Bao lồi hữu tỉ và không gian các đồng cấu phức của các đại số đều trên các tập compact trong c

1 Chương 1.Các đại số đều trên tập compact trong  và không gian các đồng cấu phức.... Các đại số đều trên tập compact trong  và không gian các đồng cấu phức.... Nó có nhiều ứng dụng tr

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH



TỐNG MỸ THANH

BAO LỒI HỮU TỈ VÀ KHÔNG GIAN

CÁC ĐỒNG CẤU PHỨC CỦA CÁC ĐẠI SỐ ĐỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS ĐINH HUY HOÀNG

VINH – 2009

MỤC LỤC

Trang

Mở đầu 1

Chương 1.Các đại số đều trên tập compact trong  và không gian các đồng cấu phức 4

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 4

1.2 Đại số các hàm liên tục 8

1.3 Các đại số đều trên tập compact trong  và không gian các đồng cấu phức 11

Chương 2 Các đại số đều trên tập compact trong n và bao lồi hữu tỉ 19

2.1 Các đại số đều trên tập compact trong n 19

2.2 Bao lồi hữu tỉ 20

2.3 Phổ nối và tính lồi hữu tỉ 27

2.4 Các tập tròn và tính lồi hữu tỉ 31

Kết luận 35

Tài liệu tham khảo 36

MỞ ĐẦU

Đại số đều là một trong những lĩnh vực được quan tâm nghiên cứu nhiềutrong giải tích hàm và giải tích phức Nó có nhiều ứng dụng trong việc giảiquyết các bài toán về xấp xỉ các hàm liên tục bởi các hàm chỉnh hình,… Khinghiên cứu đại số đều người ta thường quan tâm tới việc mô tả không giancác ideal cực đại, tức là không gian các đồng cấu phức và biên Shilov của cácđại số đặc biệt nào đó

Trong 3, đã giới thiệu và nghiên cứu các đại số đều trên tập compact K

trong n và nghiên cứu không gian các đồng phức trên các đại số đó.Trong

2, đã trình bày các đại số đều P(K), R(K) và mô tả không gian các đồng cấu

phức của P(K), R(K) với K là tập compact trong , của P(K) với K là tập

compact trong n, n >1.Vấn đề được đặt ra là trong trường hợp n >1, việc mô

tả không gian các đồng cấu phức của R(K) như thế nào? có tương tự như của

P(K) hay không ? Để giải quyết vấn đề này người ta phải dùng khái niệm bao

lồi hữu tỉ của các tập trong n và một số kết quả khác về hàm chỉnh hìnhnhiều biến Mục đích của luận văn là tìm hiểu, nghiên cứu khái niệm, tínhchất của bao lồi hữu tỉ của các tập bị chặn trong n và mô tả không gian các

đồng cấu phức của đại số đều R(K) với K là tập compact trong n, n >1 Vớimục đích đó luận văn được trình bày thành hai chương

Chương 1 Các đại số đều trên tập compact trong  và không gian cácđồng cấu phức

Phần đầu của chương này dành cho việc trình bày một số khái niệm và kếtquả về hàm chỉnh hình nhiều biến, về đại số Banach,…cần dùng trong luậnvăn

Phần thứ 2, trình bày về đại số C(X) các hàm giá trị phức liên tục trên

không gian compact X và mô tả không gian các đồng cấu phức của nó

Phần thứ 3, trình bày các đại số đều P(K), R(K) với K là tập compact

trong  và mô tả không gian các đồng cấu phức của các đại số này

Chương 2 Các đại số đều trên tập compact trong n và bao lồi hữu tỉ

Phần đầu, trình bày các đại số đều P(K), R(K), A(K) với K là tập compact

trong n và bao lồi đa thức của các tập bị chặn trong n Từ đó chứng minh

không gian các đồng cấu phức của đại số P(K) là bao lồi đa thức của K (Định

lý 2.1.5)

Phần thứ 2, trình bày khái niệm và các tính chất của bao lồi hữu tỉ của cáctập bị chặn trong n Từ đó chứng minh không gian các đồng cấu phức của

đại số P(K) là bao lồi hữu tỉ của K (Định lý 2.2.5).

Phần thứ 3, trình bày khái niệm phổ nối và chứng minh tính lồi hữu tỉ củaphổ nối trong đại số Banach hữu hạn sinh (Định lý 2.3.3)

Phần cuối cùng, trình bày khái niệm tập tròn và mô tả bao lồi hữu tỉ củatập tròn, compact trong n (Định lý 2.4.3)

Các kết quả trong luận văn chủ yếu đã có trong tài liệu tham khảo nhưngchúng chỉ được chứng minh vắn tắt hoặc không chứng minh Chúng tôi đãchứng minh chi tiết, hệ thống và trình bày theo bố cục của mình Bên cạnh đóchúng tôi cũng đưa ra và chứng minh một số kết quả như Mệnh 2.2.2, Mệnh2.2.3, Bổ đề 2.2.4, Hệ quả 2.2.6

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáoPGS TS Đinh Huy Hoàng, cùng với sự giúp đỡ của các thầy, cô giáo trong tổGiải tích, Khoa Toán, Khoa đào tạo Sau đại học trường Đại học Vinh, củatrường Đại học Đồng Tháp và các đồng nghiệp Tác giả xin chân thành cảm

ơn các thầy, cô giáo và các bạn

Qua đây tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn Trường Cao đẳng kinh tế - kỹ thuậtCần Thơ và gia đình đã quan tâm, tạo mọi điều kiện cho tác giả hoàn thànhkhóa học.

Vinh, tháng 5 năm 2009

Tác giả

CHƯƠNG 1

VÀ KHÔNG GIAN CÁC ĐỒNG CẤU PHỨC

i

x y z

Hàm f: K được gọi là chỉnh hình trên tập con K của n nếu tồn tại tập

mở D trong n và hàmf chỉnh hình trên D sao cho KD và 

K

f = f.

Hàm f : n  được gọi là hàm hữu tỉ nếu nó được biểu diễn dưới dạng

thương của hai đa thức n-biến phức : f (z) = q z p z( )( )

Các không điểm của đa thức q được gọi là các điểm cực của f Tập tất cả các không điểm của q được gọi là tập cực của f

Nếu f là hàm hữu tỉ thì f chỉnh hình trên n trừ tập cực của nó

1.1.2 Định lý (Nguyên lý mô đun cực đại của hàm chỉnh hình) Giả sử D

là miền bị chặn trong n Khi đó nếu f là hàm chỉnh hình trên D và liên tục

trên D thì f đạt cực đại trên biên của D hoặc f là hàm hằng.

1.1.3 Định lý (Weierstrass) Nếu  fn là dãy các hàm chỉnh hình trên tập con D của n và hội tụ đều tới hàm f trên mọi tập compact trong D thì f chỉnh

hình trên tập D.

1.1.4 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là chuẩn tắc nếu mọi cặp

tập hợp đóng không giao nhau A và B của X đều tồn tại các tập mở không giao nhau U và V trong X sao cho A U B , V

1.1.5 Bổ đề (Urysohn) Với hai tập con đóng không giao nhau A và B

của không gian chuẩn tắc X tồn tại hàm liên tục f trên X lấy giá trị trong đoạn 0,1 và bằng không trên A, bằng một trên B.

1.1.6 Định nghĩa Họ F các hàm xác định trên tập X lấy giá trị trong tập Y

được gọi là phân biệt các điểm của X nếu với hai điểm bất kỳ a, b khác nhau của X đều tồn tại fF sao cho f (a)  f (b).

1.1.7 Định nghĩa Giả sử A là một không gian véc tơ trên  được trang bịthêm một phép nhân trong thỏa mãn các điều kiện

1) x(yz)=(x y)z,

2) x(y+z) = xy +xz, (x+y)z = xz +yz

3) ( x)y = x( y) =(xy).

Với mọi x,y,zA, với mọi 

Khi đó, ta gọi A là một đại số phức và nói gọn là đại số.

Nếu đại số phức A vừa là không gian Banach và chuẩn trên nó thỏa mãn

.

xy  x y với mọi x,yA thì A được gọi là đại số Banach.

Đại số A được gọi là giao hoán nếu phép nhân trong giao hoán.

Đại số Banach A được gọi là có đơn vị nếu tồn tại eA sao cho xe = ex =

x với mọi xA và e = 1

Trong Luận văn này, các đại số được xét luôn giả thiết là đại số Banachgiao hoán có đơn vị, ta nói gọn là đại số Banach

1.1.8 Định nghĩa Phần tử x của đại số Banach A được gọi là khả nghịch

nếu tồn tại y A sao cho xy = e Lúc đó ta viết y = x-1 và gọi x-1 là phần tử khả

nghịch của x.

1.1.9 Định nghĩa Giả sử f là phần tử của đại số Banach A và  là một số

phức Ta viết  thay cho e.

Ta gọi tập tất cả các số phức  sao cho ( - f ) không khả nghịch là phổ của f

và ký hiệu tập này là  ( f ).

1.1.10 Định lý Với mỗi f thuộc đại số Banach A, phổ  ( f ) là tập

compact và khác rỗng.

1.1.11 Định nghĩa Giả sử A là đại số Banach, : A  là một ánh xạ

tuyến tính Khi đó  được gọi là một đồng cấu phức trên A nếu   0 và

(xy) = (x)(y) với mọi x,yA

Ta ký hiệu tập tất cả các đồng cấu phức trên A là  A

1.1.12 Định nghĩa Giả sử J là một tập con của đại số Banach A J được

gọi là một ideal của A nếu J là một không gian con của A và AJ J.

Nếu J là một ideal của A và J A thì J được gọi là ideal thật sự của A Nếu J là ideal thật sự của A và nó không chứa trong một ideal thật sự nào khác thì J được gọi là ideal cực đại của A

1.1.13 Định lý Mỗi ideal thật sự của đại số Banach A đều được chứa

trong một ideal cực đại nào đó Mỗi ideal cực đại của A đều là tập đóng.

Ta ký hiệu tập tất cả các ideal cực đại của đại số Banach A là M A

1.1.14 Định lý Giả sử A là đại số Banach Khi đó ánh xạ T : A MA đặt tương ứng mỗi   A với ker là một song ánh.

Từ Định lý 1.1.14 ta đồng nhất M A với A, tức là xem mỗi phần tử thuộc M A là

một đồng cấu phức trên A có hạt nhân chính là phần tử đó.

1.1.15 Định lý Mỗi phần tử  A là liên tục và   1

1.1.16 Định nghĩa Từ Định lý 1.1.15 suy ra ta có thể xem M A (tức là A)

là tập con của hình cầu đơn vị đóng trong A*, không gian các phiếm hàm

tuyến tính liên tục trên A.

Ta gọi tôpô trên M A được cảm sinh bởi tôpô yếu trên A * là tôpô Gelfand trên

M A

Sau này, nếu không giải thích gì thêm thì luôn hiểu tôpô trên M A là tôpôGelfand Như vậy dãy  trong M A hội tụ tới M A khi và chỉ khi  (x)

(x) với mọi xA

1.1.17 Định lý Không gian M A là Hausdorff và compact.

1.1.18 Định nghĩa Giả sử A là đại số Banach, f là phần tử thuộc A Ta

gọi hàm f : M A với

f () = ( f ) với mọi M A

là phép biến đổi Gelfand của f.

1.1.19 Định lý Giả sử A là đại số Banach, f là phần tử thuộc A Khi đó

f liên tục và phổ của f trùng với miền giá trị của f , nghĩa là

 ( f ) = f (M A)

1.1.20 Định nghĩa Giả sử A là đại số Banach, ta ký hiệu f n là tích f f.

f…với n lần f và f 0 = e Ta gọi hàm p : A A với

p( f ) = n f n + n-1 f n-1 +….+1 f +0, với fA

là đa thức một biến trong A, trong đó j là các số phức (j 0,n  ) và n Nói

cách khác, nếu p(z) là đa thức của biến z thì khi thay z bởi fA ta được một đa thức của biến f trong A.

Đối với đa thức n-biến trong A cũng được định nghĩa tương tự Hàm

p: An  A với

p( f1 ,f2 ,… fn ) = 1 2

1 1 2 1

f f f



 ( f1 ,f2 ,… fn ) An ;

k; i1,i2…..in  ; i  với i = 1,n

được gọi là một đa thức n-biến trong A.

1.1.21 Định nghĩa Giả sử A là đại số Banach, f1 ,f2 ,…., fn A Đại số con

B của A được gọi là đại số hữu hạn sinh, sinh bởi f1, f2 ,…,.fn nếu một phần tử

là thuộc B khi và chỉ khi nó biểu diễn được dưới dạng một đa thức

n-biến p( f1 ,f2 ,…., fn).

Bao đóng của một đại số hữu hạn sinh được gọi là một đại số Banach hữu

hạn sinh.

1.2 ĐẠI SỐ CÁC HÀM LIÊN TỤC

Giả sử X là không gian Hausdorff và compact, C(X) là không gian Banach

các hàm liên tục từ X vào  với chuẩn sup:

Trong C(X) ta định nghĩa phép nhân bằng cách xem tích của hai phần tử

f, gC(X) là hàm được ký hiệu là fg và được xác định bởi công thức

fg(x) = f (x).g(x), xX.

Chúng ta đã biết C(X) là không gian tuyến tính với phép cộng hai hàm và

nhân vô hướng với một hàm thông thường, tức là

(f + g)(x) = f (x) + g (x), xX ( f )(x) =  f (x); xX, 

1.2.1 Mệnh đề Với các phép toán vừa xác định và với chuẩn sup, C(X) là

đại số Banach giao hoán có đơn vị.

Chứng minh Dễ dàng kiểm tra được rằng C(X) là một đại số với 3 phép

Vậy x là một đồng cấu phức trên C(X).

1.2.3 Định nghĩa Ta gọi x nói trong Bổ đề trên là đồng cấu định giá tại

xX.

1.2.4 Bổ đề Với mỗi M C(X) đều tồn tại xX sao cho  =  x

Chứng minh Ta chứng minh bằng phản chứng Giả sử tồn tại M C(X)

nhưng   x với mọi xX Khi đó với mỗi xX ắt tồn tại g xC(X) sao cho

(gx)  x (g x ) = g x (x).

Đặt f x = g x -  với  = ( g x ) Ta có f x C(X ) và

f x (x) = g x (x) - (x) = g x (x) - ( g x )  0và

( fx ) = ( g x -  ) = ( g x ) -  = 0 (*)

Vậy với mỗi xX đều tồn tại f xC(X) sao cho f x (x)  0,( f x) = 0

Vì f x liên tục và f x (x)  0 nên tồn tại một lân cận mở U x của x sao cho

2

x

f > 0 trên U x Mặt khác từ (*) ta có

( f x 2) = ( f x ) (f x) = 0 (**)

Do X là không gian compact và họ Ux :xX là phủ mở của X nên suy ra tồn

tại các điểm x1, ….xn X sao cho

1 i

n x i

Giả sử x,yX sao cho x y.Vì X là không gian Hausdorff, compact nên X

là không gian chuẩn tắc Do đó, từ bổ đề Urysohn suy ra tồn tại hàm fC(X) sao cho f (x)  f (y) nghĩa là  x ( f )   x (g) và ta có T(x)  T(y) Như vậy T

Do đó T(x) T(x) theo tôpô yếu trên M C(X) vàta kết luận được T liên tục.

Như vậy T là song ánh liên tục từ X không gian compact lên M C(X) là không

gian Hausdorff Vì thế T là ánh xạ đồng phôi Vậy M C(X) đồng phôi với X.

1.3 CÁC ĐẠI SỐ ĐỀU TRÊN TẬP COMPACT TRONG  VÀ KHÔNG GIAN CÁC ĐỒNG CẤU PHỨC.

Trong mục này, chúng ta sẽ nghiên cứu một số đại số đều trên các tậpcompact trong  và mô tả các không gian các đồng cấu phức trên các đại sốđều đó

1.3.1 Định nghĩa Giả sử X là không gian Hausdorff, compact và A là một

đại số con của C(X) A được gọi là đại số đều trên X nếu A tách các điểm của

X, chứa các hàm hằng và đóng trong C(X).

Chúng ta đã biết, sự hội tụ theo chuẩn sup trong C(X) là tương đương với

sự hội tụ đều trên X Do đó một tập con đóng trong C(X)(theo chuẩn sup) còn

được gọi là đóng đều

Giả sử K là tập compact trong  Ta ký hiệu P(K) là tập các hàm thuộc

C(K) mà có thể xấp xỉ đều trên K bởi dãy các đa thức và R(K) là tập các hàm

thuộc C(K) mà có thể xấp xỉ đều trên K bởi dãy các hàm hữu tỉ có các điểm cực ở ngoài K Rõ ràng P(K) R(K).

1.3.2 Mệnh đề P(K) và R(K) là các đại số đều trên K.

Chứng minh Ta chứng minh P(K) là đại số đều Đối với R(K) được chứng

f  f  , gn  g  0

Đặt pn = fn gn; n =1, 2,….Khi đó  pn là dãy các đa thức và ta có

Vì fn  f , gn  g  0, fn  f  0.Như vậy pn fg trên K Mặt khác

fgC(K) Do đó fgP(K) và P(K) là đại số con của C(K).

Giả sử ,  K sao cho    Khi đó đa thức p(z) = z với mọi z là

phần tử của P(K) và p()  p() Do đó P(K) là tách các điểm của K.

Vì mỗi hàm hằng là một đa thức nên P(K) chứa các hàm hằng.

Bây giờ ta chứng minh P(K) đóng trong C(K) với chuẩn sup.

Giả sử fn là một dãy trong P(K) fn fC(K) theo chuẩn sup.Vì  f n 

P(K) nên với mỗi n = 1, 2,….ắt tồn tại dãy các đa thức pn,m m sao cho

f  f  với mọi n  nk.Mặt khác,vì pn ,m k  fn knên tồn tại mk sao cho

k k

n ,m n

1 2k

p  f  với mọi m  mk

Ta có thể giả thiết  n k và m k là hai dãy tăng thực sự Ta lấy dãy các đa

thức  pn ,m k k Khi đó, với mọi > 0 ắt tồn tại k0 sao cho

0

1 ε k

Do đópn ,m k k f trên K, tức là fP(K) và ta kết luận được P(K) đóng.Vậy

P(K) là đại số đều trên K.

1.3.3 Định lý Giả sử K là tập compact trong  Khi đó không gian các ideal cực đại M R(K) của đại số R(K) đồng phôi với K.

Chứng minh.Với mỗi xK, đồng cấu định giá  x là phần tử M C(K)

(Bổ đề 1.2.2) Do đó x M R(K) Ta xác định ánh xạ T: K M R(K) bởi côngthức

T(x) =  x , xK.

Giả sử M R(K) và  :  là ánh xạ đồng nhất, tức là  (z) = z, z

Hiển nhiên R(K) Đặt () = x.Ta có x = () =    () Do đó  - x

không khả nghịch trong R(K) Từ đó suy ra xK, bởi vì nếu xK thì

( - x)(z) =  (z) – x(z) = (z –x)  0 với mọi zK, do đó

1 ( ) ,

 = x trên R(K) Như vậy T(x) =  và do đó T là toàn ánh.

Với lí luận tương tự như chứng minh định lý 1.2.5 ta kết luận được T là

ánh xạ đồng phôi Vậy K đồng phôi với M R(K).

1.3.4 Hệ quả Nếu K là tập compact trong  thì mọi đồng cấu phức trên

R(K) đều mở rộng được thành một đồng cấu phức trên C(K).

Chứng minh Giả sử M R(K) Theo Định lý 1.3.3 thì tồn tại xK sao cho

 = x Khi đó theo Bổ đề 1.2.2, ta có x  MC(K) nếu xem x ( f )= f (x) với mọi fC(K) Như vậy có thể mở rộng  thành một đồng cấu phức trên C(K).

1.3.5 Định nghĩa Giả sử K là tập compact trong  Ta ký hiệu Klà hợp

của K với các thành phần liên thông bị chặn trong \K Ta gọi biên tôpô Ь K

của K là biên ngoài của K.

1.3.6 Bổ đề Giả sử K là tập compact trong  Khi đó K= K khi và chỉ khi

\K liên thông.

Chứng minh.Ta dùng kí hiệu Kcthay cho \K Giả sử Kcliên thông Khi

đó, vì K compact nên Kclà thành phần liên thông không bị chặn trong  nên

không có thành phần liên thông bị chặn Suy ra K= K

Ngược lại, Giả sử K= K Khi đó,Kckhông có thành phần liên thông bị

chặn.Vì K là tập compact nên tồn tại hình cầu B(0,r)K Suy ra \ B(0,r)

c

K Mà \ B(0,r) là tập liên thông không bị chặn nên ắt tồn tại thành phần

liên thông không bị chặn của Kcmà chứa \B(0,r) Do đó, luôn tồn tại thành

phần liên thông trongKc

Giả sử D và D’ là hai thành phần liên thông không bị chặn trong Kc Khi

đó, D và D’ đều không bị chứa trong B(0,r) Do đó,

D\B(0, r)   và D’\ B(0, r)   Kết hợp với D, D’ là thành phần

liên thông, \ B(0, r) là tập liên thông ta suy ra \ B( 0, r) D và \

B(0,r ) D’ Do vậy, \ B(0, r)  DD’ Từ đó suy ra DD’   Suy ra D

f  f Mặt khác, từ Ь K Ь K và nguyên lý mô đun cực đại của hàm chỉnh hình suy

ra

f  f

Do đó f K  f K nếu p là một đa thức Từ đó suy ra rằng một dãy các đa thức

mà hội tụ đều trên K tới hàm gP(K), thì nó cũng hội tụ đều trên K tới hàm

gP( K) sao cho g K g và g K  g K Nói cách khác, mỗi gP(K) đều mở

rộng được thành gP( K) với g K  g Hiển nhiên nếugP( K) thì

 K ( )

g P K và g K  g K K Như vậy ánh xạ g  glà phép đẳng cấu, đẳng cự

từ P(K) lên P( K ) Điều này cho phép ta đồng nhất P(K) với P( K ).

Bây giờ ta sẽ mô tả không gian các ideal cực đại của đại số P(K) nhờ

định lý sau

1.3.8 Định lý Nếu K là tập compact trong  thì M P(K) đồng phôi với K

Chứng minh Trước tiên, từ cách xác định K ta suy ra K là tậpcompact.Theo Định lý 1.3.3 thì  

( )

R K

M K(do M R K( )  đồng phôi với K) Do đó

để hoàn thành chứng minh định lý này ta chỉ cần chứng minh P( K ) = R( K ) vì

Xét chuỗi lũy thừa n+1n

 Ta thấy chuỗi này hội tụ có bán kính bằng

Vì K là tập compact nên tồn tại  > 0 sao cho K được chứa trong hình cầu

(0, ) Lấy  sao cho > , ta có  \K và chuỗi 1

0

n n n

n 0

1

( ) -

1

n n

n 0

0

1 α.2