Hệ phương trình sai phân tuyến tính

MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Đề tài "Hệ phương trình sai phân tuyến tính" nhằm rèn luyện khả năng tiếp cận và nghiên cứu một vấn đề Toán học mới, giúp hình thành khả năng trình bày logic và hệ thống Luận văn tập trung vào nghiên cứu hệ phương trình sai phân tuyến tính, phương pháp giải và ứng dụng, dựa trên việc tổng hợp các khái niệm, định lý và tính chất liên quan Thực hiện bài luận văn này, tôi có cơ hội khám phá những khía cạnh chưa được học về hệ phương trình sai phân tuyến tính và làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học trong Toán học.

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Đề tài này được xây dựng dựa trên nền tảng kiến thức về Đại số, Giải tích, Phương trình vi phân và Phương trình sai phân Chúng tôi đã dịch, đọc và nghiên cứu hệ phương trình sai phân tuyến tính từ cuốn sách "An Introduction to Difference Equations".

Saber Elaydi và các tài liệu liên quan cung cấp nền tảng vững chắc để hệ thống hóa kiến thức, từ đó chứng minh các định lý, bổ đề và hệ quả, góp phần hoàn thiện nghiên cứu.

CÁC BƯỚC THỰC HIỆN

 Sưu tầm tài liệu liên quan đến đề tài

 Lập đề cương chi tiết

 Nghiên cứu, khai thác, phân tích đề tài

 Trình bày và thông qua GVHD

 Chỉnh sửa và hoàn chỉnh luận văn

NỘI DUNG LUẬN VĂN

Luận văn được chia làm ba chương như sau:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

HỆ Ô-TÔ-NÔM

Định nghĩa 1.1 Hệ có dạng

(1.1) được gọi là hệ phương trình sai phân tuyến tính Ô-tô-nôm cấp 𝑘 hoặc bất biến theo thời gian

Hệ (1.1) có thể viết dưới dạng ma trận như sau:

𝑥(𝑛 + 1) = 𝐴𝑥(𝑛), (1.2) trong đó 𝑥(𝑛) = (𝑥 1 (𝑛) 𝑥 2 (𝑛) 𝑥 𝑘 (𝑛)) 𝑇 ∈ ℝ 𝑘 , 𝐴 = (𝑎 𝑖𝑗 ) là ma trận thực cấp 𝑘 ×

𝑘 không suy biến Các hệ không Ô-tô-nôm hoặc không suy biến theo thời gian sẽ xem xét ở phần sau

Nếu ta có 𝑛 0 ≥ 0 và 𝑥(𝑛 0 ) = 𝑥 0, thì hệ (1.2) được gọi là hệ sai phân Ô- tô-nôm với điều kiện đầu Qua việc lặp lại hoặc thay thế trực tiếp phương trình, ta có thể chứng minh rằng nghiệm của (1.2) được xác định bởi.

𝑥(𝑛, 𝑛 0 , 𝑥 0 ) = 𝐴 𝑛−𝑛 0 𝑥 0 , (1.3) trong đó, 𝐴 0 = I là ma trận đơn vị cấp 𝑘 × 𝑘

Chú ý rằng 𝑥(𝑛 0 , 𝑛 0 , 𝑥 0 ) = 𝑥 0 Nếu 𝑛 0 = 0 thì nghiệm (1.3) được viết như

𝑥(𝑛, 𝑥 0 ) hoặc đơn giản là 𝑥(𝑛) Không mất tính tổng quát, giả sử 𝑛 0 = 0 và đặt

Trong lý thuyết phương trình vi phân thì nghiệm của hệ phương trình vi phân dx ( ) dt  Ax t , với điều kiện ban đầu được cho bởi

𝑥(𝑡 0 ) = 𝑥 0 , trong đó 𝐴 là ma trận cấp 𝑘 × 𝑘, 𝑥 ∈ ℝ 𝑘 là

THUẬT TOÁN PUTZER CHO HỆ RỜI RẠC

Trong các phương trình vi phận, thuật toán Putzer được sử dụng để tính 𝑒 𝐴𝑡 và sau đây là một thuật toán tương tự để tính 𝐴 𝑛

Cho 𝐴 = (𝑎 𝑖𝑗 ) là ma trận thực cấp 𝑘 × 𝑘, trị riêng của 𝐴 là một số thực hoặc một số phức 𝜆 sao cho 𝐴 𝜉 = 𝜆𝜉 với 0 ≠ 𝜉 ∈ ℂ 𝑘 , hay

Phương trình (1.6) có nghiệm khác 0 khi và chỉ khi

Định nghĩa 1.2: Phương trình đặc trưng của ma trận 𝐴 được biểu diễn bằng công thức 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0, trong đó 𝜆 là giá trị riêng của 𝐴 Nếu 𝜆₁, 𝜆₂, , 𝜆ₖ là các giá trị riêng của ma trận 𝐴, phương trình (1.7) có thể được viết lại để phản ánh các giá trị này.

 j (𝜆 − 𝜆 𝑗 ) (1.8) Định lý 1.1 (Cayley-Hamilton) Cho 𝐴 là một ma trận bất kỳ cấp 𝑘 × 𝑘 Khi đó ma trận

𝐴 thỏa mãn phương trình đặc trưng của nó

Chứng minh Để tính được 𝐴 𝑛 ta đi xây dựng thuật toán như sau:

Cho 𝐴 là một ma trận cấp 𝑘 × 𝑘, 𝑘 ∈ ℝ,

 j 𝑢 𝑗 (n)M(j − 1), (1.11) với 𝑢 𝑗 (n) là hàm số vô hướng được xác định sau đó và:

… 𝑀(𝑛) = (𝐴 − 𝜆 𝑛 I)(𝐴 − 𝜆 𝑛−1 I) … (𝐴 − 𝜆 1 I), hoặc được viết gọn lại:

Từ định lý Cayley-Hamilton ta có:

Vì vậy, 𝑀(𝑛) = 0, ∀ 𝑛 ≥ 𝑘 Công thức (1.11) được viết lại là:

 j 𝑢 𝑗 (n)M(j − 1) (1.14) Nếu ta cho 𝑛 = 0, công thức (1.11) được viết lại là:

𝐴 0 = 𝐼 = 𝑢 1 (0)I + 𝑢 2 (0)M(1) + ⋯ + 𝑢 𝑘 (0)M(k − 1) (1.15) Phương trình (1.15) thỏa mãn nếu:

Từ công thức (1.14) ta có:

So sánh các hệ số của M(j), 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 trong (1.17) và điều kiện áp dụng (1.16), ta có được:

𝑢 𝑗 (n + 1) = 𝜆 𝑗 𝑢 𝑗 (n) + 𝑢 𝑗−1 (n), 𝑢 𝑗 (0) = 0, 𝑗 = 2,3, … 𝑘 (1.18) Nghiệm của (1.18) được cho bởi:

CÔNG THỨC JORDAN

MA TRẬN CHÉO HÓA ĐƯỢC

Định nghĩa 2.1 Cho A và B là hai ma trận cấp k k  , A và B được gọi là đồng dạng nếu tồn tại một ma trận không suy biến P sao cho:

Trong trường hợp ma trận A và B có cùng giá trị riêng, ta có công thức P AP  1  B Nếu ma trận A đồng dạng với ma trận chéo D = diag(λ1, λ2, , λk), thì A được gọi là có thể chéo hóa.

Chú ý rằng ở đây, các phần tử chéo của D, cụ thể là,   1 , 2 , , k là các giá trị riêng của A

Nếu P AP  1 Ddiag( ,  1 2 , , k ) thì A  PDP  1 , do đó

(2.1) Để tìm ra ma trận cơ sở khác của phương trình: x n(  1) A ( )x n , (2.2) ta cho:

Từ công thức (2.3), ta có (0) P và do đó,

Cho P 1, 2, , k  với  i là cột thứ 𝑖 của P, vì P AP  1 D nên AP  PD , điều này có nghĩa là:

Mỗi vectơ riêng \( v_i \) của ma trận \( A \) tương ứng với giá trị riêng \( \lambda_i \), do đó cột thứ \( i \) của ma trận \( P \) cũng là vectơ riêng của \( A \) với giá trị riêng \( \lambda_i \) Vì \( P \) là ma trận không suy biến, các cột của nó là độc lập tuyến tính Định lý 2.1 khẳng định rằng một ma trận cấp \( k \times k \) có thể chéo hóa nếu và chỉ nếu nó có \( k \) vectơ riêng độc lập tuyến tính.

Từ công thức (2.3), ta có công thức xác định ma trận cơ sở ( ) n :

Cho   1 , 2 , , k là các giá trị riêng của A và cho   1 , 2 , , k là các vectơ riêng tương ứng độc lập tuyến tính của A Từ công thức (2.3) ta có:

     1 n 1 , 2 n 2 , ,  k n k  (2.5) Chú ý rằng các cột của ( ) n là nghiệm của (2.1.2), điều đó chỉ ra rằng, với mỗi 𝑖,

1 i k x n, ( )  i n i là một nghiệm của (2.2) Vì thế, nghiệm tổng quát của (2.2) được cho như sau: x n ( )  c 1 1   n 1  c 2 2   n 2   c k   k n k (2.6)

Ví dụ 2.1 Sử dụng công thức (2.6) để tìm nghiệm tổng quát cho phương trình

Gọi  là giá trị riêng của A,

Gọi  ( ,x x x 1 2 , 3 ) là vectơ riêng ứng với giá trị riêng

Giải hệ trên ta tìm được vectơ riêng đầu tiên là : 1

Từ đó ta được, x 1 2x 2  x 3 0 là phương trình duy nhất thu được

Chọn x 1 1,x 2 0 thì x 3  1 và chúng ta thu được vectơ riêng là: 2

Chọn x 1 0,x 2 1 thì x 3  2 và ta thu được vectơ riêng là: 3

Giả sử bài toán cho một giá trị ban đầu:

Phải tìm nghiệm x n ( ) theo giá trị ban đầu

Với n0 từ công thức (*), ta được:

Giải hệ trên ta được 1 1, 2 1, 3 1

Bây giờ chúng ta giới thiệu một phương pháp khác để tìm nghiệm của hệ phương trình

Trong trường hợp ma trận A không thể chéo hóa, điều này xảy ra khi ma trận này có các giá trị riêng lặp lại và không thể tạo ra k vectơ độc lập tuyến tính.

  Định nghĩa 2.3 Nếu một ma trận A cấp k k là không chéo hóa được thì nó đồng dạng với công thức Jordan, tức là P AP  1  J với:

J diag J J  1, 2, ,J r ,1 r k (2.7) Công thức (2.7) được gọi là công thức Jordan, trong đó

Ma trận J i được gọi là khối Jordan Theo định lý 2.2, mọi ma trận A cấp k x k đều đồng dạng với dạng Jordan, được thể hiện qua công thức (2.7), trong đó mỗi J i là một ma trận cấp s i x s i theo công thức (2.8).

Số khối Jordan tương ứng với giá trị riêng  được định nghĩa là bội số hình học của , phản ánh số lượng vectơ riêng độc lập tuyến tính liên quan đến .

Bội số đại số của giá trị riêng λ là số lần lặp lại của λ Nếu bội số đại số bằng 1, λ được gọi là đơn Ngược lại, nếu bội số hình học của λ bằng bội số đại số, tức chỉ có một khối Jordan tương ứng với λ, thì λ được gọi là không đơn.

Trong bài viết này, chúng ta khám phá các loại giá trị riêng của ma trận Cụ thể, ma trận này có một giá trị riêng đơn là 3, một giá trị riêng không đơn là 2, và một giá trị riêng 5 không thuộc vào loại đơn hay không đơn.

Chú ý rằng ma trận có công thức

Chỉ có một vectơ riêng duy nhất, đó là vectơ đơn vị e1 = (1, 0, , 0)T Điều này chứng tỏ rằng các vectơ riêng tuyến tính độc lập của ma trận Jordan J được xác định bởi công thức (2.7).

Cho P   1 , 2 , , k , tương đương với các cột s 1 đầu tiên của cả hai bên trong công thức (2.9), ta có

Vectơ riêng duy nhất của ma trận A trong chuỗi Jordan là  1, trong khi các vectơ riêng tổng quát khác được ký hiệu là  2,  3, , s 1 Những vectơ này có thể được tìm thấy thông qua phương trình sai phân.

Lặp lại quy trình này cho các khối Jordan còn lại, các vectơ riêng tổng quát tương ứng với khối Jordan thứ m được xác định thông qua phương trình sai phân.

Ta có A n   PJP  1  n  PJ P n  1 với:

Chú ý rằng với mọi J i i , 1, 2, ,r chúng ta có J i  i I N i , với:

  là ma trận lũy linh cấp s i s i , tức là N i r   0, r s i Vì vậy:

Các dòng trong J i n cho thấy các mục trên mỗi đường chéo là giống hệt nhau Như vậy, chúng ta có thể chứng minh nghiệm tổng quát của hệ (2.2).

Ma trận cơ sở của hệ (2.2) được xác định bởi ( ) n PJ n Bên cạnh đó, ma trận chuyển tiếp trạng thái được biểu diễn bởi  n n, 0 PJ n n  0 P  1.

Hệ quả 2.1 Giả sử A là một ma trận cấp k k  bất kì thì lim n 0 n A

 1 với mọi giá trị riêng  của A

  , phải chứng minh   1 với mọi giá trị riêng  của A

( ) n n k k n k x n  c    c     c   Vậy   1 với mọi giá trị riêng  của A

Ngược lại cho   1 với mọi giá trị riêng  của A, phải chứng minh lim n 0. n A

  với mọi giá trị riêng  của A

1 1 1 2 2 2 lim ( ) lim lim lim lim

Mặt khác ta lại có x n( )A c n với c là một vectơ hằng, khi đó: lim ( ) lim 0 lim 0. n n n n n x n A c

Ví dụ 2.2 Sử dụng công thức (2.14) để tìm nghiệm tổng quát của phương trình

Giải Ma trận A có các giá trị riêng là  1  2  3 4 Để tìm các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng, ta giải phương trình  A    I   0, hay:

Từ đó ta tìm được hai vectơ riêng của A là:

  Để tìm vectơ riêng thứ 3, ta sử dụng công thức (2.10), đầu tiên, kiểm tra

Vì hệ này vô nghiệm nên ta tiếp tục kiểm tra  A4I   3  2 hay:

Vì P AP  1  J nên từ đó ta tính được:

KHỐI MA TRẬN CHÉO

Vectơ riêng tổng quát tương ứng với giá trị riêng  của bội số đại số m là nghiệm của phương trình:

 A   I  m   0 (2.15) Vectơ riêng đầu tiên  1 ứng với  thu được bằng cách giải phương trình:

Vectơ riêng thứ 2 hay vectơ riêng  2 thu được bằng cách giải phương trình

Và cứ tiếp tục như vậy

Bây giờ, nếu J là công thức Jordan của A thì P AP  1  J hay A PJP  1 Khi đó

là trị riêng của A khi và chỉ khi nó là trị riêng của J Hơn nữa, nếu  là giá trị riêng của A, thì  P  1  là vectơ riêng của J

Ma trận chéo cấp k k × được định nghĩa với A là ma trận cấp r r× và B là ma trận cấp s s×, trong đó r + s = k Trong trường hợp này, nếu λ là trị riêng của A, thì λ cũng là trị riêng của C Hơn nữa, vectơ riêng và các vectơ riêng tổng quát tương ứng với trị riêng λ có thể được biểu diễn bằng công thức ξ = (a1, a2, , ar, 0, , 0)T với mọi ai thuộc vào tập số thực.

Nếu λ là trị riêng của ma trận B, thì λ cũng là trị riêng của ma trận C Thêm vào đó, vectơ riêng và các vectơ riêng tổng quát tương ứng với trị riêng λ được biểu diễn bằng công thức ξ = (0, , 0, a_{r+1}, a_{r+2}, , a_s)ᵀ với mọi a_{r+i} thuộc R.

Giả sử  là giá trị riêng của ma trận A và V  a a 1, 2, ,a r  T là vectơ riêng tương ứng Ký hiệu   a a 1, 2, ,a r , 0, , 0 k Chúng ta có thể kiểm tra rằng C , do đó,  là giá trị riêng của ma trận C Ma trận đơn vị I có cấp k x k được định nghĩa bằng công thức sau.

  , với I r và I s lần lượt là các ma trận đơn vị cấp r r và s s , cho là trị riêng của A với bội số đại số m Khi đó:

    có một nghiệm không tầm thường là

    chỉ có một nghiệm tầm thường là

  Khi đó   a a 1, 2, ,a r , 0, , 0 T là vectơ riêng của C ứng với 

(ii) Chứng minh tương tự.

CÁC HỆ TUẦN HOÀN TUYẾN TÍNH

Định nghĩa 2.5 Xét hệ tuyến tính có dạng: x n(  1) A n x n( ) ( ), (2.16) với mọi n   , ( N ) ( ) với mọi số nguyên dương N, hệ (2.16) được gọi là hệ tuần hoàn tuyến tính

Bổ đề 2.2 Cho B là ma trận không suy biến cấp k k và cho m là số nguyên dương bất kì Khi đó tồn tại một ma trận C cấp k k  sao cho C m  B

  là công thức Jordan của B, trong đó:

  với I i là ma trận đơn vị cấp s i s i và:

1 1 1 exp ln exp ln ln i i i i i i i

       Áp dụng công thức (2.17), ta có:

Do đó, H i là ma trận xác định dương, hơn nữa, H i m J i

Bây giờ nếu ta cho:

, với H i được định nghĩa như công thức (2.18) Khi đó:

Đặt C  PHP  1 , khi đó, C m  PH P m  1  PJP  1  B

Bổ đề 2.3 Cho hệ (2.16), ta có các mệnh đề sau:

(i) Nếu ( )n là một ma trận cơ sở thì  (n N) cũng là ma trận cơ sở

(ii)  (n N)  ( )n C, với C là ma trận không suy biến

(i) Cho ( )n là một ma trận cơ sở của hệ (2.16) Khi đó,   (n 1) A n( ) ( ) n với

Vậy   ( n N ) là ma trận cơ sở

Suy ra  1 ( ,n n 0 ), 2 ( ,n n 0 ) là các ma trận cơ sở với điều kiện ban đầu giống nhau:  1 ( n n 0 , 0 )   2 ( n n 0 , 0 )  I Áp dụng định lý 1.4, ta suy ra được:

Vậy   ( n N , N)   ( , 0) n Định lý 2.3 Với mỗi ma trận cơ sở  ( ) n của hệ (2.16) tồn tại một ma trận tuần hoàn không suy biến P n ( ), chu kỳ N sao cho:

Áp dụng bổ đề 2.3 (ii), ta có  (n N)  ( )n C với C là ma trận không suy biến Theo bổ đề 2.2, tồn tại một ma trận B sao cho B N C Đặt ( )P n  ( )n B  n với B  n (B n )  1.

 P n tuần hoàn với chu kỳ N

P n là ma trận không suy biến, lại có

Vậy suy ra điều phải chứng minh

Nếu \( z_n \) là nghiệm của hệ \( z_{n+1} = B z_n \), thì \( x_n = \Phi(n) c = P_n B c \) hoặc \( x_n = P_n z_n \) Ma trận \( C = B_N \) trong bổ đề 2.3 (ii) được gọi là ma trận đơn sắc của (2.16) Các giá trị riêng \( \lambda \) của \( B \) được xem là số mũ Floquet của (2.16), trong khi các giá trị riêng \( \lambda_N \) của \( B_N \) cũng được gọi là số mũ Floquet tương ứng của (2.16).

Bổ đề 2.4 Nếu ( )n và ( )n là hai ma trận cơ sở của (2.16) sao cho

    thì C và E là đồng dạng (và do đó chúng có cùng giá trị riêng)

Chứng minh Do ( )n và ( )n là hai ma trận cơ sở của (2.16) nên

( ) ( ) n N n N P n C n EP n PC n EP PC EP

Bổ đề 2.5 Một số phức  là số mũ Floquet của (2.16) khi và chỉ khi nghiệm của (2.16) là  n q n( ), trong đó q n( ) là một hàm vectơ với q n( N)q n( ),n

Chứng minh Cho số phức  là một số mũ Floquet của (2.16), do  là một số mũ Floquet nên  n là giá trị riêng của B n det(B n  n I)0

Với P(n) là ma trận tuần hoàn được định nghĩa ở công thức (2.19) Từ công thức (2.19), ta có:

Ngược lại, nếu  n q n( ) là nghiệm của (2.16) với

 n q n( )P n B x( ) n 0 với mọi x 0 0, (2.22) điều đó cũng có nghĩa là

Vậy  là một số mũ Floquet của (2.16) Từ định lý 2.3, ta có hệ quả sau đây:

Hệ quả 2.2 Các mệnh đề sau đây là đúng

(i) Hệ (2.16) có nghiệm tuần hoàn với chu kỳ N khi và chỉ khi nó có số bội Floquet bằng 1

(ii) Tồn tại bội số Floquet bằng -1 khi và chỉ khi hệ (2.16) có nghiệm tuần hoàn với chu kỳ 2N

Bổ đề (2.3) (ii) cho ta công thức để tìm ma trận đơn sắc 𝐶 = 𝐵 𝑁 , mà trị riêng của nó là bội số Floquet của hệ (2.16) Từ bổ đề (2.3) ta có :

Nếu ta đặt  (N)  A N (  1) ( A N  2) (0) A thì  (0)  I và do đó C   (N), hay:

Ta xét ví dụ để minh họa kết quả trên

Ví dụ 2.3 Xét hệ sau :

Rõ ràng A (n 2)   A n ( )   n Sử dụng công thức C   1 (0) (N) ta có,

Vậy bội số Floquet của ma trận là -1 Từ hệ quả (2.2), hệ trên có nghiệm tuần hoàn với chu kỳ 4 Chú ý rằng 𝐴(𝑛) có trị riêng không đổi là -1, 1 và (A(n)) 1.

Ví dụ trên cho ta gợi ý về mối liên hệ giữa các giá trị riêng của ma trận 𝐴(𝑛) và bội số Floquet Ta có ví dụ sau đây

Ví dụ 2.4 Xét hệ sau

Rõ ràng 𝐴(𝑛) là ma trận tuần hoàn với chu kỳ 2 Trị riêng của A là 3 , (A) 3 1

Do đó, bội số Floquet là 1

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

CÁC CHUỖI MARKOV

Vào năm 1906 nhà toán học người Nga đã phát triển khái niệm chuỗi Markov Chuỗi Markov được mô tả như sau:

Trong một thí nghiệm với tập hợp k kết quả hoặc mệnh đề S = {s₁, s₂, , sₖ}, xác suất (pᵢⱼ) của mệnh đề i xảy ra trong lần lặp thứ (n+1) chỉ phụ thuộc vào mệnh đề sᵢ xuất hiện trong lần lặp thứ n Theo lý thuyết xác suất, (pᵢⱼ) = p(sᵢ|sⱼ) là xác suất xảy ra của sᵢ trong lần lặp tiếp theo Nếu sⱼ xảy ra ở lần lặp cuối cùng, thì ít nhất một trong các mệnh đề s₁, s₂, , sₖ phải xảy ra trong lần lặp tiếp theo, dẫn đến p₁ⱼ + p₂ⱼ + + pₖⱼ = 1 cho mọi j (1 ≤ j ≤ k) Biểu thức pⁿᵢ( ) thể hiện xác suất mà sᵢ sẽ xảy ra trong lần lặp thứ n của thí nghiệm.

1   i k Vì một trong các s i phải xảy ra ở lần lặp lại thứ n, sau đó là p n 1 ( ) p n 2 ( )  p n k ( ) 1. (3.2) Để rút ra mô hình toán học cho thí nghiệm này, chúng ta định nghĩa :

( 1),1 p n i   i k , là xác suất mà s i xảy ra vào lần lặp thứ (n+1) của thí nghiệm

Có k cách để điều này xảy ra :

Trong trường hợp đầu tiên, lần lặp thứ n cho ta giá trị s1, trong khi lần lặp thứ (n+1) cho ra giá trị si Xác suất để nhận được s1 ở lần lặp thứ n là p(n|1), và xác suất để nhận được si sau khi có s1 là p(i|1).

, điều đó có nghĩa là xác suất của trường hợp đầu tiên là p p n i 1 1 ( )

Trong trường hợp 2, chúng ta nhận được s2 tại lần lặp thứ n và si tại lần lặp thứ (n+1) với xác suất xảy ra là p^2 * p(n) Lặp lại quy trình này cho các trường hợp thứ 3, 4, …, k và với i = 1, 2, …, k, ta sẽ có một hệ thống các phương trình.

 hoặc biểu diễn dưới dạng ma trận:

(p n 1) Sp n n( ), 1,2,3, ,n, (3.3) trong đó p n( ) p n p n 1( ), 2( ), ,p n k ( ) T là vectơ xác suất và S    p ij là ma trận chuyển đổi cấp k k

Ma trận S thuộc lớp ma trận Markov, trong khi ma trận A = (a_ij) được gọi là ma trận không âm nếu mọi phần tử a_ij đều không âm (≥ 0) Một ma trận A không âm có kích thước k x k được xem là ma trận Markov (hoặc ngẫu nhiên) nếu thỏa mãn các điều kiện nhất định.

CHUỖI MARKOV SUY BIẾN

Chuỗi Markov suy biến được định nghĩa là chuỗi mà S m dương với mọi số m nguyên dương Theo định lý Perron, nếu A là một ma trận dương cấp k x k, thì giá trị riêng đơn giản thực của A, ký hiệu là ( )ρ A, không lặp lại.

Nếu  là một giá trị riêng bất kì của A thì   ( )A , hơn nữa, một vectơ riêng ứng với ( )A cũng có thể giả định là dương

Giả sử S là một ma trận chuyển đổi của chuỗi Markov đều với các giá trị riêng

Nếu S m dương thì (S m )1, trên thực tế các giá trị riêng của S m là

Theo định lý Perron, giá trị riêng đơn của ma trận S là 1, và S chỉ có một giá trị riêng đơn duy nhất Nếu giá trị riêng λ1 bằng 1, thì tất cả các giá trị riêng còn lại đều nhỏ hơn 1, tức là λi < 1 với i = 2, 3, Do đó, công thức Jordan của ma trận S được xác định như sau.

  với các giá trị riêng của J * là

Vì thế, nếu S QJQ  1 , chúng ta có: lim ( ) lim n (0) lim n 1 (0)  1, 0, , 0 1, n p n n S p n QJ Q p    a

Trong phương trình (3.4), vectơ riêng  1 = ( 11,  21, ,  k 1) T tương ứng với giá trị riêng  1 = 1, và a là thành phần đầu tiên của  = Q p - 1 (0) Việc xác định ma trận Q không hề đơn giản, vì vậy chúng ta sẽ chọn một phương pháp dễ dàng hơn để tìm hằng số a Lưu ý rằng p n ( ) = (p n 1 ( ), p n 2 ( ), , p n k ( )) T, theo công thức (3.2).

  , nên từ đó suy ra rằng:

Sự kế thừa di truyền ở động vật đơn giản nhất xảy ra khi một đặc điểm được xác định bởi một cặp gen với hai loại là G và g Các kiểu gen có thể có bao gồm GG, Gg và gg Trong đó, cá thể mang kiểu gen GG là cá thể trội, kiểu gen gg là cá thể lặn, và kiểu gen Gg là cá thể dị hợp.

Trong quá trình giao phối giữa hai con vật, con cái sẽ thừa hưởng một gen từ mỗi bố mẹ, với việc lựa chọn gen diễn ra ngẫu nhiên Bắt đầu với cá thể mang kiểu gen GG và con lai dị hợp, chúng ta thực hiện lai với cá thể có cặp gen dị hợp Quá trình này sẽ được lặp lại qua nhiều thế hệ để quan sát sự di truyền.

Trong mỗi thế hệ, có ba trạng thái có thể xảy ra: s1 = GG, s2 = Gg và s3 = gg Xác suất xuất hiện của trạng thái si trong thế hệ thứ n được ký hiệu là pn(i) Đồng thời, xác suất trạng thái si xảy ra ở thế hệ thứ (n+1) khi trạng thái sj xảy ra ở thế hệ thứ n được ký hiệu là pij.

Hệ sai phân mô hình chuỗi Markov được biểu thị bằng

Bây giờ, p 11 là xác suất để có được con mang kiểu gen GG bằng cách giao phối GG và Gg Suy ra

1 p  2 p 12 là xác suất để có được con mang kiểu gen GG bằng cách giao phối Gg và Gg

1 p  4 p 13 là xác suất để có được con mang kiểu gen GG bằng cách giao phối Gg và gg

13 0 p  Tương tự như vậy ta cũng tính được

Vì vậy chúng ta có: p n(  1) Sp n( )với

Chú ý rằng mỗi phần tử của S 2 là dương và vì vậy, chuỗi Markov là suy biến

Các trị riêng của S là 1 1, 2 1, 3 0.

   2   Áp dụng công thức (3.4), lim ( ) 1, n p n a

    Quan hệ này cho thấy rằng, khi số lần lặp lại là hợp lý thì xác suất có 1 đứa con mang gen trội hoặc mang gen lặn là 1

4 và xác suất để có được một đứa con mang gen dị hợp là 1

MÔ HÌNH THƯƠNG MẠI TIÊU CHUẨN

Ví dụ 3.5: Ta xem xét một số mô hình thương mại giữa hai nước A và B, bị hạn chế bởi các giả định sau:

(i) Thu nhập quốc dân = vốn tiêu dùng + đầu tư ròng + xuất khẩu – nhập khẩu (ii) Chi tiêu tiêu dùng trong nước = tổng tiêu thụ - nhập khẩu

(iii) Thời gian được chia thành các chu kỳ bằng nhau, kí hiệu là n  0,1, 2,

Đối với mỗi quốc gia j = 1, 2, chúng ta xác định các chỉ số kinh tế sau: y(j)(n) là thu nhập quốc dân trong chu kỳ n, c(j)(n) là tổng tiêu thụ trong chu kỳ n, i(j)(n) là đầu tư ròng trong chu kỳ n, x(j)(n) là số lượng xuất khẩu trong chu kỳ n, m(j)(n) là số lượng nhập khẩu trong chu kỳ n, và d(j)(n) là mức tiêu thụ sản phẩm trong nước trong chu kỳ n.

Kết hợp hai phương trình, ta có y n 1 ( ) = d n 1 ( ) + i n 1 ( ) + x n 1 ( ) Tương tự, với nước B, ta có y n 2 ( ) = d n 2 ( ) + i n 2 ( ) + x n 2 ( ) Giả định hợp lý được đưa ra là tiêu thụ nội địa d n j ( ) và số lượng nhập khẩu m n j ( ) của mỗi quốc gia ở chu kỳ n + 1 tỉ lệ thuận với thu nhập quốc gia y n j ( ) trong chu kỳ trước đó.

Các hằng số a ij được gọi là xu hướng biên, với điều kiện a ij > 0 cho i, j = 1, 2 Trong bối cảnh chỉ có hai quốc gia, lượng xuất khẩu của một quốc gia phải tương đương với lượng nhập khẩu của quốc gia kia.

Thay các công thức (3.7) và (3.8) vào 2 phương trình (3.5) và (3.6) ta được:

Bằng cách sử dụng giả sử đầu tư ròng là các hằng số và viết i n 1 ( )i 1 , i n 2 ( )i 2 Khi đó (3.9) trở thành:

Theo công thức hằng số biến thiên (1.33), ta được:

      (3.11) với I  ( , ) i i 1 2 T Để có một nền kinh tế ổn định, ta thấy rằng tổng tiêu thụ nội địa

( 1) d j  n  và lượng nhập khẩu m j  ( n  1)trong chu kì n  1 phải nhỏ hơn thu nhập quốc gia y n j ( )trong chu kỳ n, tức là: d n j (  1)+ m n j (  1)≤ y n j ( ), j1, 2, hay a 11 a 21 1, a 12 a 22 1 (3.12)

Dưới điều kiện (3.12), có thể chỉ ra rằng bất kì giá trị riêng  nào của ma trận A đều thỏa || 1.

Từ hệ quả (2.1), ta có A n  0 khi n  Từ đó, ta có khai triển Neumann sau:

Lấy lim hai vế của phương trình (3.11) và áp dụng khai triển Neumann ta được: lim ( ) (I A) 1 n y n  i

Phương trình này chỉ ra rằng thu nhập quốc gia của các nước A và B sẽ đạt giá trị cân bằng mà không bị ảnh hưởng bởi các giá trị khởi đầu y1(0) và y2(0) của thu nhập quốc gia.

Sự phát triển kinh tế của một quốc gia phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác nhau, không chỉ những yếu tố đã được đề cập trong phần này.

Qua thời gian nghiên cứu, tham khảo từ các tài liệu cùng sự hướng dẫn của thầy

TS Lê Hải Trung, em đã hoàn thành luận văn tốt nghiệp của mình với một số kết quả chính đạt được như sau:

1 Trình bày các kiến thức về hệ Ô-tô-nôm

2 Trình bày thuật toán Putzer để tính ma trận A n

3 Trình bày công thức Jordan để tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

4 Chứng minh chi tiết các định lý: Neumann, Cayley Hamilton, Perron…

5 Ứng dụng vào các mô hình: chuỗi Markov, chuỗi Markov suy biến, mô hình thương mại tiêu chuẩn

Mặc dù em đã nỗ lực hết mình trong thời gian nghiên cứu hạn chế, nhưng vẫn không tránh khỏi một số sai sót Em rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ quý thầy cô để đề tài có thể được hoàn thiện hơn.