Ứng dụng của hàm ma trận vào việc giải hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng

Đa thức đặc trưng - đa thức cực tiểu của một ma trận .... Với lí do này tôi chọn luận văn “Ứng dụng của hàm ma trận vào việc giải hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng” Phươn

MỤC LỤC

I Lời mở đầu 2

II Đa thức đặc trưng - đa thức cực tiểu của một ma trận 3

1.1 Phép cộng và phép nhân đa thức ma trận 3

1.2 Phép chia phải và phép chia trái của đa thức ma trận 5

1.3 Định lí Bezout tổng quát 8

1.4 Đa thức đặc trưng Ma trận liên hợp 9

1.5 Đa thức cực tiểu của một ma trận 16

III Hàm ma trận 23

2.1 Định nghĩa hàm ma trận 23

2.2 Đa thức nội suy Lagrange-Sylvester 29

2.3 Các thành phần của ma trận A 32

2.4 Biểu diễn hàm ma trận bởi chuỗi 39

2.5 Ứng dụng hàm ma trận vào việc giải hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng 44

III Kết luận 58

IV Tài liệu tham khảo 59

LỜI MỞ ĐẦU

Giải tích ma trận ngày nay được ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực như toán học, cơ khí, lý thuyết vật lý… Hiện nay có ít tài liệu trình bày các bài tập về lý thuyết ma trận và các ứng dụng của chúng Với lí do này tôi chọn luận văn “Ứng dụng của hàm ma trận vào việc giải hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng”

Phương pháp giải trong luận văn ngoài các kiến thức cơ bản của phương trình vi phân cần các kiến thức cơ bản của đại số tuyến tính về ma trận, hệ phương trình tuyến tính cùng những kiến thức về giải tích như khai triển MacLaurin Trong trường hợp đa thức cực tiểu có nghiệm bội sử dụng kiến thức về giải tích ma trận để giải

Luận văn gồm 2 chương

Trong chương 1, giới thiệu đa thức đặc trưng, đa thức cực tiểu và ma trận liên hợp của một ma trận vuông

Trong chương 2, đề cập đến hàm ma trận, các tính chất liên quan Ứng dụng hàm ma trận để giải hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng

Em chân thành cảm ơn Thầy hướng dẫn Thầy Phan Anh Tuấn đã giới thiệu

đề tài, cung cấp tài liệu và hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện đề tài Đồng thời,em cũng gởi lời cám ơn đến Thầy Cô, bạn bè khoa Toán trường Đại học sư phạm Đà Nẵng đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành luận văn

Đà Nẵng ngày 27/05/2013

Sinh viên

Thái Thị Bảo An

CHƯƠNG 1

ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG VÀ ĐA THỨC CỰC TIỂU CỦA MỘT MA TRẬN

Hai đa thức liên quan đến ma trận vuông là đa thức đặc trưng và đa thức cực tiểu Những đa thức này đóng vai trò quan trọng trong nhiều bài toán khác nhau của

lý thuyết ma trận Ví dụ khái niệm hàm ma trận sẽ được giới thiệu trong chương sau, dựa hoàn toàn vào khái niệm đa thức cực tiểu.Trong chương này những tính chất về đa thức đặc trưng và đa thức cực tiểu của một ma trận sẽ được nghiên cứu Điều kiện tiên quyết cho việc nghiên cứu là phải nắm các kiến thức cơ bản về đa thức mà các hệ số của chúng là ma trận và các phép toán trên chúng

1.1 Phép cộng và phép nhân đa thức ma trận

Xét một ma trận đa thức vuông tức là một ma trận vuông A( ) có các phần

tử là các đa thức theo  với các hệ số trong một trường F cho trước

(1)

Ma trận A() có thể được biểu diễn dưới dạng một đa thức với hệ số là ma trận và được sắp xếp tương ứng với lũy thừa của 

Số n được gọi là cấp của đa thức

Đa thức (1) được gọi là chính quy nếu | A0| 0

Một đa thức với các hệ số là các ma trận thỉnh thoảng được gọi là các đa thức

Cho 2 đa thức ma trận A() và B() có cùng cấp Ta biểu thị bậc cao nhất của đa thức ma trận là m Những đa thức này có thể được viết dưới dạng:

Nếu nhân B() với A() ta sẽ nhận được một đa thức ma trận khác

Phép nhân đa thức ma trận có tính chất đặc riêng biệt Ngược với tích của 2

đa thức vô hướng, tích của 2 đa thức ma trận (4) có thể có bậc nhỏ hơn m+p (nghĩa

là nhỏ hơn tổng bậc của các thừa số) Vì trong (4) tích A B có thể bằng ma trận O 0 0

mặc dù A0 0;B0 0

Tuy nhiên, nếu ít nhất 1 trong 2 ma trận A và 0 B không suy biến, thì từ 0

A  B  ta có A B0 0 0

Thật vậy, chẳng hạn nếu A không suy biến tức là 0 A0 0

Giả sử A B0 0 0 với B0 b b1; ; ;2 b n ( ;b i i 1;n là cột thứ i của B0)

Từ A B0 0 0 tương đương với A b0 i 0 (i1, )n

Do A0 0nên phương trình A b0 i 0có nghiệm duy nhất b i   0, i 1,n

Suy ra B0 0 (vô lý)

Do đó tích của 2 đa thức ma trận là một đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng tổng bậc của các thừa số Nếu một trong 2 thừa số là chính quy thì bậc của tích luôn luôn bằng tổng bậc của các thừa số

1.2 Phép chia phải và phép chia trái của đa thức ma trận

Cho 2 đa thức ma trận A() và B() cùng cấp và có bậc tương ứng là m và

và bậc của R() nhỏ hơn bậc của B()

Tương tự ta cũng gọi các đa thức ( )Q  và R( ) lần lượt là đa thức thương trái và đa thức dư trái của phép chia A () cho B() nếu

A( ) B( ) ( ) Q  R( ) (6)

và bậc của ( )R  nhỏ hơn bậc của B()

Người đọc nên chú ý rằng trong phép chia phải (nghĩa là khi ta tìm được đa thức thương phải và đa thức dư phải) thì đa thức chia B() nhân với đa thức thương phải Q() ở bên phải Phép chia trái thì đa thức chia B( ) nhân với đa thức thương ( )Q  ở bên trái

Thông thường các đa thức ( )Q  và R( ) không trùng với Q( ) và R( )

Cả hai phép chia phải và phép chia trái của các đa thức ma trận cùng cấp luôn luôn tồn tại và duy nhất, với điều kiện đa thức chia là đa thức chính quy

Xét một phép chia phải của A() cho B()

Nếu m p có thể xem Q()=0 và R()=A()

Nếu m p áp dụng kỹ thuật thông thường của phép chia một đa thức cho một đa thức để tìm đa thức thương Q() và đa thức dư R() Chia số hạng cao nhất A0m của đa thức bị chia cho số hạng cao nhất B0p của đa thức chia ta thu được số hạng cao nhất của đa thức thương là 1

R  nhỏ hơn bậc của B() (nghĩa là nhỏ hơn p)

Lấy (12) trừ đi (11) vế theo vế ta được

Nếu ta có Q( ) Q*( )  không đồng nhất O thì bậc của vế trái (13) bằng

Vì  là một đại lượng vô hướng nên cả hai cách viết cho kết quả như nhau

Tuy nhiên, nếu ta thay thế đối số bằng một ma trận vuông A có cấp n thì

kết quả của phép thế trong (14) và (15) nhìn chung sẽ khác nhau

Vì các lũy thừa của ma trận A không nhất thiết phải giao hoán với các hệ số của ma trận F F F 0, 1, m

Chia F( ) cho nhị thức E A Trong trường hợp này, đa thức dư phải và

đa thức dư trái không phụ thuộc vào .Để xác định đa thức dư phải, ta sử dụng kỹ

thuật chia thông thường sau

R F A( )

 

 (19) Điều này chứng minh định lí sau

Định lí 1 (Định lí Bezout tổng quát)

Khi chia đa thức ma trận ( )F  cho nhị thức (EA).Đa thức ( )F  chia

hết cho nhị thức (EA) bên phải (bên trái) khi và chỉ khi ( )F A 0( ( )F A 0

A a và cho f( ) là một đa thức phụ thuộc vào  Khi

đó ( )F   f( ) E f A( ) chia hết cho (EA) cả bên phải và bên trái Điều này được suy ra từ định lí Bezout tổng quát, bởi vì trong trường hợp này ( )F A = ( ) F A



=0

1 4 Đa thức đặc trưng Ma trận liên hợp

SVTH: Thái Thị Bảo An Trang 10

Xét một ma trận  1n

ik

A a

Ma trận đặc trưng EA(E- ma trận đơn vị cùng cấp với A)

Đa thức đặc trưng của A là ( ) |  E A| |ik a ik |1n

Ma trận B( ) b ki( ) n x n

( )

ki

b  được gọi là phần bù đại số của ik a ik

Định thức ( ) |  ik a ik n x n | với 1 êu i=k

32 32 11 32 12 31 2

Định lý 2 (Hamilton – Cayley) Mỗi ma trận vuông A đều thỏa mãn đa thức đặc trưng của nó, nghĩa là

 các giá trị đặc trưng của A

Cho g( ) là một đa thức vô hướng bất kỳ (xét trong trường F) Ta muốn tìm các giá trị đặc trưng của g(A) ta làm như sau

i i

Ta thay đa thức ( )g  bởi g( ) Ta có

Eg A( ) g( )1 g(2)  g(n) (26)

Định lý 3 g( ), (1 g 2), , (g n) là các giá trị đặc trưng của g(A) Lấy

( ) k

g   Nếu ispec A( ) suy ra i kspec A( k)(i1, )n Cụ thể là nếu A có các

giá trị đặc trưng  1, 2, ,n khi đó k

1 1

Nếu ta biết được hệ số của đa thức đặc trưng, khi đó ma trận liên hợp được tính bằng công thức ( )B   ( E A, )

Nếu ma trận A không suy biến thì ma trận nghịch đảo

 là một giá trị đặc trưng của A, thì các cột 0 của

ma trận B(0) là vectơ đặc trưng của A tương ứng với   0

B B

Cột đầu tiên của ma trận B(+1) cho vectơ đặc trưng là (+1,+1,0)

Cột đầu tiên của ma trận B(+2) cho vectơ đặc trưng là (0,+1,+1)

1 5 Đa thức cực tiểu của một ma trận

Định nghĩa 1 Một đa thức vô hướng ( )f  được gọi là một đa thức triệt tiêu

của một ma trận vuông A nếu f A( )O

Đa thức triệt tiêu ( )  được gọi là đa thức cực tiểu của ma trận vuông A

nếu ( )  có bậc thấp nhất với hệ số của lũy thừa cao bậc nhất là 1

Theo định lý Haminlton – Cayley đa thức đặc trưng là một đa thức triệt tiêu của A (vì ( )A 0) Tuy nhiên nhìn chung nó không phải là đa thức cực tiểu

Cho f( ) là một đa thức triệt tiêu bất kỳ của A Thực hiện phép chia ( )f 

Theo định nghĩa của đa thức triệt tiêu deg( ( )) deg( ( ))   r  Nhưng

deg( ( )r  )<deg( ( )  ) (vô lý)

Vậy ( )r A 0

Do đó Mọi ( )  là đa thức triệt tiêu của A

Ta có ( )  / ( )f 

Chứng minh tính duy nhất của ( ) 

Giả sử  1( ) và  2( ) là hai đa thức cực tiểu của ma trậnA Theo trên, ta

Do đó, cho trước ma trận A luôn có duy nhất đa thức cực tiểu

Ta đưa ra công thức liên hệ giữa đa thức cực tiểu và đa thức đặc trưng:

Ký hiệu D n1( ) là ƯCLN của các định thức con cấp n-1 của ma trận đặc

Do đó D n1( ) /( )

Đặt

1

( )( )

( )

n D

Vậy ( )  là một đa thức triệt tiêu của A

Ta chứng minh ( )  là đa thức cực tiểu của A

Do đó ( )  là ước chung của tất cả các phần tử của ma trận đa thức C( )

Mặt khác, ƯCLN của tất cả các phần tử của ma trận C( ) là 1 vì

1

( )( )

( )

n

B C

( )

n D

Do đó tất cả các nghiệm của ( )  và ( )  là như nhau Hay tất cả các giá

trị đặc trưng của A đều là nghiệm của ( ) 

Tất cả thành phần của ma trận B( ) chia hết cho D2( )   2 Từ đó ta có

  ; D2(2)0 Từ định thức con được tính toán của bậc đầu tiên không thể chia hết cho (2)2 Vì vậy

D   

Khi đó

CHƯƠNG 2

HÀM MA TRẬN

2 1 Định nghĩa hàm ma trận

Cho A   aik1n là một ma trận vuông và f( )  là một hàm bất kỳ với đối số 

.Bây giờ ta định nghĩa f(A) Nếu

d   

Quy nạp ta được (2) suy ra (4)

Nếu các giá trị (5) tồn tại thì ta nói rằng hàm ( )f  xác định trên phổ của ma

Khi đó, khai triển Taylor của ( )d  , ta có

k k

d d

Trong (**) thay  bởi A Ta có d(A)=g(A)-h(A)

Mà ( )d  là đa thức triệt tiêu của A

Suy ra d(A)=0

Hay g(A)=h(A)

Vậy từ (4) suy ra (2)

Kết hợp chứng minh từ (2) suy ra (4) ta có (2) tương đương (4)

Do đó, cho trước ma trận A,thì các giá trị của (g A) trên phổ của ma trận A

xác định hoàn toàn bởi ma trận g(A) Điều này có nghĩa là với mọi đa thức h sao cho (g   A) h( A)thì g(A)=h(A)

Nguyên lý để định nghĩa f(A) (f A) xác định hoàn toàn f(A) Tức là mọi

hàm  sao cho f(  A) ( A) ta có f A( )( )A ( f ,có cùng giá trị trên phổ

Trong tất cả các đa thức cùng có hệ số phức tạp được xác định trên phổ của A tồn

tại duy nhất đa thức ( )r  có bậc nhỏ hơn m sao cho (r  A) f(A)

Đa thức ( )r  xác định duy nhất bởi điều kiện nội suy

Để f(A) xác định thì ( )f  xác định trên spec(A)

Nếu ( )  có nghiệm bội, chẳng hạn như

f f

Chú ý rằng J 0EH vì vậy J 0E H Đa thức cực tiểu của J rõ ràng

là (  0)n Đa thức nội suy ( )r  của ( )f  được cho bởi công thức

f f

Hai ma trận giống nhau thì có đa thức cực tiểu như nhau Vì vậy f( ) được

thừa nhận có giá trị giống nhau trên phổ của A và B Do đó, đa thức nội suy ( )r 

tồn tại khi f(A)=r(A) và f(B)=r(B) Khi đó, từ phương trình

f(A) có nghĩa nếu hàm ( )f  xác định tại  1, 2, ,n

Ví dụ 2 Cho J là một ma trận tựa đường chéo có dạng như sau

u u J

1

1 1

1

( 1) '

f

v f

f f

v f

Ở đây, tất cả thành phần của đường chéo chính phải 0

2.2 Đa thức nội suy Lagrange – Sylvester

Xét trường hợp phương trình đặc trưng E A 0không có nghiệm bội

Nghiệm của phương trình này – giá trị đặc trưng của ma trận A được ký hiệu bởi

( )( )

( 1, 2, , ; 1, 2, , )( 1)! ( )

k

j k

1 1

bất kỳ thì giao hoán và tất cả chúng đều giao hoán với ma trận A Công thức (17) đối với f(A) đặc biệt thuận tiện khi sử dụng

Ví dụ kết thúc bài 2, khi  ( )(  1) (2   2)3, ta viết ( )r  dưới dạng :

Khi ma trận A cho trước thì các thành phần của nó thực sự được tìm thấy

bằng cách đặt công thức cơ bản (17) đối với hàm phụ

1( )

k

m k

( )

( 1, 2, , ; 1, 2, , )( 1)!( )! ( )

Bây giờ ta sử dụng biểu diễn ( )C  ở trên, tính toán Z11,Z12,Z và thay thế 21

kết quả thu được vào (24) ta được

Phương pháp thứ 2, ta sử dụng công thức (21) và biểu diễn các ma trận thành phần Z trong (17) bởi giá trị của ma trận liên hợp thu gọn ( ) kj C  trên phổ của A

Phương pháp (3) bắt đầu từ công thức cơ bản (17) và thay thế liên tiếp các đa thức đơn giản vào f( ) Từ các phương trình tuyến tính ta xác định được các ma

trận thành phần Z kj.Phương pháp 3 có lẽ là phương pháp thuận tiện nhất cho việc thực hành

Ta đề cập đến lũy thừa của ma trận

n

A rất thuận tiện bởi công thức (17)

bằng cách đặt f( ) tương đương với n

Đa thức tối tiểu của ma trận là  ( )(1)2

Theo công thức cơ bản f A( ) f(1)Z1 f'(1)Z2

Thay ( )f  liên tiếp bởi 1 và 1, ta thu được :

2.4 Biểu diễn hàm ma trận bởi chuỗi

Cho A a ik n x n là một ma trận có đa thức cực tiểu

( 1) '

lim ( ), lim ( ), , lim m k ( ) ( 1, 2, , )

biểu diễn f(A) theo ( )f  trên spec(A)

Nếu ta xem ma trận cỡ n x n là một vectơ trong không gian

2

n

R

Khi đó f(A) là tổ hợp tuyến tính của các ma trận Z và tất cả các f(A) tạo thành 1 kj

không gian con của không gian vectơ

Dãy ma trận f p( )A hội tụ khi p tới 1 giới hạn nào đó khi và chỉ khi dãy

hàm f p( ) hội tụ khi p  trên spec(A) đến 1 giới hạn nào đó, tức là :

  (28) Chứng minh

Nếu lim p( A)

p f

  tồn tại, tức là m giới hạn

( 1) '

lim ( ), lim ( ), , lim m k ( ) ( 1, 2, , )

( 1) '

R có tọa độ là m giá trị ( ) f p  trên spec(A)

Như vậy do lim p( )

Chuỗi 0

( )

p p

u 





 hội tụ trên spec(A)

R

   có tổng là

0 0

Định lý 2 Nếu hàm ( )f  có thể khai triển thành 1 chuỗi hàm lũy thừa trong hình tròn

Trong định lý này ta có thể cho phép các giá trị đặc trưng A rơi vào biên của miền hội tụ (  0)nhưng ta phải giả thiết thêm là chuỗi (33) được đạo hàm 1

(2 )!

p p p

(2 1)!

p p p

A A

A A

Đặt G u u( ,1 2, ,u là đa thức với các hệ số u n) 1,u2,…,ul

dx A.x

dt  (39) Đạo hàm của ma trận có được bằng cách thay thế tất cả các thành phần bởi

Bằng việc thay vào (39) , ta có (43) là kết quả khác của (39)

Thật vậy xe x At 0là nghiệm của (39) thỏa mãn x t0 x0

Ta có

với x10,x20, ,x là các hằng số từ giá trị ban đầu chưa biết n0 x x1, 2, ,x n

Vì vậy, hệ phương trình vi phân tuyến tính hạn chế được việc tính toán các thành phần của ma trận At

2

dx

x x x dt

dx

dt dx

x x x dt

Hệ số của ma trận là

0 0 0 0( 2 ) 1 1 0 0

dx Ax f t( )

dt  

(48)Thay x bởi cột z là hàm chưa biêt liên kết với x bằng mối quan hệ: