Hệ phương trình sai phân tuyến tính và ứng dụng

Tính cấp thiết của đề tài Phương pháp sai phân và phương trình sai phân được ứng dụng nhiềutrong các lĩnh vực khoa học, kĩ thuật.. Lýthuyết hệ phương trình sai phân được ứng dụng nhiều t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS LÊ HẢI TRUNG

ĐÀ NẴNG - NĂM 2017

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được aicông bố trong bất kì công trình nào khác

Tác giả

Phạm Thị Huyền Trang

Lời đầu tiên của luận văn tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáohướng dẫn TS Lê Hải Trung đã tận tình hướng dẫn trong suốt quá trìnhthực hiện để tôi có thể hoàn thành được luận văn này.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cô giáo

đã tận tình dạy bảo trong suốt thời gian học tập của khóa học Đồng thờicũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị, các bạn trong lớp PPTSCK32 đãnhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp

Tác giả

Phạm Thị Huyền Trang

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 3

1.1 SAI PHÂN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN THỰC CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 3

1.1.1 Sai phân hữu hạn của hàm số một biến thực 3

1.1.2 Các khái niệm cơ bản của phương trình sai phân 6

1.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP MỘT 9

1.3 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO 12

1.3.1 Hàm độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Định thức Kazorati Dấu hiệu nhận biết phụ thuộc tuyến tính 12

1.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp n thuần nhất 12 1.3.3 Đồng nhất thức Abel đối với phương trình sai phân tuyến tính cấp n 16

1.3.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp nthuần nhất hệ số hằng 19

CHƯƠNG 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG 22

2.1 HỆ Ô-TÔ-NÔM 22

2.1.1 Thuật toán Putzer của hệ rời rạc 23

2.1.2 Sự phát triển của thuật toán cho An 25

2.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH 28

2.3 CÔNG THỨC JORDAN 36

2.3.1 Ma trận chéo hóa được 36

2.3.2 Dạng Jordan 41

2.3.3 Khối ma trận chéo 47

2.3.4 Các hệ tuần hoàn tuyến tính 48

2.4 ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH 55

2.4.1 Các chuỗi Markov 55

2.4.2 Chuỗi Markov suy biến 56

2.4.3 Các chuỗi Markov hấp thụ 59

2.4.4 Một mô hình thương mại tiêu chuẩn 62

2.4.5 Phương trình truyền nhiệt 64

KẾT LUẬN 67

TÀI LIỆU THAM KHẢO 68

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Phương pháp sai phân và phương trình sai phân được ứng dụng nhiềutrong các lĩnh vực khoa học, kĩ thuật Sai phân có thể ứng dụng để giảigần đúng phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng Bên cạnh

đó, lý thuyết sai phân và phương trình sai phân còn có nhiều ứng dụngkhác như: bài toán tính tổng, tìm số hạng tổng quát của dãy số

Hệ phương trình sai phân được mở rộng từ phương trình sai phân Lýthuyết hệ phương trình sai phân được ứng dụng nhiều trong các lĩnh vựckhác nhau của toán học, chẳng hạn như giải tích số, lý thuyết xác suất,giải tích tổ hợp

Hệ phương trình sai phân tuyến tính được nghiên cứu và đưa ra nhiềuứng dụng, đặc biệt là công thức Jordan và ứng dụng cho hệ phương trìnhsai phân tuyến tính, như: chuỗi Markov, phương trình truyền nhiệt .Với mong muốn đem lại một công cụ cho người đọc có sự quan tâm đếnnhững ứng dụng của hệ phương trình sai phân, cũng như được sự địnhhướng và gợi ý của thầy giáo – TS Lê Hải Trung, tôi đã quyết định chọnnghiên cứu đề tài: “Hệ phương trình sai phân tuyến tính và ứngdụng” cho luận văn thạc sĩ của mình

2 Mục đích nghiên cứu

- Hệ thống các kiến thức

- Nghiên cứu về hệ phương trình sai phân tuyến tính

- Ứng dụng của hệ phương trình sai phân cho chuỗi Markov, chuỗiMarkov suy biến, Markov hấp thu, phương trình nhiệt năng

3 Đối tượng nghiên cứu

- Phương trình sai phân

- Hệ phương trình sai phân.

- Các ứng dụng của hệ phương trình sai phân

4 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết sai phân, phương trình sai phân, hệ phương trìnhsai phân

5 Phương pháp nghiên cứu

Các kiến thức liên quan đến việc thực hiện luận văn thuộc các lĩnh vực:Đại số tuyến tính, Giải tích, lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyếtphương trình sai phân

6 Bố cục của đề tài

Luận văn có cấu trúc như sau

Mở đầu

Chương 1 Phương trình sai phân

1.1 Sai phân hữu hạn của hàm số một biến thực Các khái niệm cơ bảncủa phương trình sai phân

1.2 Phương trình sai phân cấp một

1.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao

Chương 2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính và ứng dụng2.1 Hệ Ô-tô-nôm

2.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính

CHƯƠNG1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG

TRÌNH SAI PHÂN

Trong chương này, luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về saiphân hữu hạn của một hàm số biến số thực, khái niệm phương trình saiphân và các loại phương trình sai phân Các kiến thức trong chương nàyđược tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [4], [7], [8], [9]

1.1 SAI PHÂN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN THỰC.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

1.1.1 Sai phân hữu hạn của hàm số một biến thực

Tính chất 1.5 Giả sử f ∈ Cn[a; b] và (x, x + nh) ⊂ θ(0; 1), khi đó:

1.1.2 Các khái niệm cơ bản của phương trình sai phân

Định nghĩa 1.1.3 Phương trình sai phân là phương trình có dạng

F (t, f (t), ∆f (t), , ∆nf (t)) = 0 (1.1)Nếu trong (1.1), ta biểu diễn các sai phân hữu hạn bởi công thức trongtính chất (1.4) thì ta nhận được phương trình:

G(t, f (t), f (t + h), , f (t + nh)) = 0 (1.2)Định nghĩa 1.1.4 Phương trình (1.2) được gọi là phương trình sai phâncấp n

Ví dụ 1.1.5 Xác định cấp của phương trình sau đây:

là một phương trình sai phân cấp một

Định nghĩa 1.1.6 Một hàm liên tục f (t)được gọi là nghiệm của phươngtrình (1.2) trên tập Ω nếu ta thay nó vào phương trình thì ta nhận đượcđẳng thức đúng trên Ω

Ví dụ hàm f (t) = 3t là nghiệm của phương trình f (t + 2) − 9f (t) = 0

trên R

Rõ ràng mọi hàm số có dạng f (t) = C(t)3t, với C(t) là hàm tuần hoànvới chu kỳ T = 2 cũng là nghiệm của phương trình đã cho

Tiếp theo, ta sẽ luôn giả sử h = 1 Khi đó phương trình (1.2) có dạng:

G(t, f (t), f (t + 1), , f (t + n)) = 0 (1.3)Định nghĩa 1.1.7 Nghiệm rời rạc của phương trình (1.3) tương ứng tạiđiểm t0 ∈ Z+ là chuỗi số f0, f1, , fk, sao cho:

G(t0 + k, fk, , fk+n) = 0 (1.4)với k = 0, 1, 2 , còn Z+ là tập các số nguyên dương

Bài toán Cauchy cho việc tìm nghiệm của phương trình (1.2) (sau đây

ta sẽ gọi là bài toán Cauchy (1.2)) nằm ở việc xác định f (t) của phươngtrình này và đồng thời thỏa mãn các điều kiện (đầu) sau đây

f (t0) = f0, f (t0 + 1) = f1, , f (t0 + n − 1) = fn−1

Các số f0, f1, fn−1 được gọi là các giá trị đầu của nghiệm f (t), f0 đượcgọi là điểm đầu

Nếu f (t) là nghiệm liên tục của phương trình (1.2) trên [t0; +∞), khi

đó dãy f (t0), f (t0 + 1), f (t0 + k), sẽ là nghiệm rời rạc của (1.2) Tiếptheo, ta lấy t0 = 0 Lúc đó nghiệm rời rạc ta viết dưới dạng f (t) vàđược ngầm hiểu là hàm này chỉ xác định tại các điểm của tập Ω0 ={t0, t0 + 1, , t0 + k, } và f (t0 + k) = fk

Ta sẽ giả sử phương trình (1.2) chỉ có thể giải được tương ứng đối với

f (t + n) và f (t), tức là biểu diễn được dưới dạng:

f (t + n) = ϕ1(t, f (t), f (t + 1), , f (t + n − 1)) (1.5)và

f (t) = ϕ2(t, f (t + 1), , f (t + n)) (1.6)Nếu hàm ϕ1(t, f (t), f (t + 1), , f (t + n − 1)) xác định bởi vế phải củaphương trình (1.5) xác định tại mọi điểm t ∈ Z+ và mọi giá trị của

f (t), f (t + 1), , f (t + n − 1) thì một nghiệm rời rạc duy nhất được xácđịnh, nếu với mọi số t0 ∈ Z+, f0, f1, , fn−1 được cho trước Lúc đó biểuthức fn+k = ϕ1(t0 + k, fk, , fn+k−1) biểu diễn công thức truy hồi, đểthông qua đó ta xác định được fn, fn+1,

Tiếp theo, để đi đến khái niệm điểm duy nhất nghiệm Cauchy của

phương trình (1.2), ta xem xét một ví dụ đơn giản sau đây.

Ví dụ 1.1.8 Đối với phương trìnhf (t+1) = f2(t)thì dãy { 1, 1, 1, }

là nghiệm của bài toán Cauchy với điều kiện đầu f (0) = 1, còn nghiệmcủa bài toán Cauchy với điều kiện đầu f (0) = −1 là dãy {−1, 1, 1, }.Hiển nhiên, từ k > 1 thì với các điều kiện đầu khác nhau, ta thu đượcnghiệm như nhau

Định nghĩa 1.1.9 Điểm (t0, f0, f1, , fn−1) ∈Z+×Rn được gọi là điểmduy nhất nghiệm của bài toán Cauchy 1.2, nếu với bất kỳ nghiệm y(t) củabài toán Cauchy thỏa mãn điều kiện đầu:

y(t0) = y0, y(t0 + 1) = y1, , y(t0 + n − 1) = yn−1

Định nghĩa 1.1.10 Giả sử D là một tập con của không gian n + 1 chiều

Rn+1 và mỗi điểm của D đều là điểm tồn tại và duy nhất nghiệm của bàitoán Cauchy (1.2) Hàm f (t) = f (t, C1, , Cn) được gọi là nghiệm tổngquát của phương trình (1.2), nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau:

1 Với mọi giá trị cho trướcC1, , Cn, hàm đã cho là nghiệm của phươngtrình (1.2)

2 Mọi nghiệm của bài toán Cauchy (1.2) với điều kiện đầu được lấy từ

D có thể nhận được từ nghiệm tổng quát một cách duy nhất

1.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP MỘT

Ở phần này, ta sẽ tiến hành phân loại phương trình sai phân cấp một

Để xây dựng nghiệm tổng quát của những phương trình này, ta sẽ tiếp cậntương tự như lý thuyết phương trình vi phân cấp một

Xét phương trình

∆f (t) = y(t), t ∈ Ω0 (1.7)hay f (t + 1) = f (t) + y(t) Đặt vào phương trình cuối lần lượt các giá trị

f (t + 1) = f (t)p(t), p(t) 6= 0, t ∈ Ω0 (1.9)Lần lượt đặt vào (1.9) các giá trị t = t0, t = t0 + 1, , t = n − 1 ta được:

t−1

Q

k=t

y(k) 6= 0, ta nhận được

nghiệm tổng quát của (1.9) có dạng:

f (t + 1) = p(t)f (t) + y(t), p(t) 6= 0, t ∈ Z+ (1.12)

Ta tiến hành xem xét phương pháp xây dựng nghiệm tổng quát của phươngtrình trên, bằng phương pháp biến thiên hằng số hay còn gọi là phươngpháp Lagranger Ta coi C trong (1.11) như là một hàm phụ thuộc vào t,

u(t + 1)u(t) + (a + δ)u(t + 1) + (b + δ)u(t) + (δ2 + (a + b)δ + c) = 0

Lấyδ chính là giá trị nghiệm của phương trìnhδ2+(a+b)δ+c = 0 Nghiệmtầm thường của phương trình u(t) = 0 tương ứng với nghiệm f (t) = δ.Nếu cho f (t) 6= δ, thực hiện phép đổi biến v(t) = 1

0, do đó nó có hai nghiệm f (t) = −b, f (t) = −a

Sau đây, ta đi vào một số ví dụ cụ thể cho phương trình sai phân cấpmột

Ví dụ 1.2.1 Giải phương trình:

f (t + 1)f (t) + 2y(t + 1) + y(t) − 4 = 0

Để triệt tiêu số hạng tự do −4, ta thực hiện phép đổi biến f (t) = u(t) + δ,trong đó δ là nghiệm của phương trình δ2 + 3δ − 4 = 0 Giả sử ta lấy

δ = 1, thu được phương trình u(t + 1)u(t) + 3u(t + 1) + 2u(t) = 0 Nếu

u(t) = 0 thì y(t) = 1 là nghiệm của phương trình ban đầu

Nếu u(t) 6= 0, ta đổi biến u(t) = 1

 

−32

−k−1#

= C



−32

f (t) = 1

C



−32

t

− 15+ 1

1.3 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO

1.3.1 Hàm độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính.Định thức Kazorati Dấu hiệu nhận biết phụ thuộc tuyến tính

Định nghĩa 1.3.1 Các hàm số ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕn(t) được gọi là phụthuộc tuyến tính trên tập Ω, nếu tồn tại bộ số C1, C2, , Cn không đồngthời bằng không để cho đẳng thức sau được thỏa mãn:

ϕ1(t) ϕ2(t) ϕn(t)

ϕ1(t + 1) ϕ2(t + 1) ϕn(t + 1)

ϕ1(t + n − 1) ϕ2(t + n − 1) ϕn(t + n − 1)

(1.16)

được gọi là định thức Kazorati bậc n của các hàm ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕn(t)

Định lí 1.3.4 (Điều kiện cần để các hàm phụ thuộc tuyến tính) Nếucác hàm ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕn(t) là phụ thuộc tuyến tính trên Ω thì định thứcKazorati của chúng bằng không trên Ω

1.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp n thuần nhất

Định nghĩa 1.3.5 Phương trình có dạng

f (t+n)+p1(t)f (t+n−1)+p2(t)f (t+n−2)+ +pn(t)f (t) = y(t) (1.17)được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp n

Với giả thiết các hệ số pi(t), i = 1, n và vế phải f (t) của phương trình(1.17)là xác định trên Z+, đồng thờipi(t) 6= 0, t ∈ Z+ Trong các điều kiệntrên thì bất kỳ điểm nào thuộc Z+×Rn cũng đều là điểm tồn tại và duy

nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình (1.17).

Phương trình

z(t + n) + p1(t)z(t + n − 1) + p2(t)z(t + n − 2) + + pn(t)z(t) = 0 (1.18)được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp n thuần nhất (TTN)tương ứng với trường hợp y(t) = 0 trong (1.17)

Định lí 1.3.6 (Tiêu chuẩn độc lập tuyến tính của các nghiệm TTN) Cácnghiệm z1(t), z2(t), , zn(t) của phương trình (1.18) là độc lập tuyến tínhtrên Z+ khi và chỉ khi định thức Kazorati của chúng khác không trên Z+.Chứng minh Điều kiện đủ của định lý được khẳng định ngay cả đốivới những hàm không phải là nghiệm của TTN Điều này được suy ra từchính Định lý (1.3.6) Ta đi chứng tỏ điều kiện cần của định lý cho trườnghợp nghiệm của TTN Giả sử các nghiệm z1(t), z2(t), , zn(t) là độc lậptuyến tính trên Z+ và tồn tại t∗ ∈ Z+ để cho K(t∗) = 0 Xét hệ phươngtrình tuyến tính thuần nhất n phương trình n ẩn số:

C1z1(t∗ + n − 1) + C2z2(t∗ + n − 1) + + Cnzn(t∗ + n − 1) = 0

(1.19)Định thức của hệ này theo giả thiết K(t∗) = 0, do đó (1.19) có nghiệmkhông tầm thường, kí hiệu (C1∗, C2∗, , Cn∗) là nghiệm không tầm thường

điều này mâu thuẫn với giả thiết độc lập tuyến tính của hệ đã cho!.

Định lí 1.3.7 (Neumann) Định thức Kazorati của bất kỳ n nghiệm củaphương trình (1.18) đều thỏa mãn phương trình

K(t + 1) = (−1)npn(t)K(t) (1.20)Chứng minh Giả sửz1(t), z2(t), , zn(t)là nghiệm nào đấy của phươngtrình (1.18) (không nhất thiết phải độc lập tuyến tính) Xét hệ

p1(t)zn(t + n − 1) + p2(t)zn(t + n − 2) + + pn(t)zn(t) = −zn(t + n)

(1.21)trong đó p1(t), , pn(t) được coi như là các ẩn Hệ (1.21) đồng nhất với hệsau:

Ta đi biểu diễn ∆, ∆n qua định thức Kazorati Ta có:

∆ =

z1(t) z2(t) zn(t)

z1(t + 1) z2(t + 1) zn(t + 1)

z1(t + n − 1) z2(t + n − 1) zn(t + n − 1)

zn(t + n − 1) zn(t + n − 2) zn(t + 1) −zn(t + n)

... thuộc tuyến tính) Nếucác hàm ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕn(t) phụ thuộc tuyến tính Ω định thứcKazorati chúng khơng Ω

1.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính. .. cho phương trình (1.17).

Phương trình

z(t + n) + p1(t)z(t + n − 1) + p2(t)z(t + n − 2) + + pn(t)z(t) = (1.18)được gọi phương trình sai phân tuyến tính. .. z2(t), , zn(t) độc lậptuyến tính Z+ tồn t∗ ∈ Z+ K(t∗) = Xét hệ phươngtrình tuyến tính n phương trình n ẩn số:

C1z1(t∗