Môđun bất biến đẳng cầu

Theo kết quả của Camillo,Khurana, Lam, Nicholson và Zhou vành tự đồng cấu của một môđun nội xạ là vành clean tức là một vành mà mọi phần tử là tổng của phần tửlũy đẳng và phần tử khả ngh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG



TRẦN THỊ MINH HÀ

MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - Năm 2017

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG



TRẦN THỊ MINH HÀ

MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH

Đà Nẵng – Năm 2017

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từngđược ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả

Trần Thị Minh Hà

Luận văn thạc sĩ toán học chuyên ngành Đại số và lý thuyết sốvới đề tài “Môđun bất biến đẳng cấu” là kết quả của quá trình cố gắngkhông ngừng của bản thân và được sự giúp đỡ, động viên khích lệ củacác thầy, bạn bè và người thân Qua trang viết này tôi xin gửi lời cảm

ơn tới những người đã giúp đỡ tôi trong thời gian học tập - nghiên cứukhóa học vừa qua Tôi xin tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối vớithầy giáo TS Trương Công Quỳnh đã trực tiếp tận tình hướng dẫn cũngnhư cung cấp tài liệu thông tin khoa học cần thiết cho luận văn này.Xin chân thành cảm ơn lãnh đạo trường Đại học Sư phạm - Đại học

Đà Nẵng, khoa Toán đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tốt công việcnghiên cứu làm luận văn của mình Cuối cùng tôi xin chân thành cảm

ơn các anh chị trong lớp Đại số và lý thuyết số K31 đã nhiệt tình giúp

đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp và thực hiện Luận văn

Trần Thị Minh Hà

N,N∗,Z,Q Tập số tự nhiên, số tự nhiên khác không, số nguyên,

số hữu tỉ (theo thứ tự)

M od − R Phạm trù các R-môđun phải

A ∼= B Môđun A đẳng cấu với môđun B

A ⊕ B Tổng trực tiếp của hai môđun A và B

L

α∈I

Mα Tổng trực tiếp của một họ các môđun Mα

E(M ) Bao nội xạ của M

N ≤ M (N < M ) Môđun con (con thực sự)của M

A ≤e M A là môđun con cốt yếu của M

A ≤⊕ M A là hạng tử trực tiếp của M

End(M ) Vành các tự đồng cấu của môđun M

Aut(M ) Nhóm các tự đẳng cấu của môđun M

Z(M ) Môđun con suy biến của môđun M

Z2(M ) Môđun con suy biến cấp hai của môđun M

ZM(N ) Môđun con M -suy biến của môđun N

annR(m) Linh hóa tử phải của m trong R

Ker(f ) Hạt nhân của đồng cấu f

Im(f ) Ảnh của đồng cấu f

Mn(R) Vành gồm các ma trận vuông cấp n trên vành RSoc(M ) Đế của môđun M

Rad(M ), J (R) Căn của môđun M và căn của vành R (theo thứ tự)

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Kiến thức cơ bản về môđun 3

1.2 Môđun con cốt yếu, môđun đều, môđun con đóng 3

1.3 Môđun nội xạ 5

1.4 Môđun nửa đơn 6

1.5 Môđun CS 8

1.6 Môđun suy biến 8

1.7 Môđun chính phương 9

1.8 Các lớp vành 9

1.9 Các định lý, mệnh đề liên quan 12

CHƯƠNG 2 MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU 14

2.1 Một số định nghĩa 14

2.2 Tính chất 14

2.3 Định lý về sự phân tích môđun bất biến đẳng cấu 22

2.4 Vành bất biến đẳng cấu không suy biến 25

2.5 Vành mà môđun xyclic là bất biến đẳng cấu 27

2.6 Môđun bất biến đẳng cấu là giả nội xạ 29

CHƯƠNG 3 VÀNH MÀ CÁC IĐÊAN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU 32

3.1 Một số định nghĩa 32

3.2 Ví dụ 32

3.3 Các tính chất của a-vành 33

3.4 Các lớp đặc biệt của a-vành phải 37

TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

MỞ ĐẦU

1 Lý do lựa chọn đề tài và lịch sử vấn đề

Như chúng ta đã biết một môđun là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu nó bấtbiến qua tự đồng cấu của bao nội xạ của nó Theo kết quả của Camillo,Khurana, Lam, Nicholson và Zhou vành tự đồng cấu của một môđun nội

xạ là vành clean tức là một vành mà mọi phần tử là tổng của phần tửlũy đẳng và phần tử khả nghịch Vì vậy, một môđun là tựa nội xạ nếu

và chỉ nếu nó bất biến qua tự đẳng cấu và tự đồng cấu lũy đẳng củabao nội xạ của nó Theo Jeremy một môđun là tựa liên tục nếu và chỉnếu nó bất biến qua tự đồng cấu lũy đẳng của bao nội xạ của nó Vìvậy, các tác giả Lee và Zhou đã đưa ra và nghiên cứu khái niệm môđunbất biến đẳng cấu nghĩa là một môđun bất biến đẳng cấu nếu nó bấtbiến qua các tự đẳng cấu của bao nội xạ của nó Ở đây, họ phát triểncác tính chất cơ bản của các lớp môđun và xem xét khi nào một môđunbất biến đẳng cấu là tựa nội xạ hay nội xạ Trước hết họ đặc trưng cáclớp môđun, chẳng hạn một môđun M là bất biến đẳng cấu nếu và chỉnếu mọi đẳng cấu giữa hai môđun con cốt yếu của M mở rộng đến tựđẳng cấu (hay tự đồng cấu) của M Tiếp theo họ chứng minh rằng tổngtrực tiếp môđun M ⊕ N là bất biến đẳng cấu dẫn đến M, N nội xạ lẫnnhau Do đó, một môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M ⊕ M là bấtbiến đẳng cấu và một môđun M là nửa đơn nếu và chỉ nếu mọi môđun2-sinh trong σ[M ] là bất biến đẳng cấu

Tác giả Đinh Quang Hải đã chứng minh rằng mọi môđun giả nội

xạ thỏa mãn (C2) Ở đây, các tác giả đã chứng tỏ được rằng mọi môđunbất biến đẳng cấu thỏa mãn (C3) Vì vậy, một môđun là tựa nội xạ nếu

và chỉ nếu nó là CS bất biến đẳng cấu Một môđun là tựa nội xạ nếu

và chỉ nếu nó là CS giả nội xạ, đây là mở rộng kết quả của Ganesan vàVanaja

Boyle và Goodearl đã chứng tỏ rằng mọi môđun tựa nội xạ khôngsuy biến trên vành Goldie phải nửa nguyên tố là nội xạ Trên vành Goldiephải nửa nguyên tố tất cả môđun bất biến đẳng cấu không suy biến lànội xạ Mọi môđun giả nội xạ không suy biến trên vành Goldie phảinguyên tố là nội xạ, đây là mở rộng kết quả của Jain và Singh Tiếp tụcnghiên cứu các lớp môđun này các tác giả Kosan, Quỳnh và Srivastava

đã nghiên cứu các vành mà mỗi iđêan phải là bất biến đẳng cấu

Với mong muốn tìm hiểu về những kết quả của môđun bất biếnđẳng cấu, các vành mà iđêan bất biến đẳng cấu, chúng tôi đã chọn đềtài: “MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU” cho luận văn thạc sĩ của mình

để nghiên cứu với hy vọng có thể tìm hiểu sâu hơn các tính chất củachúng

2 Mục đích nghiên cứu

Với mục tiêu nghiên cứu khái niệm và các tính chất của môđun bấtbiến đẳng cấu và một số lớp vành liên quan, chẳng hạn như a-vành,q-vành, vành bất biến đẳng cấu, vành Goldie phải nửa nguyên tố Đồngthời tìm các đặc trưng của vành thông qua lớp môđun bất biến đẳngcấu

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Môđun bất biến đẳng cấu trong phạm trù M od − R

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các tính chất của môđun trong phạm trù M od − R đểnghiên cứu các môđun bất biến đẳng cấu

5 Đóng góp của luận văn

Làm tài liệu tham khảo cho một số học viên cao học, cho các sinhviên toán liên quan đến học phần vành và môđun Chúng tôi cũng hyvọng tìm ra một số tính chất nhỏ mở rộng những kết quả đã có

CHƯƠNG 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số khái niệm cơ bản liênquan đến nội dung đề tài Trong suốt luận văn này, ta xét vành R làvành kết hợp có đơn vị, ký hiệu là 1 và tất cả các môđun xét trên vành

R đều là R-môđun phải Unita Sau đây là một số khái niệm và kết quảtiêu biểu

1.1 Kiến thức cơ bản về môđun

Định nghĩa 1.1.1 Môđun con A của M được gọi là môđun conthực sự nếu A không phải là môđun con tầm thường của M , nghĩa là,

A 6= 0, A 6= M

Định nghĩa 1.1.2 Môđun con A của M được gọi là môđun concực đại của M nếu A 6= M và A không thực sự chứa trong bất kỳ môđuncon thực sự nào của M

Định nghĩa 1.1.3 Cho MR và N ≤ M N được gọi là hạng tửtrực tiếp của M nếu tồn tại môđun con P của M sao cho M = N + P

1.2 Môđun con cốt yếu, môđun đều, môđun con đóng

Định nghĩa 1.2.1 Môđun con N của R-môđun M được gọi cốtyếu trong M , ký hiệu N ≤e M , nếu với mọi môđun con K của M thỏamãn N ∩ K = 0 thì K = 0 Khi đó, ta cũng nói M là mở rộng cốt yếucủa N

Môđun con N của R-môđun M được gọi là đối cốt yếu trong M , kýhiệu N  M , nếu với mọi môđun con K của M thỏa mãn N + K = Mthì K = M

Định nghĩa 1.2.2 Môđun con Rad(M ) = P

{N ≤ M : N  M }được gọi là căn của M Môđun con Soc(M ) = T

{N ≤ M : N ≤e M }được gọi là đế của M

Đối với vành R, ta có Rad(RR) = Rad(RR) Vì vậy, căn của vành

R được ký hiệu là J (R) = Rad(RR)

Định nghĩa 1.2.3 Môđun M được gọi là môđun đều nếu mọimôđun con khác không của môđun M là cốt yếu trong M

Ví dụ: (1) Q là Z-môđun đều

(2) Zp (với p là số nguyên tố) là Z-môđun đều

Định nghĩa 1.2.4 Môđun M được gọi là có chiều đều (chiềuGoldie) bằng n, ký hiệu G.dim(M ) = n hoặc u.dim(M ) = n nếu tồn tại

n môđun con đều Ui của M sao cho

n

L

i=1

Ui ≤e M Môđun 0 được quy ước

có chiều bằng 0 Các môđun có chiều bằng 0, 1, 2, được gọi là môđun

có chiều Goldie hữu hạn

Khi RR có chiều Goldie hữu hạn thì ta gọi u.dim(RR) là chiều Goldiephải của vành R, ta nói R có chiều Goldie phải hữu hạn

Ví dụ: Đặt R = Z4 ∼=

Z/4Z thì R có chiều Goldie là 1

Định nghĩa 1.2.5 Môđun con A của M được gọi là phần bù củamôđun B trong M nếu A là môđun con cực đại trong số các môđun con

C của M thỏa mãn tính chất C ∩ B = 0 và A được gọi là phần bù trong

M nếu A là phần bù của môđun con nào đó của M

Định nghĩa 1.2.6 Môđun A được gọi là bao đóng của môđun Bnếu A là mở rộng cốt yếu cực đại của B

Định nghĩa 1.2.7 Môđun con A của M được gọi là môđun conđóng nếu A không có mở rộng cốt yếu thực sự nào trong M , nghĩa là,

nếu B là môđun con của M sao cho A ≤e B thì A = B.

Mệnh đề 1.2.8 Với mọi môđun con A của môđun M luôn tồn tạimôđun con B của M sao cho A ⊕ B ≤e M

Mệnh đề 1.2.9 Cho A là môđun con của M , B là phần bù của Atrong M , thế thì:

(3) Nếu A là môđun con đóng trong X và X đóng trong M thì A

là môđun con đóng trong M

1.3 Môđun nội xạ

Định nghĩa 1.3.1

(1) Môđun M là R-môđun phải, M được gọi là N -nội xạ nếu vớimỗi môđun con X của N thì mọi đồng cấu f : X −→ M đều mở rộngđến đồng cấu g : N −→ M

(2) Môđun M được gọi là nội xạ nếu M là N -nội xạ với mọi Nthuộc M od − R

(3) M, N được gọi là nội xạ lẫn nhau nếu N là M -nội xạ và M là

N -nội xạ

(4) M được gọi là tựa nội xạ hay tự nội xạ nếu M là M -nội xạ.Định nghĩa 1.3.2 M được gọi là giả nội xạ nếu mọi đơn cấu từmôđun con của M đến M mở rộng đến tự đồng cấu của M

M được gọi là giả nội xạ cốt yếu nếu mọi đồng cấu từ môđun concốt yếu của M đến M mở rộng đến tự đồng cấu của M

Định nghĩa 1.3.3 Cho M là R-môđun phải Môđun E được gọi

là bao nội xạ của môđun M nếu E là mở rộng cốt yếu của M và E là nội

xạ Ký hiệu E(M ) Nói cách khác, bao nội xạ của môđun M là môđunnội xạ bé nhất sao cho M cốt yếu trong E(M )

Ví dụ: (1) QZ là bao nội xạ của Z

(2) Bao nội xạ của một môđun nội xạ là chính nó

(3) Bao nội xạ của miền nguyên là trường các thương

Mệnh đề 1.3.4 Mọi môđun đều có một bao nội xạ Nó duy nhấtsai khác một phép đẳng cấu

Mệnh đề 1.3.5 Cho M là R-môđun phải Khi đó,

(1) M là nội xạ khi và chỉ khi M = E(M )

(2) Nếu N ≤e M thì E(N ) = E(M )

(3) Nếu M ≤ Q và Q là môđun nội xạ thì Q = E(M ) ⊕ E0

(4) Nếu L

α∈AE(Mα) là nội xạ (đặc biệt, nếu A là hữu hạn) thì

E(Mα∈A

Mα) = M

α∈AE(Mα)

Bổ đề 1.3.6 Cho L, K, N là các môđun con của M , K ≤ L Khiđó,

(1) Tồn tại môđun con đóng H của M sao cho N ≤e H

(2) Môđun con K đóng trong M nếu và chỉ nếu Q ≤e M, K ≤ Qthì Q/K ≤e M/K

(3) Nếu L đóng trong M thì L/K đóng trong M/K

(4) Nếu K đóng trong L và L đóng trong M thì K đóng trong M (5) Giả sử N là phần bù của K Khi đó, K đóng trong M khi vàchỉ khi K là phần bù của N trong M

1.4 Môđun nửa đơn

Định nghĩa 1.4.1 Một môđun M được gọi là đơn nếu M chỉ cóđúng hai môđun con là 0 và M

Bổ đề 1.4.2 Bổ đề (Schur’s) Nếu M là môđun đơn thì End(M )

Ln+i = Ln(i = 1, 2, )

Tập L các môđun con nào đó của M được gọi là thỏa mãn điều kiệndây chuyền giảm (DCC) trong trường hợp mọi dãy L1 ≥ L2 ≥ ≥ Ln ≥ trong L, tồn tại n ∈ N để cho Ln+i = Ln(i = 1, 2, )

Môđun MR được gọi là Noether nếu MR thỏa mãn điều kiện dâychuyền tăng hoặc mọi tập khác rỗng các môđun con nào đó của M đều

M od − R

1.5 Môđun CS

Cho môđun M , chúng ta định nghĩa các tính chất sau đây của M :(C1) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong hạng tử trực tiếp của M (C2) Nếu một môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếpcủa M thì A cũng là một hạng tử trực tiếp của M

(C3) Nếu M1 và M2 là hạng tử trực tiếp của M thỏa mãn M1∩ M2 = 0thì M1 ⊕ M2 là hạng tử trực tiếp của M

Định nghĩa 1.5.1 Môđun M được gọi là môđun CS nếu M thỏamãn tính chất (C1) Hay nói cách khác, M là môđun CS nếu mọi môđuncon đóng của M đều là hạng tử trực tiếp của M

Môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn tính chất (C1) và(C2)

Môđun M được gọi là tựa liên tục nếu M thỏa mãn tính chất (C1)

và (C3)

Định nghĩa 1.5.2 Môđun M được gọi là môđun CS yếu nếu mọimôđun con nửa đơn của M là cốt yếu trong hạng tử trực tiếp của M 1.6 Môđun suy biến

Định nghĩa 1.6.1 Cho M là R-môđun phải

Ta ký hiệu Z(M ) = {m ∈ M : annR(m) là một iđêan phải cốt yếucủa R} với annR(m) = {r ∈ R/mr = 0} là linh hóa tử phải của m trong

R Z(M ) được gọi là môđun con suy biến của M

Z(M ) = M thì M được gọi là môđun suy biến

Z(M ) = 0 thì M được gọi là môđun không suy biến

Định nghĩa 1.6.2 Môđun con suy biến của RR được gọi là iđêansuy biến của vành R Ký hiệu: Z(RR) Z(RR) là iđêan của R

Định nghĩa 1.6.3 Vành R được gọi là không suy biến phải (trái)nếu RR(RR) là môđun không suy biến

Mệnh đề 1.6.4 Nếu N là môđun con cốt yếu của M thì M/N suybiến

Định nghĩa 1.6.5 Môđun N được gọi là không suy biến trongσ[M ] hay M -không suy biến nếu ZM(N ) = 0.

Định nghĩa 1.6.6 Cho M là R-môđun phải Ta ký hiệu Z2(M )

là môđun con (duy nhất) của M thỏa mãn điều kiện:

Z2(M )/Z(M ) = Z(M/Z(M ))

Z2(M ) được gọi là môđun con suy biến cấp hai của M

Z2(M ) = M được gọi là môđun xoắn Goldie

Mệnh đề 1.6.7 Môđun con Z2(M ) của M có các tính chất sau:(i) Z(M ) ≤e Z2(M )

(ii) Nếu N ≤ M sao cho N/M là môđun con không suy biến thì

Z2(M ) ≤ N

1.7 Môđun chính phương

Định nghĩa 1.7.1 Hai môđun M và N được gọi là trực giao nếukhông có môđun con khác không của M là đẳng cấu với một môđun concủa N

Một môđun M được gọi là môđun chính phương (square module)nếu tồn tại môđun phải N sao cho M ∼= N2

Môđun con N của môđun M được gọi là nghiệm vuông (square-root)trong M nếu N2 nhúng trong M

Định nghĩa 1.7.2 Một môđun M được gọi là không chính phươngnếu M không chứa nghiệm vuông khác không Hay một môđun M đượcgọi là không chính phương nếu M không chứa tổng trực tiếp của haimôđun con khác không đẳng cấu

Môđun M được gọi là chính phương đầy đủ (square-full) nếu mọimôđun con của M chứa nghiệm vuông khác không trong M

1.8 Các lớp vành

Định nghĩa 1.8.1 Một vành R được gọi là chính quy Von mann nếu cho mỗi phần tử a ∈ R thì tồn tại b ∈ R sao cho a = aba

Neu-Định nghĩa 1.8.2 Vành R được gọi là đơn vị chính quy nếu vớimọi phần tử x ∈ R, tồn tại một phần tử khả nghịch u ∈ R sao cho

x = xux

Định nghĩa 1.8.3 Vành R được gọi là chính quy mạnh nếu mọi

a ∈ R, tồn tại b ∈ R sao cho a = a2b

Định nghĩa 1.8.4 (1) Phần tử e 6= 0 được gọi là phần tử lũy đẳngnếu e2 = e

(2) Hai lũy đẳng α, β được gọi là trực giao nếu αβ = βα = 0.(3) Phần tử lũy đẳng e trong R được gọi là lũy đẳng tâm nếu ex = xevới mọi x ∈ X

Mệnh đề 1.8.5 Iđêan phải I của vành R là một hạng tử trực tiếpcủa RR nếu và chỉ nếu tồn tại một lũy đẳng e ∈ R sao cho I = eR.Hơn nữa, nếu e ∈ R là một lũy đẳng thì 1 − e cũng vậy và

RR = eR ⊕ (1 − e)R

Mệnh đề 1.8.6 Với lũy đẳng e ∈ R khác không bất kỳ, các phátbiểu sau tương đương:

(1) eR(Re) không phân tích được như R-môđun phải (trái)

(2) Vành eRe không có các lũy đẳng không tầm thường

(3) e không có sự phân tích dạng α + β với α, β là các lũy đẳng trựcgiao khác không trong R

Nếu lũy đẳng e 6= 0 thỏa mãn một trong các điều kiện trên, ta nói

e là lũy đẳng nguyên thủy của R

Định nghĩa 1.8.7 Vành Artin phải (trái) R được gọi là chuỗi tổngquát nếu với mọi lũy đẳng nguyên thủy e của R, eR(Re) có duy nhấtdãy hợp thành như R-môđun phải (trái)

Định nghĩa 1.8.8 Vành R được gọi là chuỗi tổng quát nếu R làtổng trực tiếp của các môđun chuỗi

Định nghĩa 1.8.9 Vành R được gọi là vành clean nếu mọi phần

tử là tổng của phần tử lũy đẳng và phần tử khả nghịch

Định nghĩa 1.8.10 Một phần tử a của vành R là lũy linh nếu tồntại n sao cho an = 0.

Định nghĩa 1.8.11 Iđêan I của vành R là lũy linh nếu In = 0 với

n ∈ N∗ nào đó

Định nghĩa 1.8.12 Vành R được gọi là nguyên tố nếu tích củahai iđêan khác không của R là khác không Nói cách khác, vành R đượcgọi là nguyên tố nếu aRb = 0, a, b ∈ R thì a = 0 hoặc b = 0

Iđêan I của vành R được gọi là iđêan nguyên tố nếu R/I là vànhnguyên tố

Định nghĩa 1.8.13 Căn nguyên tố của R là giao tất cả các iđêannguyên tố của R Ký hiệu là N (R) Căn nguyên tố của R chứa tất cảcác iđêan lũy linh của R

Định nghĩa 1.8.14 Vành R được gọi là nửa nguyên tố nếu Rkhông có iđêan phải lũy linh khác không hay vành R được gọi là nửanguyên tố khi và chỉ khi N (R) = 0

Định nghĩa 1.8.15 Vành R là đơn nếu R có đúng hai iđêan là 0

và R

Định nghĩa 1.8.16 Vành R là đơn và là tích hữu hạn trực tiếpcác vành (Artin) đơn thì R được gọi là vành (Artin) nửa đơn

Định nghĩa 1.8.17 Nếu R là Artin phải thì N (R) là lũy linh và

là iđêan lũy linh lớn nhất của R

Định nghĩa 1.8.18 Căn N (R) của vành Artin phải R là giao củacác iđêan cực đại của nó

Mệnh đề 1.8.19 Nếu R là vành nguyên tố và e 6= 0 là lũy đẳngtrong R thì eRe là vành nguyên tố

Định nghĩa 1.8.20 Vành Goldie phải là vành thỏa mãn điều kiệndây chuyền tăng (ACC) trên các linh hóa tử phải và có chiều đều hữuhạn

Định nghĩa 1.8.21 Cho vành R Vành R được gọi là vành SC

phải nếu mọi R-môđun phải suy biến là liên tục.

Định nghĩa 1.8.22 Vành R được gọi là vành SI phải nếu mọiR-môđun phải suy biến là nội xạ

Vành SI có các tính chất sau:

(1) Mọi R-môđun xoắn Goldie là nội xạ

(2) Z(RR) = 0 và mọi R-môđun suy biến là nửa đơn

(3) Mọi R-môđun xoắn Goldie hữu hạn sinh là tựa liên tục

(4) Mọi R-môđun suy biến xyclic là nội xạ

(5) Mọi môđun suy biến liên tục là nội xạ

Định nghĩa 1.8.23 Vành R được gọi là vành QI phải nếu mọiR-môđun tựa nội xạ là nội xạ

Định nghĩa 1.8.24 Vành ma trận là tập bất kỳ các ma trận trênvành R nào đó theo phép cộng và phép nhân ma trận

Mệnh đề 1.9.3 ([16, Proposition 1.4]) Môđun N là A-nội xạ nếu

và chỉ nếu N là aR-nội xạ với mọi a ∈ A

Mệnh đề 1.9.4 ([7, Corollary 7.14]) Cho M là môđun Các điềukiện sau tương đương:

(1) M là nửa đơn

(2) Mọi môđun xyclic trong σ[M ] là M -nội xạ

(3) Mọi môđun con thương xyclic của M là M -nội xạ

Định lý 1.9.5 ([16, Theorem 2.8]) Cho M là môđun Các điềukiện sau tương đương:

(1) M là tựa liên tục

(2) M = X ⊕ Y với X, Y ≤ M là phần bù của nhau.

(3) f (M ) ≤ M với mọi lũy đẳng f ∈ End(E(M ))

(4) E(M ) = L

i∈I

Ei suy ra M = L

i∈I(M ∩ Ei)Mệnh đề 1.9.6 ([17, Lemma 1.15]) Môđun M là tựa nội xạ nếu

và chỉ nếu M là bất biến đầy đủ trong bao nội xạ E(M ) của nó

Mệnh đề 1.9.7 ([16, Proposition 1.18]) Cho M = L

α∈I

Mα Cácđiều kiện sau tương đương:

(1) M là tựa nội xạ

(2) Mα là tựa nội xạ và M (I − α) là Mα-nội xạ với mọi a ∈ I.Định lý 1.9.8 ([2, Theorem 8]) Nếu R là vành Goldie phải nửanguyên tố thì tất cả R-môđun phải tựa nội xạ không suy biến là nội xạ.Mệnh đề 1.9.9 ([5, Corollary 3.1.15]) Cho K = {N ∈ σ[M ] : N

là M -không suy biến}, HK(R) = {I ≤ R : R/I ∈ K} Các điều kiện sautương đương:

(1) R thỏa mãn ACC trong HK(R)

(2) Mọi môđun trong K chứa một môđun con nội xạ cực đại

Mệnh đề 1.9.10 ([7, Corollary 9.3]) Cho M là R-môđun hữu hạnsinh Giả sử:

(1) M là xyclic và mọi môđun con thương xyclic của M là CS hoặc(2) M là tự xạ ảnh và mọi môđun con thương của M là CS

Khi đó, M là tổng trực tiếp của các môđun con đều

Định lý 1.9.11 ([?, Theorem 8.3]) Vành S là tựa nội xạ trái nếu

và chỉ nếu S cũng là tổng các vành ma trận Sn

Định lý 1.9.12 ([10, Theorem 1.4]) Nếu môđun M là tựa liên tụcyếu thì hạng tử trực tiếp là CS yếu

CHƯƠNG 2MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU

Chương này sẽ trình bày và chứng minh các tính chất quan trọngcủa môđun bất biến đẳng cấu Chẳng hạn các kết quả sau: Môđun M làbất biến đẳng cấu nếu và chỉ nếu mọi đẳng cấu giữa hai môđun con cốtyếu của M mở rộng đến tự đẳng cấu (tự đồng cấu) của M Nếu tổngtrực tiếp M1⊕ M2 là bất biến đẳng cấu thì M1 và M2 là nội xạ lẫn nhau.Mọi môđun bất biến đẳng cấu thỏa mãn (C3) Môđun M là giả nội xạnếu và chỉ nếu M bất biến đẳng cấu Các kết quả này được tổng quan

β ∈ End(E(M )) sao cho β|X = α Hơn nữa, β là tự đẳng cấu của E(M ).

Vì M là bất biến đẳng cấu nên β(M ) ≤ M và β−1(M ) ≤ M Vì vậyβ|M : M → E(M ) là tự đẳng cấu của M mở rộng của α

(3) ⇒ (2) Hiển nhiên

(2) ⇒ (1) Giả sử X ≤e M , Y ≤e M, X

α

∼= Y Gọi σ : E(M ) →E(M ) tự đẳng cấu của E(M ) Y = σ(M ) ∩ M, X = σ−1(Y ) và α = σ|X

Vì σ là song ánh nên X = {x ∈ M : σ(x) ∈ Y } Theo (2), α mở rộng đến

tự đồng cấu β của M Lấy y ∈ Y ∩ (σ − β)(M ), y = (σ − β)(x), x ∈ M.Khi đó, σ(x) = y + β(x) ∈ Y Do đó,

x ∈ X và y = (σ − β)(x) = σ(x) − β(x) = α(x) − β(x) = 0

Điều này chứng tỏ Y ∩ (σ − β)(M ) = 0 Vì Y ≤e M nên Y ≤e E(M ).Suy ra (σ − β)(M ) = 0 Do đó, σ = β và vì vậy, σ(M ) = β(M ) ≤ M.Vậy M là môđun bất biến đẳng cấu

Mệnh đề 2.2.2 Nếu 2 là khả nghịch của R thì mọi R-môđun bấtbiến đẳng cấu là tựa nội xạ

Chứng minh

Cho M là R-môđun bất biến đẳng cấu thì End(E(M )) là vành cleantheo Định lý 1.9.1 Vì 2 là khả nghịch của R nên 2 là khả nghịch củaEnd(E(M )) Do đó, theo Định lý 1.9.2, mọi tự đồng cấu f của E(M )

là tổng của hai tự đẳng cấu Vì thế f (M ) ≤ M Lại có M bất biến qua

tự đẳng cấu của E(M ) Do đó, M là môđun tựa nội xạ

Bổ đề 2.2.3 Hạng tử trực tiếp của môđun bất biến đẳng cấu M làbất biến đẳng cấu

toàn cấu chính tắc Khi đó, πβι là tự đồng cấu của N Suy ra πβι là mởrộng của α Vì vậy, theo Định lý 2.2.1, N là bất biến đẳng cấu.

Định lý 2.2.4 Nếu tổng trực tiếp M1 ⊕ M2 là bất biến đẳng cấuthì M1 và M2 là nội xạ lẫn nhau

Chứng minh

Giả sử f : A −→ M1 là đồng cấu với A ≤ M2 Ta chứng minh rằng f

mở rộng đến đồng cấu từ M2 đến M1 Gọi B là môđun con của M2 sao cho

A ∩ B = 0, A ⊕ B ≤e M2 và f mở rộng đến đồng cấu g : A ⊕ B −→ M1,với g(B) = 0 Đặt C := A ⊕ B và α : M1 ⊕ C −→ M1 ⊕ M2 xác địnhbởi α(x, c) = (x + g(c), c) với x ∈ M1, c ∈ C Khi đó, α là đơn cấu Hơnnữa, α(M1 ⊕ C) = M1 ⊕ C ≤e M1 ⊕ M2 Vì M1 ⊕ M2 là bất biến đẳngcấu nên α mở rộng đến tự đồng cấu β của M1⊕ M2 (theo Định lý 2.2.1).Xét ι : M2 −→ M1 ⊕ M2 là đơn cấu chính tắc, π : M1 ⊕ M2 −→ M1 làtoàn cấu chính tắc Khi đó, πβι : M2 −→ M1 là mở rộng của f Vậy M1

là M2-nội xạ Tương tự, M2 là M1-nội xạ Do đó, M1 và M2 nội xạ lẫnnhau

Hệ quả 2.2.5 Một môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M ⊕ M

(2) Mọi môđun trong σ[M ] là bất biến đẳng cấu

(3) Mọi môđun 2-sinh trong σ[M ] là bất biến đẳng cấu

là môđun 2-sinh trong σ[M ] Theo giả thiết N ⊕ xR là bất biến đẳngcấu Do đó, theo Định lý 2.2.4, N là xR–nội xạ Theo Mệnh đề 1.9.3, N

là M -nội xạ Theo Mệnh đề 1.9.4, M là nửa đơn

Hệ quả 2.2.8 Vành R là vành Artin nửa đơn nếu và chỉ nếu mọiR-môđun 2-sinh là bất biến đẳng cấu

Vành R được gọi là vành SC phải nếu mọi R-môđun suy biến làliên tục Vành R là SC phải nếu và chỉ nếu mọi R-môđun suy biến lànửa đơn nếu và chỉ nếu mọi R-môđun suy biến hữu hạn sinh là tựa liêntục

Hệ quả 2.2.9 Vành R là vành SC phải nếu và chỉ nếu mọi môđun suy biến 2-sinh là bất biến đẳng cấu

R-Chứng minh

Gọi K là lớp tất cả các R-môđun suy biến Vì K đóng dưới môđuncon, tổng trực tiếp và các môđun thương nên K = σ[M ] với môđun Mnào đó (xem [5, Corollary]) Do đó, R là SC phải nếu và chỉ nếu R lànửa đơn Vì vậy, theo Hệ quả 2.2.7, mọi R-môđun 2-sinh suy biến là bấtbiến đẳng cấu

Hệ quả 2.2.10 Vành R là vành SI phải nếu và chỉ nếu mọi môđun xoắn Goldie 2-sinh là bất biến đẳng cấu

lý 2.2.4, N là xR-nội xạ Theo Mệnh đề 1.9.3, N là E(N )-nội xạ Mà

N ≤⊕ E(N ) nên N = E(N ) là nội xạ

Tác giả Đinh Quang Hải đã chứng minh rằng mọi môđun giả nội xạ

thỏa mãn (C2) Đối với môđun bất biến đẳng cấu ta có định lý sau.Định lý 2.2.11 Mọi môđun bất biến đẳng cấu thỏa mãn (C3).Chứng minh.

Cho M là môđun bất biến đẳng cấu, giả sử A và B là hai hạng tửtrực tiếp của M thỏa mãn A ∩ B = 0 Chúng ta cần chứng minh A ⊕ Bcũng là hạng tử trực tiếp của M Vì A ≤⊕ M nên ta có M = A ⊕ A0.Đặt π : M −→ A0 là toàn cấu chính tắc Vì A ⊕ B ≤ M nên tồn tại

C ≤ M sao cho (A ⊕ B) ∩ C = 0 và A ⊕ B ⊕ C ≤e M Đặt D = B ⊕ C,khi đó, A ⊕ D = A ⊕ π(D) Thật vậy, với x ∈ A ⊕ π(D) thì x = a + π(d)trong đó a ∈ A và d ∈ D Giả sử d = a1 + a01 với a1 ∈ A; a01 ∈ A0 thì

σ của M Vì B ≤⊕ M và π(B) = σ(B) ≤ nên π(B) ≤⊕ A0 Giả sử

Theo Định lý 1.9.5, M bất biến qua tự đồng cấu lũy đẳng của E(M ).Mặt khác, với mọi f ∈ End(E(M )) do M là môđun liên tục nên ta có

f = e + u trong đó e2 = e ∈ End(E(M )) và u ∈ Aut(E(M )) Vì môđunE(M ) là tựa nội xạ nên theo Bổ đề 1.9.6, ta có u(M ) ≤ M Hơn nữa,

vì M là tựa liên tục nên theo Định lý 1.9.5, ta có e(M ) ≤ M Do đó,

f (M ) = e(M ) + u(M ) ≤ M Lại theo Bổ đề 1.9.6, ta có M là tựa nộixạ

Hệ quả 2.2.13 Môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M là CSgiả nội xạ

Nếu M là môđun không suy biến và M = L

i∈I

Mi với mỗi Mi làmôđun đều thì theo tác giả Đinh Quang Hải ([6, Theorem 3.4]) M làtựa nội xạ nếu và chỉ nếu M là giả nội xạ Alahmadi, Er và Jain đãchứng minh được kết quả này bằng cách bỏ đi giả thiết không suy biến

Từ môđun đều là CS ta có hệ quả sau

Trong [8], Nakayama đã chứng minh mọi môđun trên vành chuỗitổng quát là tổng trực tiếp của các môđun chuỗi Vì vậy, ta có hệ quảsau

Hệ quả 2.2.16 Mọi môđun giả nội xạ trên vành chuỗi tổng quát

Cho N là môđun con của môđun M , nếu M/N là không suy biếnthì N là môđun con phần bù; điều ngược lại đúng nếu M không suybiến Thực tế này sẽ được sử dụng nhiều lần trong việc chứng minh cáckết quả tiếp theo

Định lý 2.2.17 Nếu R là vành Goldie phải nửa nguyên tố thì mọiR-môđun bất biến đẳng cấu không suy biến là nội xạ

Cho M là R-môđun bất biến đẳng cấu không suy biến với môđuncon nội xạ cực đại N Khi đó, tồn tại P ≤ M sao cho M = N ⊕ P Tachứng minh M là nội xạ tức là chứng minh P = 0

Giả sử P 6= 0 Vì P là không suy biến và R là chiều Goldie hữu hạnphải nên P chứa môđun con đều K Vì mọi môđun con phần bù của P

là môđụn con phần bù của M nên gọi K là môđun con đều phần bù của

M Ta chứng minh K là tựa nội xạ Cho 0 6= A ≤ K và f : A −→ K

là đồng cấu khác không Vì K là môđun đều không suy biến nên f làđơn cấu Thật vậy, nếu Ker(f ) 6= 0 thì Ker(f ) ≤ A, Ker(f ) đều suy raA/Ker(f ) suy biến Do đó, Z(A/Ker(f )) = A/Ker(f )