Phương trình sai phân tuyến tính và ứng dụng

Ngoài ra, phương trình sai phân tuyến tính còn là một công cụ giúp giải các bài toán vi phân, tích phân, đạo hàm, tính định thức cấp n, tính giới hạn dãy số, bài toán số học… Việc giải

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ QUANG HOÀNG

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

VÀ ỨNG DỤNG

CHUYÊN NGÀNH PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ QUANG HOÀNG

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 8460113

Người hướng dẫn 1 : TS LÊ HOÀNG TRÍ

Người hướng dẫn 2 : TS LÊ HẢI TRUNG

Đà Nẵng, 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiêm cứu của tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa được ai công

bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả

Lê Quang Hoàng

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của luận văn tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn TS Lê Hoàng Trí và TS Lê Hải Trung đã tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình thực hiện để tôi có thể hoàn thành được luận văn này Tôi luôn ghi nhớ và tri ân sự chỉ bảo, quan tâm tận tình của hai thầy trong thời gian thực hiện luận văn

Tôi xin gủi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các giáo viên đã tận tình dạy bảo tôi trong suốt thời gian học tập Đồng thời cũng xin gủi lời cảm ơn đến các anh chị trong lớp PP toán sơ cấp K36 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp

Mặc dù bản thân tác giả đã có nhiều có gắng, nhưng vì kiến thức và năng lực còn hạn chế nên luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tôi rất mong nhận được những ý kiến của quý thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

Ngày 05 tháng 05 năm 2020 Học viên thực hiện

Lê Quang Hoàng

INFORMATION ON MASTER'S THESIS

Official thesis title: Linear difference equations and their applications

Major: Elementary Mathematics Methods

Full name of Master's student: Le Quang Hoang

Supervisors: 1 Dr Le Hoang Tri

2 Dr Le Hai TrungTraining institution: The University of Danang - University of Science and Education

- Presenting some applications of linear difference equations such assumming terms of recurrence sequences, calculating dete1minants,calculating the limit of number sequences and solving some arithmeticproblems

The issues stated in the thesis are practical and suitable for rnaJor m Elementary Mathematics Methods

Keywords: Linear difference equations, linear difference equations with

constant coefficients, applications of linear difference equations

Supervisors' confirmation

Supervisor 1 Supervisor 2 Master's student

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 3

6 Tổng quan và cấu trúc luận văn 3

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Định nghĩa và một số tính chất cơ bản 4

1.1.1 Sai phân hữu hạn của hàm số một biến số thực 4

1.2 Phân loại nghiệm của phương trình sai phân 10

1.2.1 Định nghĩa phương trình sai phân 10

1.2.2 Nghiệm tổng quát 12

1.2.3 Nghiệm riêng 13

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH 14

2.1 Một số khái niệm 14

2.1.1 Hệ độc lập tuyến tính, hệ phụ thuộc tuyến tính 14

2.2 Định thức Casorati 17

2.3 Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất 18

2.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp n 18

2.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng 24

2.4 Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất 26

2.4.2 Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng với vế

phải đặc thù 35

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG 40

CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH 40

3.1 Dãy truy hồi Tổng các số hạng của dãy truy hồi Công thức tính tổng từng phần 40

3.1.1 Dãy truy hồi 40

3.1.2 Tổng các số hạng của dãy truy hồi, công thức tính tổng từng phần 42

3.2 Ứng dụng của phương trình sai phân để tính định thức 45

3.3 Tính giới hạn của dãy số 51

3.4 Giải các bài toán số học 55

KẾT LUẬN 62

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 63

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong đời sống thực tế cũng như trong khoa học kỹ thuật có rất nhiều hiện tượng được mô tả dưới dạng phương trình sai phân tuyến tính Ngoài ra, phương trình sai phân tuyến tính còn là một công cụ giúp giải các bài toán vi phân, tích phân, đạo hàm, tính định thức cấp n, tính giới hạn dãy số, bài toán

số học…

Việc giải một phương trình sai phân mục tiêu là tìm ra công thức của hàm chưa được biết thỏa mãn mối quan hệ được đưa ra trước đó Thông thường kết quả sẽ là một họ các nghiệm được mô tả bằng phương trình toán, sai lệch bằng một hằng số C nào đó Hàm này sẽ được biết chính xác khi có thêm điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên

Trong các ứng dụng thực tế, nhiều bài toán như tính lãi suất %, bài toán theo quy luật… đôi lúc không dễ dàng để tìm ra công thức của nghiệm, với giá trị của thực tiễn khi ấy người ta chỉ quan tâm tới giá trị của hàm tại các giá trị cụ thể của các biến độc lập

Ở trường trung học phổ thông cũng như trong các kỳ thi học sinh giỏi toán xuất hiện nhiều bài toán hay và khó về dãy số, giới hạn, số học, tích phân truy hồi, phương trình hàm, với lời giải có thể ứng dụng các kiến thức của phương trình sai phân tuyến tính Chính vì vậy mà nhiệm vụ tìm hiểu những ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính trong các bài toán phổ thông là một yêu cầu cấp thiết và quan trọng

Nhằm hiểu thấu đáo hơn về phương trình sai phân tuyến tính và dưới

sự hướng dẫn, gợi ý của thầy giáo TS LÊ HẢI TRUNG, tôi quyết định chọn

đề tài “Phương trình sai phân tuyến tính và ứng dụng” cho luận văn thạc

sĩ của mình

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu các kiến thức cơ bản về phương trình sai phân và ứng dụng

- Hệ thống và phân loại một số bài toán có thể giải được bằng cách sử dụng kiến thức về phương trình sai phân

- Ứng dụng giải các bài toán thực tế, xây dựng phương trình sai phân để tìm

ra kết quả

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Các kiến thức cơ bản dãy số, sai phân, phương trình sai phân…

- Các bài toán phương trình sai phân tuyến tính

- Các bài toán có thể giải được bằng cách sử dụng kiến thức về phương trình sai phân

4 Phương pháp nghiên cứu

Với đề tài: “phương trình sai phân tuyến tính và ứng dụng” chúng tôi sẽ

sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trình thực hiện đề tài, cụ thể:

+ Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu liên quan đến nội dung đề tài trong luận văn

+ Phân tích, nghiên cứu các tài liệu để thực hiện đề tài luận văn

+ Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn, của các chuyên gia và của các đồng nghiệp

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết Có thể sử dụng luận văn như là tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán, giáo viên phổ thông và các đối tượng quan tâm đến các kiến thức phương trình sai phân tuyến tính và ứng dụng

6 Tổng quan và cấu trúc luận văn

Luận văn có cấu trúc như sau:

Mở đầu

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Phương trình sai phân tuyến tính

Chương 3: Một số ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, tôi trình bày các kiến thức cơ bản về sai phân và

phương trình sai phân, bao gồm các khái niệm, tính chất của sai phân, nghiệm

của phương trình sai phân cần cho chương 2 và chương 3

Một cách tự nhiên ta sẽ mặc định hàm y t  là xác định tại các điểm mà ta

tiến hành xem xét Chú ý rằng trong lý thuyết vi phân thì h chính là số gia của

đối số, còn y t( )chính là số gia của hàm số tại điểm t. Trong luận văn này số

h còn có tên gọi là bước Sai phân hữu hạn cấp cao được xác định bởi biểu

Tính chất 1.1.1 Giá trị n y t( ) dễ dàng biểu thị qua giá trị của hàm y t( ) tại

các điểm t t,   h, ,t nh Ta được công thức sau đây:



Chứng minh Ta chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán

học Thật vậy với n1 công thức (1.3) có dạng y t( ) y t( ) y t( h),

chính là công thức (1.1) Với n2 công thức (1.3) có dạng:

n

n k

n

n k k n k

n k k

n k

Lời giải Áp dụng công thức (1.3) ta có:

Vậy sai phân cấp hai của hàm số 3



Vậy công thức (1.4) được chứng minh

Ví dụ 1.1.5 Với n 2 kiểm tra công thức mục (1.4) có đúng với n 2 không

Lời giải Từ công thức mục (1.4) ta được:

Chứng minh Nếu cconst suy ra    c c c 0 Vậy cconst thì  c 0

Ví dụ 1.1.6 Cho hàm số y t( )  2020 Tính sai phân câp một y t( )

Lời giải Ta có

( ) ( ) ( ) 2020 2020 0

y t y t h y t

       Vậy y t( )  0với hàm số y t( ) là hàm hằng

Tính chất 1.1.4 Sai phân cấp n của đa thức bậc m là:

Vậy tính chất 1.1.4 đúng với ví dụ này

Tính chất 1.1.5 Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính Ta

có công thức:

chất 1.1.5 đúng với sai phân cấp hai toán tử tuyến tính này

Tính chất 1.1.6 Nếu y t  xác định trên tập số nguyên và h 1, kí hiệu

( ); 0;1; 2

k

1 1 1

n

k n k

Vậy công thức (1.6) được chứng minh

1.2 Phân loại nghiệm của phương trình sai phân

1.2.1 Định nghĩa phương trình sai phân

Định nghĩa 1.2.1 Cho phương trình có dạng:

p t  tZ Trong các điều kiện trên thì bất kỳ điểm nào thuộc ZR n

cũng đều là điểm tồn tại và duy nhất của bài toán Cauchy cho phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (1.7)

trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp hai với 1( ) 1 , 2( ) 2

Định nghĩa 1.2.2 Hàm số liên tục y t( ) được gọi là nghiệm của phương trình (1.7) trên tập , nếu thay nó vào phương trình thì ta nhận được đẳng thức đúng trên 

có phải là nghiệm của phương trình (1.9) hay không

1.2.2 Nghiệm tổng quát

Định nghĩa 1.2.3 Giải phương trình sai phân cấp n, được kết quả là một

đẳng thức tương đương dạng:

y t( )   ( ,t C C1, 2, ,C n) (1.1 0 )

trong đó C C1, 2, ,C n là n hằng số tự do, khi đó (1.8) được gọi là nghiệm tổng

quát của phương trình sai phân đó

Ví dụ 1.2.4 Hàm số ( ) 1 2( 4)t

y t C C  là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân cấp hai : y t(   2) 3 (y t  1) 4 ( )y t  0 Trong đó C C1, 2 là các hằng số

bất kì Thật vậy thay hàm số y t( ) C1C2( 4)  t với C C1, 2 là các hằng số bất kì

vào vế trái của phương trình ta được:

Lời giải Thay hàm số ( ) 1 1 ( 1) 2

nghiệm tổng quát của phương trình (1.11) với C C1, 2 là các hằng số tùy ý

Thậy vậy thay hàm số ( ) 1 ( 4)t

y t    vào phương trình sai phân cấp hai

     có là một nghiệm riêng của phương trình (1.11) không

Lời giải Thay hàm số ( ) 1 2( 1) 3

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

Trong chương này tôi trình bày phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính, bao gồm các khái niệm, định lý, tính chất về hệ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính, định thức Casorati, phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất Ngoài ra tôi còn nêu phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng với vế phải đặc thù cần cho kiến thức chương 3

2.1 Một số khái niệm

2.1.1 Hệ độc lập tuyến tính, hệ phụ thuộc tuyến tính

Định nghĩa 2.1.1 Các hàm số 1( ), t 2( ), , t n( ) t được gọi là độc lập tuyến tính trên tập , nếu từ đẳng thức:

C1 1 ( ) t  C22( ) t   Cnn( ) t  0, t 

ta chỉ nhận được C1 C2   Cn 0.

Ví dụ 2.1.1 Cho các hàm số sau: 1 2 ,t2 2  t2 t,3 3t2  t 2.Là một hệ độc lập độc lập tuyến tính

Định nghĩa 2.1.2 Các hàm số 1( ), t 2( ), , t n( ) t được gọi là phụ

thuộc tuyến tính trên tập , nếu tồn tại bộ số C C1, 2,  , C n không đồng thời bằng không sao cho đẳng thức sau thỏa mãn:

không thì các hàm đã cho phụ thuộc tuyến tính

Chứng minh Giả sử trong các hàm 1( ), t 2( ), , t n( ) t có hàm (t) 0

i

  , hàm i( )t có hệ sốC i 0 Các hệ số C1, ,C i1,C i1, ,C n đồng thời đều bằng không

C C C   C   Do đó hệ đã cho phụ thuộc tuyến tính

 Nếu hệ là phụ thuộc tuyến tính thì có một hàm là biểu thị tuyến tính qua các hàm còn lại

thuộc tuyến tính (kn), thì các hàm (n hàm) là phụ thuộc tuyến tính

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể coi như k hàm số đầu tiên

của 1( ), t 2( ), , t n( ) t là phụ thuộc tuyến tính Trong trường hợp ngược lại ta chỉ cần đánh lại số thứ tự của các hàm đã cho Khi đó theo định nghĩa ta có:

Theo định nghĩa 1( ),t 2( ), ,t n( )t là phụ thuộc tuyến tính

Ý nghĩa của định thức Casorati trong lý thuyết phương trình sai phân có ý

nghĩa giống như định thức Wronski trong lý thuyết phương trình vi phân

Định lí 2.2.1 (Dấu hiệu cần để các hàm phụ thuộc tuyến tính) Nếu các hàm

1( ), t 2( ), , t n( ) t

Casorati của chúng bằng không trên 

Chứng minh Các hàm 1( ), t 2( ), , t n( ) t là phụ thuộc tuyến tính thì

không đồng thời bằng không Từ đây ta có được điều phải chứng minh

2.3 Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

2.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp n

p t  tZ Trong các điều kiện trên thì bất kỳ điểm nào thuộc ZR n

cũng đều là điểm tồn tại và duy nhất của bài toán Cauchy cho phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (2.5)

Nếu f t( )0 thì (2.5) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp n không thuần nhất (TTKTN), trong trường hợp ( )f t 0 thì phương trình:

z(t n) p t( ) z(t  n 1) p t( ) z(t   n 2) p t n( ) z( )t 0 (2.6)

được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (TTTN) cấp n Để cho thuận lợi thì trong các phương trình (2.5) và (2.6) ta có thể sử dụng các chữ cái khác nhau

là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất Từ phương

trình (2.7) nếu vế phải bằng không hay ( 2) 1 ( 1) 3 ( ) 0

phương trình này là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp hai

Định lí 2.3.1 (Tiêu chuẩn độc lập tuyến tính của các nghiệm TTTN) Các

nghiệm z t z t1( ), 2( ), , z ( )n t của phương trình (2.6) là độc lập tuyến tính trên

Z khi và chỉ khi định thức Casorati của chúng khác không trênZ

Chứng minh Điều kiện đủ của định lý được khẳng định ngay cả đối với

những hàm không phải là nghiệm của TTTN Điều này được suy ra từ định lý 2.2.1 Ta đi chứng tỏ điều kiện cần của định lý cho trường hợp nghiệm của TTTN

Giả sử z1( )t ,z2( )t ,  ,z t n( ) là độc lập tuyến tính trên Z và tồn tại t*Z để cho K t( )* 0 Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với n phương trình

z t*( )* 0, * *

z t   … , z t*( *  n 1) 0,

Từ tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy ta nhận được *

Điều này mâu thuẩn với giả thiết độc lập tuyến tính của hệ đã cho

Định lí 2.3.2 (Neumann) Định thức Casorati của bất kỳ n nghiệm của

phương trình (2.6) đều thỏa mãn phương trình :

K(t   1) ( 1)n p n(t) ( ).K t (2.9)

Chứng minh Giả sử z1( )t , z2( )t ,,z t n( ) là nghiệm nào đấy của (2.6) (không

nhất thiết phải độc lập tuyến tính) Xét hệ:

ở đây  là định thức của hệ số (2.10), còn n nhận được khi ta bỏ đi cột thứ

n của và thay vào đó là (cột) vế phải của (2.10) Ta chứng tỏ rằng phương

trình cuối (2.11) thực chất là một cách viết khác của (2.9) Ta đi biểu diển 

và nqua định thức Casorati Ta có:

Định nghĩa 2.3.2 Bất kỳ n nghiệm độc lập tuyến tính của TTN (2.6) được gọi

Chứng minh Ta cần chỉ ra sự thỏa mãn hai điều kiện trong định nghĩa của

nghiệm tổng quát Đối với mọi giá trị C i hàm số  

1

( )

n

i i i

C z t

z t



(2.6), điều này được suy ra trực tiếp từ tính tuyến tính của phương trình

Giả sử ( )là nghiệm của bài toán Cauchy đối với (2.6) với các điều kiện

Định thức của hệ (2.12) chính bằng K t 0 Bởi K t 0 0  nên hệ đã cho trước

mọi giá trị của vế phải chỉ có duy nhất một nghiệm 0 0

    và cũng chính là nghiệm của (2.7) ( tổ hợp tuyến tính

của các nghiệm z1(t) ,z2(t) ,  ,z n( t) Từ (2.11) cho ta  ( )t thỏa mãn các điều

kiện ban đầu ( )t0  z0, (t0  1) z1 , …, (t0  n 1) z n 1

Do tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy nên ( )t  z t( ), như thế

1 1

( ) ( ) n n( ),

z t C z t  C z t từ đây ta đã chứng minh được định lí này

Hệ quả 2.3.1: Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n không thể có nhiều

hơn n nghiệm độc lập tuyến tính

Chứng minh Thật vậy ta lấy bất kỳ n1 nghiệm của TTN Nếu như n

nghiệm đầu tiên là phụ thuộc tuyến tính thì hệ nghiệm đã cho là phụ thuộc

tuyến tính Nếu như n nghiệm đầu tiên là độc lập tuyến tính thì theo định lý về

nghiệm tổng quát của TTN, khi đó z n1( )t có thể biểu diễn được dưới dạng tổ

hợp tuyến tính của z1( )t , z2( )t ,  ,z t n( ) , suy ra z1( )t , z2( )t ,  , z n( )t , z n1(t) phụ

thuộc tuyến tính

2.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng

Xét phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng bậc n:

P x x a x   a được gọi là đa thức đặc trưng của phương

trình (2.13) Nghiệm của đa thưc đặc trưng được gọi là số đặc thù Do t 0

khi  0 nên L(t)0 khi và chỉ khi  là nghiệm của phương trình đặc

trưng Để ý rằng từ điều kiện a n  0 ta có 0 không là số đặc thù của

phương trình đặc trưng (2.13)

Ta đi tìm nghiệm không tầm thường của phương trình dưới dạng z t( )t,

trong đólà nghiệm của phương trình đặc trưng sau:

n  p1n1  p n 0, (2.15)

khi đó có 3 trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1 Phương trình (2.15) có đúng n nghiệm thực   1, 2, n

Khi đó phương trình (2.13) có nghiệm tổng quát là:



Trường hợp 2 Khi trong các nghiệm của phương trình đặc trưng (2.15)

ngoài các nghiệm thực đơn còn có nghiệm phức Ta giả sử đó là nghiệm

có nghiệm là    1 bội 3 do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho

Như thế nghiệm tổng quát của phương

trình tìm được dưới dạng: ( ) ( 1 2 ) cos ( 3 4 ) sin

2.4 Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất

2.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính không thuân nhất cấp n

Xét phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp n

Ly t  y tn  p t y t  n p t y t   n p t y t  f t

và phương trình thuần nhất tương ứng:

Tính chất 2.4.1 Hiệu bất kỳ hai nghiệm riêng của phương trình (2.18) cũng

là nghiệm của phương trình thuần nhất trương ứng (2.19)

y y là nghiệm của phương trình (2.19)

Vậy tính chất được chứng minh

Tính chất 2.4.2 Tổng của nghiệm riêng phương trình (2.18) với nghiệm

riêng của phương trình thuần nhất tương ứng (2.19), là nghiệm riêng của phương trình (2.18)

y z là nghiệm của phương trình (2.18)

Vậy định lý được chứng minh

nghiệm riêng của SPKTT

Giả sử vế phải của (2.18) biểu diễn được dưới dạng tổng hữu hạn của các

số hạng

1

k i i



 là nghiệm riêng của (2.18)

Chứnh minh Theo giả thiết ta có: 1 2



 là nghiệm riêng của (2.18)

Vậy tính chất đã được chứng minh

Định lý 2.4.1 Nếu Y t là nghiệm riêng của phương trình (2.18), còn

1( ), 2( ), , n( )

z t z t z t là hệ nghiệm cơ sở của (2.19) thì nghiệm tổng quát y t 

của SPKTT có thể viết được dưới dạng:



với Ci là các hằng số tùy ý

Chứng minh (  ) Ta cần chứng minh cho sự thỏa mãn hai điều kiện trong

định nghĩa của nghiệm tổng quát Với bất kỳ các nghiệm cụ thể 0

C C

hàm

0 0

1

n

i i i



2.4.2 Bây giờ ta lấy bất kỳ một nghiệm riêng *

 nên L y t[ ( )] f t( ) hay y t( ) là nghiệm của (2.18)

Vậy định lí được chứng minh

Nhận xét 2.4.1 Để xây dựng được nghiệm tổng quát của SPKTT

Ly t  f t của (2.18) ta chỉ cần biết một nghiệm riêng Y t  của nó và hệ nghiệm cơ sở của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng Lz(t)=0 (2.19) là đủ

Định lí 2.4.2 (Lagrange) Giả sử z t z t1( ), 2( ), ,z t n( )là hệ nghiệm cơ sở của (2.19), khi đó nghiệm riêng của (2.18) có thể tìm được dưới dạng

Ta xem xét tiếp các tổng còn lại, và chúng nhận giá trị bằng 0 do các phương

các đối số – m l nằm trong giới hạn từ 1 đến n  1 Như vậy LY t   f t .Vậy định lý được chứng minh