Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính

Trong khuônkhổ của luận văn này, luận văn đề cập đến ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân tuyến tính, trong đó có sử dụng phương pháphàm Lyapunov cho bài toán ổn định Lyapun

PHẠM THỊ HUỆ

ỔN ĐỊNH HỮU HẠN HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên-2015

PHẠM THỊ HUỆ

ỔN ĐỊNH HỮU HẠN HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH.VŨ NGỌC PHÁT

Thái Nguyên-2015

có trễ 101.3 Bài toán ổn định hữu hạn thời gian 121.4 Các bổ đề bổ trợ 14

2 Ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân tuyến

2.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 152.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ 312.3 Ứng dụng giải bài toán ổn định hóa hữu hạn thời gian 34

KÍ HIỆU TOÁN HỌC

R tập các số thực

R+ tập các số thực không âm

Rn×r không gian các ma trận thực cỡ (n × r)

L2([0, T ],Rm) không gian các hàm khả tích bình phương trên

đoạn [0, T ] nhận giá trị trong Rm

C([−r, 0],Rm) không gian các hàm liên tục trên[−r, 0]

λ(A) tập hợp tất cả các giá trị riêng của ma trận A

λmax(A) λmax(A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)}

λmin(A) λmin(A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)}

MỞ ĐẦU

Nghiên cứu tính ổn định là nội dung chính của lý thuyết định tínhcác hệ động lực, được bắt đầu từ cuối thế kỷ XIX với những công trìnhxuất sắc của nhà toán học Nga A.M.Lyapunov Mỗi khi phân tích vàthiết kế các hệ thống kỹ thuật hoặc mô hình kinh tế mô tả bằng cácphương trình toán học người ta cần nghiên cứu tính ổn định của hệthống đó Cho đến nay, tính ổn định đã được nghiên cứu và phát triểnnhư một lý thuyết toán học độc lập và có rất nhiều ứng dụng trong kinh

tế, khoa học, kỹ thuật Từ đó xuất hiện các bài toán nghiên cứu tính

ổn định các hệ điều khiển

Khái niệm ổn định hữu hạn thời gian (FTS) xuất hiện vào cuối nhữngnăm 1950 khi nó được giới thiệu trong những tài liệu của các nhà Toánhọc Nga Sau đó, suốt những năm 1960, khái niệm này đã xuất hiệntrong các tạp chí phương Tây Cụ thể hơn, một hệ được gọi là FTS nếukhi ta đưa ra một giới hạn cho điều kiện ban đầu, trạng thái của hệkhông vượt ra khỏi ngưỡng đã giới hạn trong suốt khoảng thời gian đãcho

Bài toán ổn định các hệ phương trình vi phân là một trong những bàitoán có nhiều ứng dụng quan trọng trong giải các bài toán xuất phát

từ thực tế, đòi hỏi phải sử dụng nhiều lý thuyết và công cụ toán họchiện đại Có nhiều phương pháp nghiên cứu tính ổn định của hệ phươngtrình vi phân, trong đó có phương pháp hàm Lyapunov Trong khuônkhổ của luận văn này, luận văn đề cập đến ổn định hữu hạn thời gian

hệ phương trình vi phân tuyến tính, trong đó có sử dụng phương pháphàm Lyapunov cho bài toán ổn định Lyapunov đối với hệ phương trình

vi phân, hệ phương trình vi phân có trễ.

Luận văn gồm hai chương

Chương 1 "Cơ sở toán học", chương này giới thiệu các kiến thức cơbản về hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân có trễ và điềukiện cho sự tồn tại nghiệm của nó Từ đó giới thiệu bài toán bài toán ổnđịnh Lyapunov cho hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân

có trễ Bài toán về ổn định hữu hạn thời gian và các bổ đề liên quanđến việc chứng minh tính ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình viphân tuyến tính ở chương sau

Chương 2 "Ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân tuyếntính", nội dung của chương này trình bày các kết quả về tính ổn địnhhữu hạn thời gian cho hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ phươngtrình vi phân tuyến có trễ, ứng dụng giải bài toán ổn định hữu hạn thờigian, đưa ra các ví dụ minh họa cho các bài toán ổn định

Bản luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Mặc dù bản thân đã cố gắng nhưng do thời gian

có hạn, trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếusót, rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và bạn

bè đồng nghiệp

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Vũ Ngọc Phát,người thầy đã nhiệt tình hướng dẫn, truyền đạt cho tôi kiến thức trongsuốt quá trình hoàn thành luận văn

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015

HuệPhạm Thị Huệ

Chương 1

Cơ sở toán học

Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về hệ phương trình viphân, hệ phương trình vi phân có trễ và điều kiện cho sự tồn tại nghiệmcủa nó, bài toán ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân và hệphương trình vi phân có trễ, bài toán về ổn định hữu hạn thời gian vàcác bổ đề liên quan đến việc chứng minh tính ổn định hữu hạn thời gian

hệ phương trình vi phân tuyến tính Nội dung chủ yếu được lấy từ tàiliệu [1], [2], [3], [5]

ii) x(t) thỏa mãn hệ phương trình vi phân (1.1).

Giả sử hàm f (t, x(t)) liên tục thì nghiệm của hệ phương trình vi phân(1.1) cho bởi dạng tích phân sau

1.1.2 Sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình vi phân

Định nghĩa 1.2 Hàm f : R×Rn → Rn, được gọi là Lipschitz đối với

x đều theo t nếu tồn tại số thực dương L sao cho

kf (t, x1) − f (t, x2)k ≤ Lkx1 − x2k, ∀(t, x1, x2) ∈R+×Rn ×Rn

Định lý sau khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phươngtrình vi phân (1.1)

Định lý 1.3 Xét hệ phương trình vi phân (1.1) trong đó giả sử hàm

f (t, x) : R+×Rn → Rn là liên tục theot và thỏa mãn điều kiện Lipschitztheo x:

Khi đó với mọi x0 ∈ Rn, tồn tại duy nhất nghiệm x(t, x0) trên khoảng

1.1.3 Hệ phương trình vi phân có trễ

Chúng ta nhận thấy rằng hệ phương trình vi phân thường mô tả mốiquan hệ giữa biến thời gian, trạng thái của hệ thống và vận tốc thay đổicủa trạng thái tại cùng một thời điểm Song trên thực tế, các quá trìnhxảy ra trong tự nhiên thường có sự liên quan tới quá khứ Vì vậy khi

mô tả quá trình này, chúng sẽ được biểu diễn bằng các phương trình viphân có trễ

Giả sử một hệ thống phụ thuộc vào quá khứ với độ trễ(0 ≤ h ≤ +∞).Với x(.) là một hàm liên tục trên R+, nhận giá trị trong Rn, chúng taxây dựng hàm xt ∈ C : C([−r, 0],Rn) như sau

xt(s) = {x(t + s), ∀s ∈ [−r, 0]}

Như vậy xt là một đoạn quỹ đạo trên [t − r, t] của hàm x(.) Khi đó

hệ phương trình có trễ mô tả sự phụ thuộc của vận tốc thay đổi tạithời điểm t vào trạng thái của hệ thống trong khoảng thời gian trước

đó [t − r, t] được cho dưới dạng tổng quát

˙x(t) = f (t, xt), t ≥ 0, (1.5)trong đó f (.) : R+ × C → Rn Một nghiệm x(.) của hệ (1.5) đi quađiểm (t0, φ) ∈ R+ × C được kí hiệu x(t0, φ) Khi đó hàm giá trị banđầu của nghiệm này trong khoảng [t0 − r, t0] chính là hàm φ, tức là

Định lý sau đây khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục của

hệ phương trình (1.5) với điều kiện ban đầu x(t0, φ)

Định lý 1.5 Giả sử f (.) : R+ × C → Rn, là hàm liên tục theo T vàthỏa mãn các điều kiện sau

Khi đó hệ (1.5) có nghiệm x(t, φ) xác định trên khoảng [0, ∞).

1.2 Bài toán ổn định Lyapunov

1.2.1 Ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân

Một phương pháp hữu hiệu để xác định tính ổn định của hệ phươngtrình vi phân là phương pháp hàm Lyapunov Với hệ không trễ ta xâydựng một hàm Lyapunov V (t, x(t)) mà dựa vào một số tính chất đặcthù của nó ta có thể đánh giá được tính ổn định nghiệm của hệ phươngtrình vi phân thông qua công thức nghiệm của hệ

Định nghĩa 1.7 Hàm V (x) : Rn → R+, gọi là hàm Lyapunov của hệ(1.6) nếu V (x) khả vi liên tục trên Rn và thỏa mãn điều kiện:

thì hàm Lyapunov được định nghĩa theo hai biến V (t, x(t)) như sau

Định nghĩa 1.9 Hàm V : R+ ×Rn → R+, khả vi liên tục, thỏa mãn

V (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0, được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.7) nếu:

(iv) DfV (t, x(t)) ≤ −c(kx(t)k) với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.7) thì

V (t, x) gọi là hàm Lyapunov chặt của hệ (1.7)

Định lý 1.10 Hệ (1.7) có hàm Lyapunov thì ổn định Nếu hàm punov là chặt thì hệ ổn định tiệm cận.

Chọn hàm V (x) = x21 + x22 Dễ thấy V (x) là hàm khả vi liên tục trên

R2 và thỏa mãn điều kiện (i)

Xét điều kiện (ii)

2.Dễ thấy V (x) là hàm khả vi liên tục trên

R2 và thỏa mãn điều kiện (i)

Xét điều kiện (ii)

1.2.2 Ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân có trễ

Cũng như nghiên cứu hệ không trễ, với phương trình vi phân có trễngười ta cũng tìm một hàm V (t, xt) để có thể đánh giá được tính ổnđịnh nghiệm của hệ

Nếu V (.) : R× C → R là hàm liên tục ta định nghĩa đạo hàm của

V (t, xt) dọc theo quỹ đạo nghiệm của phương trình (1.8) như sau

thì nghiệm tầm thường của (1.8) là ổn định Nếu w(s) > 0 với s > 0

thì nghiệm tầm thường là ổn định tiệm cận

Định lý sau cho một dạng kiểm tra hàm Lyapunov tường minh theonghiệm của hệ

Định lý 1.14 Giả sử f (.) : R+ × C → Rn Nếu tồn tại một hàm liêntục V : R+× C → R, sao cho:

Nếu điều kiện (ii) được thay bằng điều kiện

iii) Tồn tại λ3 > 0 : ˙V (t, xt) ≤ −2λ3V (t, xt), với mọi nghiệm x(t) của

hệ (1.8), thì hệ (1.8) là ổn định mũ và nghiệm x(t0, φ) của hệ thỏamãn đánh giá

!

Như vậy V (x˙ t) < 0 khi và chỉ khi

a > σ > 0, 4(a − σ)σ > b2

Nếu chọn σ = a

2, khi đó nghiệm x = 0 của hệ phương trình (1.9) Ta

thấy các điều kiện của Định lý 1.13 được thỏa mãn Vậy hệ đã cho là

ổn định tiệm cận nếu |b| < a

1.3 Bài toán ổn định hữu hạn thời gian

Trong thực tế người ta thường gặp bài toán xét dáng điệu nghiệm

hệ phương trình vi phân không trên toàn bộ [0, +∞) mà chỉ trên đoạnhữu hạn [0, T ] Nói cách khác tính bị chặn của nghiệm thay đổi như thếnào khi nhiễu các giá trị ban đầu cũng bi chặn bởi một số cho trước.Đây cũng là nội dung chính của khái niệm ổn định hữu hạn thời gian.Xét hệ không ôtônôm







˙x = f (t, x(t)), t ∈ [0, T ],x(0) = x0

(1.11)

Định nghĩa 1.16 Cho các số dương c1, c2, với c1 < c2, ma trận đốixứng xác định dương R và thời gian T > 0 Hệ (1.11) được gọi là ổnđịnh hữu hạn thời gian (Finite-time stability(FTS)) tương ứng với bộ

(c1, c2, T, R) nếu

xT0Rx0 ≤ c1,

suy ra

x(t)TRx(t) < c2, ∀t ∈ [0, T ]

Nhận xét 1.17 Ổn định Lyapunov (Lyapunov Stability(LS)) và FTS

là hai khái niệm độc lập Một hệ là FTS có thể không là LS, ngược lạimột hệ LS có thể không thể là FTS

Để làm rõ điều này ta xét một vài ví dụ minh họa

Ví dụ 1.18

Xét các hệ phương trình vi phân sau

Ta thấy (1.12a) là LS, có nghiệm x(t) = sint + 1 với t ∈ [0, π] và

x(t) = e−(t−π) với t ≥ π Tuy nhiên hệ không là FTS ứng với bộ

c1 = π

4, c2 = π, T = 2π.

Hệ (1.12b) là LS, có nghiệm là x(t) = e−tx0 Hệ đồng thời là FTS ứngvới bộ (c1, c2, T ) bất kì

Hệ (1.12c) có nghiệm x(t) = sint + x0 là FTS ứng với bộ c1 = 1

LS mặc dù mọi nghiệm khác không của (1.14) đều tiến tới vô cùng khithời gian tiến tới vô cùng Quỹ đạo trạng thái của hệ (1.13) và (1.14)với điều kiện ban đầu φ(t) = 1, t ∈ [−1, 0]

Chương 2

Ổn định hữu hạn thời gian hệ

phương trình vi phân tuyến tính

Trong chương này trình bày các kết quả về tính ổn định hữu hạn thờigian cho một số lớp hệ phương trình vi phân: hệ phương trình vi phântuyến tính, hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ, ứng dụng giảibài toán ổn định hóa Nội dung trong chương này được trình bày từ tàiliệu [3], [4], [6]

2.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính

Điều phải chứng minh.

Tiếp theo, ta đưa ra ví dụ cho các kết quả của lý thuyết

Theo điều kiện (2.2) của định lý ta có







2a1q1 < q1, ∀q1 > 02a2q2 < q2, ∀q1 > 0 ⇔

Khi đó hệ ổn định hữu hạn thời gian với (e−1, 3, 1, I)

Tiếp theo, ta xét lớp hệ tuyến tính ôtônôm có nhiễu:

˙x(t) = Ax(t) + Gw(t), x(0) = x0, (2.5)

˙w(t) = F w(t), w(0) = w0, (2.6)trong đó A ∈ Rn×n, G ∈ Rn×r và F ∈ Rr×r

Định nghĩa 2.3 Hệ tuyến tính (2.5)-(2.6) được gọi là bị chặn hữu hạn(Finite time boundedness(FTB)) tương ứng với bộ (c1, δ, c2, T, R) nếu

xT0Rx0 ≤ c1; wT0Rw0 ≤ δ,

suy ra

xT(t)Rx(t) < c2, ∀t ∈ [0, T ] (2.7)Định lý sau cho ta một kiện đủ cho tính bị chặn hữu hạn của hệ (2.5)

- (2.6)

Định lý 2.4 Hệ (2.5) - (2.6) là FTB tương ứng với bộ (c1, δ, c2, T, R),nếu tồn tại một số α ≥ 0, các λi xác định dương, i = 1, 2, 3, 4 và hai

ma trận đối xứng xác định dương Q1 ∈ Rn×n, Q2 ∈ Rr×r sao cho cácbất đẳng thức sau đúng:

Lấy tích phân hai vế của (2.15) từ 0 đến t, với t ∈ [0, T ], ta có:

e−αtV (x(t)) − V (x(0)) < α

Z t 0

e−αswT(s) ˜Q2w(s)ds

−

Z t 0

e−αswT(s)(FTQ˜2 + ˜Q2F )w(s)ds

= α

Z t 0

e−αswT(s) ˜Q2w(s)ds

−

Z t 0

Điều kiện (2.12) đảm bảo xT(t)Rx(t) < c2.

Tiếp theo, ta đưa ra một vài ví dụ minh họa cho định lý

Theo điều kiện (2.8) của định lý ta có

Chọn c1 = δ = 1 và chọn được c2 = 920 Khi đó theo định lý (2.4) hệ

Lấy λ1 = 4, λ3 = 0, 5 Ta đi tìm ma trận F Gọi

ổn định hữu hạn thời gian đối với (1, 1, 100e5, 1, I)

Hệ quả 2.7 Hệ (2.5) - (2.6) là FTB tương ứng với bộ (c1, δ, c2, T, R)

nếu tồn tại một số α ≥ 0, các λi xác định dương, i = 1, 2, 3 và hai ma

trận xác định dương Q1 ∈ Rn×n, Q2 ∈ Rr×r sao cho các bất đẳng thứcsau đúng:

˜

Q1 = R12Q1R12; Q˜2 = R12Q2R12

Chứng minh Từ chứng minh của Bổ đề 2.4, ta suy ra được điều phảichứng minh

Hệ quả 2.8 Hệ (2.5) - (2.6) là FTB tương ứng với bộ (c1, δ, c2, T, R)

nếu tồn tại một số α ≥ 0, các λi xác định dương, i = 1, 2, 3 và hai matrận đối xứng xác định dương Q1 ∈ Rn×n, Q2 ∈ Rr×r sao cho các bấtđẳng thức sau đúng:

Nhận xét 2.9 Nếu điều kiện (2.8) - (2.12) hoặc (2.21) - (2.24) hoặc(2.25) - (2.29) là thỏa mãn với α = 0, thì hệ (2.5)- (2.6) cũng là ổn địnhtiệm cận Lyapunov.

Xét hệ tuyến tính không ôtônôm

xT0R(0)x0 ≤ c1 ⇒ x(t)TR(t)x(t) < c2, ∀t ∈ [0, T ] (2.31)Định lý sau cho điều kiện cần và đủ và một điều kiện đủ để hệ (2.30)

trong đó Φ(t, 0) là ma trận chuyển trạng thái

iii) ∀t ∈ [0, T ], các điều kiện sau được thỏa mãn

iv) Bất phương trình vi phân Lyapunov

ii) ⇒ i) Cho xT0R(0)x0 ≤ c1 Khi đó, theo công thức nghiệm Cauchy của

hệ tuyến tính không ôtônôm x(t) = Φ(t, 0)x0 ta có

iii) ⇒ i) Cho V (t, x) = xTP (t)x Từ (2.32a), V (t, x)˙ là xác định âm dọc

theo quỹ đạo của hệ (2.30) Với xT0R(0)x0 ≤ c1, khi đó

i) ⇒ iii) Giả sử rằng hệ (2.30) là FTS Do tính liên tục của các đối số, giả

sử z = x, với  đủ nhỏ, với mọi t ∈ [0, T ]

x(0)TR(0)x0 ≤ c1 ⇒ x(t)TR(t)x(t) + kzk22 < c2 (2.35)Cho P (.) là nghiệm của

Khi đó

x(t)TR(t)x(t) ≥ x(t)TP (t)x(t) = x(0)TP (0)x(0) − 2kxk22

≥ c2 − kzk22,

mâu thuẫn với (2.35)

iv) ⇒ iii) Dễ kiểm tra P hàm ma trận thỏa mãn điều kiện (2.33) cũng thỏa

˙x(t) = A(t)x(t) + G(t)w(t), x(0) = x0, (2.40)được gọi là bị chặn hữu hạn(Finite-time boundedness(FTB)) ứng với

bộ (c1, c2, W, T, R(t)), nếu

xT0R(0)x0 ≤ c1 ⇒ x(t)TR(t)x(t) < c2, (2.41)với mọi t ∈ [0, T ], với mọi w(.) ∈ W trong đó

Vậy hệ (2.40) là FTB.

2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ

Như chúng ta đã biết, hệ phương trình vi phân thường (1.1) mô tảmối quan hệ giữa thời gian t, trạng thái x(t) tại cùng một thời điểm.Tuy nhiên, trong thực tế các quá trình xảy ra thường có liên quan đếnquá khứ nên ít nhiều vẫn di truyền và việc sử dụng lớp hàm cổ điển

để phân tích hay thiết kế hệ thống dẫn tới một kết quả yếu, độ chínhxác không cao Trong trường hợp này, sẽ tốt hơn khi ta xem xét hoạtđộng của hệ dựa vào cả thông tin, trạng thái trước đó Những hệ màquá trình hoạt động không chỉ phụ thuộc vào trạng thái hiện tại mà cònphụ thuộc vào thông tin và trạng thái trước đó được gọi là hệ có trễ.Xét hệ phương trình sau

là hàm liên tục cho trước, τ > 0 là số cho trước

Định nghĩa 2.14 Hệ (2.45) là ổn định hữu hạn thời gian tương ứngvới bộ (c1, c2, T, R) nếu

max

−τ ≤t≤0ΨT(t)RΨ(t) ≤ c1,

suy ra

xT(t)Rx(t) < c2, ∀t ∈ [0, T ]

Định lý 2.15 Hệ (2.45) là ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với

bộ c1, c2, T, R nếu tồn tại số α > 0 và hai ma trận đối xứng xác địnhdương P > 0, Q > 0 sao cho các điều kiện sau thỏa mãn

Đặt P = R−12P R−12 ta có

V (t, xt) ≥ xT(t)R−12P R12x(t) ≥ λmin(P )xT(t)Rx(t) (2.48)Hơn nữa ta có đánh giá

V (0, x(0)) ≤ λmax(P ) + τ λmax(Q) max

−τ ≤t≤0ΨT(t)RΨ(t), t ∈ [0, T ]

(2.49)trong đó Q = R−12QR−12 Theo điều kiện của định nghĩa nếu

#