Sỗ mũ đặc trưng vectơ cho hệ phương trình sai phân tuyến tính

Lý do chọn đề tài Vào những năm 1965-1982, Hoàng Hữu Đường [1] đã xây dựng khái niệm số mũ đặc trưng vectơ, một khái niệm mở rộng của số mũ Lyapunov, và áp dụng khái niệm này trong nghiê

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ VIỆT TRINH

SỐ MŨ ĐẶC TRƯNG VECTƠ CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ VIỆT TRINH

SỐ MŨ ĐẶC TRƯNG VECTƠCHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG

HÀ NỘI, 2017

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của PGS TS Tạ Duy Phượng

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến PGS TS Tạ DuyPhượng, thầy đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tácgiả hoàn thành luận văn này

Nhân dịp này, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toànthể các Thầy, Cô giáo khoa Toán, đặc biệt là chuyên ngành Toán Giảitích, Phòng Sau đại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy

và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Luận văn được tài trợ một phần bởi chương trình hợp tác khoa họcVAST HTQT NGA 01/16-17

Tác giả luận văn xin cám ơn Thạc sĩ Phan Thị Tuyết, cán bộ giảng dạyTrường Đại học Điện lực, đã cho phép sử dụng bản thảo về số mũ đặctrưng của phương trình sai phân ẩn để trình bày Chương 3

Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã

cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thànhluận văn này

Hà Nội, tháng 11 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Việt Trinh

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, được hoàn thànhdưới sự hướng dẫn của PGS TS Tạ Duy Phượng Số liệu và các kết quảnghiên cứu trong luận văn là hoàn toàn trung thực, được tham khảo từ cáctài liệu chuyên khảo cùng các công trình khoa học đã được công bố tại cácnhà xuất bản hoặc các tạp chí chuyên ngành có uy tín trong và ngoài nước.

Hà Nội, tháng 11 năm 2017Nguyễn Thị Việt Trinh

phân tuyến tính 221.4 Sự ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường của hệ sai

phân tuyến tính với nhiễu phi tuyến 30

2.1 Khái niệm chỉ số 352.2 Nghiệm của phương trình sai phân ẩn tiến 43

3 Số mũ đặc trưng vectơ của phương trình sai phân ẩn 483.1 Số mũ Lyapunov của phương trình sai phân ẩn 48

phương trình sai phân ẩn 513.3 Số mũ đặc trưng vectơ của phương trình sai phân ẩn 53

BẢNG KÍ HIỆU

N Tập số tự nhiên

Rp Không gian vectơ thực p-chiều

Rp×p Không gian các ma trận vuông thực cấp p

kxk Chuẩn Euclid của vectơ x.

kAk Chuẩn Euclid của ma trận A.

AT Chuyển vị của ma trận A.

A−1 Nghịch đảo của ma trận A.

Ip Ma trận đơn vị cấp p.

Op Ma trận vuông cấp p với các hệ số bằng 0.

ker A Nhân của ma trận A.

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vào những năm 1965-1982, Hoàng Hữu Đường [1] đã xây dựng khái niệm

số mũ đặc trưng vectơ, một khái niệm mở rộng của số mũ Lyapunov, và

áp dụng khái niệm này trong nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phươngtrình vi phân

Tương ứng, Đoàn Trịnh Ninh [5] đã xây dựng khái niệm số mũ đặctrưng vectơ và ứng dụng khái niệm này trong nghiên cứu ổn định củanghiệm của hệ phương trình sai phân tuyến tính

Trong [3], Lê Công Lợi đã trình bày các nghiên cứu của Phạm Kỳ Anh

về các tính chất định tính của phương trình sai phân ẩn

Trong [4], Nguyễn Đình Công và Hoàng Nam đã xây dựng khái niệm

số mũ đặc trưng Lyapunov cho hệ phương trình vi phân đại số

Mở rộng khái niệm này, Nguyễn Thị Khuyên và Tạ Duy Phượng [2] đãxây dựng khái niệm số mũ đặc trưng vectơ cho hệ phương trình vi phânđại số

Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là: Liệu có thể xây dựng khái niệm số

mũ đặc trưng Lyapunov và khái niệm số mũ đặc trưng vectơ cho hệphương trình sai phân tuyến tính ẩn, tương tự như trong [2] cho hệphương trình vi phân đại số, và là mở rộng của [5] cho hệ phươngtrình sai phân tuyến tính hay không?

Mục đích của luận văn là trình bày khái niệm số mũ đặc trưng vectơ

cho hệ phương trình sai phân thường (theo [5]) và xây dựng khái niệm số

mũ đặc trưng vectơ cho hệ phương trình sai phân ẩn Đồng thời chỉ racác ứng dụng của các khái niệm này trong nghiên cứu định tính ổn địnhcủa phương trình sai phân thường và phương trình sai phân ẩn

2 Mục đích nghiên cứu

1) Trình bày khái niệm số mũ đặc trưng vectơ cho hệ phương trình saiphân thường (theo [5]) và xây dựng khái niệm số mũ đặc trưng vectơ cho

hệ phương trình sai phân ẩn

2) Các ứng dụng của khái niệm số mũ đặc trưng vectơ trong nghiên cứuđịnh tính ổn định của phương trình sai phân thường và phương trình saiphân ẩn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

1) Trình bày khái niệm số mũ đặc trưng vectơ cho hệ phương trình saiphân thường

2) Trình bày khái niệm, các tính chất của phương trình sai phân ẩn.3) Trình bày khái niệm số mũ đặc trưng vectơ và một số ứng dụng của

nó trong nghiên cứu ổn định nghiệm của hệ phương trình sai phân ẩn

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu Số mũ đặc trưng vectơ cho hệ phương trình sai phân tuyếntính

5 Phương pháp nghiên cứu

1) Thu thập các tài liệu liên quan tới số mũ đặc trưng vectơ cho hệ phươngtrình sai phân tuyến tính và ứng dụng của nó

2) Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới mục đích

nghiên cứu.

5 Đóng góp của luận văn

Luận văn là một bài tổng quan về sự mở rộng của số mũ đặc trưng vectơcho hệ phương trình sai phân tuyến tính và ứng dụng của nó Luận văngiúp người đọc hiểu sâu hơn về sự mở rộng của số mũ đặc trưng vectơcho hệ phương trình sai phân tuyến tính và ứng dụng của nó

Chương 1

Số mũ đặc trưng vectơ cho hệ

phương trình sai phân thường

Chương này trình bày các tính chất cơ bản của số mũ đặc trưng punov, số mũ đặc trưng vectơ dựa trên [5] và ứng dụng các khái niệm nàynghiên cứu sự ổn định của hệ sai phân với nhiếu phi tuyến

Lya-1.1 Số mũ Lyapunov của dãy số

Trong Luận án Tiến sĩ của mình, để nghiên cứu tính ổn định nghiệmcủa hệ phương trình vi phân, Lyapunov (1892) đã đưa ra khái niệm số

mũ đặc trưng, sau này được gọi là số mũ Lyapunov Khái niệm số mũLyapunov đã được định nghĩa tương tự cho dãy số trong [5]

Trước tiên ta nhắc lại định nghĩa về giới hạn trên của dãy số

Định nghĩa 1.1 Cho dãy f (n) là một dãy số thực nào đó, phụ thuộcvào biến nguyên n

1 Nếu với mỗi số E > 0 tồn tại một số N (E) sao cho f (n) < −E với

mọi n ≥ N (E) thì ta định nghĩa:

3 Nếu có một số α sao cho với mọi số ε > 0 tồn tại số N (ε) sao cho

f (n) < α + ε với mọi n > N (ε) và tồn tại một dãy nk → +∞ saocho

α[z(n)] = lim

n→∞

1

nln |z(n)|,

được gọi là số mũ Lyapunov (số mũ đặc trưng) của dãy z(n)

Ví dụ 1.1 Xét dãy số thực zn = 1 + n2, ∀n Khi đó số mũ Lyapunovcủa dãy số zn được tính như sau

Tính chất 1.1.6.

α[z(n)] + α



1z(n)

1z(n)

= α



1z(n)



= 0

1.2 Số mũ đặc trưng vectơ của dãy số

Khi số mũ đặc trưng Lyapunov khác không thì có thể khẳng định vềtính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân hoặc hệ phương trìnhsai phân Tuy nhiên trong trường hợp tới hạn ( phần thực của số mũ đặctrưng Lyapunov bằng không) thì chưa thể khẳng định về tính ổn định(hoặc không ổn định) của nghiệm của phương trình vi phân hoặc phươngtrình sai phân Để trả lời câu hỏi về tính ổn định nghiệm của phương trình

vi phân trong trường hợp tới hạn, Hoàng Hữu Đường đã đưa ra khái niệm

số mũ đặc trưng vectơ Khái niệm này đã được Đoàn Trịnh Ninh phátbiểu cho hệ phương trình sai phân

Giả sử z(n) là một dãy vô hướng không tầm thường nào đó, phụ thuộcvào biến nguyên n ∈ N Giả sử tồn tại hữu hạn

1

nk ln |z(nk)| − α0

< ε

1lnnk ln{|z(nk)| e

−α0n k} − α1

...

=

1.2 Số mũ đặc trưng vectơ dãy số

Khi số mũ đặc trưng Lyapunov khác khơng khẳng định v? ?tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân hệ phương trìnhsai phân Tuy nhiên trường... data-page="25">

1.3 Số mũ đặc trưng vectơ nghiệm hệ phương trình< /p>

sai phân tuyến tính

Xét hệ phương trình sai phân

x(n + 1) = A(n)x(n), n = 0, 1, 2, , (1.3.1)

trong x(n) vectơ p-chiều... αjk số mũ đặc trưng thứ k nghiệm xj(n).

Trường hợp k = αj0 số mũ đặc trưng hệ sai phân tuyếntính

Định nghĩa 1.6 Nghiệm tầm thường x(n) ≡ hệ sai phân tuyếntính