Số mũ trung tâm và tính ổn định nghiệm của hệ phương trình sai phân tuyến tính

Tạ Duy Phượng,luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: Số mũ trung tâm và tính ổn định nghiệm của hệ phương trình sai phân tuyến tính do tôi tự làm.Trong quá trình nghiên cứu và

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG

HÀ NỘI, 2017

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của PGS TS Tạ Duy Phượng

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến PGS TS Tạ DuyPhượng, thầy đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tácgiả hoàn thành luận văn này

Nhân dịp này, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toànthể các Thầy, Cô giáo khoa Toán, đặc biệt là chuyên ngành Toán Giải tích,Phòng Sau đại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy vàgiúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thànhluận văn này

Hà Nội, tháng 11 năm 2017

Tác giả

Phạm Mỹ Linh

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Tạ Duy Phượng,

luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: Số mũ trung tâm và tính

ổn định nghiệm của hệ phương trình sai phân tuyến tính do tôi tự làm.Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững thành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Các kết quả trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 11 năm 2017

Tác giả

Phạm Mỹ Linh

Mục lục

1.1 Khái niệm chỉ số 1 của phương trình sai phân ẩn 71.2 Bài toán Cauchy 19

2 Số mũ trung tâm của hệ phương trình

2.1 C - số mũ của hệ rời rạc tuyến tính 282.2 Số mũ trung tâm cho hệ sai phân tuyến tính 342.3 Số mũ trung tâm của hệ có nhiễu 36

3 Số mũ trung tâm cho hệ phương trình

3.1 Số mũ trung tâm của hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn 413.2 Số mũ trung tâm cho hệ có nhiễu 45

Bảng kí hiệu

span {v1, , vn} Không gian sinh bởi các véc tơ v1, vn

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Khái niệm số mũ trung tâm cho hệ phương trình vi phân thường đã được

R E Vinograd xây dựng trong [6] nhằm nghiên cứu tính ổn định nghiệmcủa hệ phương trình vi phân thường

Tương ứng, Đoàn Trịnh Ninh trong [3] đã xây dựng khái niệm số mũtrung tâm và ứng dụng khái niệm số mũ trung tâm trong nghiên cứu ổnđịnh nghiệm của hệ phương trình sai phân tuyến tính

Trong [1] Lê Công Lợi đã trình bày các nghiên cứu của nhóm giáo sưPhạm Kỳ Anh, Lê Công Lợi, về các tính chất định tính của phương trìnhsai phân ẩn

Trong [2] Hoàng Nam đã xây dựng khái niệm số mũ trung tâm cho hệphương trình vi phân đại số

Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là: Liệu có thể xây dựng khái niệm số mũ trung tâm cho hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn, tương tự như trong [2] cho hệ phương trình vi phân đại số và là mở rộng của [3] cho hệ phương trình sai phân tuyến tính hay không?

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày khái niệm và ứng dụng của số mũ trung tâm trong nghiên cứuphương trình sai phân

Xây dựng khái niệm số mũ trung tâm cho hệ phương trình sai phân tuyếntính ẩn

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu Số mũ trung tâm và tính ổn định nghiệm của hệ phương trình sai phân tuyến tính.

5 Phương pháp nghiên cứu

1) Thu thập các tài liệu liên quan tới số mũ trung tâm và tính ổn địnhnghiệm của hệ phương trình sai phân tuyến tính

2) Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan đến đề tàinghiên cứu

6 Dự kiến đóng góp của luận văn

Cố gắng xây dựng Luận văn như một bản tổng quan về số mũ trungtâm cho hệ phương trình sai phân tuyến tính và ứng dụng của nó Hy vọngLuận văn làm rõ khả năng mở rộng khái niệm số mũ trung tâm cho hệphương trình sai phân tuyến tính ẩn và ứng dụng của khái niệm này trongnghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình sai phân tuyến tínhẩn

Chương 1

Phương trình sai phân ẩn

Chương này trình bày các kiến thức cơ bản nhất của hệ phương trình saiphân tuyến tính ẩn, chủ yếu dựa theo tài liệu [1] và một số tài liệu khác vớicác diễn giải chi tiết hơn và có bổ sung thêm một số ví dụ

1.1 Khái niệm chỉ số 1 của phương trình sai phân ẩn

Xét phương trình sai phân ẩn tuyến tính

Anxn+1 = Bnxn+ qn, n > 0 (1.1)Giả sử rằngAn là các ma trận suy biến, khác không, và có hạng hằng, tức

là rankAn = r với mọin ∈ N0, trong đó 0 < r < m Khi đó xét một khaitriển kì dị của An

An = UnP

nVnT,

ở đây P

n là ma trận đường chéo với các giá trị kì dị σ(1)n ≥ σn(2) ≥ ≥

σn(r) > 0trên đường chéo chính, hay P

n có dạngP

n = diag(σn(1), σ(2)n , , σ(r)n , 0, , 0),

Un, Vn là các ma trận trực giao, tức là

UnTUn = UnUnT = VnTVn = VnVnT = I

ĐặtV−1 = V0, Qn = VnQ∗VnT, Pn = I−Qn, n ∈ N0 vớiQ∗ := diag(Or, Im−r),trong đóOr, Im−r là kí hiệu của các ma trận không vuông cấpr và ma trậnđơn vị cấp m − r Từ dạng của P

n và Q∗ ta có P

nQ∗ = 0, do đó Qn làphép chiếu lên ker An, tức làQ2n(x) = Qn(x) Thật vậy

Q2n(x) = Qn(x)Qn(x) = (VnQ∗VnT)(VnQ∗VnT)(x) = (VnQ∗VnTVnQ∗VnT)(x)

= (VnQ∗Q∗VnT)(x) = (VnQ∗VnT)(x) = Qn(x)

Nhận xét 1.1.1 NếuQnlà phép chiếu thìPn = I −Qncũng là phép chiếu.

Thật vậy Pn2 = (I − Qn)2 = (I − 2Qn + Q2n) = (I − 2Qn + Qn) =(I − Qn) = P

Trước khi trình bày khái niệm chỉ số 1 của phương trình (1.1), chúng tacần có một số kết quả bổ trợ Các kết quả này được phát biểu trong hai bổ

đề sau

Bổ đề 1.1.1 Giả sử rằng ma trận Gn := An+ BnVn−1Q∗VnT(n ∈ N0) là không suy biến Khi đó ta có

(i)

(ii)

G−1n BnQn−1 = VnQ∗Vn−1T , (1.4)

PnG−1n BnQn−1 = 0, QnG−1n BnQn−1 = VnQ∗Vn−1T ; (1.5)

(iv) NếuG−1n−1tồn tại và đặt ePn−1 = I−Qn−1Vn−1VnTG−1n Bnthì eQn−1 :=

I −Pen−1 là một phép chiếu lên ker An−1 Hơn nữa,

Do Qn = VnQ∗VnT nên nhân cả hai vế với VnT, ta được

VnTQn = VnTVnQ∗VnT = Q∗VnT

Ta có GnPn = (An + BnVn−1Q∗VnT)Pn = (An + BnVn−1VnTQn)Pn =

AnPn+ BnVn−1VnTQnPn

Do QnPn = Qn(I − Qn) = Qn − Qn = 0 nên đẳng thức cuối trên cho

ta GnPn = AnPn Kết hợp hệ thức vừa nhận được với (1.2) ta suy ra

GnPn = An, hayPn = G−1n An Từ đó suy ra (1.3)

Tiếp theo, từ Gn := An + BnVn−1Q∗VnT ta có Gn − An = BnVn−1Q∗VnT.NhânVnVn−1T vào bên phải hai vế của đẳng thức này, lưu ý rằngVnTVn = I,

ta nhận được đẳng thức

Pn−1G−1n−1Bn−1Pen−2 = Pen−1G−1n−1Bn−1(I − Qn−2Vn−2Vn−1T G−1n−1Bn−1)

Ta cần chứng minh rằng bGn cũng khả nghịch Để chứng minh điều này,trước hết ta chứng tỏ Sn ∩ kerAn = {0} Thật vậy, lấy x ∈ Sn ∩ kerAntùy ý Do x ∈ Sn nên tồn tại véc tơ ζ ∈ Rm sao cho BnVn−1VTnx = Anζ.NhânQnG−1n vào bên trái hai vế của đẳng thức này ta nhận được

QnG−1n BnVn−1VTnx = QnG−1n Anζ

Sử dụng đẳng thức (1.3) của Bổ đề 1.1.1, ta cóQnG−1n Anζ = QnPnζ = 0,

do đó QnG−1n BnVn−1VTnx = 0 Tương tự như Qn, ta đặt Qn = V nQ∗VTn,thìQn cũng là một phép chiếu lênkerAn

Mặt khác, từx ∈ kerAn, suy ra tồn tạiz ∈ Rm để x = Qnz

Từ đây suy ra Vn−1VTnx ∈ kerAn−1, hay tồn tại véc tơ η ∈ Rm sao cho

Vn−1VTnx = Qn−1η Như vậy đẳng thức QnG−1n BnVn−1VTnx = 0 đượcviết lại thànhQnG−1n BnQn−1η = 0

Từ hệ thức (1.5) trong Bổ đề 1.1.1, ta nhận được VnQ∗Vn−1T η = 0, hay

Q∗Vn−1T η = 0

Điều này có nghĩa làVn−1Q∗Vn−1T η = 0, hay Qn−1η = 0 Vì Vn−1VTnx =

Qn−1ηnênVn−1VTnx = 0, hayx = 0 Vậy ta nhận đượcSn∩kerAn = {0} Bây giờ ta sẽ chứng minh bGn khả nghịch Giả sử bGnx = 0, tức là (An +

BnVn−1Q∗VTn)x = 0, hay BnVn−1VTnQnx = −Anx ∈ ImAn Vậy ta có

Qnx ∈ Sn

Mặt khác,Qnx ∈ kerAn, suy raQnx ∈ kerAn∩ Sn DokerAn∩ Sn = {0}

nên Qnx = 0 Kết hợp đẳng thức này với BnVn−1VTnQnx = −Anx ta có

Anx = 0, tức là x ∈ kerAn Vì vậy, x = Qnx = 0 Điều này có nghĩa làb

Gn là ma trận khả nghịch

(ii) Trước hết, ta để ý rằng cảQn−1vàQn−1là hai phép chiếu lênkerAn−1,

do đóQn−1Qn−1 = Qn−1, hayVn−1Q∗Vn−1T Vn−1Q∗VTn−1 = Vn−1Q∗VTn−1.Nhân VTn−1 vào bên trái và Vn−1 vào bên phải, hai vế của đẳng thức này

ta cóQ∗ = VTn−1Vn−1Q∗Vn−1T Vn−1Q∗

Từ đó, thay thế Q∗ trong bGn bởiVTn−1Vn−1Q∗Vn−1T Vn−1Q∗, ta có

Vn−1Q∗VnTG−1n Gbn = Vn−1Q∗VnTG−1n (An+ BnVn−1Q∗VTn)

= Vn−1Q∗VnTG−1n An+ Vn−1Q∗VnTG−1n BnVn−1VTn−1Vn−1Q∗Vn−1T Vn−1Q∗VTn

= Vn−1Q∗VnTG−1n An+ Vn−1Q∗VnTG−1n BnQn−1Vn−1Q∗VTn

Sử dụng hệ thức (1.3), ta có Vn−1Q∗VnTG−1n An = Vn−1VnTQnPn = 0 Từđẳng thức (1.4), suy ra

Vn−1Q∗VnTG−1n BnQn−1Vn−1Q∗VTn = Vn−1Q∗VnTVnQ∗VnTVn−1Q∗VTn

= Qn−1Qn−1Vn−1VTn

= Qn−1Vn−1VTn = Vn−1Q∗VTn.Vậy ta nhận được

Vn−1Q∗VnTG−1n BnQn−1Vn−1Q∗VTn = Vn−1Q∗VTn

Do đó

Vn−1Q∗VnTG−1n Gbn = Vn−1Q∗VTn,hay

Vn−1Q∗VnTG−1n = Vn−1Q∗VTnGb−1n Đẳng thức (1.7) được chứng minh

e

Pn−1G−1n−1Gbn−1 = Pen−1Pn−1 +Pen−1Vn−1Q∗Vn−2T Vn−2Q∗VTn−1

Bổ đề 1.1.1 khẳng định eQn−1 là phép chiếu lên kerAn−1 nên

e

Qn−1Qn−1 = Qn−1hay

e

Pn−1Pn−1 = Pen−1(I − Qn−1) = Pen−1

Vì thế ta có ePn−1G−1n−1Gbn−1 = Pen−1, hay ePn−1G−1n−1 = Pen−1Gb−1n−1, tức là

hệ thức (1.8) được thiết lập

Vậy, Bổ đề 1.1.2 đã được chứng minh

Bổ đề 1.1.2 chứng tỏ định nghĩa về chỉ số 1 của phương trình (1.1) dướiđây không phụ thuộc vào việc chọn khai triển kì dị của ma trậnAn

Định nghĩa 1.1.1 Phương trình sai phân ẩn tuyến tính (1.1) được gọi là

có chỉ số 1 nếu

(i) rankAn = r, (0 < r < m), ∀n ∈ N0

(ii) Các ma trận Gn := An+ BnVn−1Q∗VnT khả nghịch với mọin ∈ N0

Ví dụ 1.1.1 Xét phương trình sai phân ẩn

−1

, ∀n ∈ N0 (1.9)

n n − 1

, qn =

2

−1



Dễ thấy, kerAn = span (1, −1)T , điều này chứng tỏ rankAn ≡ 1 Hơnnữa, An = UnPnVnT, ta đặt



v11 v12

v21 v22





1 −1

−1 1

, ∀n ∈ N0

Do Gn khả nghịch với mọi n ∈ N0 nên (1.9) là phương trình sai phân ẩnchỉ số 1.

Ví dụ 1.1.2 Xét phương trình sai phân ẩn

n − 1

, ∀n ∈ N0



1 0

n −1

, qn =

n

n − 1



Dễ thấy, rankAn ≡ 1 Hơn nữa,An = UnP



v11 v12

v21 v22



1 −1

−1 1

, ∀n ∈ N0

Gn = An+ BnVn−1Q∗VnT =

 3 2

1 2 3(n+1) 2

n+1 2

, ∀n ∈ N0

Do Gn khả nghịch với mọi n ∈ N0 nên phương trình đã cho là phươngtrình sai phân ẩn chỉ số 1

1.2 Bài toán Cauchy

Tương tự như phương trình vi phân đại số, nếu ta đặt điều kiện ban đầucho (1.1) là

−1



Từ đẳng thức trên ta nhận đượcx20 = −1, ở đây x0 = (x10, x20)T ∈ R2 Vậynếu lấyx0 = (α, β)T ∈ R2, ở đó β 6= −1, thì bài toán Cauchy

2

−1

, n ∈ N0,

x0 = x0

sẽ vô nghiệm Vì vậy đối với phương trình sai phân ẩn, ta không thể yêucầu véc tơx0 − x0 bằng véc tơ không mà chỉ có thể yêu cầu một số thành

Định lý 1.2.1 Giả sử phương trình (1.1) có chỉ số 1 Khi đó với mọi vế

phải qn ∈ Rm, ở đó n ∈ N0 bài toán Cauchy (1.1), (1.11) có duy nhất nghiệm, và nghiệm được cho bởi công thức

Pnxn+1 = PnG−1n BnPn−1xn+ PnG−1n qn,

0 = QnG−1n BnPn−1xn+ VnQ∗Vn−1T xn+ QnG−1n qn

Mặt khác, nhânVn−1VnT vào bên trái hai vế của phương trình thứ hai trong

hệ trên, ta thu được

xn = Pen−1un − Vn−1Q∗VnTG−1n qn (1.15)

Ở đây un là nghiệm của phương trình sai phân thường



un+1 = PnG−1n Bnun+ PnG−1n qn,

u0 = u0 := P0x0(= P−1x0) (1.16)Nghiệm của (1.16) được cho bởi

Pn−1−iG−1n−1−iBn−1−i)PkG−1k qk+ Pn−1G−1n−1qn−1, n ∈ N

Kết hợp công thức trên với (1.15), ta có

PnG−1n BnPn−1 = PnG−1n Bn, n ∈ N0 (1.19)Thật vậy, từ đẳng thức (1.5) ta có

PnG−1n BnQn−1 = 0, n ∈ N0,hay

PnG−1n Bn(I − Pn−1) = 0, n ∈ N0.Tức là ta có đẳng thức (1.19)

Hơn nữa,

e

Pn−1Pn−1 = (I − Vn−1Q∗VnTG−1n Bn)(I − Qn−1)

= Pn−1− Vn−1Q∗VnTG−1n Bn+ Vn−1Q∗VnTG−1n BnQn−1

Bây giờ, giả sử chúng ta có hai khai triển kì dị của ma trậnAn = UnP

Nhận xét 1.2.1 Để tìm nghiệmuncủa bài toán giá trị ban đầu cho phương trình sai phân thường



un+1 = Mnun + rn, n ∈ N0

u0 = u0

với u0 ∈ Rm cho trước, ta chỉ cần biết véc tơ ban đầu u0, dãy ma trận

{M }n−1i=0 và dãy véc tơ {r}n−1i=0 Còn đối với bài toán Cauchy (1.1), (1.11), trong đó (1.1) có chỉ số 1 lại cần cho trướcP0x0, các dãy ma trận {A}ni=0,{B}ni=0 và dãy véc tơ{q}ni=0 Chú ý rằng ở đây ta cần thêm cả các ma trận

An,Bn và véc tơ qn Nói cách khác, nghiệm của phương trình sai phân ẩn không chỉ phụ thuộc vào giá trị ban đầu, mà còn phụ thuộc vào vế phải.

Ví dụ 1.2.1 Xét bài toán Cauchy (1.11) với điều kiện đầu

12

Vn−1Q∗VnTG−1n qn =



−2n − 12n + 1

, n ∈ N,Pen−1Mn−1(n) = 0, n ∈ N

Áp dụng công thức (1.14), ta suy ra bài toán Cauchy (1.9), (1.21) cónghiệm duy nhất Hơn nữa, vớix0 = (α, β)T ∈ R2

x0 = Pe−1x0 − V−1Q∗VnTG−10 q0 =



α + β0



−



−11



n2 − n + 1

n − n2

+ 2



n2 − n + 1

n − n2

+

2n2 + 3

−2n2 − 1

, n ∈ N

Chương 2

Số mũ trung tâm của hệ phương trình

sai phân thường

Chương này trình bày khái niệm số mũ trung tâm đối với hệ sai phântuyến tính

và sử dụng khái niệm này vào việc nghiên cứu sự ổn định của hệ sai phânvới nhiễu phi tuyến Chương này được viết dựa trên [3] có chi tiết hóa cácchứng minh

2.1 C - số mũ của hệ rời rạc tuyến tính

Giả sử ℘ là các dãy vô hướng, dương, không tầm thườngp(n), n ∈ N vàhoàn toàn giới nội

và gọi nó là trung bình của dãy p(n) ứng với bước H, trong đó H là một

số nguyên dương nào đó

Chúng được gọi tương ứng là trung bình trên và trung bình dưới của dãy

p(n) ∈ ℘ Một cách tổng quát, chúng ta xét họ các dãy vô hướng, dương,hoàn toàn giới nội đều:

px0(n) đều theo ntrên mỗi đoạn hữu hạn [0, N ] Tham sốx, tổng quát mànói, có thể chạy trên một tập compact trong một không gian tô pô nào đó

Định nghĩa 2.1.1 Dãy vô hướng, dương, hoàn toàn giới nội R(n) được

gọi là dãy trên của họ℘x nếu

trong đó:

ΩR = lim

n→∞

1n

= 1H

≤ D

1 H

Nhưng vì δ > 0bé tùy ý, còn

ln pH ≥ Ω2 ≥ Ωnên

Ω2 = Ω = lim

Và đẳng thức đó chứng minh cho Bổ đề 2.1.1

Một cách tương tự, dãy vô hướng, dương, hoàn toàn giới nội r(n) được

gọi là dãy dưới của họ ℘x nếu ta có:

2.2 Số mũ trung tâm cho hệ sai phân tuyến tính

Cho hệ sai phân tuyến tính

trong đó x(n) là nghiệm của hệ (2.1), còn kxk = p(x, x) là chuẩn véc tơ

x, khi đó do điều kiện (2.20), họ ℘ hoàn toàn giới nội đều và phụ thuộcliên tục vào tham số x Bởi vậy, ta có thể chuyển các khái niệm đã xây

dựng trong mục 2.1 sang cho họ ℘ xác định bởi (2.21) và gọi số mũ trungtâm của họ này là số mũ trung tâm trên và dưới của hệ (2.1), kí hiệu tươngứng làΩ(A) vàω(A)

Chú ý rằng, do biểu diễn của px(n) trong (2.21), các dãy R(n) và r(n)

được gọi tương ứng là dãy trên và dãy dưới của hệ (2.1) nếu chúng hoàn

toàn giới nội và thỏa mãn đánh giá

đều đối với mọin ∈ N và mọi nghiệmx(n) của hệ (2.1).

Đối với hệ sai phân tuyến tính (2.1), khái niệm số mũ trung tâm được xâydựng không phải chỉ nhờ họ℘ mà còn có thể xây dựng thông qua ma trận

X(n, s) = X(n)X−1(s),trong đóX(n) là ma trận cơ bản nào đó của hệ (2.1), n ≥ s, n ∈N, s ∈ N.Thực vậy, với chú ý

kX(n, s)k = max

x

kx(n)k

Từ (2.21), trên cơ sở các định nghĩa ở mục 2.1 ta suy ra định nghĩa sau

Định nghĩa 2.2.1 Dãy vô hướng, dương R(n) được gọi là dãy trên hay C

- dãy của hệ (2.1) nếu nó hoàn toàn giới nội và thỏa mãn đánh giá

được gọi là số mũ trung tâm trên hay C - số mũ của hệ (2.1)

Theo Bổ đề 2.1.1 và công thức (2.24), C - số mũ của hệ (2.1) còn được xácđịnh bởi các đại lượngΩ2(A), Ω3(A):

Ω = Ω2(A) = Ω3(A),trong đó

Ω2 = Ω2(A) = inf

H>0

(lim

n→∞

1nH

Ω3 = Ω3(A) = lim

H→∞

(lim

n→∞

1nH

Một cách tương tự, số mũ trung tâm dưới của hệ (2.1) cũng được xác địnhqua ma trậnX(n, s)như sau

Vì

min

x

kx(n)kkx(s)k =

1

max

x

kx(s)kkx(n)k

kX−1(n, s)knên lớp dưới χ(A) của hệ (2.1) có thể xác định bởi tập các dãy vô hướng,dương, hoàn toàn giới nộir(n) thỏa mãn đánh giá

y(n + 1) = A(n)y(n) + f (n, y(n)), (2.28)

trong đó nhiễu phi tuyếnf (n, y(n)) là p- véc tơ thỏa mãn:

kf (n, y(n))k ≤ δ(n) ky(n)k , δ(n) ≤ δ (2.29)

Định lý 2.3.1 Với mọi ε > 0 cho trước luôn luôn tồn tại δ > 0 đủ bé sao cho khif (n, y(n)) thỏa mãn (2.29), ta sẽ có bất đẳng thức:

ky(n)k ≤ Dεky(0)k e(Ω+ε)n (2.30)

đều đối với mọi nghiệm y(n) của hệ (2.28), trong đó Ω là C - số mũ của

hệ tuyến tính (2.1), cònDε là hằng số dương chỉ phụ thuộc ε.

Chứng minh. Giả sử R(n) là dãy trên của hệ (2.1), xác định C - số mũ Ω.Theo định nghĩa, ma trậnX(n, s) thỏa mãn đánh giá (2.24)