NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HOÁ NỬA CƯỠNG BỨC BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÀ CỦA PHƯƠNG TRÌNH TELEGRAPH PHI TUYẾN - Toán giải tích

Với mục đích tìm hiểu và tập làm quen với các nghiên cứu khoa học đương đại, luận văn chọn đề tài về vấn đề tính chất nghiệm bị chặn của một loại phương trình vi phân phi tuyến mà nhà to

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

*****************************

Trần Thị Thu

NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HOÁ NỬA CƯỠNG BỨC BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÀ CỦA PHƯƠNG TRÌNH TELEGRAPH PHI TUYẾN

Chuyên ngành : Toán giải tích

Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS LÊ HOÀN HOÁ

Thành phố Hồ Chí Minh - 2007

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến PGS.TS Lê Hoàn Hoá, khoa Toán – Tin Trường ĐH Sư Phạm Tp.HCM, người thầy đã giảng dạy và hướng dẫn tận tình cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô khoa Toán – Tin Trường ĐH Sư Phạm Tp.HCM, các thầy cô khoa Toán – Tin Trường ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM đã tham gia giảng dạy chúng tôi, và các thầy cô ở Phòng Khoa học công nghệ Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khoá học này

Tôi cũng xin cảm ơn các anh chị và các bạn trong lớp đã giúp tôi vượt qua những khó khăn trong quá trình học tập

Đặc biệt, tôi xin gửi lời tri ân đến thầy Nguyễn Thế Hùng và Ban Giám hiệu trường Điện toán và Ngoại ngữ CADASA, Ban Giám hiệu và Công đoàn trường THPT Long Trường đã động viên tinh thần và giúp đỡ cho tôi hoàn thành khóa học

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Ngày nay, việc tìm hiểu và trao đổi thông tin đã trở nên vô cùng dễ dàng nhờ mạng Internet toàn cầu và các công cụ truyền thông hiện đại Các công trình Toán học nói chung và của ngành Giải tích hiện đại nói riêng cũng được các nhà khoa học nghiên cứu và phổ biến rộng rãi bằng con đường này Với mục đích tìm hiểu và tập làm quen với các nghiên cứu khoa học đương đại, luận văn chọn đề tài về vấn đề tính chất nghiệm bị chặn của một loại phương trình vi phân phi tuyến mà nhà toán học người Bỉ J Mawhin đề cập trong tài liệu tham khảo [20]

trên R trong một chuẩn thích hợp của không gian hàm

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Bài toán (1) dẫn đến việc nghiên cứu các nghiệm bị chặn của các phương trình tiến hóa nửa tuyến tính – các phương trình vi phân thường - trong không gian Hilbert dạng :

A : D(A) H H là tự liên hợp, nửa xác định dương, có giải thức compac

g: R x H  H, bị chặn và thỏa các điều kiện chính qui thích hợp

Mặt khác, dạng phương trình vi phân tuyến tính (3)– trường hợp riêng của phương trình (2):

(3) khi c >

0 và A là phép đẳng cấu xác định dương, đã được Ghidaglia và Team xem xét trong [6] và [14] Họ đã chứng minh được sự tồn tại một nghiệm của phương trình (3) bị chặn trên R với chuẩn thích hợp Tính xác định dương của A sẽ được thỏa mãn đối với trường hợp đặc biệt của (1) khi u(t,.) thỏa các điều kiện biên Dirichlet Trường hợp của Neumann hay các điều kiện biên tuần hoàn thì dẫn tới A xác định nửa dương

và là trường hợp phức tạp hơn Đây cũng là điều được xem xét trong luận văn này

( )

u c u Au    f t

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Định lý 1 chứng minh rằng, nếu P ánh xạ chiếu vào ker A, thì phương trình

(2) phân tán khi điều kiện nửa cưỡng bức

( ( , ), ) g t u u   Pu   ( I P u  )  

đúng cho mọi (t,u)  R x H và các số dương  , ,  nào đó

Định lý 2 chứng tỏ rằng từ sự phân tán của phương trình (2) suy ra sự tồn tại

một nghiệm u sao cho u và bị chặn trên R với chuẩn thích hợp u.

Các chứng minh Định lý 1 và Định lý 2 đòi hỏi một số kết quả bước đầu là bài toán Cauchy của phương trình (2) và phương trình (3) , điều này được trình bày trong Chương 2

Các Định lý 1 và 2 được dùng để chứng minh Định lý 3 - một điều kiện cần và

đủ để tồn tại nghiệm bị chặn của phương trình (3) khi A xác định nửa dương

Đối với phương trình telegraph (1) với các điều kiện biên Neumann trên x, với

Kết thúc, luận văn trình bày một vài ứng dụng cho các phương trình đạo hàm

riêng và nêu một số điều kiện bị chặn khác của phương trình (1) có thể được nghiên cứu thêm

Luận văn bao gồm:

Chương 1, ghi lại các kiến thức chuẩn bị

Chương 2, trình bày về tính chất nghiệm của phương trình tiến hóa nửa cưỡng bức bậc hai ( phương trình (2) và phương trình (3)) trong không gian Hilbert Chương 3, trình bày áp dụng lý thuyết của chương 2 vào việc nghiên cứu nghiệm bị chặn của phương trình telegraph phi tuyến (phương trình (1))

Phần kết luận nêu lại các kết quả đã đạt được và đặt vấn đề nghiên cứu bài toán trong trường hợp điều kiện thay đổi

Với khả năng còn rất hạn hẹp, qua luận văn này tôi hy vọng phần nào có thể vận dụng các kiến thức đã được Thầy Cô truyền đạt vào việc tìm hiểu các tài liệu và bước đầu tôi được làm quen với các nghiên cứu toán học đương đại

Rất mong nhận được sự góp ý của quí Thầy Cô và các anh chị

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Cho là tập con khác rỗng của R n

1 Với 0 < p < : ký hiệu Lp()chỉ tập các hàm số

u:  R đo được sao cho:  



dx x

u = 0 trong Lp( ) có nghĩa là u(x) = 0 a.e  

Mệnh đề :

(i) 0 < p < , Lp() là một không gian vectơ

(ii) 1  p < , Lp() là một không gian Banach với chuẩn

x

u( ) ( )

2 Một hàm số u:   R đo được trên  được gọi là bị chặn cốt yếu (essentially

bounded) trên  nếu :

K   R : /u(x)/  K a.e x  

Đặt esssup/u(x)/ = inf K  0 : u ( x )  K , a e x   

Ký hiệu L ( ) là tập các hàm số u:   R bị chặn cốt yếu trên 

Mệnh đề :

L( ) là một không gian Banach đối với chuẩn 

u ( ) ess sup u ( x )

x L

(i) tập K compact    : suppm K,  m

(ii)    Nn, sup/D m(x)/ 0 khi m   

4 D’() là không gian các hàm phân bố trên (distribution) hay hàm suy rộng, được xác định bởi

D’( ) = {T : D( ) R/ T tuyến tính, liên tục} (tập các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D( ))

)D(

trong0

(ii)

tínhtuyeánR

)D(

:T

m

)(

Tm, T  D’(), ta nói Tm hội tụ về T trong D’() (hay hội tụ theo nghĩa phân bố),

ký hiệu là Tm  T trong D’() n ếu

Nếu fm f trong L 2(), khi đó fm  f (Tfm  Tf) trong D’()

5 Đạo hàm theo nghĩa phân bố

 D’() (đạo hàm của phân bố T theo biến xi)

- Chú ý rằng, nếu f là hàm khả vi liên tục trên , đạo hàm

ix

f





(đạo hàm của f theo nghĩa cổ điển) trùng với đạo hàm theo nghĩa phân bố

- Tổng quát, T  D’(),   Nn là đa chỉ số nguyên

1 1

) Như vậy một phân bố trên  thì có đạo hàm ở mọi cấp theo nghĩa phân bố Ta nghiệm lại được rằng :

Anh xạ T  D  T là tuyến tính, liên tục từ D’() vào D’() theo nghĩa sau: Nếu T, Tm  D’( ), T m  T trong D’()

thì D Tm  D T trong D’()

6 Không gian Sobolev

Cho v  L2(), ta đồng nhất v với một phân bố trên  vẫn ký hiệu là v, và ta có

thể xác định các đạo hàm phân bố của nó:

u uv

i

n

i i

).(

Định lý H1( ) là không gian Hilbert đối với tích vố hướng (*) 

7 Không gian Sobolev H m ()

Định nghĩa m là số nguyên 1 Ta gọi không gian Sobolev cấp m trên   là

Chương II: NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN

HÓA NỬA CƯỠNG BỨC BẬC HAI TRONG KHÔNG

A : D(A) H H là ánh xa, nửa xác định dương, có giải thức compact

g : R x H  H, bị chặn và chính qui, thỏa điều kiện nửa cưỡng bức nào đó

Vấn đề đặt ra của Chương 2 là nghiên cứu xem phương trình (2) nói trên có tính chất tồn tại nghiệm bị chặn trên R hay có tính chất chất phân tán (dissipative)

2.1 Khái niệm và các tính chất cơ bản của nghiệm

Cho A là một toán tử tuyến tính không bị chặn tự liên hợp trong một không gian Hilbert H, sao cho với mỗi <0,   1

g : R x H H liên tục, Lipschitz liên tục theo biến u, nghĩa là : 

Ở đây  là chuẩn theo tích vô hướng (.,.) trong H

Nếu   n là dãy các giá trị riêng tương ứng với các vetơ riêng  n , sao cho:

2 1

Trường hợp mà tất cả các nghiệm của phương trình (2) đều bị chặn ở vô cực là khi

mà phương trình này dissipative Trong số các khái niệm khác nhau về dissipative của các phương trình tiến hoá (xem trong [6], [10], [11], [12], [19]) chúng ta sẽ xét một khái niệm sau đây

Định nghĩa 3

Phương trình (2) được gọi là phân tán (dissipative) nếu tồn tại một hằng số >0 và một ánh xạ T : R+ R + sao cho với mỗi M>0, mỗi t0  R , và mỗi nghiệm u(t) của (2) mà

2.2 Bài toán Cauchy

Phần này nhắc lại kết quả về tính chất nghiệm của phương trình (2) được nêu trong [20]

Với các giả thiết A là một toán tử tuyến tính không bị chặn tự liên hợp trong một không gian Hilbert H, sao cho với mỗi <0,   1

:

AI  H H tồn tại và compact, ta xét bài toán với giá trị đầu

v0 và f đối với tôpô mạnh của V, H và L2(J, H), mà tính liên tục của nó còn phụ thuộc vào các tôpô yếu nữa

u

Trong [20], ta có các kết quả sau:

Bổ đề 1 Cho u(t) là nghiệm của phương trình (8) và u n (t) là nghiệm của

( ),

n

u c u Au    f t (t  J), u(t 0 )=u 0n , u t( )0  v0n với f n (t)  L 2 (J,H) Giả sử rằng

u 0n  u 0 yếu trong V 1 , v 0n  v 0 yếu trong H, f n f yếu trong L 2 (J,H)

thì, với mỗi t  J

u n (t)  u(t) yếu trong V 1 , u tn( )  u t( ) yếu trong H

Bổ đề 2 Cho u(t) là một nghiệm của phương trình (3):

2( )t 2c u t( ) u t( ) f t( ), u t( ) u t( )

theo nghĩa phân bố trên J

Chú ý rằng đạo hàm  ( ) t cũng có thể được hiểu theo nghĩa cổ điển

Liên quan đến phương trình (1) xét bài toán giá trị đầu:

(t

( , ) 0

u c u Au g t u      J), u(t0)=u0, u t( )0 v0 (9)

với J là khoảng bị chặn trong R , t0  J, u0  V1 và v0  H Vẫn giả sử rằng

A : D(A) H H là ánh xạ, nửa xác định dương, có giải thức compact

g : R x H  H, bị chặn và chính qui, thỏa điều kiện nửa cưỡng bức nào đó

Với các điều kiện này, phương trình (9) cho một nghiệm duy nhất trong J (xem [17])

Bổ đề 3 sẽ cho thấy sự liên tục của nghiệm này trong tôpô yếu

Bổ đề 3 Cho u(t) là nghiệm của phương trình (9) và u n là nghiệm của phương trình này với điều kiện đầu u n (t 0 )=u 0n , u tn( )0  v0n Giả sử rằng:

u 0n  u 0 yếu trong V 1 , v 0n  v 0 yếu trong H

thì, với mỗi t  J

u n (t)  u(t) yếu trong V 1 , u tn( )  u t( ) yếu trong H

2.3 Sự phân tán (dissipative)

Xét phương trình (2)

u c u Au g t u  .  ( , ) 0

và vẫn giả sử rằng

A : D(A) H H là ánh xạ, nửa xác định dương, có giải thức compact

g : R x H  H, bị chặn và chính qui, thỏa điều kiện nửa cưỡng bức nào đó

Định lý 1 sau đây khẳng định sự phân tán (dissipative) của phương trình (2) sẽ đạt được từ điều kiện nửa cưỡng bức trên g

2-u(t) , ( ) , ( ))

(2)

2

t u t u t g t

u c t



Từ sự bị chặn của g và bất đẳng thức (6) ta có :

(

~)

(2

)

(t c u t u t Pu t R u t

c

M2 -

Ta sẽ sử dụng các kết quả nhận được trong phần trên để chứng minh Định lý 2, nói về

sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) mà các nghiệm này bị chặn trên toàn trục

Định lý 2.

Nếu phương trình (2) là phân tán (dissipative) thì nó sẽ có một nghiệm u(t) sao cho

un(0)  u0 yếu trong V1, un(0) v 0 yếu trong H

Gọi u(t) là nghiệm của (2) với các điều kiện đầu:

u(0) = u0 , u(0) = v0

Áp dụng bổ đề 3 ta có với mỗi t  R

un(t)  u(t) yếu trong V1, u t n( )  u t( ) yếu trong H

Hơn nữa theo (14) thì

- đối với các phương trình vi phân tuyến tính bậc hai

Bổ đề 4 Cho p : R R liên tục và c  0 Khi đó phương trình

Thì ta có y’(t) – y’(0) + c[y(t) – y(0)] = P(t) Vậy P bị chặn

Điều kiện đủ: Cho p  BP(R, R ) và xét phương trình

với P định nghĩa trong (16) Theo một kết quả trong [17], phương trình (17) có một nghiệm bị chặn duy nhất u Từ phương trình này ta cũng thấy ngay rằng u’ bị chặn khi P  C1 và uC1 và thỏa phương trình (15)

Định lý 3.

Nếu 1 > 0, thì tất cả các nghiệm của phương trình (3) bị chặn ở vô cực và phương

trình (3) có một nghiệm u(t) thỏa

~

1 2

H  span      là phần bù trực giao của ker A Toán tử thu hẹp A~

của A lênH D A~  ( ) xác định dương và ta suy ra rằng phương trình

trong không gian hữu hạn chiều ker A có một nghiệm bị chặn, ghi là u0(t), nếu và chỉ

nếu Pf  BP(R ,ker A) Như vậy hàm là một nghiệm của phương

trình (3) và thỏa (13) Hơn nữa tất cả các nghiệm của phương trình là

bị chặn ở vô cực và điều đó dẫn đến tất cả các nghiệm của (3) cũng bị chặn ở vô cực

~ 0

Ngược lại, nếu phương trình (3) có một nghiệm bị chặn u(t), thì Pu(t) là một

nghiệm bị chặn của (19) Vì điều kiện (18) là cần và đủ để tồn tại một nghiệm bị chặn

của phương trình (19), nên ta có (18)

Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH TELEGRAPH PHI TUYẾN

Ta sẽ sử dụng các kết quả đã có ở Chương 2 để nghiên cứu sự bị chặn của các nghiệm của phương trình telegraph phi tuyến với các điều kiện bị chặn Neumann

utt + cut - uxx + h(u) = f(t,x) (tR, x  (0,)) (20)

ux(t,0) = ux(t,)=0, (t  R ) (21) Với: - c là hằng số thực dương

- h : R  R là Lipschitz liên tục

- f : R x(0,) R là một hàm số trong không gian BC(R,L 2(0,))

Ta cũng giả sử rằng h bị chặn và tồn tại giới hạn

Lý thuyết ở Chương 2 áp dụng trong trường hợp này với H=L2(0,) và toán tử Au=

-uxx được định nghĩa bởi :

D(A) = {u  H2(0,): ux(0)=ux()=0}

Toán tử A1 được định nghĩa bởi A u u1  x và có miền xác định là không gian

V1 = H1(0,) Do đó, một nghiệm của phương trình (20) – (21) là một hàm u(t,x) thỏa

gian ker A là không gian các hàm hằng trên (0,), và phép chiếu từ L2(0,) vào ker

A được cho bởi công thức:

hai giá trị trên bằng nhau nếu hàm e(t) tuần hoàn

Nếu e = e* + e** là sự phân tích nào đó mà e*BP(R ,R) và e**BC(R,R), thì ta có (Theo [17]):

Nếu có (ii) thì sử dụng (24) ta có ngay (i)

Ngược lại, nếu có (i), thì đặt e = e1 + e2 với e1 BP(R, R)

với mọi r T Khi đó ta có, với mọi t   R ,

    e(t) – e**(t)= e*(t)

do đó E* là một nguyên hàm của e* Bây giờ

E*(t) = E(t) – E( ) với    t t T ,   nào đó, và sử dụng (26) ta được

thì phương trình (20) – (21) dissipative và có một nghiệm u(t,x) sao cho

Vì ker A là một không gian một chiều, nên ta có thể dùng Bổ đề 5 để thấy rằng Pf có

sự phân tích dạng Pf = f* + f**, với f*, f**  BC(R, ker A) sao cho f*  BP(R ,ker A)

Vì chúng ta đang giả thiết rằng , h và f** bị chặn, nên suy ra (10) Theo Định

lý 1 ta có phương trình (31) phân tán và theo Định lý 2 thì phương trình(31) có một

nghiệm z(t) bị chặn trên toàn trục Như vậy rõ ràng u(t) = (t) +z(t) là một nghiệm của (20) bị chặn trên toàn trục số

MỘT SỐ NHẬN XÉT

Nhận xét 1. Điều kiện (28) cũng là điều kiện cần cho sự tồn tại của một

nghiệm bị chặn khi h thỏa

h(-)< h(z) < h(+) với mọi z  R , và đây là đặc tính của sự phân tán của phương trình (20) – (21) cho lớp bài toán này

Sau đây là một vài ví dụ trong [20] minh họa cho các kết quả đạt được

Ví dụ 1

Phương trình

utt - cut – uxx + arctan u = (arctan t + sint2)(1 + 7cos7x)

với điều kiện biên Neumann (21) là phân tán và có một nghiệm bị chặn nếu và chỉ nếu

Ví dụ 2 Phương trình

utt+cut–uxx+

2

 sin[(4m+1)arctanu]=(arctant+sint2)(1+cos7x)

với điều kiện biên Neumann (21) và m là số nguyên 0 là phân tán và có một nghiệm bị chặn nếu điều kiện (32) thỏa



Nhận xét 2 Các kết quả tương tự có thể nhận được đối với phương trình telegraph

(20) với các điều kiện bị chặn tuần hòan theo x trên [0, 2]

và nếu tồn tại R > 0 sao cho

h(u)u 0 bất cứ khi nào /u/   R,

thì bài tóan (20) – (33) có ít nhất một nghiệm u  L (R x T) với mỗi f  BC(R x T,

vtt + cvt – vxx + h( (t,x) + v)= 0 nếu R* > 0 đủ lớn , -R* là một nghiệm nhỏ hơn và R* là một nghiệm lớn hơn Ta có bài tóan mở cần nghiên cứu trong trường hợp không có điều kiện (35)