Môđun bất biến qua các đồng cấu lũy đẳng

Không chỉ đề xuất khái niệm môđun tựa xạ, các tác giả trên còn đưa ra được một đặc trưng quan trọng của môđun tựa xạ liên quan đến tính chất bất biến, đó là môđun M là tựa nội xạ khi và

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN 2

MỞ ĐẦU 3

1 Lý do chọn đề tài và lịch sử vấn đề: 3

2 Mục đích nghiên cứu: 5

3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu: 5

4 Phương pháp nghiên cứu: 6

5 Đóng góp của luận văn: 6

CHƯƠNG 1 7

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 7

1.1 Định nghĩa môđun 7

1.2 Môđun con và môđun thương 9

1.3 Giao và tổng các môđun con .10

1.4 Đồng cấu môđun 16

1.5 Các định lý đồng cấu và đẳng cấu .21

CHƯƠNG 2 24

MÔĐUN BẤT BIẾN QUA CÁC ĐỒNG CẤU LŨY ĐẲNG 24

2.1 Định nghĩa và ví dụ 24

2.2 Một số kết quả .25

KẾT LUẬN 31

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 33

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp toán học của em với đề tài: “Môđun bất biến qua các đẳng cấu lũy đẳng ” là kết quả của quá trình cố gắng không ngừng của bản thân và được sự giúp đỡ, động viên khích lệ của các giảng viên, bạn bè và người thân Qua trang viết này em xin gửi lời cảm ơn tới những người đã giúp đỡ em trong thời gian học tập – nghiên cứu khóa luận vừa qua Em xin tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo PGS TS Trương Công Quỳnh đã trực tiếp tận tình hướng dẫn cũng như cung cấp tài liệu, thông tin khoa học cần thiết cho khóa luận này Xin chân thành cảm ơn lãnh đạo trường Đại học sư phạm –Đại học Đà Nẵng, khoa toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt công việc nghiên cứu làm khóa luận của mình Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn các bạn sinh viên trong khoa Toán đã nhiệt tình giúp đỡ em trong quá trình học tập tại lớp

Khamphone syvixay

NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

, , , Tập số tự nhiên, số tự nhiên khác không, số nguyên,

số hữu tỉ (theo thứ tự )

Mod –R Phạm trù các R- môđun phải

E(M) Bao nội xạ của M

A M A là môđun con cốt yếu của M

A M A Là hạn tự trực tiếp của M

End (M) Vành các tự đồng cấu của môđun M

Aut(M) Nhóm các tự đẳng cấu của môđun M

(m) Linh hóa tử phải của m trong R

Ker (f) Hạt nhân của đồng cấu f

Im ( f ) Ảnh của đồng cấu f

(M) Vành gồm các ma trận vuông cấp n trên vành R

Soc (M) Đế của môđun M

Rad(M), J(R) Căn của môđun M và căn của vành R (theo thứ tự)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài và lịch sử vấn đề:

Cho M là một R- môđun Một môđun con K của M được gọi là bất biết trong M

nếu ƒ(K) K với mọi đồng cấu ƒ của End(M) Trong lý thuyết môđun, khái niệm

môđun nội xạ là một trong những khái niệm có ý nghĩa sâu sắc nhất, khái niệm này

được Baer đề xuất vào năm 1940 Theo đó, một môđun M được gọi là N - nội

xạ nếu với môđun con A của N thì mọi đồng cấu ƒ: A M đều mở rộng được đến

môđun N Năm1961, trong [4], các tác giả Johnson và Wong đã nghiên cứu một trường hợp tổng quát của môđun nội xạ, đó là môđun tựa nội xạ Môđun M được

gọi là tựa xạ nếu M là M - nội xạ Không chỉ đề xuất khái niệm môđun tựa xạ, các

tác giả trên còn đưa ra được một đặc trưng quan trọng của môđun tựa xạ liên quan

đến tính chất bất biến, đó là môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi nó bất biến trong bao nội xạ E(M) của nó Trong [1], các tác giả Camillo, Khurana, Lam,

Nicholson và Zhou đã chứng minh được rằng, vành các từ đồng cấu của một

môđun nội xạ là vành clean, tức là mỗi phần tử của nó là tổng của một phần tử lũy đẳng và một phần tử đồng cấu

Do vậy, một môđun là tựa nội xạ khi và chỉ khi nó bất biến qua các đẳng cấu

và bất biến qua các đồng cấu lũy đẳng của bao nội xạ của nó Một câu hỏi được đặt

ra ở đây là: nếu một môđun là bất biết qua các đẳng cấu học và bất biến qua các

đồng cấu lũy đẳng của bao nội xạ của nó thì nó có những đặc trưng gì Trong

những năm 70 của thế kỷ trước, các tác giả Jeremy, Takeuchi, Mohamed và Bouhy

là A và B thỏa mãn A B = 0 thì A + B cũng là hạng tử trực tiếp của M Môđun M

1974, trong [3], Jeremy đã chứng minh đƣợc rằng, môđun M là tựa liên tục khi và chỉ khi nó bất biến qua các đồng cấu lũy đẳng của bao nội xạ E(M) của nó Vào

năm 2013, trong [5], các tác giả T K Lee và Y Zhou đã xem xét lớp môđun bất biến qua các đồng cấu lũy đẳng của bao nội xạ của nó Đó là môđun bất biến đẳng cấu Lớp môđun này đã đƣợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu từ năm 2013 cho đến nay Đặc biệt, các tác giả Er, Singh và Srivastava đã chứng minh rằng lớp môđun bất biến đẳng cấu và lớp môđun giả nội xạ là trùng nhau Việc nghiên cứu

một môđun con của môđun M bất biến qua các đồng cấu lũy đẳng của vành các tự đồng cấu End(M) đã đƣợc Fuchs xem xét lần đầu tiên vào năm 1970 Theo đó, một môđun con N của M đƣợc gọi là bất biến qua các đồng cấu lũy đẳng nếu ƒ(N)

N với mọi phần tử lũy đẳng của End(M) Hiển nhiên ta có, nếu N là môđun con bất biến trong M thì N là bất biến qua các đồng cấu lũy đẳng Trong [ 7,

Example4.99 ], các tác giả A Tercan và C Yucel đã đƣa ra các ví dụ để chứng tỏ

tồn tại một môđun con N của M là bất biến qua các đồng cấu lũy đẳng nhƣng N không là môđun con bất biến trong M Từ năm 1970 cho đến nay, việc nghiên cứu

các môđun con bất biến qua các đồng cấu lũy đẳng là không nhiều, một số ít kết quả nổi bật về môđun này đã đƣợc các tác giả A Tercan và C Yucel nêu ra trong

[7], chẳng hạn, nếu M là môđun nội xạ thì tất cả các môđun con bất biến của M là tựa nội xạ và tất cả các môđun bất biến qua các đồng cấu lũy đẳng của M là tựa liên tục

Theo Jeremy một môđun là tựa liên tục nếu và chỉ nếu nó là bất biến qua các tự đồng cấu lũy đẳng của bao nội xạ của nó Vì vậy các tác giả Lee và Zhou đã đƣa

ra và nghiên cứu khái niệm môđun bất biến đẳng cấu nghĩa là một môđun bất biến đẳng cấu là nếu nó bất biến qua các tự đẳng cấu của bao nội xạ của nó Ở đây, họ

bất biến đẳng cấu là tựa nội xạ hay nội xạ Trước hết họ đặc trưng các lớp môđun,

chẳng hạn một môđun M là bất biến đẳng cấu nếu và chỉ nếu một đẳng cấu giữa hai môđun con cốt yếu của M mở rộng đến tự đẳng cấu (hay tự đồng cấu) của M Tiếp

theo họ chứng minh rằng tổng trực tiếp môđun là bất biến đẳng cấu dẫn đến

M, N nội xạ lẫn nhau Do đó một môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M N là

bất biến đẳng cấu và một môđun M là nửa đơn nếu và chỉ nếu một môđun 2- sinh

trong [ ] là bất biến đẳng cấu

Tác giả Dinh Quang Hải đã chứng minh rằng mọi môđun giả nội xạ thỏa mãn

( ) Ở đây, các tác giả đã chứng tỏ được rằng mọi môđun bất biến đẳng cấu thỏa

Đây là mở rộng kết quả của Ganesan và Vanaja Boyle và Goodearl đã chứng tỏ rằng mọi môđun tựa nội xạ không suy biến trên vành Gldie phải nửa nguyên tố là nội xạ.Trên vành Goldei phải nửa nguyên tố tất cả môđun bất biến đẳng cấu không suy biến là nội xạ Mọi môđun giả nội xạ không suy biến trên vành Goldie phải nguyên tố là nội xạ, đây là mở rộng kết qủa của Jain và Singh Tiếp tục nghiên cứu các lớp môđun này các tác giả Kosan, Quỳnh và Srivastava đã nghiên cứu các vành

mà mỗi iđêan phải là bất biến đẳng cấu Với mong tìm hiểu những kết quả của môđun bất biến đẳng cấu, các vành và idêan bất biến đẳng cấu, chúng tôi đã chọn

đề tài: “ MÔĐUN BẤT BIẾN QUA CÁC ĐỒNG CẤU LŨY ĐẲNG ” cho luận

văn của mình để nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu:

Với mong muốn tìm hiểu những kết quả của môđun bất biến đẳng cấu, các vành và iđêan bất biến đẳng cấu, chúng tôi đã chọn đề tài: “ MÔĐUN BẤT BIẾN QUA CÁC ĐỒNG CẤU LŨY ĐẲNG ” cho luận văn của mình để nghiên cứu với

hy vọng tìm ra những kết quả hay cho đề tài

3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu:

Môđun bất biến đẳng cấu trong phạm trù Mod – R

4 Phương pháp nghiên cứu:

Dựa vào phạm trù Mod - R để nghiên cứu các kết quả liên quan của bài báo

5 Đóng góp của luận văn:

Làm tài liệu tham khảo cho một số học viên liên quan đến phần học vành và môđun chúng tôi cũng hy vọng tìm ra một số tính chất nhỏ mở rộng những kết quả

đã có

CHƯƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Trong chương trình này chúng tôi giới thiệu một số định nghĩa và tính chất cơ

bản liên quan đến một nội dung đề tài Trong suất luận văn này, ta xét vành R là vành kết hợp có đơn vị, ký hiệu là 1 và tất cả các môđun xét trên vành R đều là

R- môđun phải unita Sau đây là một số khái niệm và kết quả tiêu biểu

(iii) quy tắc unita: m1= m

Lúc đó R được gọi là vành cơ sở Nếu M là một R - môđun phải ta thường kí

thỏa mãn các điều kiện sau:

(a) M là R - môđun phải và M là S - môđun trái

(b) Ta phải có (sx)r = s(xr), ( r R, s S, x M )

Từ định nghĩa ta suy ra ngay các kết quả sau:

Mệnh đề 1.1.1 Cho M R Lúc đó ta có: = , m = ,

−(mr) = (−m)r = m(−r) với mọi m M, r R

Ví dụ 1.1.2

(1) Không gian véctơ chính là một môđun trên một trường R

(2) Mọi nhóm aben cộng đều có thể xem như là một - môđun Ngược lại, mọi - môđun đều thu được từ nhóm aben cộng

(3) Vành R có thể được xem như là môđun phải (trái) trên chính nó Nhờ

trường hợp này người ta có thể nghiên cứu nhiều tính chất của vành thông qua môđun trên vành đó

(4) Xét R là vành giao hoán có đơn vị Lúc đó vành R[x] các đa thức ẩn x lấy

hệ tử trong R Xét R[x] với phép cộng thông thường cùng với phép nhân môđun

xác định như sau:

với mọi r R, mọi a 0 , a 1 , ., a n R Lúc đó có thể dễ dàng kiểm tra được R[x] là một R - môđun

(5) Giả sử R= là trường các số thực, M là tập hợp các véctơ thông thường

có gốc tại một điểm 0 của không gian thông thường Ta định nghĩa tổng của hai véctơ bằng quy tắc hình bình hành, và tích của một véctơ ⃗ gốc 0 với một số thực r

là véctơ vị tự của ⃗ trong phép vị tự tâm 0 tỉ số r Ta dễ dàng chứng minh được M

cùng với phép cộng và phép nhân ở trên là một R - môđun

f + g: X M

x f(x) + g(x)

và tích của một phần tử f N với một phần tử r R là ánh xạ

fr: X M

x f(x)r

Khi đó N cùng với hai phép toán trên là R - môđun phải

Ta sẽ sử dụng nhiều đến bổ đề sau trong nhiều chứng minh của lý thuyết vành

và môđun Bổ đề sau tương đương với Tiên đề chọn

Bổ đề 1.1.3 (Bổ đề Zorn) Giả sử A là tập sắp thứ tự Nếu mỗi tập con sắp thứ tự

toàn phần của A đều có cận trên trong A, thì A có phần tử cực đại

1.2 Môđun con và môđun thương

Định nghĩa 1.2.1 Cho M là R - môđun phải Tập con A của M được gọi là môđun

cộng và nhân môđun hạn chế trên A

Chú ý rằng kí hiệu A ≤ M để phân biệt với kí hiệu có tính tập hợp thuần tuý

A ⊂ M Ngoài ra nếu ta viết A < M có nghĩa là A là môđun con thực sự của M

con

Định lý 1.2.2 Giả sử M là một R - môđun phải Nếu A là tập con khác rỗng của M,

thì các điều kiện sau là tương đương:

i) A ≤ M

ar A

(ii) (iii): hiển nhiên

a 1 , a 2 A chọn r = -1

ra 2 A - a 2 A

a1 + ra 2 A a 1 – a 2 A

(ii) đúng

Vậy: (i) (ii) (iii)

Một nhận xét thú vị là: vì vành được xét như là R - môđun phải (trái), nên ta

Ví dụ 1.2.3

(1) Mỗi môđun M đều có hai môđun con tầm thường là {0} (ta sẽ chỉ kí hiệu là 0) và M, trong đó 0 là môđun chỉ có một phần tử là phần tử không của môđun M

R: = { r |r R} là môđun con của M

(3) Cho M là không gian véctơ trên trường K Lúc đó các môđun con chính là

các không gian véctơ con

1.3 Giao và tổng các môđun con

Bổ đề 1.3.1 Cho Γ là một tập nào đó các môđun con của M Khi đó

⋂ = {m M/ A Γ m A} là một môđun con của M

⋂ = M

Hệ quả 1.3.2 ⋂ là môđun con lớn nhất trong M chứa trong tất cả A Γ

Chứng minh Hệ quả 1.3.2: Giả sử tồn tại B là môđun con của M mà

A= {{∑ }

là môđun con của M

∑ , r ∑ A

Vậy theo Định lý 1.2.2 ta có A M

Định nghĩa 1.3.4 Môđun A xác định nhờ Bổ đề 1.3.3 đƣợc gọi là môđun con

cuả M sinh ra bởi tập X và kí hiệu là |X)

Định lý 1.3.5 |X) là môđun con bé nhất của M chứa X và |X) = C trong đó

C ≤ M và X⊂ C

Nếu X khác thì giả sử tồn tại B ≤ M mà ⊂ B ⊂

(1), (2) C = |X) trong đó C M

Định nghĩa 1.3.6 Cho là R - môđun phải

(1) Tập con X cuả M được gọi là hệ sinh đối với M nếu |X) = M

(2) Môđun M (hay iđêan phải, trái) được gọi là hữu hạn sinh nếu đối với M tồn tại

hệ sinh gồm hữu hạn phần tử

(3) Môđun M (hay iđean phải, trái) được gọi là cyclic (iđean phải chính, iđean trái

chính) nếu nó được sinh bởi một phần tử

(4) Tập con X cuả môđun M được gọi là độc lập nếu đối với mỗi tập con hữu hạn

{ , , }⊂ X mà với i j (i, j=1, ,m) thì ∑

(5) Tập con X cuả môđun M được gọi là cơ sở đối với M nếu nó là hệ sinh đối với

M và độc lập

Ví dụ 1.3.7

(1) Mỗi môđun M có một hệ sinh tầm thường chính là M

kết quả sau:

X Nếu rút nhiều phần tử thì ta chứng minh bằng quy nạp

= +∑

X \ {x 0} cũng là hệ sinh của Từ đây, ta suy ra có hệ sinh vô hạn, vì nếu không, theo nhƣ kết quả trên, sau một số lần rút các phần tử ra khỏi hệ sinh, hệ

Chú ý rằng hợp của các môđun con nói chung không phải là môđun con (vì hợp của các nhóm con không phải là một nhóm con) Tuy nhiên dễ dàng suy ra đƣợc

Bổ đề sau:

Bổ đề 1.3.8 Giả sử Λ = { |i I} là tập nào đó các môđun con ≤ Khi đó

Nghĩa là, khi Λ thì môđun |⋃ ) trùng với tập tất cả tổng hữu hạn

Định nghĩa 1.3.9 Nếu Λ = { |i I} là tập tuỳ ý các môđun con nào đó của M

Ngoài ra kể cả trong trường hợp Λ là tập vô hạn thì sự biểu diễn ở trong Bổ đề

Định nghĩa 1.3.10

là M 0 và M chỉ có hai môđun con là 0 và M

(4) Tương tự, môđun con A ≤ M được gọi là môđun con cực đại (maximal) của

Bổ đề 1.3.11 đơn khi và chỉ khi M 0 và m 0, m M ta có: M = mR

M = aR ≤ A ≤ M A=M

Định nghĩa 1.3.12 Cho là R - môđun phải hữu hạn sinh khác không Lúc đó mọi môđun con thực sự của M đều chứa trong một môđun con cực đại Đặc biệt, M

có một môđun con cực đại

tập = {B|A ≤ B < M}

sắp thứ tự toàn phần có cận trên trong Γ

Đặt C = ⋃

dụng Bổ đề Zorn, trong tồn tại phần tử cực đại D nào đó Ta chứng minh rằng D

đại của D trong ta có D = L Khi cho A = 0, ta có kết luận cuối cùng

thương của nó M / N là một nhóm aben hoàn toàn xác định (theo phần lý thuyết nhóm) Các phần tử của nó là các lớp ghép x + N của N trong M và phép toán cộng trong M / N là

(x + N) + (y + N) = x + y + N

Ta còn phải đi xác định phép nhân môđun để M / N trở thành R - môdun phải

Định lý 1.3.13 Cho và N ≤ M

môđun

(ii) Nhóm aben M/N cùng với phép nhân môđun này trở thành một R - môđun phải

Chứng minh: (i) Ta chứng minh qui tắc đó là một ánh xạ Thật vậy, cho

x + N = x’+ N

(ii) Kiểm tra dựa vào định nghĩa

Định nghĩa 1.3.14 M / N xác định như trong Định lý 1.3.13 được gọi là môđun

thương của môđun M trên môđun con N của nó

Nhận xét 1.3.15 Khi cho I là iđêan phải của R thì lúc đó R/I chỉ trở thành một

R- môđun phải Nhưng khi cho I là iđêan hai phía thì R/I vừa là R- môđun phải và

trái, vừa là R/I- môđun phải và trái