dx sin x
2
2
4
c I = 2 4
0
sin x dx
d I = cos2x(si n4x cos4x)dx
2 0
Giải
a I =
3
1 sinx 1
Trang 5TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
3
2
1
sin x
b. I =
cosx+sinx
4
2
2
ln cosx+sinx 0 cosx+sinx
2
2
0
d I = 2cos2x(si n4x cos4 x)dx
0
sin os 1 sin 2
2
x c x x
Cho nên :
1 sin 2 os2xdx= os2xdx- sin 2 cos 2 sin 2 2 sin 2 2 0
Ví dụ 7 Tính các tích phân sau
a I =2 5
0
sin xdx
4 2 6
1
dx sin x cot gx
c I =
3
6
tg x cot g x 2dx
0
( cos x sin x )dx
Giải
sin xdx 1 cos x sinxdx=- 1 2cos x cos x d cosx
cosx+ cos x cos x 2
Trang 6TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
b I =4 2
6
1
dx sin x cot gx
x t x t
1 3
1
tdt
t
tg x cot g x 2dx t anx-cotx dx t anx-cotx dx
Vì : tanx-cotx=sinx osx sin2 os2 2 os2x 2cot 2
cosx sinx sinxcosx sin2x
x
Cho nên :
t anx-cotx<0;x ;
6 4
3 3
t anx-cotx>0;x ;
4 3
t anx-cotx t anx-cotx
sin2x sin2x 2
ln sin 2 4 1ln sin 2 3 ln 2
2
0
( cos x sin x )dx
x t dxdt x t x t
Do đó :
2
Lấy (1) +(2) vế với vế : 2I 0 I 0
Ví dụ 8 Tính các tích phân sau
a
3
4
4
tan xdx
(Y-HN-2000) b
4 0
os2x sinx+cosx+2
c
dx
6 2 4 4
os sin
c x dx x
Trang 7TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
d 4 2
6 0
sin
os
x dx
c x
2
2 0
sin 2
4 os
x dx
c x
2 4
0
1 2sin
1 sin 2
x dx x
Giải
a
3
4
4
tan xdx
4
1 os
c x x
2
4
dx
3
4
x
* Chú ý : Ta còn có cách phân tích khác :
( ) tan tan tan 1 1 tan 1 tan tan tan 1 tan tan 1 1
f x x x x x x x x x x
dx dx
c x c x
3
4
b
4
0
os2x
sinx+cosx+2
c
dx
Ta có :
os sin osx-sinx osx+sinx os2x
( )
sinx+cosx+9 sinx+cosx+9 sinx+cosx+9
c
3
osx+sinx
sinx+cosx+2
c
Đặt :
cosx+sinx=t-2.x=0 t=3;x= 2 2,
4 sinx+cosx+2
t t
t
Vậy :
2 2
3
2
3 9 3
2 2
Trang 8TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
c
6
2
4
4
os
sin
c x
dx
x
2
1 sin
x
1 os2x
3
4
1 tan
t anx+ tan tan t anx- tan 4 tan tan 4
2
7 os2x
ln 7 os2x 2 ln
1 os2x
0 2
d c
c
2
1 sin 2
ln 1 sin 2 4 ln 2
Ví dụ 9 Tính các tích phân sau :
a 2 3 4 0
sin xcos xdx
2 0
sin 3
1 2 os3x
x dx c
c
5
sinx+ 3 osx sinx+ 3 osx cosx- 3 sinx
Giải
sin xcos xdx 1 cos x cos sinxdxx cos x cos x d cosx
7c x 5c x 0 35
Trang 9TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1 2cos3
ln 1 2cos3 2 ln 3
c Ta có :
sinx+ osx
3
x c x
c
Do :
2
tan
2 6
x d
Vậy : 6
0
tan
2 6
ln tan 6 ln 3 ln 3
2 6
x d
x I
x
sin 3 os sin 3 os sin 3 os
3
sinx+ 3 osx sinx+ 3 osx
x c x
0
3 sinx- 3 osx osx- 3 sinx 6 1 3
0
I
I J
t x dt dx x t x t
ln 3
sint+ 3 ost
os t+3 3 sin t+3
c c
Ví dụ 10 Tính các tích phân sau
a 4
0
1
1 sin 2x dx
2
0 2 sinx+cosx
dx
0
sin x cos x sin xcos x dx
3
6
1 sinxsin x+
6
dx
Giải
2
2
0 4
Trang 10TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
b 2
0 2 sinx+cosx
dx
2
2
2
Đặt :
2
1 2 tan
os
2 1 tan
c u
dt
c u u
t
2
1
2
2 1 1
2
2
u
u
u
u
0
sin x cos x sin xcos x dx
Ta có : sin10x c os10x sin4xcos4xsin2x c os2x cos4x sin4x c os6x sin6x
cos2x sin2x c os2x sin2x c os4x sin4x cos sin2x 2x
Vậy :
2
0
d
3
6
1
sinxsin x+
6
dx
Do đó :
sinxsin x+ sinxsin x+ sinxsin x+
f x
sin x+
6 6
I
Trang 11TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
* Chú ý : Ta còn có cách khác
sinxsin x+ sinx sinx+ osx
c
2
2 3 cot
2ln 3 cot 2ln
6
x
Ví dụ 11 Tính các tích phân sau
a 2 23
0
sinxcos
1 os
x
dx
c x
2
2 2 0
os cos 2
c x xdx
0
sin 4
os sin
x
dx
4 4
0 os
dx
c x
Giải
sinxcos 1 os
(sin 2 ) 1
2
2sin cos sin 2
1 os
2
t c x
c x t x t x t
2 1
1
t
b 2 2 2
0
os cos 2
c x xdx
( ) os cos 2 1 os2x+cos4x+cos4x.cos2x
f x c x x c
1 os2x+cos4x+ os6x+cos2x os2x+ os4x+ os6x
Vậy : 2
0
os2x+ os4x+ os6x sin 2 sin 4 sin 6 2
c 4
0
sin 4
os sin
x
dx
Vì : dsin6 x c os6x 6sin5 xcosx 6 os sinc 5x x dx 6sin cosx xsin4x c os4x
sin6 os6 3sin 2 sin 2 os2 sin2 os2 3sin 2 cos 2
sin os
ln sin os 4 ln 2
d x c x x
Trang 12TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1 tan t anx t anx+ tan 4
c x c x c x
Ví dụ 12 Tính các tích phân sau
a 11
0
sin xdx
0 sin xcos xdx
c 4 2
0
os cos 4
c x xdx
1 cos2xdx
Giải
a 11
0
sin xdx
Ta có :
sin xsin x.sinx= 1-cos x sinx= 1-5cos x10cos x10cos x5cos x c os x sinx
0 1-5cos 10cos 10cos 5cos os sinxdx
0
b 4 2 4
0
sin xcos xdx
Hạ bậc :
2
x x c x c x
1
1 2cos 2 os 2 os2x-2cos 2 os 2
1 os2x-cos 2 os 2 1 os2x- os2x
1 os2x-cos4x+cos4x.cos2x 1 os2x-cos4x+
1
2 3cos 2 os6x-cos4x
32 x c
4
0
2 3cos 2 os6x-cos4x sin 2 sin 6 sin 4 4
0
d
2 2
2
1 cos2xdx 2 cos xdx 2 cosx dx 2 cosxdx cosxdx
2 sinx 2 sinx 2 1 1 2 2
Trang 13TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
III MỘT SỐ CHÚ Ý QUAN TRỌNG
1 Trong phương pháp đổi biến số dạng 2
* Sử dụng công thức :
f x dx f b x dx
Chứng minh :
Đặt : b-x=t , suy ra x=b-t và dx=-dt , x x b 0 t b t0
Do đó :
0
b
f x dx f b t dt f b t dt f b x dx
phụ thuộc vào biến số
Ví dụ : Tính các tích phân sau
a/
2
3 0
4sin sinx+cosx
xdx
2
3 0
5cos 4sin sinx+cosx
dx
c/ 4 2
0
log 1 t anx dx
6 2
0
sin sin os
x dx
x c x
1
0
1 n
m
x x dx
0
sin cos sin os
x x
dx
x c x
Giải
a/
2
3 0
4sin
sinx+cosx
xdx I
4sin
4cos 2
cost+sint
t
Nhưng tích phân không phụ thuộc vào biến số , cho nên :
3 0
2
4 osx
sinx+cosx
c
Lấy (1) +(2) vế với vế ta có :
sinx+cosx sinx+cosx
2
2 0
1
4
4
x
b/
2
3 0
5cos 4sin
sinx+cosx
Tương tự như ví dụ a/ ta có kết quả sau :
Trang 14TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
0
2
5cos 4sin 5sin 4cos 5sin 4 os
2 sinx+cosx ost+sint sinx+cosx
c
2
2
4
x
c/ 4 2
0
log 1 t anx dx
4
t
Vậy :
2
0 0 4
0
I f t dt dt tdt I t I
0
sin
sin os
x
x c x
6
2
sin
os 2
os sin
t
c x
Cộng (1) và (2) ta có :
os sin
1
0
1 n
m
x x dx
Đặt : t=1-x suy ra x=1-t Khi x=0,t=1;x=1,t=0; dt=-dx
Do đó :
1 m n( ) n(1 )m n(1 )m
I t t dt t t dtx x dx
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1 2 2
0
4sin
1 osx
x
dx
c
4 0
osx+2sinx 4cos 3sin
c
dx
3 2 23
0
sinxcos
1 os
x
dx
c x
3 2 0
sinx cos
x
dx x
1
6
5 3
1
x x dx
sin
2 os
x x
dx
c x
Trang 15TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
7 4
0
sinx+2cosx
3sinx cosxdx
2 0
1 sinx ln
1+cosx dx
0
sin
9 4cos
x x
dx x
0
sin cos sin os
x x
dx
x c x
* Dạng : asinx+bcosx+c
'sinx+b'cosx+c'
a
Cách giải :
Ta phân tích : asinx+bcosx+c'sinx+b'cosx+c' dx A B a c'sinx+b'cosx+c' ' osx-b'sinx 'sinx+b'cosx+c' C
- Sau đó : Quy đồng mẫu số
- Đồng nhất hai tử số , để tìm A,B,C
- Tính I :
' osx-b'sinx
Ax+Bln 'sinx+b'cosx+c' 's inx+b'cosx+c' 'sinx+b'cosx+c' 's inx+b'cosx+c'
VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ Tính các tích phân sau :
a 2
0
sinx-cosx+1
sinx+2cosx+3dx
4 0
osx+2sinx 4cos 3sin
c
dx
c 2
0
sinx+7cosx+6
4sinx 3cosx 5dx
Giải
a 2
0
sinx-cosx+1
sinx+2cosx+3dx
Ta có : f x( )sinx+2cosx+3sinx-cosx+1 A B csinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3 osx-2sinx C 1
Quy đồng mẫu số và đồng nhất hệ số hai tử số :
1 5
2 1
5
A
A B
A C
C
Thay vào (1)
s inx+2cosx+3
ln sinx+2cosx+3 2
d
3 4 4
10 5 5 5
I J
- Tính tích phân J :
Trang 16TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Đặt :
2
1
2 0
1
2 2
tan
dx
x c
f x dx
Tính (3) : Đặt :
2
2 2
2
( )
os
du
c u
c u
c u
2
1
u
2
2 tan
u
u
u
0
3cos 4sin osx+2sinx osx+2sinx
Giống như phàn a Ta có : 2; 1
A B ;C=0
0
3cos 4sin
ln 4cos 3sin 4 ln
0
Học sinh tự áp dụng hai phần giải trên để tự luyện
BÀI TẬP
1
3 3
2
3 3
sin sinx cot
sin
dx x
0
3 os 4sin 3sin 4cos
dx
3 2 5 5
0
os sin
c x x dx
2
2 6
1 sin 2 sin sin
x x dx x
5 4
0
sinx-cosx
1 sin 2x dx
2
4 2 15sin 3 cos3x xdx
2 2 2 2
0
sinxcosx
, 0
os sin dx a b
a c x b x
3 6 0
tan xdx
3
2
6
ln sinx
os dx
c x
0
2
os4x.cos2x.sin2xdx
c
Trang 17TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
11.6 4
0
tan
os2x
x
dx
c
4 0
sin
4 sin 2 2 1 sinx+cosx
x
dx x
13 2 2 2
0
os 1 os
c x c xdx
4 0
sin 1 osx sin osx
x x x c
dx
x x c
15 3 2
0
1 sin
os
x x
dx
c x
2
0
sin 2
os 4sin
x
dx
17 3 2 2
0
sin
sin 2 cos
x x
dx
x x
2004 2
2004 2004 0
sin
x dx
x c x
0
sin 3 sin
1 os3x
dx c
3
6sinxsin x+
3
dx
21.2 2 3
0
sin 2 1 sinx x dx