Hệ phương trình sai phân tuyến tính

Bản thân là một sinh viên ngành sư phạm Toán, cùng với niềm đam mê Toán học và sự tò mò, tìm hiểu về những cái mình chưa được học, em đã chọn đề tài “Hệ phương trình sai phân tuyến tính”

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN



LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài: Hệ phương trình sai phân tuyến tính

Giảng viên hướng dẫn : TS Lê Hải Trung

Sinh viên thực hiện : Hoàng Thị Phương

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2017

LỜI CẢM ƠN

Sau gần bốn năm học tập và nghiên cứu ở trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học

Đà Nẵng, quý thầy cô trong trường nói chung và đặc biết là quý thầy cô Khoa Toán nói riêng đã giúp em tiếp thu nhiều kiến thức quan trọng và bổ ích Để hoàn thành chương trình học của mình, em đã đăng kí làm khóa luận tốt nghiệp dưới sự hướng dẫn của thầy Lê Hải Trung

Em xin chân thành cảm ơn Nhà trường, Khoa Toán và quý thầy cô trong suốt thời gian qua đã tạo điều kiện cho em học tập và tiếp thu kiến thức, giúp em hoàn thành nhiệm vụ học tập của mình

Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Lê Hải Trung đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình hoàn thành bài luận văn, thầy đã chỉ dẫn, động viên, khích lệ em

từ việc chọn đề tài đến nội dung và hình thức

Vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên mặc dù bản thân đã cố gắng hết sức nhưng bài luận văn vẫn còn nhiều thiếu sót Em mong rằng sẽ nhận được ý kiến đóng góp quý báu từ các quý Thầy cô và các bạn

Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn tốt nghiệp toàn khóa

Sinh viên thực hiện

HOÀNG THỊ PHƯƠNG

PHẦN MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Đất nước đang trên con đường công nghiệp hóa, hiện đại hóa, tri thức chính là một trong những chìa khóa quan trọng để hoàn thành công cuộc phát triển ấy Một trong những phần không thể thiếu đó là Toán học Bởi vậy, ngày nay, Toán học thế giới và Toán học Việt Nam nói riêng không ngừng phát triển, đặc biệt là Toán học giải tích với khía cạnh phương trình sai phân

Phương trình sai phân có nhiều ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau Các nhà nghiên cứu khoa học, các giảng viên, sinh viên không ngừng nghiên cứu về đề tài này Một trong những phần thú vị và quan trọng của phương trình sai phân đó chính là hệ phương trình sai phân tuyến tính Bản thân là một sinh viên ngành

sư phạm Toán, cùng với niềm đam mê Toán học và sự tò mò, tìm hiểu về những cái mình chưa được học, em đã chọn đề tài “Hệ phương trình sai phân tuyến tính” để làm khóa luận tốt nghiệp, hoàn thành chương trình học của mình dưới sự hướng dẫn của thầy giáo-TS Lê Hải Trung

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Thực hiện đề tài “Hệ phương trình sai phân tuyến tính”, em hướng đến mục đích là rèn luyện khả năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề Toán học còn khá mới đối với bản thân Từ đó, hình thành khả năng trình bày một vấn đề Toán học trừu tượng một cách logic và có hệ thống Luận văn nhằm nghiên cứu những hệ phương trình sai phân tuyến tính, cách giải và các ứng dụng dựa trên cơ sở tổng hợp lại các khái niệm, định lý, tính chất của của phương trình sai phân và hệ phương trình sai phân tuyến tính Thực hiện bài luận văn này, em có cơ hội tìm hiểu về những vấn đề

về hệ phương trình sai phân tuyến tính mà mình chưa được học và làm quen với cách nghiên cứu khoa học một vấn đề của toán học

3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Đề tài được hoàn thành dựa trên nền tảng kiến thức của Đại số, Giải tích, Phương trình vi phân và Phương trình sai phân Trên cơ sở dịch, đọc và tìm hiểu kiến thức của hệ phương trình sai phân tuyến tính ở cuốn An introduction to difference equation

của Saber Elaydi và một số tài liệu liên quan, từ đó hệ thống lại kiến thức, chứng

minh một số định lý, bổ đề, hệ quả đề hoàn thành việc nghiên cứu

4 CÁC BƯỚC THỰC HIỆN

 Nhận đề tài

 Sưu tầm tài liệu liên quan đến đề tài

 Lập đề cương chi tiết

 Nghiên cứu, khai thác, phân tích đề tài

 Thực hiện đề tài

 Trình bày và thông qua GVHD

 Chỉnh sửa và hoàn chỉnh luận văn

 Báo cáo luận văn

5 PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Vì thời gian và kiến thức có hạn, trong luận văn này, em chỉ trình bày các khái niệm, thừa nhận định lý, bổ đề, hệ quả và chứng minh lại một số định lý, bổ đề và hệ quả quan trọng có liên quan đến đề tài Đề tài tập trung vào hệ phương trình sai phân tuyến tính, công thức Jordan và ứng dụng công thức Jordan cho hệ phương trình sai phân tuyến tính

6 NỘI DUNG LUẬN VĂN

Luận văn được chia làm ba chương như sau:

Chương 1 Hệ phương trình sai phân tuyến tính

Chương này chủ yếu trình bày về hệ Ô-tô-nôm, các định nghĩa, định lý, bổ đề liên quan để giải hệ Ô-tô-nôm

Chương 2 Công thức Jordan và ứng dụng cho hệ phương trình sai phân tuyến tính

Chương này giới thiệu công thức Jordan để giải hệ Autonomous và trình bày một số ứng dụng trong việc giải hệ phương trình sai phân tuyến tính

Chương 3 Ứng dụng của hệ phương trình sai phân tuyến tính

Chương này trình bày một vài ứng dụng của hệ phương trình sai phân tuyến tính

CHƯƠNG 1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

(Nội dung của chương này được dịch và tham khảo từ tài liệu [1])

x n(  1) A ( ),x n (1.2)

trong đó x n( )( ( ),x n x n1 2( ), ,x n k( ))T  k, A  ( aij)là ma trận thực cấp k k

không suy biến Các hệ không Ô-tô-nôm hoặc không bất biến theo thời gian sẽ được xem xét ở phần sau

Nếu ta đưa vào được n0 0, ( )x n0  x0, thì hệ (1.2) được gọi là hệ sai phân

Ô-tô-nôm với điều kiện đầu Bằng cách lặp đi lặp lại liên tiếp (hoặc bằng cách trực tiếp thay thế phương trình), ta chỉ ra rằng nghiệm của (1.2) được cho bởi:

0

x n n x  A  x (1.3) trong đó, 0

với y (0)  x n ( )0 và

( )y n A y n (0) (1.5) Trong lý thuyết phương trình vi phân thì nghiệm của hệ phương trình vi phân

1.2 Thuật toán Putzer của hệ rời rạc

Trong các phương trình vi phân, thuật toán Putzer được sử dụng để tính eAt và sau đây là một thuật toán tương tự để tính An.

Cho A  ( aij) là một ma trận thực cấpk k , trị riêng của A là một số thực hoặc

số phức  sao cho A  với 0  k, hay

(A I) 0 (1.6) Phương trình (1.6) có nghiệm khác 0 khi và chỉ khi

det(AI)0hoặc

Định lý 1.1 (Cayley- Hamilton) 1 Cho A là một ma trận bất kỳ cấp k k Khi đó,

ma trận A thỏa mãn phương trình đặc trưng của nó

p A A  I



   (1.9) hoặc

s n

j j



  (1.11) với u n j( ) là hàm số vô hướng được xác định sau đó và:

j j



  (1.14) Nếu ta cho n=0, công thức (1.11) được viết lại là

A0  I u1(0)I u2(0)M(1)  u k(0)M k( 1) (1.15) Phương trình (1.15) thoả mãn nếu

u n u n u  n u  j k (1.18) Nghiệm của (1.18) được cho bởi

1 1

j j

Định nghĩa 1.4 Các nghiệm x n x n1( ), 2( ), ( )x n k của (1.20) được gọi là độc lập tuyến tính với mọi nn0 0 nếu c x n1 1( )c x n2 2( )  c x n k k( )0 với mọi nn0,

hơn nữa các nghiệm x n x n1( ), 2( ), ( )x n k là độc lập tuyến tính với mọi nn0, khi và chỉ khi ma trận ( )n là ma trận không suy biến (det( )n  0) với mọi nn0.

Định nghĩa 1.5 Nếu  ( )n là ma trận không suy biến với mọi nn0,và thỏa mãn

(1.23) thì nó được gọi là ma trận cơ sở của hệ phương trình (1.20)

Định lý 1.3 Nếu  ( )n là ma trận cơ sở và C là một ma trận không suy biến bất kì thì

Định lý 1.4 Tồn tại nghiệm duy nhất ( )n của ma trận (1.23) với (n0)I

Chứng minh Có thể coi (1.23) như một hệ phương trình gồm k2phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 Như vậy để chứng minh định lý này, chúng ta sử dụng “ sự tồn tại và duy nhất” ở định lý 1.2 để có được một nghiệm v 2

k - vectơ sao cho:

Định nghĩa 1.6 Cho ( ) n là một ma trận cơ sở, vì vậy ma trận ( )n 1( )n0 cũng

là một ma trận cơ sở Ma trận cơ sở đặc biệt này được biểu diễn bởi ( ,n n0) và được

gọi là ma trận chuyển tiếp trạng thái

( , )n m ( )n  ( )m

    với n, m là hai số nguyên dương mà nm

Ma trận cơ bản  ( , )n m có một số tính chất cơ bản sau:

( , ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

(n 1) A n( ) ( ),n

det (n 1) det ( ) detA n ( )n

Giải phương trình trên ta được công thức (1.25)

Hệ quả 1.2 Nếu trong (1.20), A là ma trận hằng thì

  0

0det  ( ) n  det A n n det  ( ) n (1.26)

Chứng minh Theo công thức (1.25) ta có

Vậy  ( )n là ma trận không suy biến với mọi n  n0

Hệ quả 1.4 Các nghiệm x n x n1( ), 2( ), ,x n của (1.20) là độc lập tuyến tính với k( )mọi n  n0 khi và chỉ khi ( )n0 là ma trận không suy biến

Chứng minh Cho các nghiệm x n x n1( ), 2( ), ,x n k( ) của (1.20) là độc lập tuyến tính với mọi n  n0.Ta có:

Theo hệ quả 1.3 thì  ( ) n0 là ma trận không suy biến Ngược lại, cho  ( ) n0 là ma trận không suy biến Ta phải chứng minh các nghiệm x n x n1( ), 2( ), ,x n k( ) của (1.20)

là độc lập tuyến tính với mọi nn0 Theo hệ quả 1.3, ( )n0 là ma trận không suy biến nên  ( )n là ma trận không suy biến với mọi nn0

Mà ( )n x n x n1( ), 2( ), ,x n k( ) ,

vậy x n x n1( ), 2( ), , x nk( )độc lập tuyến tính với mọi n  n0

Định lý 1.5 Hệ (1.20) có k nghiệm độc lập tuyến tính với mọi n  n0

Chứng minh Với mọi i=1, 2,…, k, cho e i (0, 0, ,1, , 0)T là vectơ đơn vị chuẩn trong k (1 ở vị trí thứ i) Theo định lý 1.2, với mỗi e i thì tồn tại một nghiệm của (1.20) với x n n e( ,0 0, )i e i Đặt:

 ( , 0, ) 1i 

A là độc lập tuyến tính Vậy ta thu được điều phải chứng minh

Định lý 1.6 Nếu x n x n là hai nghiệm của (1.20) và 1( ), 2( ) c  thì :

Định nghĩa 1.7 Giả sử, Ax n n e( , 0, ) 1i  i k là tập nghiệm độc lập tuyến tính

của (1.20), thì nghiệm tổng quát của (1.20) được xác định như sau:

Định lý 1.7 Mọi nghiệm y(n) của (1.21) có thể viết là

y n ( )   ( ) n c  y np( ), (1.29) trong đó c là vectơ hằng, y n p( ) là một nghiệm riêng

Chứng minh Cho y n( ) là nghiệm của (1.21), y n p( ) là một nghiệm riêng cụ thể của

(1.21) Đặt x n( )  y n( ) y n p( ) , ta có:

Vậy y n p( ) là một nghiệm của (1.21), hơn nữa y n p( 0)  0

Định lý 1.8 Nghiệm duy nhất của

( 1) ( ) ( ) ( ),

y n  A n y n g n

với điều kiện ban đầu:

y n ( )0  y0, (1.30) được cho bởi:

0 0

0 0

n

n A

1 0

0

1 0

1

1 0

12

n n

n

n n

n n

CHƯƠNG 2 CÔNG THỨC JORDAN VÀ ỨNG DỤNG CHO

HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

(Nội dung của chương này được dịch và tham khảo từ tài liệu [1])

2.1 Ma trận chéo hóa được

Định nghĩa 2.1 Cho A và B là hai ma trận cấp k k  , A và B được gọi là đồng dạng

nếu tồn tại một ma trận không suy biến P sao cho:

1

P AP B,

trong trường hợp này, A và B có cùng giá trị riêng

Định nghĩa 2.2 Nếu ma trận A là đồng dạng với ma trận chéo

1 2

diag( , , , k)

D     thì A được gọi là chéo hóa được

Chú ý rằng ở đây, các phần tử chéo của D, cụ thể là,  1, 2, ,k là các giá trị riêng

n k

1 2

n k

Do đó,i,1 i k là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng i, vì vậy cột thứ i của P

là vectơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng i thứ i của A Vì P là ma trận không suy biến nên các cột của P là độc lập tuyến tính

Định lý 2.1 Một ma trận cấp k k là chéo hóa được khi và chỉ khi nó có k vectơ

riêng độc lập tuyến tính

Từ công thức (2.3), ta có công thức xác định ma trận cơ sở  ( )n :

1 2

n k

n k

    1n 1, 2n 2, , k n k (2.5) Chú ý rằng các cột của  ( )n là nghiệm của (2.1.2), điều đó chỉ ra rằng, với mỗi i,

1 i k x n, ( ) i n i là một nghiệm của (2.2) Vì thế, nghiệm tổng quát của (2.2) được cho như sau:

Từ đó ta được, x12x2 x3 0 là phương trình duy nhất thu được

Chọn x1 1,x2 0 thì x3  1 và chúng ta thu được vectơ riêng là

2

101

n n n

Phải tìm nghiệm x n( ) theo giá trị ban đầu

Với n0 từ công thức (*), ta được

2 2

1 1( ) 5

2 2

1 15

2 2

n n n

2 2

1 15

2 2

1 15

2 2

n n n

Bây giờ xét trường hợp ma trận A là ma trận không chéo hóa được Điều này xảy

ra khi ma trận A lặp lại các giá trị riêng và không thể tạo ra k vectơ độc lập tuyến

i J

Ma trận J i được gọi là khối Jordan

Định lý 2.2 Bất kì ma trận A cấp k k đều đồng dạng với công thức Jordan được cho bởi công thức (2.7) với mỗi J i là một ma trận cấp s is i của công thức (2.8), và

1

r i i







Định nghĩa 2.4 Số khối Jordan tương ứng với một giá trị riêng  được gọi là bội số hình học của , và bội số hình học này lần lượt bằng với số các vectơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với 

Bội số đại số của giá trị riêng  là số lần lặp lại của  Nếu bội số đại số là 1 (tức là không lặp lại) thì được gọi là đơn Nếu bội số hình học của bằng bội số đại số (tức là chỉ có 1 1  khối Jordan tướng ứng với ) thì nó được gọi là không đơn

có một giá trị riêng đơn là 3, một giá trị riêng không đơn là 2, và một giá trị riêng 5

là giá trị không phải đơn cũng không phải là không đơn

ChoP 1 , 2 , ,k, tương đương với các cột s1 đầu tiên của cả hai bên trong công thức (2.9), ta có

0

0

n n n

n k

J J J

s n n

các dòng trong Ji n chỉ ra rằng các mục trong mỗi đường chéo là giống hệt nhau Bây

giờ chúng ta có thể chứng minh nghiệm tổng quát của hệ (2.2) là

  với mọi giá trị riêng  của A

Chứng minh Cho lim n 0

n A

  , phải chứng minh   1 với mọi giá trị riêng  của A

Ta có

vậy   1 với mọi giá trị riêng  của A

Ngược lại cho   1với mọi giá trị riêng  của A, phải chứng minh lim n 0

x n A c A

1 2 3

d d d

a a a

0 1 0 4 0 0 ˆ

2 1

A I 0 Vectơ riêng thứ 2 hay vectơ riêng 2 thu được bằng cách giải phương trình

 2

0

AI  

Và cứ tiếp tục như vậy

Bây giờ, nếu J là công thức Jordan của A thì 1

P AP J hay APJP1 Khi đó 

là trị riêng của A khi và chỉ khi nó là trị riêng của J Hơn nữa, nếu  là giá trị riêng của A, thì  P1 là vectơ riêng của J

Bổ đề 2.1 Cho

00

A C

  , với I r và I s lần lượt là các ma trận đơn vị cấp r r và s s , cho 

là trị riêng của A với bội số đại số m Khi đó:

0

,00

r r s

Khi đó  a a1, 2, ,a r, 0, , 0T là vectơ riêng của C ứng với 

(ii) Chứng minh tương tự

2.3 Các hệ tuần hoàn tuyến tính

Định nghĩa 2.5 Xét hệ tuyến tính có dạng

x n (   1) A n x n ( ) ( ), (2.16)

với mọi n    , (  )   ( )  với mọi số nguyên dương ,hệ (2.16) được gọi

là hệ tuần hoàn tuyến tính

Bổ đề 2.2 Cho B là ma trận không suy biến cấp k k và cho m là số nguyên dương bất kì Khi đó tồn tại một ma trận C cấp k k sao cho C m B

Chứng minh Cho

1 2 1

r

J J

0 1 0 0

0 0 1 0

1

11

exp ln

s s

i

i i

N I

0

H H H

1 1

2 2

0

0

m m m

m

r r

J H

J H

J H

(i) Nếu ( )n là một ma trận cơ sở thì  (n ) cũng là ma trận cơ sở

(ii)  (n )  ( )n C, với C là ma trận không suy biến

Chứng minh Áp dụng bổ đề 2.3 (ii),   ( n )   ( ) n C, với C là ma trận không

suy biến Khi đó, áp dụng bổ đề 2.2, tồn tại một ma trận B sao cho BN  C

Vậy suy ra điều phải chứng minh

Chú ý nếu z n( ) là nghiệm của hệ

z n(   1) Bz n( ), (2.20) thì khi đó, x n( ) ( )n c P n B c( ) n hoặc

x n( ) P n z n( ) ( ). (2.21)

Định nghĩa 2.6 Ma trận N

C  B ở bổ đề 2.3 (ii) được gọi là ma trận đơn sắc của (2.16) Các giá trị riêng  của B được gọi là số mũ Floquet của (2.16) ; tương ứng, các giá trị riêng N của N

B được gọi là số mũ Floquet của (2.16)

Bổ đề 2.4 Nếu  ( )n và  ( )n là hai ma trận cơ sở của (2.16) sao cho

Chứng minh Do ( )n và ( )n là hai ma trận cơ sở của (2.16) nên

1 2