Từ nhận xét trên, thực hiện hoạt động 2 trong sách giáo khoa.. Hoạt động 2: Dùng tam giác Pa-Can, chứng tỏ rằng:.[r]
Trang 1GIÁO ÁN DỰ THI
TIẾT CHƯƠNG TRÌNH: 28 ĐẠI SỐ 11 – CƠ BẢN
BÀI GIẢNG:
NHỊ THỨC NIU-TƠN
Trang 2TIẾT 28:
BÀI 3:
I.CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU TƠN:
Khai triển các biểu thức sau:
a b 2 a2 2 ab b2
a b 3 a 3 3 a 2 b 3 ab 3 b 3
Áp dụng công thức số các tổ hợp chập k của n phần tử
ta có thể viết hai biểu thức trên dưới dạng
a b 2 C20a2 C21ab C22b2
a b 3 C30a3 C31a2b C32ab2 C33b3
NHỊ THỨC NIU TƠN
Trang 3HOẠT ĐỘNG 1:
Khai triển biểu thức a b 4 thành tổng các đơn thức
a b 4 C40a4 C41a3b C42a2b2 C43ab3 C44b4
4 3
2 2
3
Áp dụng cách khai triển trên, ta thực hiện hoạt động 1 trong sách giáo khoa
Từ việc khai triển các biểu thức trên, ta thừa nhận công thức khai triển biểu thức a b n thành tổng các đơn thức
TỔNG QUÁT:
a b n Cn0an Cn1an1b Cn kan kbk Cn n1abn1 Cn nbn 1
Công thức (1) được gọi là công thức nhị thức Niu - Tơn
Trang 4Ngoài ra ta có thể dùng dấu để viết công thức (1) dưới dạng:
n
k
k k n
k n
n
b a
C b
a
0
Khi đó ta cũng có
n k
k k n
k n
n n
a b
C a
b b
a
0
Từ công thức (1) ta có hệ quả sau:
HỆ QUẢ
a = b = 1,ta có: a b n 1 1 n 2n Cn0 Cn1 Cn n
a = 1, b = -1, ta có: a b n 1 1 n 0n 0
n
n
k n
k n
C0 1 1 1
Trang 5Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1:)
a b n Cn0an Cn1an1b Cn kan kbk Cn n1abn1 Cn nbn
- Số các số hạng là bao nhiêu?
- Các hạng tử có số mũ của a giảm hay tăng?
Giảm từ mấy đến mấy?
n + 1
từ n đến 0
- Số mũ của b tăng hay giảm? Tăng từ mấy đến mấy? từ 0 đến n
- Tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử bằng bao nhiêu? bằng n
- Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối
có tính chất gì? bằng nhau
Trang 6Vậy, từ công thức (1) ta có chú ý sau đây:
- Số các số hạng là n + 1
- Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0,
số mũ của b tăng dần từ 0 đến n
- Tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử bằng n
- Quy ước a0 b0 1 ,
- Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu
và cuối là bằng nhau
Với a 0 , b 0
Trang 7Áp dụng công thức (1), ta xét ví dụ sau đây:
Ví dụ: khai triển các biểu thức sau:
5
4
4 5
3 2
3 5
2 3
2 5
4
1 5
5
0
5 x C x y C x y C x y C xy C y
b x 2 6 x 2 6
5 4
3 2 2
3 4
6 6
6
5
5 6
4 2
4 6
3 3
3 6
2 4
2 6
5
1 6
6
0 6
2 2
2
2 2
2
C x
C x
C
x C x
C x
C x
C
64 192
240 160
60
12 5 4 3 2
6
Trang 8II TAM GIÁC PA - XCAN
Từ công thức (1):
a b n Cn0an Cn1an1b Cn kan kbk Cn n1abn1 Cn nbn 1
Khi cho n = 0, 1, 2, 3,…và sắp xếp các hệ số thành dòng, ta có:
n
n
2 a b 2
n
n
4 a b 4
n
n
6 a b 6
n
7 a b 7
n
1
1 + 1
1 + 2 + 1
1 + 3 + 3 + 1
1 + 4 + 6 + 4 + 1
1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1
1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1
1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 1 + 1
Trang 9Vậy, theo công thức (1), khi cho n = 1, 2, 3,4,…và sắp
Xếp các hệ số thành dòng ta nhận được một tam giác
gọi là tam giác Pa - Can
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
NHẬN XÉT: Từ công thức suy ra cách tính ở mỗi dòng dựa vào các số ở dòng trước nó
k n
k n
k
C 11 1
10 6
4
2 4
1 4
2
5 C C
C
Chẳng hạn:
Trang 10Từ nhận xét trên, thực hiện hoạt động 2 trong sách giáo khoa.
Hoạt động 2: Dùng tam giác Pa-Can, chứng tỏ rằng:
a 1 2 3 4 C52 b 1 2 3 4 5 6 7 C82
Giải:
a Ta có: C20 C21 C31 C31 C32 C42 C42 C43 C53
Vậy 1 2 3 4 C20 C21 C32 C43 C31 C32 C43
2 5
3 5
3 4
2
C
b.Tương tự câu a, ta có:
2 3 4 5 6 7
7
5 6
4 5
3 4
2 3
1 2
0
6 7
5 6
4 5
3 4
2 3
1
6 7
5 6
4 5
3 4
2
6 7
5 6
4 5
3
6 5
C5 C6 C6 C2
Trang 11CỦNG CỐ:
Từ công thức (1), ta củng có thể mở rộng ra với a b n
n
n
n n
k k
n
k n
n n
n n
n
b C
b a
C b
a C b
a C a
C b
a 0 1 1 1 1
Dùng dấu viết lại công thức trên như sau:
n k
k k n k n
k
k k
n n
n
b a
b a
b a
b
Áp dụng công thức trên, ta xét ví dụ sau:
Ví dụ: Tính hệ số của hạng tử trong khai triển của biểu thức: x3
x 2 7 Giải: Ta có:
7 4
7 4
3 4
3
7 4
4 4
7
4 7
7
560 2
2
x
Vậy, hệ số của trong khai triển của biểu thức
là 560
3
Trang 12Qua bài học hôm nay, các em cần phải nắm được:
n
n
n n
k k n
k n
n n
n n
n
b C ab
C b
a C b
a C a
C b
a 0 1 1 1 1
n
n
n n
k k
n
k n
n n
n n
n
b C
b a
C b
a C b
a C a
C b
a 0 1 1 1 1
n
k
k k n
k n
n
b a
C b
a
0
n k
k k n k n
k
k k
n n
n
b a
b a
b a
b
1 Công thức nhị thức Niu-Tơn
2 Tam giác Pa-Xcan
Bài tập về nhà: 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 57 - 58