Chuyên đề Tích phân - Trương Nhật Lý

Hệ quả:Nguyên hàm các hàm số sơ cấp Nguyên hàm các hàm số sơ cấp 1 dx a ln a... Phương pháp: Bài giảng trên lớp... Phương pháp: Bài giảng trên lớp.. Bài tập tự luyện: Tính các tích phân

Hàm số hợp tương ứng (dưới đây u = u(x))

a

x x

u u

 cos udu  sin u  C

 sin udu   cos u  C

cos

12

sin 12

Hệ quả:

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp

1 dx )

a ln

a m

1 dx

a

n mx n

mx

a

1 dx ) b ax cos(

a

1 dx

) b ax sin(

 b dx a ax b C

1 )

( cos

12

 b dx a ax b C

1 )

( sin

12

dx x g dx x f dx x g x

[

b f(x)dx

a  = F(x) b

a = F(b) – F(a)

f ( ) 0

(7) f(x)  g(x), x  [a; b]    

b a

b a

x g dx x

f ( ) ( )

(8) m  f(x)  M , x  [a; b]      

b a

a b M dx x f a

b

B CÁC DẠNG TOÁN

Chủ điểm 1 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

Vấn đề 1: Dùng phép biến đổi sơ cấp và công thức vi phân

Bài 1: Tính các tích phân bất định sau:

3 3

x

2 3

1

8)    dx

x

x x

3

10)   x  23 x 3dx

11)  3 x  1   x - x  2  dx 12)         dx

x x

23)   dx

x

1 - x

25)   dx

cosx 1

2 3

x

x 

ĐS F(x) = x  2 x  1 x  C

33

5 f(x) = x 3 x  4 x ĐS F(x) = x  x  x  C

5

4 4

3 3

5 3

4 2

3

9 f(x) =

2 sin

x

2

2 cos sin

2 cos

ĐS F(x) = - cotx – tanx + C

15 f(x) = sin3x ĐS F(x) =  cos 3 x  C

3 1

16 f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) =  cos 5 x  cos x  C

5 1

17 f(x) = ex(ex – 1) ĐS F(x) = e2x  ex  C

2 1

3 ln

2

20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = e3x1  C

3 1

Bài 3: Tìm hàm số f(x) biết rằng

1 f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS f(x) = x2 + x + 3

2 f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS f(x) = 1

3 2

4 f’(x) = x - 12  2

x và f(1) = 2 ĐS f(x) =

2

3 2

1 2



dx sin x cos x

dx sin x

π 4 4 0

dx cos x

3

sin x sin x

cotx dx sin x





π cos x.cos(x )

4



π 3 π 6

x dx

dx (x 1)

Vấn đề 2: Phương pháp đổi biến số

A Phương pháp: Bài giảng trên lớp.

tan 2

cos

x

e

dx x

x

2 4

4 2

2

2

65)  x x  dx 1 66)   ex  1 3dx 67) 

 x dx 1

x

4 x

 x x2  dx 1

73)  cos4xdx 74) 

x xcos sin

etgx

x

x ln x

dx

1 x 



4) K =

2 4

A Phương pháp: Bài giảng trên lớp.

B Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau:

 (Đặt u = lnx , dv = 1 2

(1 x)  .dx) 4)

2 2 1

ln x dx x

dx cos x

π 2

2 0

x 2 0

x 0

x 2 0

e dx (x 1)

Vấn đề 4: Tích phân của hàm phân thức hữu tỉ

A Phương pháp: Bài giảng trên lớp.

b

b , 1 2

b

b .

2 0

2 0

2 1





-9 4

A Phương pháp: Bài giảng trên lớp.

- Nắm một số dạng tiêu biểu sau:

x2



dx c bx

ax21





dx c bx

Tính các tích phân sau đây:

Bài 1:

1) 3 (2x 3) dx  2 2)

3

dx (2x 3) 

x 1

dx 3x 1

0

x dx

2 2

2 0

Vấn đề 6: Tích phân các hàm số lượng giác

A Phương pháp: Bài giảng trên lớp.

- Đổi biến trong tích phân hàm lượng giác.

- Nắm một số dạng tiêu biểu sau:

I   sin x dx ( 8

dx I

sin x.cos x

sin x dx I

cosx cosx

 2

sin x.cos x

dx I

sin x.cos x

 

dx I

sin x.cosx

sin x.cos xdx I

14 0

4 π 6

dx I

π sin x.cos(x )

sin x

 

Bài 4:

π 2 1 π 6

2 0

I   cos 2x(sin x cos x) dx  (0)

π 3 3 0

4 0

I   cos x.cos 2x dx ( π

8 )

Bài 5: 1 0 4

π 4

I (sin x cos x) dx



π 2 2 0

4 0

1 cos2x dx 

I3=

3π 4

π 4

1 sin x dx 

Chủ điểm 2 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Vấn đề 1: Tính diện tích hình phẳng

A Phương pháp

 Diện tích hình thang cong S giới hạn bởi các đường:

x = a ; x = b (a < b) ; y = f(x) và y = g(x) = 0 (trục hoành) được cho

bởi công thức sau:

S = b  | f(x) | dx

 Tổng quát: Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường: x = a ; x = b

(a < b) ; y = f(x) và y = g(x) được cho bởi công thức sau:

S = b  | f(x) - g(x) | dx

Chú ý:  Công thức (2) trở thành công thức (1) nếu g(x) = 0.

 Tính các tích phân (1), (2): Dùng pp ở vấn đề tính tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối hay dùng đồ thị để phá trị tuyệt đối.

 Dùng (1): Nếu (S) giới hạn bởi (C): y = f(x) và trục Ox thì (C)

phải cắt Ox tại hai điểm có hoành độ là a, b  S = b | f(x) | dx

trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2 (S = 4

Bài 4: Tính diện tích giới hạn bởi (C): y = - x3 + 3x2 - 2, (0  x  2)

trục hoành Ox, trục tung Oy và đường thẳng x = 2 (S = 5

Bài 12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y = x3 2x2  4x 3  (C) và tiếp tuyến của đường cong (C) tại

3 đvdt)

Bài 13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

(P): y2 = 2x , trục Ox và tiếp tuyến của (P) tại A(2; 2) (S = 4

3 đvdt)

Bài 14: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

(P): y = x2 – 4x + 5 và hai tiếp tuyến của (P) kẻ tại hai điểm A(1; 2)

 Thể tích của vật thể tròn xoay Voy sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = a ; y = b (a < b) ; x = 0 và x = g(y) quay xung

quanh trục Oy, được cho bởi công thức sau đây: Voy = π  b 2 g (y)dy

a

 Nếu hình phẳng giới hạn bởi (C): y = f(x) và (C’): y = g(x) liên tục trên [a ,b] và f(x) > g(x) x[a ,b] và hai đường thẳng x = a, x = b Khi đó thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng này quay quanh trục Ox

Bài 1: Miền D giới hạn bởi các đường y = 0 và y = 2x – x2 Tính thể tích

của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay:

a) Quanh trục Ox (ĐS: 16π

15 đvtt) b) Quanh trục Oy (ĐS: 8π

3 đvtt)

Bài 2: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox

hình phẳng S giới hạn bởi (C): y = lnx , trục Ox , đường thẳng x = e.

(ĐS: π(e 2)  đvtt)

Bài 3: Cho hình phẳng D giới hạn bởi y = tgx , x = 0, x = π

3 , y = 0 a) Tính diện tích của D

b) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay D quanh Ox

( ĐS: S = ln2 đvdt , V = ( π

3 3

 ) đvtt )

Bài 4: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo ra bởi hình phẳng giới hạn bởi

hai đường cong y = x2 , y = x quay quanh trục Ox (ĐS: 3π

10 đvtt)

Bài 5: Miền D giới hạn bởi các đường y = 4 và y = (x – 2)2 Tính thể tích

của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay:

a) Quanh trục Ox (ĐS: 256π

5 đvtt) b) Quanh trục Oy (ĐS: 128π

3 đvtt)

Bài 6: Miền D giới hạn bởi các đường x2 + y – 5 = 0 và x + y - 3 = 0.

Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay quanh Ox

(ĐS: 153π

5 đvtt)

Bài 7: Miền D giới hạn bởi các đường y = 4 - x và y = x2+ 2

Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay quanh Ox

TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2013

Bài 1 (ĐH A2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

2 2 3

6

S Bài 2 (ĐH B2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

2 3

2

5 4

dx I

2 4

2 0

3

2 2

I Bài 10 (ĐH B2005) : Tính tích phân :

Bài 16 (ĐH B2007) : Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x lnx, y  , x e0  Tính thể

tích của khối tròn xoay tọa thành khi quay hình H quanh trục Ox ĐS :

3

(5 2)27

e

Bài 17 (ĐH D2007) : Tính tích phân :

e

I  Bài 18 (ĐH A2008) : Tính tích phân :

4 6

2

3 1

2

3 2 0

3

2 1

2 1

ln(ln 2)

0

sin ( 1) cossin cos

3

2 1

1 3

4 2 0

2 2

2 1

1ln

MỘT SỐ ĐỀ CĐ, ĐH KHÁC

Bài 1 Tham khảo 2005

dxx

tgx

1 2

dxx

x

Bài 7 CĐ GTVT – 2005

dxxx

I x

KQ:

3 2

3.e 534





Bài 9 CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005

dxxx

sin 2 1



dx x

x

2Bài 11 CĐSP Tp.HCM – 2005

dxx

 2

0sin 1

3cos



dxx

x

Bài 15 CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005

2 3





e

xdxx



Bài 17 CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 2005

dxxx

Bài 18 CĐSP Hà Nội – 2005

dxx

xxx

I2   

0

2

2 3

4

942

xdx

8Bài 20 CĐSP Vĩnh Phúc – 2005



e

xx

dxI

2004

cossin

sin



dxxx



dxx

10

5

dxI

 

1

2 0

Ix ln 1 x dx KQ: ln 2 1

2

 (Đổi biến t 1 x  , từng phần)2Bài 29 CĐ Cơ Khí – Luyện Kim – 2006

2

2 1

1

2 0

 

2

3 0

ln2 2x

x 0

3 2

1

2 3 0



xdxx

Bài 48 CĐ Xây dựng số 2 – 2006

1

3 0

I x cos x sin x dx KQ: 5

4Bài 50 CĐ GTVT III – 2006



105Bài 52 CĐSP Hưng Yên - Khối A– 2006

4

2 3



2Bài 56 CĐ Bán công Hoa Sen – Khối D – 2006



Bài 57 CĐSP Trung Ương – 2006

 

1

2 0

2

2 1



Bài 60 CĐSP Hà Nam – Khối A (DB) – 2006

e

2 1

dxI

I sin2x 1 sin x dx



4Bài 64 CĐKT Tp.HCM Khóa II - 2006

4

2 0

Bài 71 Tham khảo khối B – 2007

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường  

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x v y 2 à  2 x2 KQ: 1

2 3



Bài 73 Tham khảo khối D – 2007

1 2 0

 

Bài 75 CĐSPTW – 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình y x 2  ;2

y x; x  1; x 0 KQ: 7

6Bài 76 CĐ GTVT – 2007

3 2

x ln x dx

27 

 

4

2 1

/2

4 4 /6

cos 2 (sin cos )

(| 2 1| | |)



11 Cho hai hàm số f(x) = 4cosx + 3sinx , g(x) = cosx + 2sinx

a) Tìm các số A , B sao cho g(x) = A.f(x) + B.f ’(x)

b) Tính

/4 0

( )( )

g x dx

19

x





1

2 0

11

11

3 44

cos 2(sin cos 3)

x x

dx T

x



3

3 ln

dx D

sin 4sin cos

2ln 2

ln 2 x 1

dx P

.1

x dx R

5 41

sinsin cos

ln( 1 )

Q x x dx đs: ln(1 2) 2 1

100.

1 2 1

ln( 1)1